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湖北省襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学2015届高三10月联考数学文试题含解析



湖北省襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学 2015 届高三 10 月 联考

数学(文)
本试卷是高三文试卷,以基础知识和基本技能力载体.突出考查学生分析问题解决问题的能力 以及运算能力,试题重点考查:不等式、复数、向量、函数图像,数新定义、数列、三角函 数的性质、三角恒等变换与解三角形、等;考查学生解决实际问题的综合能力,是份较好的 试卷. 一,选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分)
2 【题文】1 已知集合 A={x 0 ? x ? 3 },B={x x ? 4} ,则 A ? B ? ( )

A {x x ? 2或0<x ? 3} C

B {x 2 ? x ? 3} D R

{x 2 ? x ? 3}

【知识点】集合及其运算 A1 【答案解析】C 因为 B= {x x ? 2或x ? ?2} ,所以 A ? B ? {x 2 ? x ? 3} ,故选 C. 【思路点拨】先求出 B 再求结果。 【题文】2 已知幂函数 y=f(x)的图像过(4,2)点,则 f( A

1 )=( ) 2

2

B

1 2

C

1 4

D

2 2
1 , 2

【知识点】幂函数 B8 【答案解析】D 由题意可设 f(x)=xα,又函数图象过定点(4,2),∴4α=2,∴α=

1 1 1 2 从而可知 f(x)= x ,∴f( ) = ( ) 2 = . 2 2 2
故选 D. 【思路点拨】先设出幂函数求出解析式,再求函数值。 【题文】3 已知向量 a =(4,2) ,向量 b =(x,3),且 a 平行 b ,则 x=( ) A 9 B 6 C5 D3 【知识点】平面向量基本定理及向量坐标运算 F2 【答案解析】B 由题意得 4 ? 3-2x=0 得到 x=6, 故选 B. 【思路点拨】根据向量的坐标运算求解 【题文】4 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 s n ,且 a4 ? a2 ? 4 , s3 ? 9 则数列 {an } 的通项公 式为( ) A an ? n B an ? n ? 2 C an ? 2n ? 1 D an ? 2n ? 1

1 2

【知识点】等差数列及等差数列前 n 项和 D2

-1-

【答案解析】C 设数列的公差为 d,依题意可得 ?

?a1 ? 3d ? a1 ? d ? 4 ? 3a1 ? 3d ? 9

解得 d=2,a1=1∴an=1+(n-1)×2=2n-1 故选 C. 【思路点拨】先根据 a4-a2=4 求得公差 d,进而根据等差数列的求和公式和 S3=9 求得 a1,最 后根据等差数列的通项公式求得答案. 【题文】5 设 a= 3
0.5

,b= log3 2 ,c=cos

2? ,则( ) 3

A c<b<a B c<a<b 【答案解析】A a= 3

C a<b<c D b<c<a
0.5

【知识点】指数 对数 B6 B7 >1, 1>b= log3 2 >0, c=cos

2? <0,则 c<b<a 3

故选 A. 【思路点拨】分别求出各自范围,再比较大小。 【题文】6 要得到函数 y=sin(2x-

? 单位 4 ? C 向右平移 单位 8
A 向左平移

? )的图像,只要将函数 y=sin2x 的图像( ) 4 ? B 向右平移 单位 4 ? D 向左平移 单位 8 ? ? )]所以应该由 y=sin2x 向右平移 单位,故选 C. 8 8
3 ,则 tan2 ? 的值为( ) 5

【知识点】函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象与性质 C4 【答案解析】C 因为 y=sin[2(x-

【思路点拨】先将原函数变形再判断平移。 【题文】7 已知 ? 为第二象限角,且 sin( ? + ? )=A

4 5

B-

23 7

C ?

24 7

D ?

8 3

【知识点】两角和与差的正弦、余弦、正切 C5 【答案解析】C 由 sin( ? + ? )=tan2 ? = ?

