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浙江省温州市2014届高三第一次适应性考试(一模)数学(理)试题



2014 年温州市高三第一次适应性测试数学(理科)试题 2014.2
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求. 1.已知角 ? 的终边与单位圆交于点 ( ? A. ?

4 3 , ) , 则 tan? ? ( 5 5
C. ?

)
<

br />4 3

B. ?

4 5

3 5

D. ?

3 4
)

2.已知集合 A ? {1,2,3} , B ? ?( x , y ) | x ? A, y ? A, x ? y ? A? ,则 B 中所含元素的个数为( A.2 B.3 C.4 ) D.第四象限 ) D.6

3.在复平面内,复数 z ? A.第一象限
?

1? i 对应的点在( 1 ? 2i
2 2

B.第二象限

C.第三象限

4.设 a , b ? R ,则“ a ? b ? 1 ”是“ a ? b ? 1 ”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5.已知某几何体的三视图(单位: cm )如图所示,则此几何 体的体积是( A.1 cm
3
?

) B.3 cm
3

C.5 cm

3

D.7 cm

3

6.已知 x , y ? R ,且 x ? y ? 最大值是( A.3 )

1 1 ? ? 5 ,则 x ? y 的 x y
第 5 题图

B.3.5

C.4

D.4.5

7.在 5× 5 的棋盘中,放入 3 颗黑子和 2 颗白子,它们均不在同一行且不在同一列,则不同的排列方 法种数为( A.150 ) B.200 C.600 D.1200

8.对于函数 f ( x) ? 4x ? m ? 2x ?1 ,若存在实数 x0 ,使得 f (? x0 ) ? ? f ( x0 ) 成立,则实数 m 的取值范 围是(

1 m≤ A. 2

) B.

m≥

1 2

C. m ≤1

D. m ≥1

9.已知 F1 , F2 分别为双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0 , b ? 0) 的左、右焦点,若在右支上存在点 A ,使 a 2 b2
)

得点 F2 到直线 AF1 的距离为 2a ,则该双曲线的离心率的取值范围是(

·1 ·

A. (1, 2)

B. (1, 2]

C. ( 2 ,??)

D. [ 2 ,??) )

10.已知数列 ?an ? 为等比数列, a1 ? (0,1) , a2 ? (1,2) , a3 ? (2,3) ,则 a4 的取值范围是( A. (3, 4) B. (2 2, 4) C. (3,9) D. (2 2,9)

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. 已知函数 f ( x) ? log3 x ,则 f ( 3) ? . 数

12.设 a ? 0 ,在二项式 (a ? x ) 10 的展开式中,含 x 的项的系 与含 x 4 的项的系数相等,则 a 的值为 .

13.某程序框图如图所示,若输入的 n ? 10 ,则输出的结果是 . 14.直线 (c ? d )( x ? b) ? (a ? b)( y ? d ) ? 0 与曲线

( x ? a)( x ? b) ? ( y ? c)( y ? d ) ? 0 的交点个数是


第 13 题图

15.现有三个小球全部随机放入三个盒子中, 设随机变量 ? 为三 个盒子中含球最多的盒子里的球数,则 ? 的数学期望 E? 为 .

16.如图,矩形 ABCD 中,E 为边 AB 的中点,将△ADE 沿直线 DE 翻转成△A1DE.若 M 为线段 A1C 的中点,则在△ADE 翻转过程中,正确的 是 . 命题

① |BM|是定值; ② 点 M 在圆上运动; ③ 一定存在某个位置,使 DE⊥A1C; ④ 一定存在某个位置,使 MB∥平面 A1DE. 17.平面向量 a , b , e 满足 | e |? 1 , a ? e ? 1 , b ? e ? 2 , | a ? b |? 2 ,则 a ? b 的最小值为 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本题满分 14 分)△ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c .若 b ? 1 , c ? (Ⅰ)求角 C 的取值范围; (Ⅱ)求 4sin C cos( C ? ) 的最小值. .
第 16 题图

3 . 2

?

6

·2 ·

19. (本题满分 14 分)已知数列 ?an ? 中, a1 ? (Ⅰ)求证:数列 ?

? 1 ? ? 是等差数列,并求 ?an ? 的通项公式; ? an ? 1 ?

1 3 ( n ? N* ) . , an ?1 ? 2 ? an 4

(Ⅱ)设 bn ? an ? 1( n ? N* ) , S n ? b1b2 ? b2b3 ? ? ? bnbn ?1 ,试比较 an 与 8Sn 的大小.

