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【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习:9.6(含答案)



第九章
一、选择题

9.6 第 6 课时

高考数学(理)黄金配套练习
5 x2 y2 y2 x2 1.给定四条曲线:①x2+y2=2;② 9 + 4 =1;③x2+ 4 =1;④ 4 +y2=1.其 中与直线 x+y- 5=0 仅有一个交点的曲线是( ) A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④ 答案 D x2

y2 2.直线 y=kx-k+1 与椭圆 + =1 的位置关系为( 9 4 A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 答案 A 解析 ∵直线方程可化为 y-1=k(x-1). 恒过(1,1)定点,而(1,1)在椭圆内部,选 A.

)

1 3.如图,椭圆中心在坐标原点,离心率为2,F 为椭圆左焦点,直线 AB 与 FC 交于 D 点,则∠BDC 的正切值是( ) A.-3 3 B.3- 3 C.3 3 D.3+ 3 答案 A 1 解析 ∵e=2∴a=2c 3 ∵a2=b2+c2 ∴b= 3c= 2 a b 3 ∴tan∠ABO=a= 2 b tan∠DFB=tan∠CFO= = 3 c ∴tan∠BDC=-tan(∠ABO+∠DFB) 3 2+ 3 =- =-3 3,选 A. 3 1- 2 · 3 4. 椭圆的焦点为 F1, F2, 过 F1 的最短弦 PQ 的长为 10, △PF2Q 的周长为 36, 则此椭圆的离心率为( )

3 1 2 6 A. 3 B.3 C.3 D. 3 答案 C 解析 PQ 为过 F1 垂直于 x 轴的弦,

b2 则 Q(-c, a ),△PF2Q 的周长为 36, ∴4a=36,a=9, a2-c2 b2 由已知 a =5,即 a =5, 又 a=9,解得 c=6, c 2 2 解得a=3,即 e=3.

y2 5.设直线 l:2x+y+2=0 关于原点对称的直线为 l′.若 l′与椭圆 x + 4 =1 的 1 交点为 A、B,点 P 为椭圆上的动点,则使△PAB 的面积为2的点 P 的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 解析 由已知求得 l′:2x+y-2=0 与椭圆两交点分别为长、短轴端点,其中 A(0,2),B(1,0),∴|AB|= 5. S△ABP 5 ∴顶点 P 到底边 AB 的距离 h= 1 =5. 2|AB| 5 设与直线 l′平行且距离为 5 的直线 l″: 2x+y+c=0(c≠-2). 由两平行直线间距离公式,得 5 |c-(-2) |c+2| d= 5 = = . 5 22+12 ∴c=-1 或 c=-3. 两平行线为 2x+y-1=0,2x+y-3=0. 2x+y-1=0, ? ? 联立①? 2 y2 x + 4 =1, ? ?
2

2x+y-3=0, ? ? ②? 2 y2 x + 4 =1. ? ? 对于方程组①,Δ1>0,直线与椭圆有两个交点.对于方程组②,Δ2<0,直线 与椭圆无交点. 综合知,满足题意的点 P 有 2 个,如图所示. x2 y2 6.若 AB 是过椭圆a2+b2=1(a>b>0)中心的一条弦,M 是椭圆上任意一点,且 AM、BM 与坐标轴不平行,kAM、kBM 分别表示直线 AM、BM 的斜率,则 kAM· kBM =( ) c2 b2 c2 a2 A.-a2 B.-a2 C.-b2 D.-b2 答案 B 解析 解法一(直接法):设 A(x1,y1),M(x0,y0), 则 B(-x1,-y1), 2 y0-y1 y0+y1 y2 0-y1 则 kAM· kBM= · = 2 x0-x1 x0+x1 x2 0-x1 b2 b2 2 2 (- 2x2 + b ) - ( - x +b2) a 0 a2 1 = 2 x0 -x2 1 2 b =-a2. 解法二(特值法):因为四个选项为确定值,取 A(a,0),B(-a,0),M(0,b),可 b2 得 kAM· kBM=-a2. 二、填空题 x2 y2 1 7. 过椭圆a2+b2=1(a>b>0)的焦点 F 作弦 AB, 若|AF|=d1,|FB|=d2, 那么d + 1 1 d2的值为________. 2a 答案 b2 解析 法一(特殊值法):令弦 AB 与 x 轴垂直 b2 1 1 2a d1=d2= a ,∴d +d = b2 . 1 2 法二:设 AB 的方程为 y=k(x-c) ∴b2x2+a2k2(x-c)2-a2b2=0 ∴(a2k2+b2)x2-2a2k2cx+a2k2c2-a2b2=0 a2k2c2-a2b2 2a2k2c ∴x1+x2= 2 2 2,x1· x2= 2 2 2 a k +b a k +b

