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2015年四川省遂宁市高考数学二诊试卷8(文科)



四川高考数学试卷 8(文科)
2016 年 4 月 11 日星期一 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1. (5 分) (2015?遂宁模拟)已知集合 A=[﹣1,1],B={x|(x+3) (2x﹣1)≤0},则 A∩B= ( ) A.[﹣3, ] B.[﹣1, ] C.[﹣1, ) D. (﹣3, )

2. (5 分) (2015?遂

宁模拟)在某校的一次英语听力测试中用以下茎叶图记录了甲、乙两组 各 5 名学生的听力成绩(单位:分)已知甲组数据的众数为 15,乙组数据的中位数为 17, 则 x、y 的值分别为( )

A.2,5 B.5,5 C.5,7 D.8,7 3. (5 分) (2015?遂宁模拟)已知复数 z 满足:zi=2+i(i 是虚数单位) ,则 z 的虚部为( ) A.2i B.﹣2i C.2 D.﹣2 4. (5 分) (2015?遂宁模拟)为了得到函数 y= sin3x 的图象,可以将函数 y=sin3x+cos3x 的图象( ) A.向右平移 C.向左平移 个单位长 B.向右平移 个单位长 D.向左平移 个单位长 个单位长
2 2

5. (5 分) (2015?遂宁模拟)设 a、b 是实数,则“a>b>0”是“a >b ”的( A.充分必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件 6. (5 分) (2015?遂宁模拟)已知向量 ,则实数 λ=( )



,若

A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2 7. (5 分) (2015?遂宁模拟)在区间[﹣2,3]上随机选取一个数 M,不变执行如图所示的程 序框图,且输入 x 的值为 1,然后输出 n 的值为 N,则 M≤N﹣2 的概率为( )

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A.

B.

C.

D. )

8. (5 分) (2015?遂宁模拟) 如图所示是一个几何体的三视图, 则该几何体的表面积为 (

A.4+2 B.2+ C.2+2 D.4+ 2 9. (5 分) (2015?遂宁模拟)过抛物线 y =2px 的焦点 F 作直线交抛物线于 M,N 两点,弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于点 H,若|MN|=40,则|HF|=( ) A.14 B.16 C.18 D.20 10. (5 分) (2015?遂宁模拟)函数 f(x)的定义域为 D,若函数 f(x)满足: (1)f(x) 在 D 上为单调函数; (2)存在区间[a,b]?D,使得 f(x)在[a,b]上的值域为[ , ],则 称函数 f(x)为“取半函数”.若 f(x)=logc(c +t) (c>0,且 c≠1)为“取半函数”,则 t 的 取值范围是( ) A. (﹣ , ) B. (0, ) C. (0, ) D. ( ,1)
x

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,将答案填答题卷指定横线上) 11. (5 分) (2015?遂宁模拟) 圆心在原点且与直线 y=2﹣x 相切的圆的方程为 . 12. (5 分) (2015?遂宁模拟)已知偶函数 f(x)在[0,+∞)单调递减,且 f(﹣2)=0,若 f(x﹣2)>0,则 x 的取值范围是 . 13. (5 分) (2015?遂宁模拟)已知双曲线 渐近线的距离为 ,则此双曲线的焦距等于 =1(a>0,b>0)的离心率为 2,焦点到 .

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14. (5 分) (2015?遂宁模拟)如图,为测量坡高 MN,选择 A 和另一个山坡的坡顶 C 为测 量观测点.从 A 点测得 M 点的仰角∠MAN=60°,C 点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°; 从 C 点测得∠MCA=60°.已知坡高 BC=50 米,则坡高 MN= 米.

