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湖北省襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学2014-2015学年高一下学期期中四校联考数学试题



{an }

湖北省

襄阳四中 荆州中学 宜昌一中 龙泉中学

四校

2014~2015 学年度下学期期中联考

高 一 数 学
命题人:襄阳四中 陈琰 李苏红 审题人:龙泉中学 郑胜 本试题卷共 4 页,三大题 22 小题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分

钟。

★ 祝考试顺利 ★
注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上,并将准考证号条形码 粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。 3.非选择题的作答:用黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、 草稿纸上无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,请将答题卡上交。

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.已知非零实数 a , b 满足 a ? b ,则下列不等式成立的是 ( D )
2 2 A. a ? b

B.

1 1 ? a b

2 2 C. a b ? ab

D.

a b ? 2 2 b a

2.若 ?an ? 是等差数列,则下列数列中仍为等差数列的个数有 ( C ) ①

?2an ? 1?,



?a ? ,
2 n



?an?1 ? an ? ,



?2an ? n?
D.4 个

A.1 个

B.2 个

C.3 个

2 2 2 3.在 ?ABC 中, sin A ? sin B ? sin C ? sinBsinC ,则角 A 的取值范围是 ( B )

A. (0, ]

?

6

B. (0, ]

?

3

C. [

?
6

,? )

D. [

?
3

,? )

4. 设 ?an ? 是由正数组成的等差数列, 且 a1 ? b1 , a2015 ? b2015 , ?bn ? 是由正数组成的等比数列, 则必有 ( D ) A. a1008 ? b1008 B. a1008 ? b1008 C. a1008 ? b1008 D. a1008 ? b1008

5.已知等比数列的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? a3 ? A. 4 ? 1
n n ?1

S 5 5 , a2 ? a4 ? ,则 n ? ( C ) 2 4 an
n

B. 4

C. 2 ? 1

D. 2

n ?1

-1-

6.如图,塔 AB 底部为点 B ,若 C , D 两点相距为 100 m 并且与 点 B 在同一水平线上, 现从 C ,D 两点测得塔顶 A 的仰角分别 为 45 ? 和 30 ? ,则塔 AB 的高约为 ( D ) (精确到
D B A

0.1m , 3 ? 1.73 , 2 ? 1.41 )
A. 36.5 C. 120.5 B. 115.6 D. 136.5

C

7.能使不等式 f ( x) ? M 成立的所有常数 M 中,我们把 M 的最小值叫做 f ( x) 的上确界,若

a ? 0 , b ? 0 且 a ? b ? 1 ,则 ?
A. ?

1 2 ? 的上确界为 ( A ) 2a b
C.

9 2

B.

9 2

1 4

D. ?4

8. 若等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn 满足 S17 ? 0, S18 ? 0 , 则

S1 S2 , , a1 a2

,

S17 中最大的项 ( D ) a17
D.

A.

S6 a6

B.

S7 a7

C.

S8 a8

S9 a9

9.在 ?ABC 中,三内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c ,且 a cos C , b cos B , c cos A 成等 差数列,若 b ? 3 ,则 a ? c 的最大值为 ( C ) A.

3 2
x 2 ? 4 x ?3

B. 3

C. 2 3

D. 9

10.已知不等式① 2

? 1 ,②

2 ? 1 ,③ 2 x 2 ? 9 x ? m ? 0 ,要使同时满足①和②的 4? x
C. m ? 10 D. m ? 10

所有 x 都满足③,则实数 m 的取值范围是 ( B ) A. m ? 9 B. m ? 9 11.在 ?ABC 中,①若 B ? 60? , a ? 10 , b ? 7 ,则该三角形有且仅有两解;②若三角形的 三边的比是 3 : 5 : 7 ,则此三角形的最大角为 120? ;③若 ?ABC 为锐角三角形,且三边长 分别为 2,3, x ,则 x 的取值范围是 5 ? x ? 13 .其中正确命题的个数是 ( C ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

