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空间向量的创新应用



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空间向量的创新应用
王兴

(江苏省溧阳市戴埠高级中学

江苏溧阳

21

3331)

摘要:空问向量是研究立体几何问题的一种非常有效的代数工具,因此在立体几何中的距离问

题的解决中非常实用。本文从点到直线 的距离.异面直线间的距离、点到平面的距离这三个方面来尝试空间向量在求距离问题中的运用。 关键词:立体几何 空间向量 距离 中图分类号:G4 20 文献标识码:A 文章编号:167 2--379](2008)08(a)一0194—01 立体几何主要是研究空间中点、线、面 的形状、大小和位置关系,而距离是立体几 何主要研究的问题。空间向量的引入.为求 解距离提供了一种理想的代数工具。本文将 从点到直线的距离、异面直线间的距离、点 到平面的距离这三个方面来尝试空间向量在 求距离问题中的运用。
ABCD,AB=3,BC=4,PA=2

.’.A—B=(3.0.0),一PB=(3.0.一2).页=(4.3.一2)
解:作异面直线AB与PC的公垂线段EF, 垂足分别为E、,,则就是与的距离

条件)和向量的垂直关系来确定垂线段的垂 足,从而确定垂线段。 用此类方法求解空间的距离,主要是通过 共线向量(三点共线充要条件)或共面向量(四 点共面充要条件)结合向量垂直找出相应的垂 线的垂足,从而确定垂线。避免了复杂的作 图和证明过程,并具有很强的通用性。

设一PB=A—PC.一BF=/tA~B,’.’一PB:一PE+历+丽 .。.丽=两一丽一葡目Ⅱ丽:丽一五两-itA—B: (4—42—3∥.一3五、一2+2z)又因为动上而且 f历.而:0

1点到直线的距离
点到直线的距离是立体几何(包括平面几 何)中的一种常见问题,也是求两平行线间的距 离的基本方法。就是求过点与直线垂直的垂 线段的长度,关键是找到垂线段。

丽上蕊,所以1丽.面:o

即艘一#珈■-3A卜2(‘2+’俨o,解 ’14(4—4z—z,/1)=0
’。~

参考文献 【I】刘楚熠.向量及其应用[J].湖北:湖北教育
出版社,2002.

f.



之得f4。订
12

例1.已知正四面体ABCD.船=i,BC,求

I一。西

点E至幢线AD的距离 解:设面:n,衍=6.面=c
过E作丑F上AD于F,则I丽;I就是点E到直
线AD的距离 设否面=五百于=五(D一4)

?,?历=0.百12一石18)???I砑I;厢12,'3+㈨18』a=譬
用向量法求解异面直线间的距离,就是利 用共线向量(或三点共线充要条件)和向量的垂 直关系来确定公垂线段的垂足,从而确定公垂 线段。

目l|】厅:夏j+互吾+丽=善Ⅱ+三矗一知 j


又...胛上AD

.?.一EF.A—D:0

3点到平面的距离
点到平面的距离,就是以此点为端点的平 面垂线段的长度,关键是要确定平面的垂线 段。 例1:已知点P是矩形ABCD所在平面外一 点,且以上平面ABCD,AB=3,BC=4,PA=2, 求点A到平面PBD的距离。 解:如图,建立空间直角坐标系A—xyz
则PA=(O,0,一21,BD=(一3,4,01

即(;口+j1西一乃)?c=。解之得名=;
.?.静=扣}jlc.?.IrPlI=上12
3 3 2
B D



设点F是点A在平面PBD上的射,ⅡllJAF.L

用向量法求解点到直线的距离,就是利用 共线向量(或三点共线充要条件)和向量的垂直 关系来确定垂线段的垂足,从而确定垂线段。

平面PBD,即万.历:0,万历:0 不妨设阡=^丽+』l丽=(32,4/_f,一22,1.一21t)
贝lJaF=≯耳一7及=(3五.41t.一22—21t+2)

