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对一道2016年竞赛题的思考



2016 年第 9 期
?2n 2 ?2(mn + n) m .即 . m = = ? n n2 ? 2 n2 + 2

福建中学数学

45

故有

方程 m( x ? x0 ) + n( y ? y0 ) = 1 中,m ,n 的一个关系式. 5 巩固练习 (2000 年全国高中数学联

赛解答题·3)已知
x2 y 2 + = 1(a > b > 0) .试问:当 a 2 b2 且仅当 a ,b 满足什么条件时,对于 C1 上的任意一点 C0 : x 2 + y 2 = 1 和 C2 : P ,均存在以 P 为顶点,与 C0 外切,与 C1 内接的平

解答的其余部分略. 评注 从上面的解答过程可以看到,条件中的斜 率之间的关系可以推导出直线方程中 m,n 之间的一 个关系式. 4 方法总结 从上面的几个例子可以看出,齐次化方法一般 适用于直线斜率之和或者积为常数的题型;使用齐 次化方法时,直线方程的变量中的 x, y ,必须化为
m( x ? x0 ) + n( y ? y0 ) = 1 的形式,其中 ( x0, y0 ) 是题目中

行四边形?并且证明你的结论.
参考文献 [1]徐守军.巧构“齐次式”解一类解析几何问题[J].广东教育《高中版》 , 2008(4) :21-23

的给定的点,此时圆锥曲线的方程也需要跟着变式; 条件中的斜率的和或者积直接决定了所假设的直线

对一道 2016 年竞赛题的思考
徐 青 江苏省苏州第十中学(215006) 于是有 16( x ? 3) 2 + 25( y ?
16 2 ) + [96( x ? 3) 5 16 16 +160( y ? )][m( x ? 3) + n( y ? )] = 0. 5 5
y?
2

2016 年浙江省高中数学竞赛试题第 17 题如下:

已知椭圆 C : 离心率为

16 x y + = 1(a > b > 0) ,经过点 P (3, ) , 5 a 2 b2

2

2

3 ,过椭圆 C 的右焦点作斜率为 k 的直线 5 交椭圆于 A, 记 PA ,PB 的斜率为 k1 ,k2 . B 两点, l,

(1)求椭圆的标准方程; (2)若 k1 + k2 = 0 ,求实数 k 的值.
3 x2 y 2 = 答案 (1) + (2) k = . 1; 5 25 16 本题中椭圆是具体的,点 P 为椭圆的通径一端

16 5 , 将上式两边同除以 ( x ? 3) ,并记 k = x?3 0, 则上式化简为 25k 2 + (96 + 160k )(m + nk ) + 16 =

点, k1 + k2 为定值 0,而结论(2)中 k 的值刚好是椭 圆的离心率,所有这些是否具有一般性?在其它的 圆锥曲线中是否有类似的结论?斜率之和变为斜率 之积又有什么结果?笔者对此进行了粗浅的探讨, 提供如下,供参考. 思考 1 问题有无其它解法? 解析 将椭圆方程改写为 16 16 16[( x ? 3) + 3]2 + 25[( y ? ) + ]2 ? 400 = 0, 5 5 16 16 ∴16( x ? 3) 2 + 25( y ? ) 2 + 96( x ? 3) + 160( y ? ) = 0, 5 5 16 1, 假设 AB 方程为 m( x ? 3) + n( y ? ) = 5

即 (160n + 25)k 2 + (160m + 96n)k + 96m + 16 = 0. 160m + 96n ? = 由题意 k1 + k2 = 0, 160n + 25 m 3 ? =. 所以 5m + 3n = 0 ,于是 k = n 5 上述解法运算量较小,最大的优点是简洁且具 有一般性,可以据此方法对问题的一般性进行研究:
b2 思考 2 将椭圆方程一般化,点 P(c, ) ,结论怎 a 样? 解析 将椭圆方程改写为
b2 b2 ) + ]2 ? a 2 b 2 = 0, a a b2 b2 ∴ b 2 ( x ? c) 2 + a 2 ( y ? ) 2 + 2b 2 c( x ? c) + 2ab 2 ( y ? ) = 0. a a b2 假设 AB 方程为 m( x ? c) + n( y ? ) = 1, a b 2 [( x ? c) + c]2 + a 2 [( y ?