12 .已知定义在 [0, ?? ) 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ? 2 f ( x ? 2) 恒成立,且当 x ? [0, 2) 时, ,且 {an } 的前 n f ( x) ? ?2 x2 ? 4 x ,设 f ( x) 在 [2n ? 2, 2n) 上的最大值为 an ( n ? N * ) 项和为 Sn ,若不等式 A. t ? 5

t ? S n 对任意 n ? N * 恒成立,则 t 的取值范围是 ( B ) 2n B. t ? 4 C. t ? 3 D. t ? 2

-2-

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.在钝角 ?ABC 中, AB ? 1 , AC ? 2 , S ?ABC ? 14.如果直角三角形周长为 2 ,则它的最大面积为 15.等比数列 {an } ,若 a2 ? 2 , a5 ?

1 ,则 BC ? 2




1 ,则 a1a2 ? a2 a3 ? ??? ? an an?1 ? 4



16.各项均为正偶数的数列 a1 , a2 , a3 , a4 中,前三项依次成为公差为 d (d ? 0) 的等差数 列,后三项依次成为公比为 q 的等比数列,若 a4 ? a1 ? 88 ,则 q 的所有可能的值构成的 集合为 . 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分) 已知{ an }是首项为 a1 , 公差为 d 的等差数列,S n 是其前 n 项的和, 且 S 5 ? 5 ,S6 ? ?3 . (Ⅰ)求数列{ an }的通项 an 及 S n ; (Ⅱ)设 ?bn ? 2an ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列.求数列{ bn }的通项公式及其前 n 项和

Tn .
18. (本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 中的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,且满足 cos C ?

3 ,a ? 3 , 3

?b ? a??sin B ? sin A? ? ?b ? c ? sin C .
(Ⅰ)求 sin B 的值; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积. 19. (本小题满分 12 分)

2014 年,中国联想集团以 28 亿元收购摩托罗拉移动公司,并计划投资 30 亿元来发展该
品牌; 2014 年摩托罗拉手机的销售量为 100 万部.据专家预测,从 2015 年起,摩托罗拉手 机的销售量每年比上一年增加 100 万部, 每年的销售利润比上一年减少 10% . 已知 2014 年销 售利润平均每部为 300 元. (Ⅰ)若把 2014 年看做第一年,第 n 年的销售利润为多少? (Ⅱ)到 2020 年年底,中国联想集团能否通过摩托罗拉手机实现盈利?(即销售利润超过总投
6 7 8 资,参考数据: 0.9 ? 0.53 , 0.9 ? 0.47 , 0.9 ? 0.43 ).

20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) ? 2 cos x ,( x ? R ).
2 2

-3-

(Ⅰ) 求函数 f ( x) 的递增区间; (Ⅱ) 若函数 g ( x) ? f ( x) ? m 在 [0, 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ?

?
2

] 上有两个不同的零点 x1 、 x2 ,求 tan(x1 ? x2 ) 的值.

x?a ( a 、 b 为常数) . x?b

(Ⅰ)若 b ? 1 ,解不等式 f ( x ? 1) ? 0 ; (Ⅱ)若 a ? 1 ,当 x ?? ?1, 2? 时, f ( x ) ?

?1 恒成立,求 b 的取值范围. ( x ? b) 2

22. (本小题满分 12 分) 设数列 {an } 的首项 a1 ?

3n 3 ,且 an?1 ? 2an ? 3n , a n ? bn ? , (n ? N ? ) . 5 5

(Ⅰ)证明: {bn } 是等比数列; (Ⅱ)若 a1 ? 在说明理由. (Ⅲ)若 {an } 是递增数列,求 a1 的取值范围.

3 ,数列 {an } 中是否存在连续三项成等差数列?若存在,写出这三项,若不存 2

-4-

2014~2015 学年度下学期期中联考

高一数学参考答案
一、选择题: 1 D 2 C 3 B 4 D 5 C 6 D 7 A 8 D 9 C 10 B 11 C 12 B

二、填空题: 13. 5 ; 三、解答题; 17.解: (Ⅰ)由 S5 ? 5 ,有 S6 ? ?3 有? 14. 3 ? 2 2 ; 15.

32 (1 ? 4? n ) ; 3

16. ? , ? .

?5 8 ? ?3 7 ?

