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广西桂林十八中2012届高三第二次月考试题数学文


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桂林十八中 09 级高三第二次月考试卷

C.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 D.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 5. 从 6 名男生和 2 名女生中选出 3 名志愿者,其中至少有 1 名女生的选法共有 A.30 种 B.36 种 C. 42 种 D. 60 种

文科) 数 学 (文科)
版权: 版权:孕味国际母婴用品旗舰店 http://yunweiguoji.taobao.com/
注意:1、本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分。 考试时间:120 分钟 。答卷前,考生务必将自己的姓名和考号填写或填涂在答题卷指定的位置 填写或填涂在答题卷指定的位置。 填写或填涂在答题卷指定的位置 2、选择题答案用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选 涂其他答案;不能答在试题卷上 不能答在试题卷上。 不能答在试题卷上 3、主观题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卷上作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内 黑色字迹的钢笔或签字笔 黑色字迹的钢笔或签字笔 的相应位置上, 超出指定区域的答案无效; 先划掉原来的答案, 然后再写上新的答案。 超出指定区域的答案无效 如需改动,

6. 顶点都在一个球面上的正四棱柱 ABCD ? A′B′C ′D′ 中, AB = 1 , AA′ = 离为 A.

2 ,则 A, C 两点间的球面距

π
4

B.

π
2

C.

2π 4

D.

2π 2

7. 已知双曲线

x2 y2 π ? = 1 a > 2 的两条渐近线的夹角为 ,则双曲线的离心率为 2 a 2 3

(

)

A. 2

B.

2

C.

2 6 3
?1

D.

2 3 3

8. 已知函数 f ( x ) 满足 f ( 2 ? x ) = 2 ? f ( x + 2 ) ,若 f A. ?8 B.2

( 4 ) = 8 ,则 f ( ?4 ) 的值是
D. 8

第 Ⅰ卷
小题, 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分 选择题: 1. 化简 2 =
3 4

C. ?2

9. 已知曲线 y =
1

3

x2 1 的一条切线的斜率为 ,则该切线的切点横坐标为 4 2
B. 2
3

A. 2 4 2. 已知函数 f ( x ) = A. 2

B.

23 2

C. 4 3

D. 2 2

A. 1

C. 3

D. 4

x ?1 ?1? ,则 f ?1 ? ? = x ?2?
B. ?1 C.

10. 已知函数 f ( x) = x + x , x ∈ R ,若当 0 ≤ θ ≤

π
2

时, f ( m sin θ ) + f (1 ? m ) > 0 恒成立,则实数 m 的

1

D. ?2

取值范围是 A. (0,1) B.

3. 已知 tan x = ?2 , x ∈ ?

?π ? , π ? ,则 cos x = ?2 ?
B.

( ?∞, 0 )

C. ? ?∞,

? ?

1? ? 2?

D.

( ?∞,1)

A.

5 5

2 5 5

C.

?

5 5

D. ?

2 5 5

11. 已知函数 f ( x ) = 2 A. b < a < c

x ?1

,若 a = f ?

1? ? 1 ? ? ? , b = f ( log 2 3) , c = f ? log 3 ? ,则 a, b, c 的大小关系是 2? ? ln 2 ? ?
C.

4. 为了得到函数 y = lg

x+3 的图像,只需把函数 y = lg x 的图像上所有的点 10

B. a < b < c

a<c<b

D. b < c < a

A.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度
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?2 x , ?1 < x ≤ 1 ? 12. 已知函数 f ( x ) = ? ,则 f ? f ( x ) ? ? 2 = 0 的根的个数有 ? ? ? f ( x ? 2 ) + 1,1 < x ≤ 3 ?
A.1 个 B.2 个 C. 3 个 D. 4 个

19.(本小题满分 12 分) 如图,已知四棱锥 P ? ABCD 中,侧棱 PA ⊥ 平面 ABCD ,底面 ABCD 是平行四边形, PB = PC ,

AB = 1 , BC = 2 , E , F 分别是 BC , PC 的中点. (1)求证: AC ⊥ 平面 PAB ;
(2)当 ∠PCA =

π

P

3

时,求二面角 F ? AE ? C 的大小.