15. (5 分) (2015?遂宁模拟)若函数 y=f(x)满足 f(a+x)+f(a﹣x)=2b(其中 a,b 不 同时为 0) ,则称函数 y=f(x)为“准奇函数”,称点(a,b)为函数 f(x)的“中心点”.现 有如下命题: ①函数 f(x)=sinx+1 是准奇函数; 3 ②函数 f(x)=x 是准奇函数; ③若准奇函数 y=f(x)在 R 上的“中心点”为(a,f(a) ) ,则函数 F(x)=f(x+a)﹣f(a) 为 R 上的奇函数; ④已知函数 f(x)=x ﹣3x +6x﹣2 是准奇函数,则它的“中心点”为(1,2) ; 其中正确的命题是 . (写出所有正确命题的序号) 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分)解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.答 在答题卷指定位置. 16. (12 分) (2015?遂宁模拟) 已知函数 f (x) = sinAsinx+cos2x (x∈R) , 且满足 cos (A+ =﹣ ,A∈( , ) )
3 2

(1)求 sinA 的值; (2 求 f(x)的最大值. 17. (12 分) (2015?遂宁模拟)某学校有男老师 45 名,女老师 15 名,按照分层抽样的方法 组建了一个 4 人的学科攻关小组. (1)求某老师被抽到的概率及学科攻关小组中男、女老师的人数; (2)经过一个月的学习、讨论,这个学科攻关小组决定选出 2 名老师做某项实验,方法是 先从小组里选出 1 名老师做实验,该老师做完后,再从小组内剩下的老师中选 1 名做实验, 求选出的 2 名老师中恰有 1 名女老师的概率. 18. (12 分) (2015?遂宁模拟)如图,ABCD 为梯形,PD⊥平面 ABCD,AB∥CD, ∠BAD=∠ADC=90°,DC=2AB=2a,DA= a,PD= a,E 为 BC 中点 (Ⅰ)求证:平面 PBC⊥平面 PDE; (Ⅱ)线段 PC 上是否存在一点 F,使 PA∥平面 BDF?若有,请找出具体位置,并进行证 明;若无,请分析说明理由.

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19. (12 分) (2015?遂宁模拟)已知数列{an}为等差数列,其中 a1=1,a7=13 (1)求数列{an}的通项公式; (2) 若数列{bn}满足 bn= ,Tn 为数列{bn}的前 n 项和,当不等式 λTn<n+8 (n∈N )
*

恒成立时,求实数 λ 的取值范围. 20. (13 分) (2015?遂宁模拟)已知定点 A(﹣2,0) ,F(1,0) ,定直线 l:x=4,动点 P 与点 F 的距离是它到直线 l 的距离的 .设点 P 的轨迹为 C,过点 F 的直线交 C 于 D、E 两 点,直线 AD、AE 与直线 l 分别相交于 M、N 两点. (1)求 C 的方程; (2)试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F,并说明理由. 21. (14 分) (2015?遂宁模拟)已知函数 f(x)=(x+1)ln(x+1) ,g(x)=kxe (k 为常数, e=2.71828…是自然对数的底数) ,g′(x)为 g(x)的导函数,且 g′(0)=1, (1)求 k 的值; (2)对任意 x>0,证明:f(x)<g(x) ; (3)若对所有的 x≥0,都有 f(x)≥ax 成立,求实数 a 的取值范围.
x

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2015 年四川省遂宁市高考数学二诊试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1. (5 分) (2015?遂宁模拟)已知集合 A=[﹣1,1],B={x|(x+3) (2x﹣1)≤0},则 A∩B= ( ) A.[﹣3, ] B.[﹣1, ] C.[﹣1, )
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D. (﹣3, )

【考点】交集及其运算. 【专题】集合. 【分析】求出 B 中不等式的解集确定出 B,找出 A 与 B 的交集即可. 【解答】解:由 B 中不等式解得:﹣3≤x≤ ,即 B=[﹣3, ], ∵A=[﹣1,1], ∴A∩B=[﹣1, ], 故选:B. 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2. (5 分) (2015?遂宁模拟)在某校的一次英语听力测试中用以下茎叶图记录了甲、乙两组 各 5 名学生的听力成绩(单位:分)已知甲组数据的众数为 15,乙组数据的中位数为 17, 则 x、y 的值分别为( )

