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3.4基本不等式课件(人教A版必修5)


1、比较大小,你发现了什么规律?

2 +3 ----2 ? 2 ? 3 1 1 1 1 + ----2 ? ? 2 3 2 3 2 2 3 +3 ----2 ? 3 ? 3
2

2

? -2 ?

2

+3 ----2 ? ? -2 ? ? 3
2

2+3 ---2 3+3 ---2 4+2 ---2 4+5 ---2

2?3 3? 3 4? 2 4?5

a2 ? b2 ? 2ab ? a ? R, b ? R?

a?b ? ab ? a ? 0, b ? 0 ? 2

思考:这会标中含有 怎样的几何图形? 思考:你能否在这个 图案中找到三角形的 面积与正方形的面积 有什么关系?

D

探究1:
1、正方形ABCD的

a ?b
2

2

b
G F E C H

a ?b 面积S=_____
2

2

2、四个直角三角形的

A

a

2ab 面积和S’ =__
3、S与S’有什么

样的不等关系?
B

S>S′即

问:那么它们有相等的情况吗?

a ? b > 2ab
2 2

(a≠b)

D b G A H

D

a 2 ? b2
F
E a a C A E(FGH) b C

a ? b > 2ab
2

B 2

B

(a≠b)

a ?b
2

2



2ab

(a=b)

猜想: 一般地,对于任意实数a、b,我们有 2 2

a ? b ? 2ab

当且仅当a=b时,等号成立。

你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? 如图, AB是圆的直径, O为圆心, 点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD. a?b ①如何用a, b表示OD? OD=______ 2
②如何用a, b表示CD?

D
A a OC b B

E

ab CD=______

BC DC Rt△ACD∽Rt△DCB, 所以 ? DC AC

所以DC 2 ? BC ? AC ? ab

你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? 如图, AB是圆的直径, O为圆心, 点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD. a?b ①如何用a, b表示OD? OD=______ 2
②如何用a, b表示CD?

D
A a OC b B

E

ab CD=______
≥ OD_____CD >

③OD与CD的大小关系怎样?

a?b ≥ ab 2

几何意义:半径不小于弦长的一半

思考:你能给出不等式的证明吗?

a2 ? b2 ? 2ab ? a ? R, b ? R?

a?b ? ab ? a ? 0, b ? 0 ? 2

基本不等式
特别地,若a>0,b>0,则
≥ a ? b _____ 2 ab

a?b 通常我们把上式写作: ab≤ (a ? 0, b ? 0) 2
当且仅当a=b时取等号,这个不等式就叫做基本不等式.

适用范围: a>0,b>0

a?b 在数学中,我们把 叫做正数a,b的算术平均数, 2 ab 叫做正数a,b的几何平均数;
文字叙述为: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

填表比较:

a ? b ≥2ab
2 2

a?b ≥ ab 2
a>0,b>0

适用范围 文字叙述 “=”成立条件

a,b∈R

两数的平方和不 两个正数的算术平均数不 小于它们积的2倍 小于它们的几何平均数

a =b

a =b

注意从不同角度认识基本不等式

例题 1.已知x>0, y>0, xy=24, 求4x+6y的最小值, 并说明此时x,y的值. 当x=6,y=4时,最小值为48
2 2.已知x<0,求函数 f ( x) ? x ? 的最大值. x

?2 2

小结:
1. 两个重要的不等式

(1)a, b ? R,那么a 2 ? b2≥2ab ,当且仅当a ? b时,等号成立

a?b (2) ab≤ (a >0,b>0),当且仅当a ? b时,等号成立。 2


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