3 3 4 3 得到 sin ? = , ? 为第二象限角 cos ? =- ,则 tan ? =- , 5 5 5 4

24 ,故选 C. 7 【思路点拨】先求出 ? 的三角函数值,再求出结果。
【题文】8 在同一个坐标系中画出函数 y= a ,y=sinax 的部分图像,其中 a>0 且 a ? 1,则下列所
x

给图像中可能正确的是( )

A
-2-

【知识点】函数的图像 B8 【答案解析】D 正弦函数的周期公式 T=

2?

?

,∴y=sinax 的最小正周期 T=

2? ;对于 A:T a

>2π,故 a<1,因为 y=ax 的图象是增函数,故错;对于 B:T<2π,故 a>1,而函数 y=ax 是减函数,故错;对于 C:T=2π,故 a=1,∴y=ax=1,故错; 对于 D:T>2π,故 a<1,∴y=ax 是减函数,故对;故选 D 【思路点拨】本题是选择题,采用逐一排除法进行判定,再根据指对数函数和三角函数的图 象的特征进行判定.

? x 2 ? ax ? 1, x ? 1 【题文】9 已知函数 f(x)= ? 2 则-2 ? a ? 1 是 f(x)在 R 上单调递增的( ) ?ax ? x ? 1, x ? 1
A.充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 【知识点】函数的单调性与最值 B3 【答案解析】B 函数 f(x)=x2+ax+1 在[1,+∞)上单调递增则 a≥-2 函数 f(x)=ax2+x+1 在(-∞,1)上单调递增则-

? x 2 ? ax ? 1, x ? 1 1 ≤a≤0 而函数 f(x)= ? 2 2 ?ax ? x ? 1, x ? 1

在 R 上单调递增则-

1 1 ≤a≤0,- ≤a≤0?-2≤a≤0∴“-2≤a≤0”是“f(x)在 R 上单调递增”的必要 2 2

而不充分条件,故选:B 【思路点拨】先求出函数 f(x)= ?

? x 2 ? ax ? 1, x ? 1
2 ?ax ? x ? 1, x ? 1

在 R 上单调递增是 a 的取值范围,然后根

据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题 p 与命题 q 的关系,若 p?q 为假命题且 q?p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件,即可得到结论. 【题文】10 已知函数的定义域是[-2,+ ? )且 f(4)=f(-2)=1, f ?( x ) 为 f(x)的导函数,且 f ?( x ) 的

x?0 ? ? y?0 图像如下图所示,则不等式组 ? 所围成的平面区域的面积是( ? f (2 x ? y ) ? 1 ?



-3-

A4

B5

C8

D2

【知识点】简单的线性规划问题 E5 【答案解析】A 由导函数的图象得到 f(x)在[-2,0]递减;在[0,+∞)递增∵f(4)=f(-2) =1∴f(2x+y)≤1?-2≤2x+y≤4

x?0 x?0 ? ? ? ? y?0 y?0 ∴? ?? 表示的平面区域如下 ? f (2 x ? y ) ? 1 ??2 ? 2 x ? y ? 4 ? ?

所以平面区域的面积为

1 ×2×4=4 故选 A 2

【思路点拨】 利用导函数的图象判断出函数的单调性; 利用函数的单调性化简不等式 f (2a+b) ≤1;画出不等式组表示的平面区域;利用三角形的面积公式求出区域的面积. 【题文】二.填空题(本大题共 7 个小题,每小题 5 分,共 35 分) 【题文】11.已知函数 f(x)=

2 ? sin x ,则 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)= 2 ?1
x

【知识点】函数的奇偶性 B4 【答案解析】5 f(-2)+ f(2)=2, f(-1)+f(1)=2,f(0)=1 所以答案为 5. 【思路点拨】先分析奇偶性再求出结果。 【题文】12 平面向量 a 与 b 的夹角为 60 , a =(2,0) , b =1,则 a ? 2b = 【知识点】平面向量的数量积及应用 F3 【答案解析】2 3 由已知| a |=2, a ? 2b = a +4 a ? b +4 b 2=4+4×2×1×cos60° +4=12 ∴ a ? 2b =2 3 .
2
?