又...丽.B—D=一92+161t.万一PD=^+51t一1 2异面直线间的距离
异面直线间的距离是立体几何中的一种 常见问题.就是求异面直线的公垂线段长度。
f.16

.?.1[五-9+2,+∥1—6,。u;=。0,解之得{:i萼
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61



解:如图,建立空间直角坐标系A—xyz 。.’四边形ABCD为矩形,且PA上平面

缓瓣


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,引

在以往的运用向量用向量法求解点到平 面的距离,就是利用共面向量(或四点共面充要



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空间向量的创新应用
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 被引用次数: 王兴 江苏省溧阳市戴埠高级中学,江苏溧阳,213331 科技资讯 SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION 2008,""(22) 0次

参考文献(1条) 1.刘楚炤 向量及其应用 2002

相似文献(10条) 1.期刊论文 吴元芬 空间向量与立体几何 -成才之路2009,""(28)
本文抓住空间向量与立体几何的相关性,以丰富的实例详尽分析讲解了利用空间向量解决立体几何中的有关空间角、距离、垂直等三大方面的应用问 题,对于拓宽教学思路和提高教学质量具有一定的借鉴作用.

2.期刊论文 刘汉文.LIU Han-wen 运用空间向量知识,解决立体几何问题 -六盘水师范高等专科学校学报 2005,17(3)
用"空间向量"的方法处理立体几何问题,可以收到化繁为简,化难为易,减轻学生学习立体几何困难的效果.

3.期刊论文 陈贵春 空间向量在立体几何中的应用 -忻州师范学院学报2001,17(6)
本文说明把空间向量引入立体几何后,线面垂直、角和距离的度量问题可以通过向量运算来解决,有利于立体几何的教与学.

4.期刊论文 向鸿 空间向量在立体几何中的运用 -凯里学院学报2008,26(3)
讨论了空间向量在求解立体几何中两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角、两个平面所成的角、空间距离的方法.

5.学位论文 赵宇 空间向量对立体几何教与学影响的研究 2008
空间向量引入立体几何是数学课程改革的重点之一。其中改革的难点和焦点在于:空间向量应该放在一个什么样的位置?传统的立体几何又应该放在 一个什么样的位置?如何在立体几何的教学和学习中,正确处理好空间向量的位置问题。 本研究主要采用问卷调查法、访谈法、文献分析法和比较分析法,对东北地区三所学校的六个班级学生以及若干教师进行调查,集中研究空间向量 对立体几何教与学产生的影响,包括对教学内容、教学方法、学生数学思维能力三方面的影响。 自2007年3月开始,笔者查阅了有关空间向量与立体几何课程、教学方面的大量文献,在此基础上,对《全日制普通高级中学数学教学大纲》与《普 通高中数学课程标准(实验)》关于空间向量内容的要求,进行了比较研究。同时,对《全日制普通高级中学教科书(必修)第二册下(B)》与《普通高中课 程标准试验教科书》关于立体几何与空间向量的课程内容安排,进行了文本对比分析。2008年3月,对东北地区三所学校(辽宁省实验中学、黑龙江省实 验中学、大庆实验中学)高中二年级学生进行了问卷调查,并对这三所学校的部分教师进行了教师问卷与访谈。同时,于2008年4月份对调查的数据与文 本分析的结果进行了比较系统的分析研究。 调查结果的显示主要可以分为以下两点: 第一,在现行的高中数学教材中,空间向量成为了一个独立的知识体系,增加了立体几何的教学内容,增加了教师教学的难度。同时,对学生来说 ,增加了一种新的解决立体几何习题的方法。问卷结果显示:实验班级有73%的学生采用向量法,平行班级有60%的学生采用向量法,其中均有一半的 学生能够较好的使用向量法,学生可以在综合法与向量法中自由选择。因此,引入向量可以适当降低了学生学习立体几何的难度。 第二,空间向量是立体几何的一个通法,学生只要通过向量坐标运算方式和代数式运算方式就能够解决立体几何习题,并且从多年的高考试题中可 以看出,采用代数式运算方式解答的立体几何习题不多。因此,引入向量降低了学生使用综合法的几率,在一定程度上弱化了对学生空间想象能力训练 的要求。 笔者认为,这些问题经过妥善处理,都可以在高中数学课程实施过程中得到改善: 第一,在教学过程中,注重空间向量与其它学科的联系,注意空间向量与平面向量的对比讲授,从而有效降低学生接受空间向量的难度,降低教师 的教学难度。 第二,在教学过程中,大量采用实物教学,让学生接触更多的实际物体,对于培养学生的空间想象能力十分有利。 第三,在教学过程中,通过一题多解,精心编制或选择立体几何例题、习题等方式平衡向量法和综合法在学生思想中的地位,让学生在学习向量法 的同时,不忽视综合法。