A.2,5 B.5,5 C.5,7 D.8,7 【考点】茎叶图. 【专题】概率与统计. 【分析】根据茎叶图与题意,求出 x、y 的值,即可. 【解答】解:根据茎叶图知,甲组数据是 9,15,10+x,21,27; ∵它的众数为 l5, ∴x=5; 同理,根据茎叶图知乙组数据是 9,13,10+y,18,27, ∵它的中位数为 17, ∴y=7. 故 x、y 的值分别为:5,7. 【点评】本题考查茎叶图的应用问题,解题时利用茎叶图提供的数据,求出 x、y 的值,即 可解答问题,是基础题.
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3. (5 分) (2015?遂宁模拟)已知复数 z 满足:zi=2+i(i 是虚数单位) ,则 z 的虚部为( A.2i B.﹣2i C.2 D.﹣2 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】数系的扩充和复数. 【分析】把已知的等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.
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【解答】解:由 zi=2+i,得



∴z 的虚部是﹣2. 故选:D. 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题. 4. (5 分) (2015?遂宁模拟)为了得到函数 y= 的图象( ) A.向右平移 C.向左平移 个单位长 B.向右平移 个单位长 D.向左平移 sin3x 的图象,可以将函数 y=sin3x+cos3x

个单位长 个单位长
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【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;两角和与差的正弦函数. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】 利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式, 然后利 用平移原则判断选项即可. 【解答】解:函数 y=sin3x+cos3x= 象向右平移 个单位,得到 y= sin(3x+ sin[3(x﹣ ) ,故只需将函数 y= )+ ]= sin(3x+ )的图

sin3x 的图象.

故选:A. 【点评】 本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用, 基本知识的考查. 5. (5 分) (2015?遂宁模拟)设 a、b 是实数,则“a>b>0”是“a >b ”的( ) A.充分必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】简易逻辑. 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 2 2 【解答】解:若 a>b>0,则 a >b 成立, 2 2 若 a=﹣2,b=1,满足 a >b ,但 a>b>0 不成立, 2 2 故“a>b>0”是“a >b ”的充分不必要条件, 故选:C 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的关系是解决本题的关键.
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2

2

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6. (5 分) (2015?遂宁模拟)已知向量 ,则实数 λ=( )

,若

A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2 【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 【专题】平面向量及应用. 【分析】由于 【解答】解:∵ ∴ ∴ . =λ(λ+2)+1=0 ,可得 ,

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.于是

=0,解得 λ 即可.

,解得 λ=﹣1. 故选:B. 【点评】本题考查了向量的平行四边形法则、向量垂直与数量积的关系,属于基础题. 7. (5 分) (2015?遂宁模拟)在区间[﹣2,3]上随机选取一个数 M,不变执行如图所示的程 序框图,且输入 x 的值为 1,然后输出 n 的值为 N,则 M≤N﹣2 的概率为( )

A.

B.

C.

D.
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【考点】几何概型;程序框图. 【专题】计算题;概率与统计;算法和程序框图. 【分析】 计算循环中不等式的值, 当不等式的值大于 0 时, 不满足判断框的条件, 退出循环, 输出结果 N,再以长度为测度求概率即可. 【解答】解:循环前输入的 x 的值为 1, 2 第 1 次循环,x ﹣4x+3=0≤0, 2 满足判断框条件,x=2,n=1,x ﹣4x+3=﹣1≤0, 2 满足判断框条件,x=3,n=2,x ﹣4x+3=0≤0 2 满足判断框条件,x=4,n=3,x ﹣4x+3=3>0,不满足判断框条件, 输出 n:N=3.
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在区间[﹣2,3]上随机选取一个数 M,长度为 5,M≤1,长度为 3, 所以所求概率为 , 故选:C 【点评】本题考查循环结构的应用,注意循环的结果的计算,考查计算能力,考查概率的计 算,确定 N 的值是关键. 8. (5 分) (2015?遂宁模拟) 如图所示是一个几何体的三视图, 则该几何体的表面积为 ( )

