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2014-2015学年浙江省绍兴市绍兴县鲁迅中学城南校区高三(上)期中数学试卷(理科)



2014-2015 学年浙江省绍兴市绍兴县鲁迅中学城南校区高三(上)期中数学试卷(理科) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分) (2014?诸暨市模拟)已知集合 A={x|y= + },B={y|y=log2x,x∈A},则

(?RA)∩B 等于( ) A.

(0,1) B. [0,1) C. (0,1] D. [0,1] 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 求函数的定义域得到 A,根据补集的定义求得?RA,求函数的值域得到 B,从而求得 可得(?RA)∩B. 解答: 解:∵集合 A={x|y= + }={x| }={x|1≤x≤2},

∴?RA={x|x<1,或 x>2}, 又 B={y|y=log2x,x∈A}={y|0≤y≤1}, ∴(?RA)∩B=[0,1) , 故选:B. 点评: 本题主要考查求函数的定义域、求函数的值域,求集合的补集,两个集合的交集的定 义和求法,属于基础题. 2. (5 分) (2014 秋?绍兴县校级期中) 设等差数列{an}的前 n 和为 Sn, 若已知 a3+3a5﹣a6 的值, 则下列可求的是( ) A. S5 B. S6 C. S7 D. S8 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 已知式子化简可得 a4 为定值,由求和公式和性质可得 S7=7a4,可得答案. 解答: 解:设等差数列{an}的公差为 d, 则 a3+3a5﹣a6=a3+3(a3+2d)﹣(a3+3d)=3(a3+d)=3a4, ∴S7= = =7a4,

故选:C 点评: 本题考查等差数列的性质和求和公式,属基础题. 3. (5 分) (2014?浙江模拟)已知 a∈R,则“a>2”是“a >2a”的( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点: 不等关系与不等式. 专题: 常规题型.
2



分析: 我们分别判断“a>2”?“a >2a”与“a >2a”?“a>2”的真假,然后根据充要条件的定义, 即可得到答案. 解答: 解:∵当“a>2”成立时,a ﹣2a=a(a﹣2)>0 2 ∴“a >2a”成立 2 即“a>2”?“a >2a”为真命题; 2 2 而当“a >2a”成立时,a ﹣2a=a(a﹣2)>0 即 a>2 或 a<0 ∴a>2 不一定成立 即“a >2a”?“a>2”为假命题; 2 故“a>2”是“a >2a”的充分非必要条件 故选 A 点评: 本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断,即若 p?q 为真命题且 q?p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件. 4. (5 分) (2014 秋?绍兴县校级期中)将函数 y=sin2x 的图象向左平移 个单位,再将图象 )
2 2

2

2

上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,则所得图象对应的函数解析式是( A. y=cos4x B. y=cosx C. y=sin(x+ ) D. y=sinx

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题. 分析: 函数 y=sin2x 的图象向左平移 纵坐标不变,得到 y=cosx 的图象即可. 解答: 解:将函数 y=sin2x 的图象向左平移 得到函数 y=sin2(x+ )=cos2x 的图象, 个单位, 个单位,推出 y=cos2x,横坐标伸长到原来的 2 倍,

再将其周期扩大为原来的 2 倍,得到函数 y=cosx 的图象, 故选 B. 点评: 本题考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,基础题.

5. (5 分) (2014 秋?绍兴县校级期中)设

为向量,若 + 与 的夹角为 60°,

与 的

夹角为 45°,则

=(



A.

B.

C.

D.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用.

分析: 作



,以 OA,OB 为邻边作平行四边形 OACB,可得 = .

=

.利用已

知及其正弦定理可得:

解答: 解:作 则 = .



,以 OA,OB 为邻边作平行四边形 OACB,

∵ + 与 的夹角为 60°, 由正弦定理可得: 故选:B. =

与 的夹角为 45°, = .

点评: 本题考查了向量的平行四边形法则、正弦定理,考查了推理能力与计算能力,属于中 档题. 6. (5 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)在(8,+∞)上为减函数,且函数 y=f(x+8)函数 为偶函数,则( ) A. f(6)>f(7) B. f(6)>f(9) C. f(7)>f(9) D. f(7)>f(10) 考点: 函数奇偶性的性质;函数单调性的性质. 专题: 压轴题. 分析: 根据 y=f(x+8)为偶函数,则 f(x+8)=f(﹣x+8) ,即 y=f(x)关于直线 x=8 对称.又 f(x)在(8,+∞)上为减函数,故在(﹣∞,8)上为增函数,故可得答案. 解答: 解:∵y=f(x+8)为偶函数, ∴f(x+8)=f(﹣x+8) ,即 y=f(x)关于直线 x=8 对称. 又∵f(x)在(8,+∞)上为减函数, ∴f(x)在(﹣∞,8)上为增函数. 由 f(8+2)=f(8﹣2) ,即 f(10)=f(6) , 又由 6<7<8,则有 f(6)<f(7) ,即 f(7)>f(10) . 故选 D. 点评: 本题主要考查偶函数的性质.对偶函数要知道 f(﹣x)=f(x) .