2

-4-

【思路点拨】根据向量的坐标求出向量的模,最后结论要求模,一般要把模平方,知道夹角 就可以解决平方过程中的数量积问题,题目最后不要忘记开方. 【题文】13 若函数 f(x)是周期为 4 的奇函数,且在[0,2]上的解析式为 f(x)= ? 则 f(

? x(1 ? x),0 ? x ? 1 ? sin ? x,1 ? x ? 2

29 41 )+f( )= 4 6 5 16
由 f(x+4)=f(x),得函数的周期是 4,则 f(

【知识点】函数的奇偶性与周期性 B4

29 3 3 )=f(8- )=f(- ), 4 4 4 3 3 3 1 3 41 7 7 ∵f(x)是奇函数,∴,f(- )=-f( )=- × =,f( )=f(8- )=f(- )=-f 4 4 4 4 16 6 6 6 7 7? ? 1 ( )=-sin =sin = , 6 6 6 2 29 41 1 3 5 5 则 f( )+f( )= = ,故答案为: . 4 2 16 16 16 6
【答案解析】 【思路点拨】根据函数的奇偶性和周期性,以及分段函数的表达式代入即可得到结论. 【题文】14.如图,平面内有三个向量 OA, OB, OC ,其中与 OA 与 OB 的夹角为 120 , OA 与
?

OC 的夹角为 30? ,且 OA ? OB ? 1 , OC =2 3 ,若 OC = ? OA + ? OB ( ? , ? ? R )
则 ? + ? 的值为

【知识点】平面向量基本定理 F2 【答案解析】6 过 C 作 OA 与 OB 的平行线与它们的延长线相交,可得平行四边形,由∠

BOC=90° ,∠ AOC=30° ,由 OA ? OB ? 1 OC =2 3 得平行四边形的边长为 2 和 4 , λ+μ=2+4=6.故答案为 6. 【思路点拨】过 C 作 OA 与 OB 的平行线与它们的延长线相交,可得平行四边形,然后将向量

OC 用向量 OA 与向量 OB 表示出即可.
【题文】15.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为 孪生函 数 已知函数的解析式为 f(x)= 2 x ? 1 ,值域为{5,19}
2

的孪生函数共有 个 【知识点】函数及其表示 B1 【答案解析】9 令 2x2+1=5 得 x=± 2 ,令 2x2+1=19 得 x=± 3,使得函数值为 5 的有三种情

-5-

况, 即 x=- 2 , 2 ,± 2 ,使得函数值为 19 的也有三种情况,即 x=3,-3,± 3,则“孪生函数” 共有 3×3=9 个. 故答案为:9 【思路点拨】根据题意,分析可得:所谓的“孪生函数”就是利用相同的函数值和相同的解析式 解一个方程即可.即分别令 2x2+1=5,2x2+1=19,使得函数值为 5 的有三种情况,最后结合 乘法原理即可. 【题文】16.如图(1)是反映某条公共汽车线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的 差)y 与乘客 x 之间的关系图像,由于目前该条公路亏损,公司有关人员提出了两种调整的建 议如图(2) (3)所示

给出下说法: ①图(2)的建议是:提高成本,并提高票价; ②图(2)的建议是:降低成本,并保持票 价不变; ③图(3)的建议是:提高票价,并保持成本不变;④图(3)的建议是:提高票价,并降低 成本. 其中所有说法正确的序号是 【知识点】函数模型及其应用 B10 【答案解析】②③ 根据题意和图(2)知,两直线平行即票价不变,直线向上平移说明当乘 客量为 0 时,收入是 0 但是支出的变少了,即说明了此建议是降低成本而保持票价不变,故 ②正确;由图(3)看出,当乘客量为 0 时,支出不变,但是直线的倾斜角变大,即相同的乘 客量时收入变大,即票价提高了,即说明了此建议是提高票价而保持成本不变,故③正确. 【思路点拨】根据题意知图象反应了收支差额 y 与乘客量 x 的变化情况,即直线的斜率说明 票价问题;当 x=0 的点说明公司的成本情况,再结合图象进行说明. 【题文】17 如图,线段 AB=8,点 C 在线段 AB 上,且 AC=2,P 为线段 CB 上一动点,点 A 绕 点 C 旋转后与点 B 绕点 P 旋转后重合与点 D,设 CP=x ? CPD 的面积为 f(x),则 f(x)的定义域为 f(x)的最大值为

【知识点】导数的应用 B12

【答案解析】 (2, 4) ; 2

2

?2 ? x ? 6 ? x ? 由题意, DC=2, CP=x, DP=6-x∵△CPD, ∴ ?2 ? 6 ? x ? x ?x ? 6 ? x ? 2 ?