A.4+2 B.2+ C.2+2 D.4+ 【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】由已知的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,画出几何体的直 观图,求出各个面的面积,可得答案. 【解答】解:由已知的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥, 该几何体的直观图如下图所示:
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由三视图可得:CD=AD=1,SD=BD=2,SD⊥底面 ABC, 故 S△ ABC=S△ ASC=2, 由勾股定理可得:SA=SC=AB=AC= ,SB=2 , 故△ SAB 和△ SBC 均是以 2 为底,以 为高的等腰三角形, 故 S△ SAB=S△ SBC= , 故该几何体的表面积为 4+2 , 故选:A 【点评】 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积, 解决本题的关键是得到该几何体的 形状. 9. (5 分) (2015?遂宁模拟)过抛物线 y =2px 的焦点 F 作直线交抛物线于 M,N 两点,弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于点 H,若|MN|=40,则|HF|=( ) A.14 B.16 C.18 D.20 【考点】抛物线的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
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2

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【分析】先求 MN 的垂直平分线,求出 MN 的垂直平分线交 x 轴于 H 的坐标,进而求得 |HF|= |MN|,即可得出结论. 【解答】解:设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,弦 MN 的中点为 M′(x0,y0) ,则

∴MN 的垂直平分线为 y﹣y0=﹣ 令 y=0,则 xH=x0+p ∴|HF|=x0+ ∵|MN|=x1+x2+p=2x0+p ∴|HF|= |MN|=20,

(x﹣x0)

故选:D. 【点评】本题以抛物线方程为载体,考查抛物线的性质,考查学生的计算能力,比较基础. 10. (5 分) (2015?遂宁模拟)函数 f(x)的定义域为 D,若函数 f(x)满足: (1)f(x) 在 D 上为单调函数; (2)存在区间[a,b]?D,使得 f(x)在[a,b]上的值域为[ , ],则 称函数 f(x)为“取半函数”.若 f(x)=logc(c +t) (c>0,且 c≠1)为“取半函数”,则 t 的 取值范围是( ) A. (﹣ , ) B. (0, ) C. (0, ) D. ( ,1)
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x

【考点】对数函数的图象与性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据复合函数的单调性,先判断函数 f(x)的单调性,然后根据条件建立方程组, 转化为一元二次方程根的存在问题即可得到结论. x 【解答】解:若 c>1,则函数 y=c +t 为增函数,y=logcx,为增函数,∴函数 f(x)=logc x (c +t)为增函数, x x 若 0<c<1,则函数 y=c +t 为减函数,y=logcx,为减函数,∴函数 f(x)=logc(c +t)为增 函数, x 综上:函数 f(x)=logc(c +t)为增函数, x 若函数 f(x)=logc(c +t) (c>0,c≠1)是函数 f(x)为“取半函数”.



所以 a,b 是方程 logc(c +t)= ,两个不等实根, 即 a,b 是方程 c +t=c 化简得出:c
x x

x

两个不等实根,

+t=0,
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可以转化为:m ﹣m+t=0 有 2 个不等正数根. 所以

2

求解得出:0 故选:B. 【点评】 本题主要考查与指数函数和对数函数有关的信息题, 判断函数的单调性是解决本题 的关键,综合性较强,有一定的难度. 二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,将答案填答题卷指定横线上) 11. (5 分) (2015?遂宁模拟)圆心在原点且与直线 y=2﹣x 相切的圆的方程为 x +y =2 . 【考点】圆的切线方程. 【专题】计算题;直线与圆. 【分析】可求圆的圆心到直线的距离,就是半径,写出圆的方程.
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2

2

【解答】解:圆心到直线的距离:r=
2 2

=

,所求圆的方程为 x +y =2.