7. (5 分)已知

,则 f[f(x)]≥1 的解集是(



A. D.

B.

C.

考点: 其他不等式的解法. 专题: 计算题. 分析: 先对 x 分段讨论,求出 f[f(x)]的表达式,然后代入不等式 f[f(x)]≥1 求出 x 的范围, 写出集合形式即为解集. 解答: 解:当 x≥0 时,有 f[f(x)]= ∴f[f(x)]≥1 即 解得 x≥4 当 x<0 时,有 f[f(x)]= ∴f[f(x)]≥1 即 解得 ∴不等式的解集为 故选 D 点评: 解决分段函数的有关问题,应该分段来解决,然后将各段的结果并起来即为函数的对 应结果. 8. (5 分) (2014?杭州一模)若 α∈( A. B. C. D.

,π) ,且 3cos2α=sin(

﹣α) ,则 sin2α 的值为(



考点: 二倍角的余弦;二倍角的正弦. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件可得 3(cos α﹣sin α)= 即可求得 sin2α 的值. 解答: 解:∵α∈( ∴3(cos α﹣sin α)=
2 2 2 2

cosα﹣

sinα,化简求得 cosα+sinα=

,再平方

,π) ,3cos2α=sin( cosα﹣ sinα,

﹣α) ,

即 3(cosα+sinα)?(cosα﹣sinα)= ∴cosα+sinα=

(cosα﹣sinα) ,

,或 cosα﹣sinα=0(不合题意,舍去) ,

∴1+sin2α=

,∴sin2α=﹣



故选:D. 点评: 本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用,属于中档题. 9. (5 分) (2014 秋?绍兴县校级期中)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 若△ ABC 的三边 a,b,c 成等比数列,则 cos2B+cosB+cos(A﹣C)的值为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 不能确定 考点: 两角和与差的余弦函数. 专题: 计算题;等差数列与等比数列;三角函数的求值;解三角形. 分析: 运用等比数列的性质和正弦定理可得,sin B=sinAsinC,利用三角形的内角和,两角 和与差的三角函数化简 cos(A﹣C)+cosB+cos2B,然后利用二倍角公式化简即可. 2 解答: 解:∵在△ ABC 中,若 a,b,c 成等比数列,∴b =ac, 2 利用正弦定理可得 sin B=sinAsinC. ∴cos(A﹣C)+cosB+cos2B=cos(A﹣C)﹣cos(A+C)+cos2B =2sinAsinC+cos2B=2sin B+(1﹣2sin B)=1. 故选 B. 点评: 本题考查三角函数和正弦定理及等比数列的知识,解题时要注意公式的合理选用,考 查计算能力,属于中档题.
0 2 2 2

10. (5 分) (2014 秋?绍兴县校级期中)已知向量 数 x,y 满足|x +y |= A. 3 B. C. ,那么 x+2y 的最大值为( D.

均为单位向量,它们的夹角为 60 ,实 )

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 向量 均为单位向量,它们的夹角为 60 ,可得
2 2 0

=1,
2

=1×1×cos60°= .由|x +y |=
2

,可得 x +y +xy=3,设 x+2y=t,则 x=t﹣2y,可得 3y ﹣

3ty+t ﹣3=0,利用△ ≥0,解出即可. 解答: 解:∵向量 ∴ ∵|x +y |= ∴
2 2

均为单位向量,它们的夹角为 60 , =1×1×cos60°= .

0

=1, , =



化为 x +y +xy=3, 设 x+2y=t,则 x=t﹣2y,

∴(t﹣2y) +y +(t﹣2y)y=3, 2 2 化为 3y ﹣3ty+t ﹣3=0, ∵y∈R, 2 2 ∴△=9t ﹣12(t ﹣3)≥0, 解得 , ∴t 即 x+2y 的最大值为 2 . 故选:C. 点评: 本题考查了向量的数量积定义及其运算性质、 一元二次方程有实数根与判别式的关系, 考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分 11. (4 分) (2012?江苏模拟) 已知 垂直,则实数 λ= . , 向量 与

2

2

考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 计算题. 分析: 首先由向量坐标运算表示出 λ 解答: 解:由题意知 λ 与 的坐标, 再由它们垂直列方程解之即可.