2a+e(x1+x2) 1 1 ∴d +d = ( a +ex1)(a+ex2) 1 2 c 2a2k2c 2a+a·2 2 2 a k +b 2a = = 2 c b2 . 2 a +c(x1+x2)+a2· x1· x2 x2 y2 8.若直线 y=kx+1(k∈R)与焦点在 x 轴上的椭圆 5 + t =1 恒有公共点,则 t 的范围为__________. 答案 [1,5) x2 y2 9.以椭圆16+ 4 =1 内的点 M(1,1)为中点的弦所在的直线方程是________. 答案 x+4y-5=0 4 1 1 解析 ∵由点差法知,从 M(1,1)为中点弦的斜率 k=-16· =- 1 4. 1 ∴弦的直线方程为 y-1=-4(x-1). 10.

x2 y2 已知椭圆a2+b2=1(a>b>0),以 O 为圆心,短半轴长为半径作圆 O,过椭圆的 长轴的一端点 P 作圆 O 的两条切线,切点为 A、B,若四边形 PAOB 为正方形,则 椭圆的离心率为____. 2 答案 2 解析 如图,因为四边形 PAOB 为正方形,且 PA、PB 为圆 O 的切线,所以 c 2 △OAP 是等腰直角三角形,故 a= 2b,所以 e=a= 2 . 11.椭圆 mx2+ny2=1 与直线 y=1-x 交于 M、N 两点,原点 O 与线段 MN 的 2 m 中点 P 连线的斜率为 2 ,则 n 的值是________. 2 答案 2 ?y=1-x, 解析 由? 2 消去 y, 2 ?mx +ny =1. 得(m+n)x2-2nx+n-1=0, n m 则 MN 的中点 P 的坐标为( , ), m+n m+n m 2 ∴kOP= n = 2 . 三、解答题

x2 12.已知椭圆 2 +y2=1 及点 B(0,-2),过左焦点 F1 与 B 的直线交椭圆于 C、 D 两点,F2 为其右焦点,求△CDF2 的面积.

解析 ∵F1=(-1,0) ∴直线 CD 方程为 y=-2x-2, y=-2x-2 ? ? 由?x2 2 +y =1 ? ?2 得 9x2+16x+6=0,而 Δ>0, 设 C(x1,y1),D(x2,y2), 16 ? ?x1+x2=- 9 则? 2 x2=3 ? ?x1· |CD|= 1+k2 (x1+x2)2-4x1x2, 16 2 10 ∴|CD|= 5 ( 9 )2-4× 3= 9 2. 4 5 F2 到直线 DC 的距离 d= 5 , 1 4 故 S△CDF2=2|CD|· d=9 10.

x2 13.在平面直角坐标系 xOy 中,经过点(0, 2)且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 2 + y2=1 有两个不同的交点 P 和 Q. (1)求 k 的取值范围; (2)设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A、B,是否存在常数 k, → +OQ → 与AB → 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由. 使得向量OP 解析 (1)由已知条件,直线 l 的方程为 y=kx+ 2, 代入椭圆方程得 x2 2 2 +(kx+ 2) =1, 1 整理得(2+k2)x2+2 2kx+1=0① 直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 1 Δ=8k2-4(2+k2)=4k2-2>0, 2 2 解得 k<- 2 或 k> 2 .即 k 的取值范围为