解得 x∈(2,4) 如图,三角形的周长是一个定值 8,

-6-

故其面积可用海伦公式表示出来即 f(x)= ∴f′(x)=

4 ? (4 ? x) ? (4 ? 6 ? x) ? 2 = ?8x2 ? 48x ? 64

?16 x ? 48 ?8 x 2 ? 48 x ? 64

令 f′(x)=0,解得 x=3∵x∈(2,3)f'(x)>0,x∈(3,4)f'(x)<0 ∴f(x)的最大值为 f(3)=2

2 故答案为(2,4);2

2.

【思路点拨】本题要根据实际情况计算出定义域与函数的零点,可以看出所给的条件是△ CPD,故可根据其是三角形求出自变量的范围.面积表达式可以用海伦公式求出,对所得的 函数求导,令导数为 0,根据函数的调调性可求出函数的最大值. 【题文】三 解答题(本大题共 5 个小题,共 65 分) 【题文】18.(本小题共 12 分) 已知函数 f(x)= 3 sin2x-2 sin x (1) 求 f(
2

? ? ? )的值, (2)若 x ? [ ? , ] ,求 f(x)的最大值和最小值。 6 3 6
? 6 ? ? 3 ? ? 2sin 2 ? ? 2 ? ? 1. 3 6 2 4

【知识点】三角函数的图象与性质 C3 【答案解析】 (Ⅰ)1(Ⅱ)最大值为 1 ,最小值为 ?2 (Ⅰ) f ( ) = 3 sin

(Ⅱ) f ? x ? ? 3sin2x ? cos 2 x ?1 ? 2sin(2 x ? 因为 x ? [ ?

?

? ?
6 2 ,

] ,所以 ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

5? 1 ? , 所以 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 , 6 2 6

6

) ?1 .

所以 f ( x ) 的最大值为 1 ,最小值为 ?2 . 【思路点拨】先化简再根据三角函数的增减性求出最值。 【题文】19(本小题共 12 分) 已知向量 m ? (sin A,sin B) , n ? (cos B,cos A) , m ? n ? sin2C,且 A, B, C 分别为 ?ABC 三边 a, b,c 所对的角。 (1)求角 C 的大小, (2)若 sinA,sinC,sinB 成等差数列,且 CA ? ( AB ? AC) ? 18 求边 c 的 长。 【知识点】解三角形 C8 【答案解析】 (1) ( 1

? (2)6 3
对 于

?A

m ? n ? sin A ? cosB ? sin B ? cos A ? sin(A ? B) , A? BB ?? C ? C,0 ? C ? ? ? s A ?iB) ? s n C ,i ( n


? m ? n ? sin C. 又? m ? n ? sin 2C , , 得2 sin C ? sin A ? sin B ,由正弦定理得 (2)由 sin A, sin C, sin B成等差比数列
2c ? a ? b.

? sin 2C ? sin C , cos C ?

1 ? ,C ? . 2 3

?CA ? ( AB ? AC) ? 18,?CA ? CB ? 18,即 ab cosC ? 18, ab ? 36.