20. (本题满分 14 分)如图,平面 ABEF ? 平面 ABC , 四边形 ABEF 为矩形, AC ? BC . O 为 AB 的中点,

F

E

OF ? EC .
(Ⅰ)求证: OE ? FC ; (Ⅱ)若 FC 与平面 ABC 所成的角为 30? , 求二面角 F ? CE ? B 的余弦值.
C A O B

第 20 题图

·3 ·

21. (本题满分 15 分)抛物线 C1 : x 2 ? 4 y 在点 A , B 处的切线垂直相交于点 P ,直线 AB 与 椭圆 C2 :

x2 y 2 ? ? 1 相交于 C , D 两点. 4 2

y B D A C O P 第21题图 x

(Ⅰ)求抛物线 C1 的焦点 F 与椭圆 C2 的 左焦点 F1 的距离; (Ⅱ) 设点 P 到直线 AB 的距离为 d , 试问: 是否存在直线 AB ,使得 | AB | , d ,

| CD | 成等比数列?若存在,求直线

AB 的方程;若不存在,请说明理由.

22. (本题满分 15 分)设 a ? R ,函数 f ( x) ? x 2e1? x ? a( x ? 1) . (Ⅰ)当 a ? 1时,求 f ( x) 在 ( ,2) 内的极大值;
x ? 1 ? 1?e ) 当 g ( x) 有 两 个 极 值 点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 时 , 总 有 ( Ⅱ ) 设 函 数 g ( x) ? f ( x)? a( x ,

3 4

) x2 g ( x1 ) ≤ ? f ?( x1 ) ,求实数 ? 的值.(其中 f ?( x) 是 f ( x) 的导函数.

·4 ·

2014 年温州市高三第一次适应性测试数学(理科)试题参考答案 2014.2
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求. 1 题号 答案 D 2 B 3 C 4 A 5 D 6 C 7 D 8 B 9 C 10 D

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分 11.

1 2

12.1

13.5

14.2 个

15.

17 9

16.①②④

17.

5 4

三、解答题: 18(本小题满分 14 分)

3 3 1 解: (Ⅰ)由正弦定理,得 sin B . ? 2 ,即 sin C ? 2 sin B sin C
由 0 ? sin B ≤1 ,得 0<sinC ≤

??????2 分

3 , 2

??????4 分

又 b > c ,故 C 为锐角,所以 0 < C ≤ (Ⅱ) 4sin C cos(C ?

?
3



??????6 分

?
6

) ? 4sin C (

3 1 cos C ? sin C ) 2 2

??????9 分

? 2 3 sin C cos C ? 2sin 2 C ? 2 3 sin C cos C ? 2sin 2 C ? 3 sin 2C ? (1 ? cos 2C )
? 2sin(2C ? ) ? 1 , 6
由 0<C ≤

?

?????12 分

?

3

,得

?

6

? 2C ?

?
6



所以 4sin C cos(C ?

?

5? ? 1 ,故 sin(2C ? ) ≥ , 6 6 2

6 3 ? 所以 4sin C cos(C ? ) 的最小值是 0. 6
19. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)因

) ≥ 0 (当 C ?

?

时取到等号) ?????14 分

1 ? an ?1 ? 1 an ? 1 ?

1

2 ? an 1 1 1 ? ? ? ? ?1 , ???3 分 1 ? 1 an ? 1 1 ? (2 ? an ) an ? 1 2 ? an
?????5 分

故数列 ?

? 1 ? ? 是首项为-4,公差为-1 的等差数列, a ? 1 ? n ?

·5 ·

所以

1 n?2 ? ?4 ? (n ? 1) ? ?n ? 3 ,即 an ? (n ? N* ) . an ? 1 n?3

????7 分

(Ⅱ)因 bn ? an ? 1,故 bn ?

1 1 1 ,则 bn bn ?1 ? , ? n?3 n?3 n?4 n 于是 Sn ? b1b2 ? b2b3 ? ? ? bnbn ?1 ? , 4(n ? 4)

????9 分 ????11 分

n ? 2 2n ?n 2 ? 8 ? ? 从而 an ? 8S n ? , n ? 3 n ? 4 (n ? 3)(n ? 4)
所以,当 n ≤ 2 时, an ? 8S n ;当 n ≥ 3 时, an ? 8S n . 20. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:连结 OC ,因 AC ? BC , O 是 AB 的中点, F 故 OC ? AB . 又因平面 ABC ? 平面 ABEF , 故 OC ? 平面 ABEF , ????2 分 于是 OC ? OF . A 又 OF ? EC , 所以 OF ? 平面 OEC , 所以 OF ? OE , ????4 分 又因 OC ? OE , 故 OE ? 平面 OFC , 所以 OE ? FC . ????6 分 (Ⅱ)解法一:由(I) ,得 AB = 2 AF