=λ(﹣3,2)+(﹣1,0)=(﹣3λ﹣1,2λ) ,

=(﹣3,2)﹣2(﹣1,0)=(﹣1,2) , 又因为两向量垂直, 所以(﹣3λ﹣1,2λ) (﹣1,2)=0, 即 3λ+1+4λ=0, 解得 λ= . .

故答案为解得

点评: 本题考查向量坐标运算及两向量垂直的条件,是一道基础题.

12. (4 分) (2014 秋?绍兴县校级期中)在各项均为正数的等比数列{an}中,若公比为 且满足 a3?a11=16,则 log2a16= 5 .



考点: 等比数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: 设出等比数列的首项,由 a3?a11=16,得到首项与公比的关系,把首项用公比表示,然 后代入要求的式子化简即可.

解答: 解: 设等比数列的首项为 a1, 由公比为 即 所以 ,所以 ,

, 且满足 a3?a11=16, 得:



=

=5

. 故答案为 5. 点评: 本题考查了等比数列的通项公式,考查了等比数列的概念,考查了学生的运算能力, 此题是基础题. 13. (4 分) (2014 秋?绍兴县校级期中)已知 lga=lg(2a+b)﹣lgb,则 ab 的最小值为 8 . 考点: 基本不等式在最值问题中的应用;基本不等式. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先由对数的和等于乘积的对数化积, 去掉对数符号后解得 a 与 b 的关系, 然后求解 log2a ﹣log2b 的值. 解答: 解:由 lga=lg(2a+b)﹣lgb,可得 lga+lgb=lg(2a+b) ,得 ab=2a+b , 解得:ab≥8,当且仅当 2a=b 时取等号. 则 ab 的最小值为:8. 故答案为:8. 点评: 本题考查了对数式的运算性质,考查了对数方程的解法,是基础的计算题.

14. (4 分) (2014 秋?绍兴县校级期中)若不等式 取值集合为 {1} .

≤k 的解集是空集,则正整数 k 的

考点: 其他不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 根据不等式的解集是空集,转化为一元二次不等式,进行求解即可. 解答: 解:不等式
2 2

≤k 的解集是空集,

等价为 3x +2x+2≤k(x +x+1) , 2 即(3﹣k)x +(2﹣k)x+2﹣k≤0 的解集是空集, 若 k=3,不等式等价为 x≥1,此时不满足条件. 2 若 3﹣k<0,即 k>3,不等式(3﹣k)x +(2﹣k)x+2﹣k≤0 的解集不是空集,不满足条件, 2 若 3﹣k>0,即 k<3,若(3﹣k)x +(2﹣k)x+2﹣k≤0 的解集是空集, 2 则等价为判别式△ =(2﹣k) ﹣4(3﹣k) (2﹣k)=(2﹣k) (3k﹣10)<0,

解得 k>

或 k<2,

∵k<3, ∴k<2, ∵k 是正整数, ∴k=1, 故答案为:{1} 点评: 本题主要考查不等式的求解,根据不等式的解集,转化为不等式恒成立是解决本题的 关键.

15. (4 分) (2014 秋?绍兴县校级期中)若实数 x,y 满足

,则 z=|x|﹣2y 的最大

值为



考点: 专题: 分析: 解答:

简单线性规划. 不等式的解法及应用. 作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义,利用数形结合即可得到结论. 解:作出不等式组对应的平面区域如图: ,

由 z=|x|﹣2y,得 y= |x| 作出直线 y= |x|, 平移直线 y= |x| 此时 z 最大,

, 由图象可知当直线 y= |x|

经过点 C 时, 直线 y= |x|

的截距最小,



,解得



即 C( 此时 zmax=|

, ) , |﹣2× = = ,

故答案为:

点评: 本题主要考查线性规划的应用,作出平面区域,利用数形结合是解决本题的关键. 16. (4 分) (2014?浙江二模)等差数列{an}中,a1=1,公差为 d,a3>0,当且仅当 n=3 时,|an| 取到最小值,则 d 的取值范围是 .