F

A
第Ⅱ 卷
小题, 把答案填在答题卡指定的位置上. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 把答案填在答题卡指定的位置上 填空题:

D

1 12 13. ( x + ) 的展开式中的常数项是_____________. 3 x 14. 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a3 + a10 = 14 ,则 S12 等于_____________.

B
20.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 满足 a1 = 1 ,且 an = 3an ?1 + 2 (1)证明数列 an + 2 n 是等比数列; (2)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn ..
n ?1

E

C

?x + y ? 6 ≤ 0 ? 15. 设 x, y 为任意实数,不等式组 ? x ? y ≥ 0 表示区域 D ,若指数函数 y = a x 的图象上存在区域 D 上 ? y≥2 ? 的点,则实数 a 的取值范围是_____________. 16、若函数 f ( x ) 对任意实数 x, y 满足: f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) ,且 f ( 2 ) = 0 ,则下列结论正确的是
_____________. ① f ( x ) 是周期函数;② f ( x ) 是奇函数;③ f ( x ) 关于点 (1, 0 ) 对称;④ f ( x ) 关于直线 x = 1 对称. 小题, 解答应写出文字说明, 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 解答题: 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中, A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 b cos C = 3a cos B ? c cos B . (1)求 cos B 的值; (2)若 BA ? BC = 2 , b = 2 2 ,求 a 和 c . 18. (本小题满分 12 分) 甲,乙,丙三个同学同时报名参加某重点高校 2012 年自主招生,高考前自主招生的程序为审核材料和 文化测试,只有审核过关后才能参加文化测试,文化测试合格者即可获得自主招生入选资格,因为甲,乙, 丙三人各有优势,甲,乙,丙三人审核过关的概率分别为 0.5,0.6,0.4,审核过关后,甲,乙,丙三人文 化测试合格的概率分别为 0.6,0.5,0.75. (1)求甲,乙,丙三人中只有一人通过审核的概率; (2)求甲,乙,丙三人中至少有两人获得自主招生入选资格的概率.

{

}

( n ≥ 2) ,

21.(本小题满分 12 分) 已 知函 数 f ( x ) =

uuu uuu r r

x ? y + 1 = 0 平行. (1)求实数 a 的取值范围; (2)是否存在实数 a ,使得 f ′ ( x ) = x 的两根 x1 , x2 满足 0 < x1 < x2 < 1 .若存在,求出实数 a 的取值范围;
若不存在,请说明理由.

1 3 1 2 x + ax + bx + 1 ( x ∈ R, a, b 为 实 数 )有 极 值, 且 在 x = ?1 处 的切 线与 直 线 3 2

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22. (本小题满分 12 分)

P ( C ) = P ( D ) = P ( E ) = 0.3 ,………………………………………………………………………5 分
∴ P ( F ) = 3 × 0.32 × 0.7 + 0.33 = 0.189 + 0.027 = 0.216, …………………………………12 分 19.解: (1)证明:∵ PA ⊥ 平面 ABCD , ∴ PB 的射影是 AB , PC 的射影是 AC , ∵ PB = PC ∴ AB = AC ∴ AB = AC = 1 ,且 BC =

3 x2 y2 的椭圆 2 + 2 = 1( a > b > 0 ) 上的点到左焦点 F 的最长距离为 3 + 2 . 已知离心率为 2 a b
(1)求椭圆的方程; (2) 如图, 过椭圆的左焦点 F 任作一条与两坐标轴都不垂直的弦 AB , 若点 M 在 x 轴上, 且使得 MF 为 ?AMB 的一条内角平分线,则称点 M 为该椭圆的“左特征点” ,求椭圆的“左特征点” M 的坐标.

P

y

A

2,

F

∴ ?ABC 是直角三角形,且 ∠BAC =

π
2

,……………………………3 分

A

D

M B

F

O

x

桂林十八中 09 级高三第二次月考数学文科答案 级高三第二 月考数学文科答案 数学文科
一、选择题 题号 答案 二、填空题 13. 220 14. 84 15. 1 B 2 A 3 C 4 C 5 B 6 B 7 D 8 C 9 A 16. 10 B 11 B 12 C

∴ AC ⊥ AB , ∵ PA ⊥ 平面 ABCD , ∴ PA ⊥ AB , 且 PA I AC = A , ∴ AC ⊥ 平面 PAB …………………………………………………6 分 (2)解法 1:由(1)∵ PA ⊥ 平面 ABCD , ∴ PA ⊥ AC ,又 ∠PCA = ∴ PA =

B

E

C

π

故在 Rt ?PAC 中, AC = 1 ,

3



3 , PC = 2 ,

? 2, 3 3 ? ? ?

