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高中数学必修4人教A导学案1.2.1任意角的三角函数(2)



1.2.1
班级

任意角的三角函数< 第二课时>
姓名

学习目标
1.通过对任意角的三角函数定义的理解,掌握终边相同角的同一三角函数值相等. 2.正确利用与单位圆有关的有向线段,将任意角 α 的正弦、余弦、正切函数值表示出来, 即用正弦线、余弦线、正切线表示出来.

重点难点


教学重点 教学难点 终边相同的角的同一三角函数值相等 利用与单位圆有关的有向线段,将任意角 α 的正弦、余弦、正切函数值用几 何形式表示.

教学过程
(一) 复习提问 1、 三角函数(正弦,余弦,正切函数)的概念。 (两个定义) 2、 三角函数(正弦,余弦,正切函数)的定义域。 3、 三角函数(正弦,余弦,正切函数)值在各象限的符号。

4、<小结>常见常用角的三角函数值
角? 角 ? 的弧 度数 sin ? cos ? tan ? 30? 45? 60° 120° 135° 150°

角α 角 α 的弧度 数 sinα cosα tanα



90°

180°

270°

360°

1

(二)新知探究 1、问题 :如果两个角的终边相同,那么这两个角的同一三角函数值有何关系? 2、求下列三角函数值 (1)sin420° (2) sin60° ;

3、结论

由三角函数的定义,可以知道:终边相同的角的同一三角函数的值相等. 由此得到一组公式(公式一): sin(α+k·2π)=sinα, cos(α+k·2π)=cosα, tan(α+k·2π)=tanα, 其中 k∈Z.

(作用)利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求 0 到 2π(或 0° 360° 到 ) 角的三角函数值.这个公式称为三角函数的“诱导公式一”. 4.例题讲解 例 1、确定下列三角函数值的符号: (1)sin(-392°) (2)tan(-

11? ) 6

练习(1)、 确定下列三角函数值的符号: (1) tan(-672°) (2)sin1480°10?

(3)cos

9? 4

例 2、求下列三角函数值 (1)sin390° (2)cos ;

13? ; (3)tan(-690° ). 6

练习(2)、求下列三角函数值

(1)sin420° (2)cos ;

25? ; (3)tan(-330° ). 6

2

5、 由三角函数的定义我们知道,对于角 α 的各种三角函数我们都是用比值来表示的,或者说是 用数来表示的,今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法.

三角函数线(定义) :
y P
o

T
P

y

y

T

y
M A

A
M

x

M

o

A

x

M

o

A

x

o

x

T

P

P T

(1) (2) (3) (4) 设任意角 ? 的顶点在原点 O ,始边与 x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交点 P ( x, y ) 。过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M ;过点 A(1,0) 作单位圆的切线,它与角 ? 的 终边或其反向延长线交与点 T . 由四个图看出: 当角 ? 的终边不在坐标轴上时,有向线段 OM ? x, MP ? y ,于是有

y y x x ? ? y ? MP , cos ? ? ? ? x ? OM , r 1 r 1 y MP AT tan ? ? ? ? ? AT . x OM OA 我们就分别称有向线段 MP, OM , AT 为正弦线、余弦线、正切线。 sin ? ?
说明: ①三条有向线段的位置:正弦线为 ? 的终边与单位圆的交点到 x 轴的垂直线段;余弦线在 x 轴上;正切线在过单位圆与 x 轴正方向的交点的切线上,三条有向线段中两 条在单位圆内,一条在单位圆外。 ②三条有向线段的方向:正弦线由垂足指向 ? 的终边与单位圆的交点;余弦线由原点指向 垂足;正切线由切点指向与 ? 的终边的交点。 ③三条有向线段的正负:三条有向线段凡与 x 轴或 y 轴同向的为正值,与 x 轴或 y 轴反向 的为负值。 ④三条有向线段的书写:有向线段的起点字母在前,终点字母在后面。

6、典型例题

例 1.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。 (1)

5? ? ; (2) ; 6 3

练习 1 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线(1) ?

2? ; 3

(2) ?

13? . 6

3

7、课下探究 1?

(1)

利用三角函数线比较下列各组数的大小: 2? tan

sin

2? 4? 与 sin 3 5

2? 4? 与 tan 3 5

(2)利用单位圆寻找适合下列条件的 0?到 360?的角
1? sin?≥ y P2 o P1 x 210? o

1 2

2? tan? ?

3 3
y 30? T x

A

(三)课堂小结、
本节课你学了哪些知识?有哪些收获?你已经正确理解、掌握它们了吗?

(四)课后作业
习题 1.2A 组第 3,4 题

4



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