考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据已知条件:a3>0,当且仅当 n=3 时,|an|取到最小值,利用等差数列的通项公式 列出不等式组,求出 d 的范围. 解答: 解:∵a3>0,当且仅当 n=3 时,|an|取到最小值, ∴a4<0,且 a4+a3>0,



解得



故答案为:



点评: 本题考查等差数列的性质及通项公式,解本题的关键是据已知条件,|an|取到最小值得 到 a4<0,且 a4+a3>0,属于中档题. 17. (4 分) (2014 秋?绍兴县校级期中) 在△ ABC 中, 已知 P 为线段 AB 上的点,且 =x? +y? ,则 +

?

=9, sinB=cosA?sinC, S△ ABC=6,

的最小值为 3 .

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;平面向量的基本定理及其意义;平面向量数量积的 运算. 专题: 导数的综合应用;解三角形;平面向量及应用. 分析: 由 ? =9,可得 bccosA=9.又 6=S△ ABC= sinA,可得 tanA= ,bc=15.由

sinB=cosA?sinC,利用正弦定理可得 b= c,联立解得 b,c.利用余弦定理可得 a.

由于

=x? =

+y? = ?

,可得

=

+

,利用向量共线定理可得 x+ y=1.可

得 +

=f(x) ,利用导数研究函数的单调性即可得出.

解答: 解:∵ ∵6=S△ ABC= ∴tanA= ,

=9,∴bccosA=9,

sinA,

∴sinA= ,cosA= . ∴bc=15. ∵sinB=cosA?sinC, ∴b= c,

,解得
2 2 2


2 2

∴a =b +c ﹣2bccosA=3 +5 ﹣18=16. ∴a=4. ∵ =x? +y? ,



=

+



∴ x+ y=1. ∴3y=12﹣4x>0.解得 0<x<3. 则 + = = =f(x) ,

f′(x)=﹣

+

=



当 单调递减.

时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增;当

时,f′(x)<0,函数 f(x)

∴当 x= 时,f(x)取得最小值,

=3.

故答案为:3. 点评: 本题考查了向量数量积运算性质、正弦定理、余弦定理、向量共线定理、利用导数研 究函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或运算步骤. 18. (14 分) (2014 秋?绍兴县校级期中) 已知集合 A={x| <1}. (1)若 A∪B=R,求实数 a 的取值范围; (2)若 x∈A 是 x∈B 的必要不充分的条件,求实数 a 的取值范围. 考点: 集合的包含关系判断及应用;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 函数的性质及应用;集合. 分析: (1)先求出集合 A={x|x<﹣2,或 x>3},B={x|﹣a<x<6﹣a},若 A∪B=R,则有 ,解不等式组即可; (2)根据条件便知 B?A,所以便有 6﹣a≤﹣2,或﹣a≥3,所以解不等式即可得到 a 的取值范 围. 2 解答: 解: (1)A={x|x ﹣x﹣6>0}={x|x<﹣2,或 x>3}; B={x|0<x+a<6}={x|﹣a<x<6﹣a}; 若 A∪B=R,则: ; <1}, B={x|log6 (x+a)

解得 2<a<3; ∴a 的取值范围为(2,3) ; (2)x∈A 是 x∈B 的必要不充分条件; ∴x∈B 能得到 x∈A,而 x∈A 得不到 x∈B; ∴B?A; ∴6﹣a≤﹣2,或﹣a≥3; ∴a≥8,或 a≤﹣3; ∴实数 a 的取值范围为(﹣∞,﹣3]∪[8,+∞) . 点评: 考查指数函数的单调性,对数函数的定义域及单调性,以及并集、子集的概念.
2

19. (14 分) (2014 秋?绍兴县校级期中) 已知函数 f (x) =2sin (x+ ]. (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)若存在 x∈[ ,

) ﹣

cos2x﹣1, x∈ [



],使得 f(x)<m 成立,求实数 m 的取值范围.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦定理. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (1)首先对三角函数的关系式进行恒等变换,把函数关系式变形成正弦型函数,进 一步利用正弦型函数的整体思想求出函数的单调区间. (2)首先根据函数的定义域求出函数的值域,进一步利用函数的恒成立问题求出参数的取值 范围.

解答: 解: (1) (x)=2sin (x+ =2(sin2x = 所以: 由 x∈[ 所以: 得 故递增区间为 (2)∵ ∴ , , , ; , ]. , ﹣cos2x )

2

)﹣

cos2x﹣1

使得 f(x)<m 成立, 只需满足 m>f(x)min 即可, 进一步求出 f(x)的最小值为 ,

∴m>1 点评: 本题考查的知识要点:三角函数的恒等变换,利用函数的整体思想求出函数的单调区 间,恒成立问题的应用,属于基础题型. 20. (14 分) (2014 秋?绍兴县校级期中)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 已知角 A,B,C 成等差数列. (1)若 b= ,求 a+c 的取值范围;

(2)若 , , 也成等差数列,求证:a=c.

