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2015年2月济南市高三调研考试文科数学答案


2014 届高三教学质量调研考试 文 科 数 学 参考答案
一、选择题

BADAC
二、填空题 11.120

CBABD
12. 4 ? 4 3 13. 5 14. x ? 3 y ? 5 ? 0 15. 4

三、解答题 16. 解: (Ⅰ)设从甲、乙、丙三组城市中应抽取的个数分别为 x, y, z , 则由题意得

x y z 6 1 ? ? ? ? …………………………………3 分 4 8 12 24 4
解得, x ? 1, y ? 2, z ? 3 .………………………………………4 分 故从甲、乙、丙组中应抽取的城市的个数分别为:1,2,3 . …………………………………5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,从甲、乙、丙组中应抽取的城市的个数分别为为:1,2,3 . 记甲组中已抽取的城市为 a1 ,乙组中已抽取的城市为 b1 , b2 , 丙组中已抽取的城市为 c1 , c2 , c3 .………6 分 从已抽取的 6 个城市中任抽两个城市的所有可能为:

(a1,b1 ),(a1,b2 ),(a1,c1 ),(a1,c2 ),(a1,c3 ),(b1,b2 ),(b1,c1 ),(b1,c2 ),(b1,c3 ) ,
(b2 , c1 ),(b2 , c2 ),(b2 , c3 ),(c1, c2 ),(c1, c3 ),(c2 , c3 ) 共 15 种. ……………………………8 分
设“抽取的两个城市不来自同一组”为事件 A ,则事件 A 包括

(a1,b1 ),(a1,b2 ),(a1,c1 ),(a1,c2 ),(a1,c3 ),(b1,c1 ),(b1,c2 ),(b1,c3 ),(b2 , c1),(b2 , c2 ),(b2 , c3 ) 共 11 种. …………10 分
所以 P ( A) ?

11 11 .即从已抽取的 6 个城市中任抽两个城市,两个城市不来自同一组的概率为 .……12 分 15 15

17. 解: (Ⅰ) f ? x ? ? 2 3 sin x cos x ? 2cos 2 x ? 1 ? 3 sin 2x ? cos2x

?? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? …………………4 分 6? ?
所以,函数 f ?x ? 的最小正周期为 T = (Ⅱ) g ? x ? ? f ( x ?

2? =? .…………………………………………5 分 2

?

? ?? ? ? ) ? 2sin ?2( x ? ) ? ? ? 2sin(2 x ? ) ? 2cos 2 x ------------7 分 3 3 6? 2 ?

1 ? ? A? g ? ? ? 2cos A ? 1, cos A ? , 0 ? A ? ? ,? A ? ,--------------------------------------8 分 2 3 ?2?
在 ?ABC 中, a ? b ? c ? 2bc cos A.? 2 ? b ? c ? 2bc ?
2 2 2 2 2 2

1 , 2

第 1 页 共 5 页

?4 ? (b ? c)2 ? 2bc ? bc, 4 ? 42 ? 3bc,?bc ? 4 .
1 1 ? 3 3 S?ABC ? bc sin A ? bc sin ? bc = ? 4 ? 3 .………………………………12 分 2 2 3 4 4
18. 证 明 : (Ⅰ)连接 AC1 交 A1C 于点 O,连接 OD.………………………………2 分 四边形 ACC1 A1 为矩形, O 为 A1C 的中点,D 是 AB 的中点, OD 为△ABC1 的中位线,OD//BC1, ………………………………4 分 因为直线 OD?平面 A1DC,BC1?平面 A1DC. 所以直线 BC1∥平面 A1DC. ………………………………6 分 (Ⅱ)因为四边形 ABB1A1 和 ACC1A1 都是矩形, 所以 AA1⊥AB,AA1⊥AC. ………………………………7 分 因为 AB,AC 为平面 ABC 内的两条相交直线, 所以 AA1⊥平面 ABC. ………………………………9 分 因为直线 BC?平面 ABC,所以 AA1⊥BC. ………………………………10 分 由 BC ⊥AC ,BC⊥AA1, AA1,AC 为平面 ACC1A1 内的两条相交直线, 所以 BC⊥平面 ACC1A1. ………………………………12 分 19. 解: (Ⅰ) S5 ?
A D B O B1 A1 C1