46
b2 2 ) + [2b 2 c( x ? c) a b2 b2 +2ab 2 ( y ? )][m( x ? c) + n( y ? )] = 0. a a
y?

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2016 年第 9 期
a , b2

于是 b 2 ( x ? c) 2 + a 2 ( y ?

因为直线 AB 过 F (c, 0) ,所以 n = ? 代入上式,解得 m = ?
a 2t + b2 , 2b 2 c

b2 a , 将上式两边同除以 ( x ? c) 2 ,并记 k = x?c ∴ a 2 k 2 + (2b 2 c + 2ab 2 k )(m + nk ) + b 2 = 0,

即 (a 2 + 2ab 2 n)k 2 + (2ab 2 m + 2b 2 cn)k
+2b 2 cm + b 2 = 0 .① 0 ,所以 2ab 2 m + 2b 2 cn = 由题设 k1 + k2 = 0, m c e. 于是 k = ? == n a 于是有:

a 2t + b2 2 m at b 2 c 2 ? a 2 at ∴k = ? = 2b c = ? ? = ? , a 2c 2ac 2ac 2c n ? 2 b e2 ? 1 t 即 = ? . k 2e 2e 因此有:

结论 3 已知椭圆 C :

x2 y 2 + = 1(a > b > 0) 经过点 a 2 b2

结论 1 已知椭圆 C :

x2 y 2 + = 1(a > b > 0) 经过点 a 2 b2

b2 P (c, ) ,过椭圆 C 的右焦点作斜率为 k 的直线 l , a 交椭圆于 A , B 两点,记 PA , PB 的斜率为 k1 , k2 ,

b2 P(c, ) ,过椭圆 C 的右焦点作斜率为 k 的直线 l , a 交椭圆于 A , B 两点,记 PA , PB 的斜率为 k1 , k2 ,

若 k1 ? k2 = = t ,则 k

e2 ? 1 t ? . 2e 2e

若 k1 + k2 = 0 ,则 k = e . 思考 3 将结论 1 中, k1 + k2 = 0 改为一般的 k1 +
k2 = t ,结论又如何?
2 2

思考 5 在双曲线与抛物线中情况如何? 通过探究,双曲线与抛物线中都有类似的结论: 结论 4 已知双曲线 C :
x2 y 2 ? = 1(a > 0, b > 0) 经 a 2 b2

b2 过点 P(c, ) ,过双曲线 C 的右焦点作斜率为 k 的直 2ab m + 2b cn a 解析 由结论 1 中①,知 ? 2 t, = a + 2ab 2 n 线 l ,交双曲线于 A , B 两点,记 PA , PB 的斜率为 a t 0) ,所以 n = ? 2 , 因为直线 AB 过 F (c, k1 , k2 , 若 k1 + k2 = t ,则 k= ?e . b 2 at + 2c 特别地,若 t = 0 ,则 k = ?e ,证明从略. , 代入上式解得 m = 2b 2 结论 5 已知抛物线 C = : y 2 2 px( p > 0) 经过点 at + 2c p 2 m t c t P( , p) ,过抛物线 C 的焦点作斜率为 k 的直线 l , 所以 k = +e. ? =2b =+ = 2 a 2 a 2 n 交抛物线于 A ,B 两点, 记 PA ,PB 的斜率为 k1 ,k2 , b2 t 即有: 若 k1 + k2 = t ,则 k= ?1. 2 x2 y 2 结论 2 已知椭圆 C : 2 + 2 = 1(a > b > 0) 经过点 证明 将抛物线方程改写为 a b p p 2 b2 [( y ? p ) + p ]= 2 p[( x ? ) + ] , P(c, ) ,过椭圆 C 的右焦点作斜率为 k 的直线 l , 2 2 a p 整理得 ( y ? p) 2 + 2 p ( y ? p ) ? 2 p ( x ? ) = 0. 交椭圆于 A , B 两点,记 PA , PB 的斜率为 k1 , k2 , 2 t p 若 k1 + k2 = t ,则 k= +e. 假设 AB 方程为 m( x ? ) + n( y ? p) = 1, 2 2 思考 4 将斜率之和 k1 + k2 = t 变为之积 k1 ? k2 = t, p 于是 ( y ? p) 2 + [2 p( y ? p) ? 2 p( x ? )] ? 有无相应结论? 2 p 2b 2 cm + b 2 [m( x ? ) + n( y ? p)] = 0. 解析 由结论 1 中①,知 2 =t , 2 a + 2ab 2 n