-7-

由余弦弦定理 c ? a ? b ? 2ab cosC ? (a ? b) ? 3ab,? c ? 4c ? 3 ? 36, c ? 36 ,
2 2 2 2 2 2 2

? c ? 6.
【思路点拨】 (1)利用两个向量的数量积公式求得 m ? n =sin(A+B) ,再由已知 m ? n =sin2C , 可得 sin2C=sinC , cosC=

1 从而求得 C 的值. 2

(2)由 sinA,sinC,sinB 成等差数列,得 2sinC=sinA+sinB,由条件利用正弦定理、余弦定 理求得 c 边的长. 【题文】20 (本小题共 13 分) 已知在等比数列 {an } 中, a1 =1,且 a2 是 a1 和 a3 ? 1的等差中项, (1)求数列 {an } 的通项公式 (2)若数列 ?bn ? 满足 bn =2n-1+ an ,求 ?bn ? 的前 n 项和 s n 【知识点】等差数列及等差数列前 n 项和等比数列及等比数列前 n 项和 D2 D3 【答案解析】 (I) an ? 2n?1 (II) n ? 2 ? 1
2 n

( I ) 设 等 比 数 列

{an } 的 公 比 为

q ? a2 是 a1 和 a3 ? 1 的 等 差 中 项

? 2a2 ? a1 ? (a3 ? 1) ? a3
?q ?

?????.2 分

a3 ?2 ?an ? a1qn ?1 ? 2n ?1 (n ? N * ) a2

(II)

?bn ? 2n ? 1 ? an ? S n ? (1 ? 1) ? (3 ? 2) ? (5 ? 22 ) ? ? ? (2n ? 1 ? 2n?1 ) .
? 1 ? (2n ? 1) 1 ? 2n ?n? 2 1 ? 2 ? n 2 ? 2n ? 1

? [1 ? 3 ? 5 ? ?(2n ? 1)] ? (1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2 n?1 )

【思路点拨】根据等差等比数列的性质求出通项公式,利用分组求和求出结果。 【题文】21 (本小题共 14 分) 已知 a>0,函数 f(x)= a x ? ax ?
2 3 2

2 ,g(x)=-ax+1,x ? R 3

(1)当 a=1 时,求函数 f(x)在点(1,f(1))的切线方程。 (2)求函数 f(x)在[-1,1]的极值。 (3)若在区间(0,

1 ]上至少存在一个实数 x0 ,使 f( x0 )>g( x0 )求正实数 a 的取值范围。 2
2 2a ? 4 ;极小值是 (Ⅲ) (?3 ? 17, ??) 3 3a

【知识点】导数的应用 B12 【答案解析】 (Ⅰ) y ? ? x ? 1 (Ⅱ)极大值是 由 f ( x) ?

1 2 3 2 a x ? ax 2 ? 求导得, f ?( x) ? a2 x2 ? 2ax . 3 3 (Ⅰ)当 a ? 1 时 f ?(1) ? ?1 , f (1) ? 0 所以 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 的切线方程是 y ? ? x ? 1 2 2 (Ⅱ)令 f ?( x) ? 0得: (1)当 0 ? ? 1 即 a ? 2 时 x1 ? 0 , x2 ? a a 2 2 2 x (0, ) ( ,1) (-1,0) 0 a a a

-8-

f ?( x ) f ( x)
???6 分

+ ↗

0 极大值



0 极小值

+ ↗

故 f ( x ) 的极大值是 (2) 当

2 2a ? 4 ;极小值是 ; 3 3a

2 ? 1 即 0 ? a ? 2 时 f ( x) 在 (?1, 0) 上递增, 在 (0,1) 上递减, a 2 所以 f ( x ) 的极大值为 f (0) ? ,无极小值. 3 1 2 3 1 1 2 x ? (0, ] . (Ⅲ)设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? a x ? ax ? ax ? 3 3 2 2 2 2 2 ? 对 F ( x) 求导,得 F ( x) ? a x ? 2ax ? a ? a x ? a(1 ? 2x) , 1 2 2 因为 x ? (0, ] , a ? 0 ,所以 F ?( x) ? a x ? a(1 ? 2x) ? 0 , 2 1 1 F ( x) 在区间 (0, ] 上为增函数,则 F ( x) max ? F ( ) . 2 2 1 2 1 1 1 1 依题意,只需 F ( x)max ? 0 ,即 a ? ? a ? ? a ? ? ? 0 , 3 8 4 2 3 2 即 a ? 6a ? 8 ? 0 ,解得 a ? ?3 ? 17 或 a ? ?3 ? 17 (舍去).
所以正实数 a 的取值范围是 (?3 ? 17, ??) . 【思路点拨】求导数根据导数的几何意义求出方程,根据单调性求出极值,根据单调性求出 最大最小值求出 a 范围。 【题文】22(本小题共 14 分) 已知函数 f(x),如果存在给定的实数对(a,b),使得 f(a+x).f(a-x)=b 成立,则称 f(x)为“S-函数”. (1)判断函数 f1(x)=x,f2(x)=3x 是否是“S-函数”; (2)若 f3(x)=tanx 是一个“S-函数”,求出所有满足条件的有序实数对(a,b) ; (3)若定义域为 R 的函数 f(x)是“S-函数”,且存在满足条件的有序实数对(0,1)和(1, 4) ,当 x∈[0,1]时,f(x)的值域为[1,2],求当 x∈[-2015,2015]函数 f(x)的值域. 【知识点】单元综合 B14