2 2 (-∞,- 2 )∪( 2 ,+∞). → +OQ → =(x +x ,y +y ),由方程①, (2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则OP 1 2 1 2 -4 2k x1+x2= ② 1+2k2 又 y1+y2=k(x1+x2)+2 2③ → +OQ → 与 AB 共线等价于 所以OP x1+x2=- 2(y1+y2), 2 将②③代入上式,解得 k= 2 . 2 2 由(1)知 k<- 或 k> ,故没有符合题意的常数 k. 2 2 1 14.已知椭圆 C 的中心在原点,对称轴为坐标轴,且过 A(0,2)、B(2, 2). (1)求椭圆 C 的方程; → → (2)设过 E(1,0)的直线 l 与 C 交于两个不同点 M、N,求EM· EN的取值范围. 2 2 解析 (1)设椭圆 C 的方程为 mx +ny =1, 1 由椭圆 C 过 A(0,2)、B(2, 2)得: 1 m=2 ? ? ?m( )2+2n=1 ? 2 ? ?? 1 . n=4 ? ? ?4n=1 ? ∴椭圆 C 的方程为:8x2+y2=4. (2)当过 E(1,0)的直线 l 与 x 轴垂直时,l 与曲线 C 无交点,不合题意, ∴设直线 l 的方程为:y=k(x-1),l 与曲线 C 交于 M(x1,y1)、N(x2,y2), ?y=k(x- ) 由? 2 2 ? (8+k2)x2-2k2x+k2-4=0, ?8x +y =4

? k ?x +x =82 +k ∴? k -4 ? x x = ? 8+k
2 1 2 2 1 2 2

Δ=4k4- (8+k2)(k2- )>0? k2<8
2

→ =(x -1,y ),EN → =(x -1,y ), EM 1 1 2 2 → → ∴EM· EN=(x1-1,y1)· (x2-1,y2)=x1x2-x1-x2+1+y1y2=x1x2-x1-x2+1+ 2 (1+k2) 2k2 28 2 2 k -4 k (x1x2-x1-x2+1)=(1+k )( 2 - 2 +1)= 2 =4- 2 . k +8 k +8 k +8 k +8 →· → 的取值范围是[1,9). ∵0≤k2<8,∴EM EN 2 4 2 2 15.设 A、B 是椭圆 3x +y =λ 上的两点,点 N(1,3)是弦 AB 的中点,弦 AB 的垂直平分线与椭圆相交于 C、D 两点. (1)求弦 AB 所在直线的方程,并确定 λ 的取值范围;

(2)求以弦 CD 的中点 M 为圆心且与直线 AB 相切的圆的方程. 解 (1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有 2 2 ?3x1+y1=λ ? 2 2 ,整理得 3(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0. ?3x2+y2=λ y1-y2 3(x1+x2) 由题意知,x1≠x2,∴kAB= =- . x1-x2 y1+y2 ∵N(1,3)是弦 AB 的中点, ∴x1+x2=2,y1+y2=6,∴kAB=-1,∴弦 AB 所在直线的方程为 y-3=-(x -1),即 x+y-4=0. 又 N(1,3)在椭圆内,∴λ>3× 12+32=12, ∴λ 的取值范围是(12,+∞). (2)∵弦 CD 垂直平分弦 AB,∴弦 CD 所在直线的方程为 y-3=x-1,即 x-y +2=0, 将其代入椭圆的方程,整理得 4x2+4x+4-λ=0.① 设 C(x3,y3),D(x4,y4),弦 CD 的中点为 M(x0,y0),则 x3、x4 是方程①的两 根, 1 1 3 1 3 ∴x3+x4=-1,∴x0=2(x3+x4)=-2,y0=x0+2=2,即 M(-2,2). 1 3 |-2+2-4| 3 2 ∴点 M 到直线 AB 的距离 d= ∴以弦 CD 的中点 M 为圆心 2 2 = 2 , 1 +1 1 3 9 且与直线 AB 相切的圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=2.