2016 年第 9 期

福建中学数学
1 ,直线 l 的方程为 x = 4 . 2 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

47

p y? p 将上式两边同除以 ( x ? ) 2 ,并记 k = , p 2 x? 2 则上式化简为 k 2 + (2 pk ? 2 p )(m + nk ) = 0,

即 (1 + 2 pn)k + (2 pm ? 2 pn)k ? 2 pm = 0 .② 2 pm ? 2 pn 由题意 k1 + k2 = t ,所以 ? = t. 1 + 2 pn
2

(Ⅱ) AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P) ,设直线 AB 与直线 l 相交于点 M ,记 PA , PB , PM 的斜率分别为 k1 ,k2 ,k3 . 问是否存在常数 λ , 使得 k1 + k2 = λ k3 ?若存在,求 λ 的值;若不存在, 说明理由.
y
P O F 图1 B M

1 p 因为直线 AB 过点 ( , 0) ,所以 n = ? , p 2 t?2 于是 2 pm + 2 = , t ,即 m = 2p m t ? =? 1 . 所以 k = n 2 x2 y 2 结论 6 已知双曲线 C : 2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 经 a b b2 过点 P(c, ) ,过双曲线 C 的右焦点作斜率为 k 的直 a 线 l ,交双曲线于 A , B 两点,记 PA , PB 的斜率为 k1 , k2 ,若 k1 ? k2 = t ,则 = k t e2 ? 1 . ? 2e 2e 结论 7 已知抛物线 C = : y 2 2 px( p > 0) ,经过点

A

x
x2 y 2 + = 1; 4 3

解(Ⅰ)椭圆 C 的方程为

p P( , p) ,过抛物线 C 的焦点作斜率为 k 的直线 l , 2 交抛物线于 A ,B 两点, 记 PA ,PB 的斜率为 k1 ,k2 , t ,则 k = 若 k1 ? k2 = t . 2 2 pm = t, 1 + 2 pn

(Ⅱ)设 k1 + k2 = t, t 1 由性质 2 得, k AB= + , 2 2 t +1 所以 AB 方程为 = y ( x ? 1) . 2 3(t + 1) 令 x = 4 ,得 M (4, ), 2 3 3 (t + 1) ? 2 t ,即 k + k = 所以 k3 2 2 k3 , = = 1 2 4 ?1 2 故存在常数 λ = 2 符合题意. 例 2 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :
3 1 x2 y 2 + 2 = 1(a > b > 0) 过点 P(1, ) ,离心率为 . 2 2 2 a b (1)求椭圆 C 的方程;

证明 由结论 5 的②式, ?

p 1 因为直线 AB 过点 ( , 0) ,所以 n = ? , p 2 t 于是 2 pm = t ,即 m = , 2p

m t ? =. 所以 k = n 2 思考 6 其它 上述所有结论都可逆向探究,也就是已知直线 l 的斜率 k 的值,均可得 k1 + k2 或 k1 ? k2 的值;同时,如
0) , 而 点 P 改 为 曲 线 上 的 点 果 将 右 焦 点 改 为 ( s, ( s, r ) ,同样能探究出更一般的结论,有兴趣的读者

(2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A , B 两点.若直 线 l 过椭圆 C 的右焦点,记 ?ABP 三条边所在直线的 斜率的乘积为 t ,求 t 的最大值.
x2 y 2 + = 1; 4 3 (2)设直线 l 的斜率为 k ,

解 (1)椭圆 C 的方程为

不妨一试. 下面举两例说明前面结论的应用: 例 1 ( 2013 年高考江西卷·理 20)如图 1,椭 圆C :
x2 y 2 3 + = 1(a > b > 0) 经过点 P(1, ) ,离心率 e = a 2 b2 2

e2 ? 1 1 3 由结论 3 得 k = ? k PA k PB = ? ? k PA k PB , 2e 2e 4 3 即 k PA k PB = ? ?k . 4 所以 ?ABP 三条边所在直线的斜率的乘积 3 9 3 ?( k + ) 2 + , t = k (? ? k ) = 8 64 4 3 9 所以当 k = ? 时, t 的最大值为 . 64 8



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