2

2

故答案为:x +y =2. 【点评】本题考查圆的标准方程,直线与圆的位置关系,是基础题. 12. (5 分) (2015?遂宁模拟)已知偶函数 f(x)在[0,+∞)单调递减,且 f(﹣2)=0,若 f(x﹣2)>0,则 x 的取值范围是 (0,4) . 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为 f(|x﹣2|)>f(2) ,即 可得到结论. 【解答】解:∵偶函数 f(x)在[0,+∞)单调递减,f(﹣2)=0, ∴f(﹣2)=f(2)=0, ∴不等式 f(x﹣,2)>0 等价为 f(x﹣2)>f(2) , 即 f(|x﹣2|)>f(2) , ∴|x﹣2|<2, 解得 0<x<4, 故答案为: (0,4) 【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用,将不等式等价转化为 f(|x ﹣2|)>f(2)是解决本题的关键.
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13. (5 分) (2015?遂宁模拟)已知双曲线

=1(a>0,b>0)的离心率为 2,焦点到

渐近线的距离为 ,则此双曲线的焦距等于 4 . 【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】运用离心率公式和渐近线方程,结合点到直线的距离公式可得 b,再由 a,b,c 的 关系即可得到 c,进而得到焦距.
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【解答】解:双曲线

=1(a>0,b>0)的离心率为 2,

则 e= =2,即 c=2a, 设焦点为(c,0) ,渐近线方程为 y= x, 则 d=
2 2 2

=

=b=



又 b =c ﹣a =3, 解得 a=1,c=2. 则有焦距为 4. 故答案为:4. 【点评】 本题考查双曲线的方程和性质, 主要考查离心率和渐近线方程的运用, 属于基础题. 14. (5 分) (2015?遂宁模拟)如图,为测量坡高 MN,选择 A 和另一个山坡的坡顶 C 为测 量观测点.从 A 点测得 M 点的仰角∠MAN=60°,C 点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°; 从 C 点测得∠MCA=60°.已知坡高 BC=50 米,则坡高 MN= 75 米.

【考点】解三角形的实际应用. 【专题】应用题;解三角形. 【分析】由题意,可先求出 AC 的值,从而由正弦定理可求 AM 的值,在 RT△ MNA 中, AM=50 m,∠MAN=60°,从而可求得 MN 的值. 【解答】解:在 RT△ ABC 中,∠CAB=45°,BC=150m,所以 AC=50 m. 在△ AMC 中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,从而∠AMC=45°,
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由正弦定理得, 在 RT△ MNA 中,AM=50 得 MN=50 × =75m.

,因此 AM=50 m,∠MAN=60°,由

m.

故答案为:75. 【点评】本题主要考查正弦定理的应用,考查解三角形的实际应用,属于中档题. 15. (5 分) (2015?遂宁模拟)若函数 y=f(x)满足 f(a+x)+f(a﹣x)=2b(其中 a,b 不 同时为 0) ,则称函数 y=f(x)为“准奇函数”,称点(a,b)为函数 f(x)的“中心点”.现 有如下命题: ①函数 f(x)=sinx+1 是准奇函数;
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②函数 f(x)=x 是准奇函数; ③若准奇函数 y=f(x)在 R 上的“中心点”为(a,f(a) ) ,则函数 F(x)=f(x+a)﹣f(a) 为 R 上的奇函数; 3 2 ④已知函数 f(x)=x ﹣3x +6x﹣2 是准奇函数,则它的“中心点”为(1,2) ; 其中正确的命题是 ①③④ . (写出所有正确命题的序号) 【考点】抽象函数及其应用. 【专题】新定义;函数的性质及应用. 【分析】由诱导公式,计算 f(﹣x)+f(x) ,即可判断①;由 f(﹣x)+f(x)=0,则 a=b=0, 不满足条件,即可判断②; 运用准奇函数的定义和奇函数的定义,即可判断③;运用准奇函数的定义,化简整理,由 恒等式知识求出中心,即可判断④. 【解答】 解: 对于①, 函数 ( f x) =sinx+1 有 (﹣ f x) +f ( x) =sin (﹣x) +1+sinx+1=﹣sinx+sinx+2=2, 则 y=f(x)为“准奇函数”,且(0,1)为 f(x)的“中心点”,则①正确; 3 对于②,函数 f(x)=x ,由 f(﹣x)+f(x)=0,则 a=b=0,不满足条件,则②不正确; 对于③,若准奇函数 y=f(x)在 R 上的“中心点”为(a,f(a) ) ,即有 f(a+x)+f(a﹣x) =2f(a) , F(﹣x)+F(x)=f(a﹣x)﹣f(a)+f(x+a)﹣f(a)=2f(a)﹣2f(a)=0,则函数 F(x) =f(x+a)﹣f(a) 为 R 上的奇函数,则③正确; 3 2 对于④,已知函数 f(x)=x ﹣3x +6x﹣2 是准奇函数,则 f(a+x)+f(a﹣x) 3 2 3 2 2 =(a+x) ﹣3(a+x) +6(a+x)﹣2+(a﹣x) ﹣3(a﹣x) +6(a﹣x)﹣2=(6a﹣6)x + 3 2 (2a ﹣6a +12a﹣4)=2b, 3 2 即有 6a﹣6=0 且 2a ﹣6a +12a﹣4=2b,解得 a=1,b=2, .则它的“中心点”为(1,2) ,则④ 正确. 故答案为:①③④. 【点评】本题考查新定义的理解和运用,考查函数的性质和运用,主要考查函数的对称性, 运用定义和掌握定义是迅速解题的关键.
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3