拓展练习·自助餐
x y x2 y2 1.直线4+3=1 与椭圆16+ 9 =1 相交于 A、B 两点,椭圆上的点 P 使△ABP 的面积等于 12,这样的点 P 共有( ) A.1 个 B.2 个 C .3 个 D.4 个 答案 B 解析 可求出|AB|=5,设 P(4cosθ,3sinθ), 所以 P 点到 AB 的距离 (cosθ+sinθ)-12| 24 d= =5 5 3π ∴θ=π 或 2 ,所以这样的点 P 有两个. x2 y2 2.椭圆a2+b2=1(a>b>0)与直线 x+y=1 交于 P、Q 两点,且 OP⊥OQ,其 中 O 为坐标原点. 1 1 (1)求a2+b2的值; 3 2 (2)若椭圆的离心率 e 满足 3 ≤e≤ 2 ,求椭圆长轴的取值范围.

解析 (1)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),由 OP⊥OQ?x1x2+y1y2=0,∵y1=1-x1, y2=1-x2,代入上式得:2x1x2-(x1+x2)+1=0① x2 y2 又将 y=1-x 代入a2+b2=1 ? (a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0, 2a2 ∵Δ>0,∴x1+x2= 2 , a +b2 a2(1-b2) 1 1 x1x2= 代入①代简得a2+b2=2. 2 2 a +b c2 b2 1 b2 1 1 b2 2 a2 2 2 (2)∵e =a2=1-a2∴3≤1-a2≤2? 2≤ a2≤3,又由(1)知 b = 2 2a -1 1 1 2 5 3 5 6 ∴ ≤ 2 ≤ ? ≤ a2≤ ? ≤a≤ , 2 2a -1 3 4 2 2 2 ∴长轴 2a∈[ 5, 6]. 3.在直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点(0,- 3)、(0, 3)的距离之和等于 4, 设点 P 的轨迹为 C,直线 y=kx+1 与 C 交于 A,B 两点. (Ⅰ)写出 C 的方程; → ⊥OB → ,求 k 的值. (Ⅱ)若OA 解析 (Ⅰ)设 P(x,y),由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以(0,- 3),(0, 3)为焦点,长半轴为 2 的椭圆.它的短半轴 b= 22-( 32)=1. 2 2 y 故曲线 C 的方程为 x + 4 =1. (Ⅱ)设 A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足 y2 ? ?x2+ =1, 4 ? ? ?y=kx+1. 消去 y 并整理得(k2+4)x2+2kx-3=0. 2k 3 故 x1+x2=- 2 ,x1x2=- 2 . k +4 k +4 → ⊥OB → ,即 x x +y y =0. 若OA 而 y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1. 3 3k2 2k2 于是 x1x2+y1y2=- 2 - - +1=0. k +4 k2+4 k2+4 1 化简得-4k2+1=0.所以 k=± 2 2 2 x y 6 4.已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的离心率为 3 ,短轴一个端点到右焦点的 距离为 3. (1)求椭圆 C 的方程; 3 (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 2 ,求 △AOB 面积的最大值. 解析 (1)设椭圆的半焦距为 c,依题意
1 2 1 2

c 6 ?a =3, ? ?a= 3

x2 ,∴b=1,∴所求椭圆方程为 3 +y2=1.

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2). ①当 AB⊥x 轴时,|AB|= 3. ②当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y=kx+m. |m| 3 3 由已知 得 m2=4(k2+1). 把 y=kx+m 代入椭圆方程, 整理得(3k2 2= 2 , 1+k +1)x2+6kmx+3m2-3=0, -6km (m2- ) ∴x1+x2= 2 ,x1x2= 2 . 3k +1 3k +1 ∴|AB|2=(1+k2)(x2-x1)2 2 2 (m2- )? 2 ? 36k m - ? ? =(1+k ) 2 2 3k2+1 ? ?(3k + ) 12(k2+ )(3k2+1-m)2 (k2+ )(9k2+1) = = (3k2+1)2 (3k2+ )2 2 12k 12 =3+ 4 =3+ (k≠0) 2 1 9k +6k +1 9k2+k2+6 12 ≤3+ =4. 2× 3+ 6 1 3 当且仅当 9k2=k2,即 k=± 3 时等号成立. 当 k=0 时,|AB|= 3,综上所述|AB|max=2. ∴当|AB|最大时,△AOB 面积取最大值. 1 3 3 S=2× |AB|max× 2 = 2



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