①②③

17.解: (1)由正弦定理得 a = 2 R sin A , b = 2 R sin B , c = 2 R sin C ,…………………………1 分 又 b cos C = 3a cos B ? c cos B ,∴ sin B cos C = 3sin A cos B ? sin C cos B , ∴ sin A = 3sin A cos B ,又 sin A ≠ 0 ,∴ cos B =

即 sin B cos C + sin C cos B = 3sin A cos B ,∴ sin ( B + C ) = 3sin A cos B , ………………………3 分

1 .…………………………………………………5 分 3 uuu uuu r r 1 (2)由 BA ? BC = 2 得 ac cos B = 2 ,又 cos B = ,∴ ac = 6. ………………………………………6 分 3 2 2 2 2 由 b = a + c ? 2ac cos B , b = 2 2 可得 a + c 2 = 12 ,……………………………………………8 分 2 ∴ ( a ? c ) = 0 ,即 a = c ,∴ a = c = 6 .…………10 分
18.解: (1)分别记甲,乙,丙通过审核为事件 A1 , A2 , A3 ,记甲,乙,丙三人中只有一人通过审核为 事件 B ,则

1 1 1 1 2 , PC = 1, EF = PB = PC = 1, 又在 Rt ?ABC 中, AE = BC = 2 2 2 2 2 ∴在等腰三角形 ?FAE ,分别取 AC 中点 N 和 AE 中点 M ,连接 FN , FM 和 MN , ∴中位线 FN / / PA ,且 PA ⊥ 平面 ABCD , ∴ FN ⊥ 平面 ABCD , 在 ?AEF 中,中线 FM ⊥ AE ,由三垂线定理知, MN ⊥ AE , ∠FMN 为二面角 F ? AE ? C 的平面角, 1 3 1 2 , MN = EC = , 在 Rt ?FMN 中, FN = PA = 2 2 2 4 FN tan ∠FMN = = 6 , ∠FMN = arctan 6 , MN ∴二面角 F ? AE ? C 的大小为 arctan 6 . z
从而 AF = 解法 2: 由(Ⅰ)知, 以点 A 为坐标原点,以 AB 、 AC 、 AP 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 设 PA = λ ,∵在 Rt ?PAC 中, ∠PCA =
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P

P ( B ) = P ( A1 ? A2 ? A3 ) + P ( A1 ? A2 ? A3 ) + P ( A1 ? A2 ? A3 ) = 0.5 × 0.4 × 0.6 + 0.5 × 0.6 × 0.6 + 0.5 × 0.4 × 0.4 = 0.38 …………………………………………………4 分 (2)分别记甲,乙,丙三人中获得自主招生入选资格为事件 C , D, E ,则
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π
3

,∴ λ = 3 ,

F

A

D

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x

B

E

C
y

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则 A ( 0, 0, 0 ) , B (1, 0,0 ) , C ( 0,1, 0 ) , P 0, 0, 3 ,

(

)

? 1 3? ?1 1 ? D ( ?1,1,0 ) , E ? , , 0 ? , F ? 0, , , ? 2 2 ? ? ?2 2 ? ? ? uuu r uuu ? 1 1 ? r 则 CP = ( 0, ?1, λ ) , AE = ? , , 0 ? , ?2 2 ? r 设平面 FAE 的一个法向量为 n = ( x, y , z ) , r uuu r ?n AE = 0, ? x = ? y, r ? 则由 ? r uuu 得? , 取n = ? 3, 3,1 . r ?n CP = 0, ? y = λ z ? uuu r 又 AP 是平面 AEC 的一个法向量, 设二面角 F ? AE ? C 的平面角为 θ ,则 uuu r r uuu r r AP ? n 3 7 7 7 cos < AP ? n >= uuu r = = ,∴ cos θ = ∴ θ = arccos r 7 7 7 3? 7 AP n

(

)

7 ∴二面角 F ? AE ? C 的大小为 arccos .…………………….…….……12 分 7
20、 (1) an + A ? 2 = 3 an ?1 + A ? 2 解: 设
n