6.期刊论文 吴春平 空间向量在立体几何中应用 -池州师专学报2004,18(5)
本文初步探讨了空间向量作为一种新的思维工具在解答立体几何问题中的应用,显示出向量的思想方法在解决问题过程中的优越性、新颖性、简洁性 .

7.期刊论文 张孝梅.张建凤 例谈法向量在立体几何计算与证明中的运用 -延边教育学院学报2006,20(3)
立体几何传统的解法需要学生具有较强的空间想象能力和逻辑思维能力,许多学生为此而感到困惑.新教材中空间向量的出现,为立体几何问题的解决 提供了强有力的工具,尤其是法向量的引入,在很大程度上避开了思维的高强度转换和各种辅助线的添加,代之以空间向量的计算与证明,使思路变得顺畅 ,充分显示出其独特的优势.

8.期刊论文 陈光立 选修2-1"空间向量与立体几何"教学问答 -中学数学月刊2007,""(11)
问:"空间向量与立体几何"这一章的基本思想是什么? 答:本章突出了用空间向量解决立体几何问题的基本思想.根据立体几何问题的特点,以适当的方式(例如构建向量、建立空间直角坐标系)用空间向量表示 空间图形中的点、线、面等元素,建立起空间图形与空间向量的联系;然后通过空间向量的运算,研究相应元素之间的关系(平行、垂直和夹角等);最后对 运算结果的几何意义作出解释,从而解决立体几何问题.教科书通过例题,引导学生对解决立体几何问题的三种方法(向量方法、坐标法、综合法)进行比较 ,分析各自的优势,因题而宜作出适当的选择,从而提高综合运用数学知识解决问题的能力.

9.期刊论文 肖玲 例谈以向量为背景的立体几何--对2005年高考立体几何综合题的分析 -黔东南民族师范高等专科 学校学报2006,24(3)
向量融"数"、"形"于一体,是沟通代数与几何的天然桥梁.用向量方法解决立体几何问题,可使立体几何问题代数化,降低难度.立体几何中关于空间角

、空间距离及空间平行和垂直问题是高考考查的重点和热点,本文通过对2005年高考立体几何综合题的分类分析,例谈向量方法在解立体几何综合题中的 应用.

10.期刊论文 翁贻声 空间向量法解立体几何的补充和传授 -考试周刊2010,""(6)
空间向量法和传统的几何法比较起来,在立体几何问题上,如证垂直,求异面直线形成的角、线面角、二面角等都可以避开传统几何法的一作、二证这 两个步骤,直接求解,具有较为明显的优势.因此,在传授了传统几何法解决立体几何问题的基础上,教师有必要向学生补充传授立体几何问题的空间向量解 法,让学生掌握空间向量法解立体几何,拓宽学生的知识面提高学生高考的得分能力.

本文链接:http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_kjzx200822161.aspx 授权使用:中共汕尾市委党校(zgsw),授权号:248f0533-8a5c-4c78-ba77-9dca00965863 下载时间:2010年8月6日



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