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分)解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.答 在答题卷指定位置. 16. (12 分) (2015?遂宁模拟) 已知函数 f (x) = sinAsinx+cos2x (x∈R) , 且满足 cos (A+ =﹣ ,A∈( , ) )

(1)求 sinA 的值; (2 求 f(x)的最大值. 【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 【专题】函数的性质及应用;三角函数的求值. 【分析】 (1)直接利用三角函数关系式的变换求出函数的值. (2)首先利用函数关系式的恒等变换,把函数关系式变形成二次函数的形式,进一步利用 内函数的值域求出函数的最值.
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【解答】解: (1)∵A∈(



) ,

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∴ ∴cos(A+ )=﹣ , , 故 sinA=sin[(A+ )﹣



]= ;
2

(2)f(x)=2sinx+cos2x=2sinx+1﹣2sin x= 则:sinx∈[﹣1,1], 当 sinx= 时,函数 f(x)的最大值为 .

,x∈R.

【点评】本题考查的知识要点:利用三角函数的关系式求函数的值,三角函数关系式的恒等 变换,复合函数的最值问题.属于基础题型. 17. (12 分) (2015?遂宁模拟)某学校有男老师 45 名,女老师 15 名,按照分层抽样的方法 组建了一个 4 人的学科攻关小组. (1)求某老师被抽到的概率及学科攻关小组中男、女老师的人数; (2)经过一个月的学习、讨论,这个学科攻关小组决定选出 2 名老师做某项实验,方法是 先从小组里选出 1 名老师做实验,该老师做完后,再从小组内剩下的老师中选 1 名做实验, 求选出的 2 名老师中恰有 1 名女老师的概率. 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;分层抽样方法. 【专题】概率与统计. 【分析】 (1)按照分层抽样的按比例抽取的方法,男女老师抽取的比例是 45:15,4 人中的 男女抽取比例也是 45:15,从而解决; (2)先算出选出的 2 名老师的基本事件数,有(a1,a2) , (a1,a3) , (a2,a3) , (a1,b) , (a2, b) , (a3,b) ,共 6 种;再算出恰有 1 名女老师事件事件数,两者比值即为所求概率. 【解答】解: (1)由题意知,该校共有老师 60 名,
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故某老师被抽到的概率为

=



设该学科攻关小组中男老师的人数为 x, 则 ,解得 x=3,

所以该学科攻关小组中男、女老师的人数分别为 3,1. (2)由(1)知,该 3 名男老师和 1 名女老师分别记为 a1,a2,a3,b, 则选取 2 名老师的基本事件有: (a1,a2) , (a1,a3) , (a2,a3) , (a1,b) , (a2,b) , (a3,b) ,共 6 种, 其中恰有 1 名女老师的基本事件有 3 种, 所以选出的 2 名老师中恰有 1 名女老师的概率为 P= = . 【点评】本题主要考查分层抽样方法、概率的求法,是一道简单的综合性的题目,解答的关 键是正确理解抽样方法及样本估计的方法,属基础题.