? ? = ( a ? 1) 2 ? 4a > 0 ? 1? a ? 0< <1 ? 2 , 令 g ( x ) = x + ( a ? 1) x + a ,则 ? 2 ? g ( 0) = a > 0 ? ? g (1) = 1 + ( a ? 1) + a > 0 ? 解得: 0 < a < 3 ? 2 2 , 与(1)中 a < 0 或 a > 4 矛盾,因此,符合条件的实数 a 不存在. ?a + c = 3 + 2 ? a=2 x2 ? ? 22、(1) 解: (1)由题意知: ? ,解得 ? , b = 1 ,故椭圆的方程为 + y2 = 1, c 3 4 ?c = 3 = ? ? 2 ? a 4 3 其准线方程为 x = ± …………………………. ……………. ……………. ……………. ……………...4 分 3 x2 (2)设 M ( m, 0 ) 为椭圆 + y 2 = 1 的左特征点,椭圆的左焦点为 F ? 3, 0 ,可设直线 AB 的方程为: 4 x = ky ? 3 ( k ≠ 0 ) ,

(

)

∴ an + 2 n = 3 an ?1 + 2 n ?1 , ∴ an + 2

{

n

} 是以 a + 2 即为首项,以 3 为公比的等比数列,
1 1

(

)

(

n ?1

) ,整理得 a

n

= 3an ?1 + A ? 2

n ?1

, 对比 an = 3an ?1 + 2

n ?1

, A =1. 得

? x2 2 ? + y =1 ,消去 x 得 ky ? 3 联立方程组 ? 4 ? x = ky ? 3 ?

(

)

2

+ 4 y 2 = 4 ,即 ( k 2 + 4 ) y 2 ? 2 3ky ? 1 = 0 ,

(2)由(1)知 an + 2 n = 3 ? 3n ?1 = 3n ,∴ an = 3n ? 2 n , n ∈ N ? ,

设 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,则 y1 + y2 =

∴ S n = 31 ? 21 + 32 ? 2 2 + 33 ? 23 + L + 3n ? 2 n = 31 + 32 + 33 + L + 3n ? 21 + 2 2 + 23 + L + 2 n
n n n +1 n +1

∴ a = b ,令 f ′ ( x ) = 0 ,即 x 2 + ax + a = 0 ,

1? 2 2 2 2 21、解(1) f ′ ( x ) = x + ax + b ,由题意得, f ′ (1) = 1 ? a + b = 1 ,

) ( ) ( ) 3 (1 ? 3 ) 2 (1 ? 2 ) 3 1 = ? = ?2 + .
1? 3

(

(

) (

) (

)

∵ ∠AMB 被 x 轴平分,∴ k AM + k BM

当 ? = a 2 ? 4a > 0 时,即 a < 0 或 a > 4 时, f ′ ( x ) = 0 有两个不相等的实数根, y = f ( x ) 有极值. 综上可知, a 的取值范围为 ( ?∞, 0 ) U ( 4, ∞ ) .
2

当 ? = a 2 ? 4a ≤ 0 时, f ′ ( x ) ≥ 0 恒成立, y = f ( x ) 没有极值;

( ) ∴ 2ky y ? ( y + y ) ( m + 3 ) = 0. 于是, ? ?1 ? 2 3k 2k ? ( m + 3 ) = 0. ?? ?k +4? k 4
1 2 1 2 2 2

y1 ( x2 ? m ) + y2 ( x1 ? m ) = 0 , y1 x2 + y2 x1 ? m ( y1 + y2 ) = 0

2 3k ?1 , y1 y2 = 2 , 2 k +4 k +4 y y2 = 0 ,即 1 + =0, x1 ? m x2 ? m

即 y1 ky2 ? 3 + y2 ky1 ? 3 ? ( y1 + y2 ) m = 0 ,

(

)

即 x + ( a ? 1) x + a = 0 的两根满足 0 < x1 < x2 < 1 ,

(2) 假设存在实数 a ,使 f ′ ( x ) = x 的两根满足 0 < x1 < x2 < 1

∵ k ≠ 0 ,∴ 1 + 3 m + 3 = 0 ,即 m = ?

(

)

? 4 3 ? 4 3 ,∴ M ? ? ,0? . ? ? 3 3 ? ?

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