考点: 等差数列的性质;正弦定理. 专题: 综合题;等差数列与等比数列;解三角形. 分析: (1)由已知得 B=60°,由正弦定理得 ,利用 A 的范围,即可求 a+c 的取值范围; (2)若 , , 成等差数列, 简可得 a=c. ,得 ,结合 b =a +c ﹣2accos60°=a +c ﹣ac,化
2 2 2 2 2

解答: (1)解:由已知得 B=60°. 由正弦定理 ,得 , ∵A∈(0°,120°) ,∴60°﹣A∈(﹣60°,60°) ,则 因此 (2)证明:由已知
2 2 2 2



. ,得
2



又 b =a +c ﹣2accos60°=a +c ﹣ac, 将 代入此式得
2 2 2 2 2 2 2



化简此式得(a +c ) +ac(a +c )﹣6a c =0, 2 2 2 2 即(a +c +3ac) (a +c ﹣2ac)=0. 2 2 2 2 ∵a +c +3ac>0,∴a +c ﹣2ac=0,得 a=c. 点评: 本题考查正弦定理、余弦定理,考查等差数列的性质,考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题. 21. (15 分) (2013?宁波模拟)数列{an}中,a3=1,a1+a2+…+an=an+1(n=1,2,3…) . (1)求 a1,a2 的值; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn 及数列{an}的通项公式; (3)设 bn=log2Sn,存在数列{cn}使得 cn?bn+3?bn+4=1+n(n+1) (n+2)Sn,试求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 考点: 等差数列与等比数列的综合. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: (1)由 a1+a2+…+an=an+1,a3=1,分别令 n=1 可求 a1,a2 (2)由已知可得,sn=an+1=sn+1﹣sn,结合等比数列的通项公式可求 sn,进而可求 an (3)由(2)可求 bn=log2Sn=n﹣2,代入已知可求 cn,然后利用分组求和及裂项求和、错位相 减即可求解数列的和 解答: 解: (1)∵a1+a2+…+an=an+1,a3=1 令 n=1 可得,a1=a2 令 n=2 可得,a1+a2=a3=1 ∴ ;…. (2 分)

(2)∵a1+a2+…+an=an+1,即 sn=an+1=sn+1﹣sn ∴sn+1=2sn ∵a1=s1= ∴{sn}是以 为首项,以 2 为公比的等比数列

∴ 即 ∴an+1=sn=2 ∴ ;…. (3 分)
n﹣2

…(3 分)

(3)∵bn=log2Sn=n﹣2 又∵cn?bn+3?bn+4=1+n(n+1) (n+2)Sn, ∴ ∴ ∵ = = 设 A=1?2 +2?2 +…+n?2 0 n﹣2 n﹣1 ∴2A=1?2 +2?2+…+(n﹣1)?2 +n?2 两式相减可得,﹣A=2 +2 +…+2 = ∴A=(n﹣1)?2 ∴c1+c2+…+cn= = ∴ = …. (3 分)
n﹣1
﹣1 ﹣1

…(3 分)

0

n﹣2

0

n﹣2

﹣n?2

n﹣1

=

×2

×2=

+1?2 +2?2 +…+n?2

﹣1

0

n﹣2

点评: 本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项、等比数列的通项公式的应用及 数列的分组求和、裂项求和、错位相减求和方法的应用. 22. (15 分) (2014 秋?绍兴县校级期中)已知函数 f(x)=|x ﹣1|+x +kx. (1)若函数 f(x)在(﹣∞.﹣1]单调递减,求实数 k 的取值范围;
2 2

(2)若关于 x 的方程 f(x)=0 在(0,2)上有两个不同的解 x1,x2,求 k 的取值范围,并证 明 + <4.

考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)运用绝对值的含义,化 f(x)为分段函数,再由二次函数的单调性,解不等式 即可得到 k 的范围; (2)运用参数分离,讨论 0<x<1,1≤x<2 时,函数的单调性及值域,并求出相应方程的根, 即可得到 k 的范围,以及两根的倒数之和小于 4. 解答: 解: (1)
2



当 x≥1 或 x≤﹣1 时,f(x)=2(x+ ) ﹣1﹣ 由函数 f(x)在(﹣∞.﹣1]单调递减, 则 可得 k≤4. ,



(2)方程 f(x)=0,即为



∵x∈(0,1)时, x∈[1,2)时,

单调递增,且 单调递减,且

; . .