?5a1 ? 10d ? 5 ?a1 ? 7 解得 ? ?d ? ?3 ?6a1 ? 15d ? ?3
————————3 分

an ? 7 ? (n ?1)(?3) ? ?3n ? 10
? Sn ?

7 ? (?3n ? 10) 3 17 n ? ? n 2 ? n ; ————————5 分 2 2 2
————7 分

(Ⅱ)由题意有 bn ? 2an ? 3n?1 ,又由(1)有 bn ? 3n?1 ? 20 ? 6n

? Tn ? b1 ? b2 ?

? bn ? (1 ? 2a1 ) ? (3 ? 2a2 ) ?
? 2(a1 ? a2 ?

? (3n?1 ? 2an )

? 1? 3 ?

?3

n?1

1 ? 3n 3n ? 1 ? 2Sn ? ? 3n 2 ? 17n —————10 分 ? an ) ? 1? 3 2
————————2 分

18.解: (Ⅰ)由正弦定理可得 (b ? a)(b ? a) ? (b ? c)c ,
2 2 2 即 b ? c ? a ? bc ,由余弦定理得 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? , 2bc 2
————————4 分

又 0 ? A ? ? , 所以 A ? 因为 cos C ?

?
3



3 6 ,所以 sin C ? . 3 3
3 3 1 6 3? 6 . ——6 分 ? ? ? ? 2 3 2 3 6

所以 sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C ?

-5-

(Ⅱ)在 ?ABC 中,由正弦定理

a c ? , sin A sin C



3 c ,解得 c ? 2 2 , ————————9 分 ? 3 6 2 3

所以 ?ABC 的面积 S ?

1 1 3? 6 3 2 ? 2 3 .————— 12 分 ac sin B ? ? 3 ? 2 2 ? ? 2 2 6 2

19.解:(Ⅰ)∵摩托罗拉手机的销售量每年比上一年增加 100 万部,因此手机的销售量构成了 首项为 100 ,公差为 100 的等差数列. ∴ an ? 100n ………………………………2 分 ∵手机销售利润按照每年比上一年减 10% ,因此每部手机的销售利润构成首项为 300 ,公比 为 0.9 的等比数列.∴ bn ? 300 ? 0.9n?1 .………4 分

∴第 n 年的销售利润记为 cn ,则 cn ? an ? bn ? 30000n ? 0.9n?1 . ………6 分 (Ⅱ)到 2020 年年底,设销售利润总和为 S 万元,则

S ? 30000 ( 1 ? 2 ? 0.9 ? 3 ? 0.92 ? 4 ? 0.93 ? 5 ? 0.94 ? 6 ? 0.95 ? 7 ? 0.96) ①………8 分
0.9S ? 30000 ( 1? 0.9 ? 2 ? 0.92 ? 3 ? 0.93 ? 4 ? 0.94 ? 5 ? 0.95 ? 6 ? 0.96 ? 7 ? 0.97) ②
①-②得

S ? 30000 ( 100 ? 170 ? 0.97) ? 603000 万元 ? 60.3 亿元 而总投资为 28 ? 30 ? 58 亿元 ∵ 60.3 ? 58 , ∴可以盈利
答:(Ⅰ)第 n 年的销售利润为 30000n ? 0.9 摩托罗拉手机实现盈利. 20.解:(Ⅰ)∵ f ( x) ? (sin x ? cos x) ? 2 cos x ?
2 2

………10 分

n ?1

万元;(Ⅱ)到 2020 年年底,中国联想集团能通过 ………12 分

2 sin(2 x ? ) ( x ? R ).—— 3 分 4 ? ? ? ? 3? 由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? ? k? ? ? x ? k? ? ( k ? Z ), 2 4 2 8 8 ? 3? ] ( k ? Z ); ——— 6 分 ∴函数 f ( x ) 的递增区间为[ [k? ? , k? ? 8 8
(Ⅱ)∵方程 g ( x) ? f ( x) ? m ? 0 同解于 f ( x) ? m ; 在直角坐标系中画出函数 f ( x) ?

?

2 sin(2 x ? ) 在 [0, ] 上的图象, 2 4

?