C

a1 ? a5 ? 5 ? a3 ? 5 ? 50 ,? a3 ? 10 ,…………………………………1 分 2

a2 ? a5 ? a3 ? a4 ? 10 ? a4 ? 24 , a4 ? 14,? d ? a4 ? a3 ? 4 ,……………………………2 分 an ? a3 ? (n ? 3)4 ? 4n ? 2 .…………………………………3 分
?b1 ? b3 ? 10 ?b1 ? 2 ? b1 ? 8 ?b1 ? 2 ,解得 ? 或? ,因为 {bn } 为递增数列,所以 ? ,……5 分 ? ? b1 ? b3 ? 16 ?b3 ? 8 ?b3 ? 2 ?b3 ? 8

q ? 4 ? 2,?bn ? 2 n ,
数列 ?an ? , {bn } 的通项公式分别为 an ? 4n ? 2(n ? N * ),bn ? 2 n (n ? N * ) .…………6 分 (Ⅱ) cn ?

a n 4n ? 2 2n ? 1 ? ? n?1 .…………………………………………………7 分 bn 2n 2

1 3 5 2n ? 1 Tn ? ? ? 2 ? ? ? n ?1 ①, 1 2 2 2 1 1 3 2n ? 1 Tn ? ? 2 ? ? ? ②, 2 2 2 2n
①-②得

1 2 2 2 2n ? 1 Tn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? 2 2 2 2 2n

第 2 页 共 5 页

1 ) 2n ?1 ? 2n ? 1 ? 3 ? 2n ? 3 .………………………………11 分 ?1? 1 2n 2n 1? 2 2n ? 3 ? Tn ? 6 ? n ?1 .…………………………………………12 分 2 (1 ?
20. 解: (I)直线 y ? x ? 1 与 x 轴交点为 (?1,0) , c ? 1 …………………………………1 分

e?

c 2 , ?a ? 2, b ? 1 .……………………………3 分 ? a 2

故椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 .…………………………………………………… 4 分 2

(Ⅱ)由题意知直线 AB 的斜率存在. 设 AB : y ? k ( x ? 2) ,

? y ? k ( x ? 2), ? 由 ? x2 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 . 2 ? ? y ? 1. ?2

? ? 64k 4 ? 4(2k 2 ? 1)(8k 2 ? 2) ? 0 , k 2 ?
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , P ( x, y ) ,

1 . 2

x1 ? x2 ?

8k 2 8k 2 ? 2 x x ? , ……………………………………………………7 分 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

x1 ? x2 8k 2 ? ∵ OA ? OB ? tOP ,∴ ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? t ( x, y) , x ? , t t (1 ? 2k 2 )
y? y1 ? y2 1 ?4k ? [k ( x1 ? x2 ) ? 4k ] ? . t t t (1 ? 2k 2 )

∵点 P 在椭圆上,∴ ∴ 16k ? t (1 ? 2k )
2 2 2

(8k 2 )2 (?4k )2 ? 2 ?2, t 2 (1 ? 2k 2 )2 t 2 (1 ? 2k 2 )2
…………………………………………………………………11 分

t2 ?

16k 2 16 16 ? ? ? 4,则-2 ? t ? 2 , 2 1 1 ? 2k 2 ? 2 ?2 k2
…………………………13 分

∴ t 的取值范围是为 (?2,2) .

/ 21. 解: (I)函数 f ( x ) 定义域为 (0,??) , f ( x) ? 2 x ? 2a ?

1 ,……………………………………1 分 x

第 3 页 共 5 页

f / (1) ? 3 ? 2a ,由题意 f / (1) ?
(II) f / ( x) ? 2 x ? 2a ?

1 1 5 ? (3 ? 2a ) ? ? ?1 ,解得 a ? .……………………4 分 2 2 2

1 2 x 2 ? 2ax ? 1 , ? x x

令 g ( x) ? 2x2 ? 2ax ? 1 , ? ? 4a 2 ? 8 , (i)当 ? 2 ? a ? 2 时, ? ? 4a 2 ? 8 ? 0 , g ( x) ? 0 , f / ( x) ? 0 ,函数 f(x) 在 (0,??) 上单调递增; (ii)当 a ? (iii)当 a ?