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18. (12 分) (2015?遂宁模拟)如图,ABCD 为梯形,PD⊥平面 ABCD,AB∥CD, ∠BAD=∠ADC=90°,DC=2AB=2a,DA= a,PD= a,E 为 BC 中点 (Ⅰ)求证:平面 PBC⊥平面 PDE; (Ⅱ)线段 PC 上是否存在一点 F,使 PA∥平面 BDF?若有,请找出具体位置,并进行证 明;若无,请分析说明理由.

【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】 (Ⅰ)连结 BD,由已知得 BC⊥DE,BC⊥PD,从而 BC⊥平面 PDE,由此能证明 平面 PBC⊥平面 PDE.
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(Ⅱ)连结 AC,BD 交于 O 点,AB∥CD,从而△ AOB∽△COD,AB= DC,进而△ CPA 中,AO= AC,由 PF= ,得 OF∥PA,由此得到当点 F 位于 PC 三分之一分点(靠近 P

点)时,PA∥平面 BDF. 【解答】 (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:连结 BD,∠BAD=∠ADC=90°,AB=a,DA= , 所以 BD=DC=2a,E 为 BC 中点, 所以 BC⊥DE,…(3 分) 又因为 PD⊥平面 ABCD,所以 BC⊥PD, 因为 DE∩PD=D,…(4 分) ,所以 BC⊥平面 PDE,…(5 分) 因为 BC?平面 PBC,所以平面 PBC⊥平面 PDE.…(6 分) (Ⅱ)解:当点 F 位于 PC 三分之一分点(靠近 P 点)时, PA∥平面 BDF,…(7 分) 连结 AC,BD 交于 O 点,AB∥CD,所以△ AOB∽△COD,AB= DC, 所以△ CPA 中,AO= AC,…(10 分) 而 PF= ,所以 OF∥PA,…(11 分)

而 OF?平面 BDF,PA?平面 BDF, 所以 PA∥平面 BDF.…(12 分)

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【点评】本题考查面面垂直的证明,考查线面平行时点的位置的确定与证明,考查学生的空 间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力,是中档题. 19. (12 分) (2015?遂宁模拟)已知数列{an}为等差数列,其中 a1=1,a7=13 (1)求数列{an}的通项公式; (2) 若数列{bn}满足 bn= ,Tn 为数列{bn}的前 n 项和,当不等式 λTn<n+8 (n∈N )
*

恒成立时,求实数 λ 的取值范围. 【考点】数列的求和;等差数列的性质. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】 (1)由题意和等差数列的通项公式求出公差,代入等差数列的通项公式化简求出
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an; (2)由(1)化简 bn= ,利用裂项相消法求出 Tn,代入不等式 λTn<n+8 分离出 λ,
*

利用基本不等式求出式子的最小值,再由对于 n∈N 恒成立求出实数 λ 的取值范围. 【解答】解: (1)设等差数列{an}的公差为 d, ∵a1=1,a7=13,∴a1+6d=13,解得 d=2, 所以 an=a1+(n﹣1)d=2n﹣1 (2)由(1)得,bn= ∴Tn= [(1﹣ )+( = (1﹣ )=
*

= )+…+( )]



) ,

要使不等式 λTn<n+8(n∈N )恒成立, 只需不等式 ∵ ,当且仅当 = +17 恒成立即可

时,即 n=2 取等号,

∴λ<25 【点评】本题考查等差数列的通项公式,裂项相消法求数列的和,以及利用基本不等式求最 值,属于中档题. 20. (13 分) (2015?遂宁模拟)已知定点 A(﹣2,0) ,F(1,0) ,定直线 l:x=4,动点 P 与点 F 的距离是它到直线 l 的距离的 .设点 P 的轨迹为 C,过点 F 的直线交 C 于 D、E 两 点,直线 AD、AE 与直线 l 分别相交于 M、N 两点. (1)求 C 的方程; (2)试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F,并说明理由.
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【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;轨迹方程. 【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题.