1 ,1), k ? Z (Ⅲ) [ , 2] 4 2 2 2 (Ⅰ) 若 f1 ( x) ? x 是“S-函数”, 则存在常数 ( a, b) 使得(a+x)(a-x)=b.即 x =a -b 时, 对 x?R
【答案解析】 (Ⅰ)是(Ⅱ) (a, b)= ( k? ? 恒成立. 而 x =a -b 最多有两个解,矛盾.因此 f1 ( x) ? x 不是 “S-函数”. 若 f 2 ( x) ? 3 是
2 2

?

x

? 3a ? x ? 32 a , 2a x 即存在常数对(a, 3 )满足.因此 f 2 ( x) ? 3 是“S-函数”. (Ⅱ) f 3 ( x) ? tan x 是一个“S-函数”,设有序实数对(a,b)满足.则 tan(a-x)tan(a+x)=b
“S-函数”,则存在常数 a,b 使得 3 恒成立. 当 a= k? ?

a? x

?
2

, k ? Z 时, tan( a ? x) tan( a ? x) ? ?

a ? k? ?

?

2

, k ? Z , x ? m? ?

?
2

1 不是常数. 因此 tan 2 x

, m ? Z 时,

-9-

则有

tana ? tan x tana ? tan x tan2 a ? tan2 x ? ? ? b .即 1 ? tana ? tan x 1 ? tana ? tan x 1 ? tan2 a tan2 x (b ? tan2 a ? 1) tan2 x ? (tan2 a ? b) ? 0 恒成立.
2 2 ? ?b ? tan a ? 1 ? 0 ?tan a ? 1 ? ? ? 2 b ? 1 ? tan a ? b ? 0 ? ?

即?

x ? m? ?

?
2

, m ? Z , a ? k? ?

?
4

? ? ?a ? k? ? 4 , k ? Z .当 ? ? ?b ? 1
1 =1 tan 2 x

时 tan( a ? x) tan( a ? x) ? ?

因此满足 f 3 ( x) ? tan x 是一个“S-函数”的常数(a, b)= ( k? ?

,1), k ? Z . 4 (Ⅲ) 函数 f ( x ) 是“S-函数”,且存在满足条件的有序实数对 (0,1) 和 (1,1) ,于是 f ( x) ? f (? x) ? 1, f (1 ? x) ? f (1 ? x) ? 1,


?

由 f ( x) ? f (? x) ? 1, 当x ?[?1,0] 时, ? x ?[0,1] , f ( x) ? 1 ,f (? x) ? [1,2] ? f ( x) ? [ 1 ,1]. f (? x) 2 1 ? x ? [?1,1] 时,f ( x) ? [ ,2]. 2
1 ? ? f (? x) ? f ( x) . ? f ( x) ? f (? x) ? 1 ? ?? ? f ( 2 ? x) ? f ( x) ? 1 ? f (1 ? x) ? f (1 ? x) ? 1 ? f (? x) ? ? f ( 2 ? x) ?

,2012 ] 时,函数 f ( x ) 的值域为 [ , 2] . 因此 f ( x) 为以 2 为周期的周期函数.当 x ? [?2012
【思路点拨】本题属于新定义试题,根据所给定义求出所给结果。

1 2

- 10 -



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