2或 ? 2 时, ? ? 4a 2 ? 8 ? 0 , g ( x) ? 0 , f / ( x) ? 0 函数 f(x) 在 (0,??) 上单调递增; 2 时, 2 x 2 ? 2ax ? 1 ? 0, x1 ?

a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 ? 0, x2 ? ? 0, 2 2

在区间 (0, x1 ) 上, g ( x) ? 0 , f / ( x) ? 0 ,函数 f(x)单调递增;在区间 ( x1 , x2 ) 上, g ( x) ? 0 , f / ( x) ? 0 , 函数 f(x)单调递减;在区间 ( x2 ,??) 上, g ( x) ? 0 , f / ( x) ? 0 ,函数 f(x)单调递增; (iv)当 a ? ? 2 时,2 x2 ? 2ax ? 1 ? 0, x1 ?

a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 ? 0, x2 ? ? 0 ,在区间 (0,??) 2 2

上, g ( x) ? 0 , f / ( x) ? 0 ,函数 f(x)单调递增.………………8 分 综上所述:当 a ? 当a ?

2 时,函数 f(x)在区间 (0,??) 上是单调递增;

2 时,函数 f(x)在区间 (0,

a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 , ) 上单 ) 上单调递增;在区间 ( 2 2 2

调递减;在区间 (

a ? a2 ? 2 ,??) 上单调递增.……………………9 分 2

法二: (i)当 a ? 0 时, f / ( x) ? 0 恒成立,函数 f(x)在 (0,??) 上单调递增;

f / ( x) ? 2 x ? 2a ?

1 2 x 2 ? 2ax ? 1 2 ,令 g ( x) ? 2x2 ? 2ax ? 1 , ? ? 4a ? 8 , ? x x

(ii)当 0 ? a ? 2 时, ? ? 4a 2 ? 8 ? 0, g ( x) ? 0 , f / ( x) ? 0 ,函数 f(x)在 (0,??) 上单调递增; (iii)当 a ?

2 时, 2 x 2 ? 2ax ? 1 ? 0, x1 ?

a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 ? 0, x2 ? ? 0, 2 2

在区间 (0, x1 ) 上 g ( x) ? 0 , f / ( x) ? 0 , 函数 f(x) 单调递增; 在区间 ( x1 , x2 ) 上,g ( x) ? 0 , f / ( x) ? 0 , 函数 f(x)单调递减;在区间 ( x2 ,??) 上 g ( x) ? 0 , f / ( x) ? 0 ,函数 f(x) 单调递增.………………8 分

第 4 页 共 5 页

综上所述:当 a ? 当a ?

2 时,函数 f(x)在区间 (0,??) 上是单调递增;

2 时,函数 f(x)在区间 (0,

a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 , ) 上单 ) 上单调递增;在区间 ( 2 2 2

调递减;在区间 (

a ? a2 ? 2 ,??) 上单调递增.……………………9 分 2
1 ?2 2. x

法三:因为 x>0,? 2 x ? (i)当 a ? (ii)当 a ?

2 时,在区间 (0,??) 上 f / ( x) ? 0 函数 f(x) 单调递增; 2 时, 2 x 2 ? 2ax ? 1 ? 0, x1 ?

a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 ? 0, x2 ? ? 0, 2 2

在区间 (0, x1 ) 上, f / ( x) ? 0 ,函数 f(x) 单调递增;在区间 ( x1 , x2 ) 上, f / ( x) ? 0 ,函数 f(x) 单调递 减;在区间 ( x2 ,??) 上, f / ( x) ? 0 ,函数 f(x) 单调递增.………8 分 综上所述:当 a ? 当a ?

2 时,函数 f(x)在区间 (0,??) 上是单调递增;

2 时,函数 f(x)在区间 (0,

a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 , ) 上单 ) 上单调递增;在区间 ( 2 2 2

调递减;在区间 (

a ? a2 ? 2 ,??) 上单调递增.……………………9 分 2
3 .……………10 分 x

(III)不等式 2 x ln x ? ? x 2 ? ax ? 3 在区间 (0, e] 上恒成立等价于 2 ln x ? ? x ? a ? 令 g ( x) ? 2 ln x ? x ? a ?

3 , x

g / ( x) ?

2 3 x 2 ? 2 x ? 3 ( x ? 3)(x ? 1) , ?1? 2 ? ? x x x2 x2

在区间 (0,1) 上, g / ( x) ? 0 ,函数 g(x)为减函数; 在区间 (1, e] 上, g / ( x) ? 0 ,函数 g(x)为增函数;…………………………12 分

g ( x)min ? g (1) ? 1 ? a ? 3 ? 0 得 a ? 4 ,
所以实数 a 的范围是 a ? 4 .…………………………14 分

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