?

由图象可知,当且仅当 m ?[1, 2) 时,方程 f ( x) ? m 在 [0, 上的区间 [

?

? 3?
4 8 ,

)和(

3? ? , ] 有两个不同的解 x1 , x2 ——— 10 分 8 2

2

]

并且 x1 与 x2 关于直线 x ?

x ? x 2 3? 3? ? 对称,即 1 , 8 2 8

-6-

3? ;故 tan(x1 ? x2 ) ? ?1 .———————— 12 分 4 x?a x?a 21.解: (Ⅰ)∵ f ? x ? ? , b ? 1, ∴ f ? x? ? , x?b x ?1
∴ x1 ? x 2 ? ∴ f ( x ? 1) ?

? x ?1? ? a ? x ?1 ? a , x ? x ?1? ? 1
x ?1? a ? 0, x
————————2 分

∵ f ( x ? 1) ? 0 ,∴

等价于 x ? ? x ? ?1 ? a ? ? ? ? 0,

①当 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 时,不等式的解集为 (0,1 ? a ) , ②当 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 时,不等式的解集为 ? , ③当 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 时,不等式的解集为 (1 ? a,0) ;—————6 分 (Ⅱ)∵ a ? 1 , f ( x ) ?

?1 , ( x ? b) 2



x ?1 ?1 ? ? ( x ? b)( x ? 1) ? ?1 对 x ?? ?1, 2? 时恒成立, (※) x ? b ( x ? b) 2
————————8 分

当 x ? ?1 时,不等式(※)显然成立; 当 ?1 ? x ? 2 时, b ? ?

1 1 ? x ? 1? ( ? x ? 1) , x ?1 x ?1

∵ x ? 1 ? 0 ,∴ 故 b ? ?1

1 1 ? ? x ? 1? ? 2 ? ? x ? 1? ? 2 , x ?1 x ?1

又由 x ?? ?1, 2? 时不等式恒成立,可知 b ? [?2,1] ; 综上所述, b ? 1 . ————————12 分

1 an ?1 ? ? 3n ?1 3 b 5 22.解: (Ⅰ)因为 n ?1 ? ? ?2 ,且 b1 ? a1 ? ? 0 , 1 5 bn an ? ? 3n 5 3 所以数列 {bn } 是首项为 a1 ? ,公比为 ?2 的等比数列; ———3 分 5 3 9 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 {bn } 是首项为 a1 ? ? b1 ? ,公比为 ?2 的等比数列. 5 10

-7-

∴ bn ? an ?

1 n 9 1 9 ? 3 ? ? (?2) n ?1 ? an ? ? 3n ? ? (?2) n ?1 ——————4 分 5 10 5 10

若 {an } 中存在连续三项成等差数列,则必有 2an?1 ? an ? an?2 , 即 2[ ? 3

1 5

n ?1

?

9 1 9 1 9 ? (?2) n ] ? ? 3n ? ? (?2) n ?1 ? ? 3n ? 2 ? ? (?2) n ?1 10 5 10 5 10
————————7 分

解得 n ? 4 ,即 a4 , a5 , a6 成等差数列. (Ⅲ)如果 an?1 ? an 成立,即 数均成立.

1 n ?1 3 1 3 ? 3 ? (a1 ? ) ? (?2) n ? ? 3n ? ( a1 ? ) ? (?2) n ?1 对任意自然 5 5 5 5

4 n 3 ? 3 ? ?(a1 ? )(?2) n ————————8 分 15 5 3 4 3 n 3 4 3 ( ) ,因为 p (n) ? ? ( ) n 是递减数列, 当 n 为偶数时, a1 ? ? 5 15 2 5 15 2
化简得 所以 p(n) max ? p(2) ? 0 ,即 a1 ? 0 ; ————————10 分 当 n 为奇数时, a1 ?

3 4 3 n 3 4 3 ? ( ) ,因为 q(n) ? ? ( ) n 是递增数列, 5 15 2 5 15 2

所以 q(n) min ? q(1) ? 1,即 a1 ? 1 ; 故 a1 的取值范围为 (0,1) . ————————12 分

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