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【分析】 (1)设 P(x,y)为 C 上任意一点,依题意有 出;

= ,化简即可得

(2)设 DE 的方程为 x=ty+1,与椭圆方程联立化为(3t +4)y +6ty﹣9=0,设 D(x1,y1) , E (x2, y2) , 由A (﹣2, 0) , 可得直线 AD 的方程为 y= , 点M ,

2

2

同理可得 N

.利用根与系数的关系只要证明

=0 即可.

【解答】解: (1)设 P(x,y)为 C 上任意一点,依题意有

= ,

化为



(2)设 DE 的方程为 x=ty+1,联立

,化为(3t +4)y +6ty﹣9=0,

2

2

设 D(x1,y1) ,E(x2,y2) ,则

,y1y2=



由 A(﹣2,0) ,可得直线 AD 的方程为 y=

,点 M



同理可得 N





=

=

=

=

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= =9﹣9=0. ∴以线段 MN 为直径的圆恒过定点 F. 【点评】 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、 直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根 与系数的关系、 斜率计算公式、 向量垂直与数量积的关系、 圆的性质、 两点之间的距离公式, 考查了推理能力与计算能力,属于难题. 21. (14 分) (2015?遂宁模拟)已知函数 f(x)=(x+1)ln(x+1) ,g(x)=kxe (k 为常数, e=2.71828…是自然对数的底数) ,g′(x)为 g(x)的导函数,且 g′(0)=1, (1)求 k 的值; (2)对任意 x>0,证明:f(x)<g(x) ; (3)若对所有的 x≥0,都有 f(x)≥ax 成立,求实数 a 的取值范围. 【考点】导数的运算;利用导数求闭区间上函数的最值. 【专题】导数的综合应用. 【分析】 (1)先求导,再代入值计算即可; (2)构造函数 G(x) ,根据函数的单调性,即可证明; (3)构造函数令 h(x)=(x+1)ln(x+1)﹣ax,求导,再分类讨论,即可求出 a 的取值 范围.
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x

【解答】解: (1)g'(x)=k(x+1)e 所以 g'(0)=k=1…(3 分) x x (2)证明:令 G(x)=e ﹣x﹣1,G′(x)=e ﹣1,当 x∈(0,+∞) ,G′(x)>0, 所以当 x∈(0,+∞)时 G(x)单调递增,从而有 G(x)>G(0)=0,x>0; x 所以 e >x+1>0?x>ln(x+1)>0, x ∴xe >(x+1)ln(x+1) , 所以当 x∈(0,+∞) ,f(x)<g(x) ;…(8 分) (3)令 h(x)=(x+1)ln(x+1)﹣ax, 则 h′(x)=1﹣a+ln(x+1) ,令 h′(x)=0,解得 x=e ﹣1, a﹣1 (i)当 a≤1 时,所以 x=e ﹣1<0,从而对所有 x>0,h′(x)>0;h(x)在[0,+∞)上 是增函数. 故有 x>0,h(x)>h(0)=0 即当 a≤1 时,对于所有 x≥0,都有 f(x)≥ax. (ii)当 a>1 时,对于 0<x<e ﹣1,h′(x)<0,所以 h(x)在(0,e ﹣1)上是减 a﹣1 函数,所以对于 0<x<e ﹣1 有 h(x)<h(0)=0, 即 f(x)<ax, 所以,当 a>1,不是所有的 x≥0 都有 f(x)≥ax 成立, 综上,a 的取值范围是(﹣∞,1]…(14 分) 【点评】本题考查了导数和函数的单调性的关系以及参数的取值范围,属于中档题.
a﹣1 a﹣1 a﹣1

x

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参与本试卷答题和审题的老师有:sllwyn;cst;sxs123;w3239003;maths;孙佑中;刘长 柏;翔宇老师;sdpyqzh;双曲线;chenzhenji;zlzhan;gongjy;whgcn(排名不分先后) 菁优网 2016 年 4 月 11 日

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