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9.5.1曲线和方程




题:9.5.1 曲线和方程

教学目标: 1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系, 领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念及其关系,并 能作简单的判断与推理
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2.在形成概念的过程中,培养分析、抽象和概括等思维 能力, 掌握形数结合、 函数与方程、 化归与转化等数学思想, 以及坐标法、待定系数法等常用的数学方法
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3.培养学生实事求是、合情推理、合作交流及独立思考 等良好的个性品质,以及主动参与、勇于探索、敢于创新的 精神
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教学重点:理解曲线与方程的有关概念与相互联系

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教学难点:定义中规定两个关系(纯粹性和完备性) 教学过程: 一、复习引入: 温故知新,揭示课题 问题: (1)求如图所示的 AB 的垂直平分线的方程;

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(2)画出方程 x ? y ? 0 和方程 y ? x 2 所表示的曲线

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观察、思考,求得(1)的方程为 y ? x ,(2)题画图如下

y
2.5

1 -1 0

A

2

1.5

y=x2 1

1

1

B

x
-2 -1

0.5

1

-1

0
-0.5 -1

1

2

3

x+y=0

讲解: 第 (1) 题是从曲线到方程,曲线 C( 即 AB 的垂直平分 线) ?点的坐标(x,y) ?方程 f(x,y)=0
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第 (2) 题 是 从 方 程 到 曲 线 , 即 方 程 f(x,y)=0 ? 解 (x,y)(即点的坐标) ?曲线 C. 教师在此基础上揭示课题, 并提出下面的问题让学生思 考
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问题: 方程 f(x,y)=0 的解与曲线 C 上的点的坐标,应具备怎 样的关系,才叫方程的曲线,曲线的方程? 设计意图: 通过复习以前的知识来引入新课, 然后提出问题让学生 思考,创设问题情境,激发学生学习的欲望和要求 二、讲解新课: 1. 运用反例,揭示内涵
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由上面得出: “曲线上的点的坐标都是方程的解” 和 “以 方程的解为坐标的点都在曲线上”后,不急于抛物线定义, 而是让学生判断辨别 问题: 下列方程表示如图所示的直线 C,对 吗?为什么? (1 ) x ? y ? 0 ; (2 ) x 2 ? y 2 ? 0 ; (3)|x|-y=0. 上题供学生思考,口答.方程(1)、(2)、(3)都不是表 示曲线 C 的方程. 第 (1) 题中曲线 C 上的点不全都是方程 x ? y ? 0 的解, 如点(-1,-1)等,即不符合“曲线上的点的坐标都是方程的 解”这一结论; 第(2)题中,尽管“曲线 C 上的坐标都是方程的解”, 但以方程 x 2 ? y 2 ? 0 的解为坐标的点不全在曲线 C 上,如点 (2,-2)等,即不符合“以方程的解为坐标的点都在曲线上” 这一结论;
-1 0
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y 1

1

x

第(3)题中,类似(1)(2)得出不符合“曲线上的点的坐 标都是方程的解” , “以方程的解为坐标的点都在曲线上” . 事 实上,(1)(2)(3)中各方程表示的曲线应该是下图的三种情 况:
y
y 1

y

1

1

-1 0

1

x

-1 0

1

x

-1 0

1

x

(1) x- y=0

(2)x2-y2=0

(3)|x|-y=0

上面我们既观察、分析了完整地用方程表示曲线,用曲 线表示方程的例子,又观察、分析了以上问题中所出现的方 程和曲线间所建立的不完整的对应关系. 2.讨论归纳,得出定义 讨论题:在下定义时,针对(1) x ? y ? 0 中“曲线 上有的点的坐标不是方程的解”以及(2) x 2 ? y 2 ? 0 中“以 方程的解为坐标的点不在曲线上”的情况,对“曲线的方程 应作何规定?
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学生口答,老师顺其自然地给出定义.这样,我们可以 对“曲线的方程”和“方程的曲线”下这样的定义:

在直角坐标系中,如果某曲线 C 上的点与一个二元方程
f ( x, y) ? 0 的实数解建立了如下关系:

(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(纯粹性) (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.(完 备性)
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那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的 曲线
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设计意图: 上述概念是本课的重点和难点, 让学生自己通过讨论归 纳出来,老师再说清楚这两大性质 (纯粹性和完备性)的含 义,使学生初步理解这个概念 3.变换表达,强化理解 曲线可以看作是由点组成的集合, 记作 C; 一个关于 x,y 的二元方程的解可以作为点的坐标, 因而二元方程的解也描 述了一个点集,记作 F
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请大家思考: 如何用集合 C 和点集 F 间的关系来表达 “曲 线的方程”和“方程的曲线”定义中的两个关系,进而重新 表述以上定义
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关系(1)指集合 C 是点集 F 的子集,关系(2)指点集 F 是 点集合 C 的子集. 这样根据集合的性质,可以用集合相等的概念来定义“曲线 的方程”与“方程的曲线” , 即:
(1)C ? F ? ??C ?F (2) F ? C ?
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设计意图: 通过集合的表述, 使学生对曲线和方程的关系的理解得 到加深和强化,在记忆中上也趋于简化 三、讲解范例: 例1 解答下列问题, 且说出各依据了曲线的方程和方

程的曲线定义中的哪一个关系? (1)点 M1 (3,?4), M 2 (?2 5,2) 是否在方程为 x 2 ? y 2 ? 25 的圆 上? (2)已知方程为 x 2 ? y 2 ? 25 的圆过点 M 3 ( 7 , m) ,求 m 的 值. 学生练习,口答;教师纠错、小结
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依据关系(1),可知点 M 1 在圆上, M 2 不在圆上. 依据关系(2),求得 m ? ?3 2 四、课堂练习:
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1.如果曲线 C 上的点满足方程 F(x,y)=0,则以下说 法正确的是( )

A.曲线 C 的方程是 F(x,y)=0 B.方程 F(x,y)=0 的曲线是 C C.坐标满足方程 F(x,y)=0 的点在曲线 C 上 D.坐标不满足方程 F(x,y)=0 的点不在曲线 C 上 分析: 判定曲线和方程的对应关系, 必须注意两点: (1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解,即直观地说“点不比 解多”称为纯粹性; (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲 线上,即直观地说“解不比点多” ,称为完备性,只有点和 解一一对应,才能说曲线的方程,方程和曲线
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解:由已知条件,只能说具备纯粹性,但不一定具备完 备性.故选 D
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2.判断下列结论的正误,并说明理由. (1) 过点 A (3, 0) 且垂直于 x 轴的直线的方程为 x=0; (2)到 x 轴距离为 2 的点的直线方程为 y=-2; 分析:判断所给问题的正误,主要依据是曲线的方程及 方程的曲线的定义,即考查曲线上的点的纯粹性和完备性. 解: (1)满足曲线方程的定义.∴结论正确
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(2) 因到 x 轴距离为 2 的点的直线方程还有一个; y=2, 即不具备完备性. ∴结论错误. 五、小结 : “曲线的方程”、“方程的曲线”的定义.在领会定义 时,要牢记关系(1)、(2)两者缺一不可,它们都是“曲线的 方程”和“方程的曲线”的必要条件.两者满足了,“曲线 的方程” 和 “方程的曲线” 才具备充分性. 只有符合关系(1)、 (2),才能将曲线的研究转化为方程来研究,即几何问题的 研究转化为代数问题.这种“以数论形”的思想是解析几何 的基本思想和基本方法 六、课后作业:
P265 1、2
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