∴要使方程 f(x)=0 在(0,2)上有两个不同的解 x1,x2,必须且只须

此时









因为

=



上单调递减,

所以 即有 + <4.



点评: 本题考查绝对值函数的单调性,考查函数与方程的转化思想的运用,考查一次函数和 二次函数的单调性的运用,考查运算能力,属于中档题和易错题.

四、B 卷 23. (2014 秋?绍兴县校级期中)某人制定了一项旅游计划,从 7 个旅游城市中选择 5 个进行 游览.如果 A,B 为必选城市,并且在游览过程中必须先 A 后 B 的次序经过 A,B 两城市(A, B 两城市可以不相邻) ,则有不同的游览路线 600 种. 考点: 计数原理的应用. 专题: 应用题;排列组合. 3 分析: 首先确定 5 个入选的城市,需要再从剩下的 5 个城市中抽取 3 个,有 C5 =10 种不同情 况,再对 5 个入选的城市全排列,又由 A、B 顺序一定,要使用倍分法,结合根据分步计数原 理,计算可得答案. 解答: 解:已知 AB 必选,则从剩下的 5 个城市中,再抽取 3 个,有 C5 =10 种不同情况, 5 此时 5 个城市已确定,将其全排列,可得共 A5 =120 种情况, 又由 A、B 顺序一定,则根据分步计数原理, 可得不同的游览线路有 =600 种.
3

故答案为:600. 点评: 本题考查排列、组合的综合运用,注意要根据题意,选用特殊的方法,如插空法、捆 绑法、倍分法.

24. 若二项式
3 3

的展开式中各项系数的和是 512, 则展开式中的常数项为 (
4 4



A. ﹣27C9 B. 27C9 C. ﹣9C9 D. 9C9 考点: 二项式系数的性质. 专题: 计算题. 分析: 在

中,令 x=1 可得,其展开式各项系数的和,又由题意,可得 2 =512,

n

解可得 n=9,进而可得其展开式的通项,在其中令 x 的指数为 0,可得 r 的值为 6,即可得其 展开式中的常数项,即可得答案. 解答: 解:在
n

中,令 x=1 可得,其展开式各项系数的和是 2 ,

n

又由题意,可得 2 =512,解可得 n=9, 则二项式
﹣3r

的展开式的通项为 Tr+1=C9 (3x )

r

2

9﹣r

(﹣ ) =(﹣1) ?C9 ?3

r

r

r

9﹣r 18

x

, 令 18﹣3r=0 可得,r=6, 6 6 3 3 则其展开式中的常数项为第 7 项,即 T7=(﹣1) ?C9 ?3 =27C9 , 故选 B. 点评: 本题考查二项式定理的应用,解题时需要区分展开式中各项系数的和与各二项式系数 和.

25. (2014 秋?绍兴县校级期中)将五名插班生安排到 A,B,C 三个班级,要求每个班级至少 安排一人. (1)求 A 班恰好安排三人的概率; (2)求甲、乙不安排在同一个班级的概率. 考点:古典概型及其概率计算公式. 专题:排列组合. 分析:五名学生分成(1,1,3) , (1,2,2)两组,然后再分配到三个班级,共有 150 种, (1)A 班恰好安排三人的种数为 20 种,根据概率公式计算即可; (2)先求出甲、乙安排在同一个班级的概率,根据互斥事件的概率公式计算即可. 解答: 3 解: 五名学生分成 (1, 1, 3) , (1, 2, 2) 两组, 然后再分配到三个班级, 共有 (C5 + ) ?A3 =150 种, (1)A 班恰好安排三人,选 3 人分到 A 班,另外两人平均分配到 B,C 两个班,共有 C5 A2 =20 种, 故 A 班恰好安排三人的概率 P=
1 3 3 2 3

=



(2)甲、乙安排在同一个班级,当为(1,1,3)时,另外三人平均分配到 A,B,C 两个班,共有 C3 A3 =18 种, 1 2 2 当为(1,2,2)时,先选 1 个班级,另外三人分配到两个班,共有 C2 C3 A2 =12 种, 根据分类计数原理,甲、乙安排在同一个班级的共有 18+12=30 种, 故甲、乙不安排在同一个班级的概率 p=1﹣ = .

点评:本题考查古典概率的计算公式以及排列组合的问题,考查学生的分析和计算能力,属于 中档题.



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