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抛物线及其标准方程(孙卫星)



抛物线及其标准
横车中学高二数学组

钟涛

请同学们思考一个问题
想 一 我们对抛物线已有了哪些认识? 想 ?

二次函数是开口向上或向下的抛物线。 y

o

x

生活中存在着各种形式的抛物线

抛物线的生活实例

投篮运动

抛物线的生活实例

飞机投弹

抛物线的生活实例 探照灯的灯面

请同学们观察这样一个小实验?

抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 (注意:F不在I上) 定点F叫做抛物线的焦点。 定直线L叫做抛物线的准线。 N L
M

· F ·

即:

MF ︳ ︳ 若 ? 1, 则点 M的轨迹是抛物线。 ︳ MN ︳

抛物线标准方程的推导 l
N 求曲线方程 的基本步骤 是怎样的?
M

· · F

想 一 想 ?

回顾求曲线方程的一般步骤是:
1、建立直角坐标系,设动点为(x,y) 2、写出适合条件的x,y的关系式 3、列方程
4、化简 5、(证明)

抛物线标准方程的推导
l N
K

M

· · F

试 一 试 ?

设焦点到准线的距离为常数P(P>0) 如何建立坐标系,求出抛物线的标 准方程呢?

抛物线标准方程的推导
解:如图,取过焦点F且垂直于准线L的直 y 线为x轴,线段KF的中垂线为y轴 l 设︱KF︱= p ( p> 0) M p p N 则F( 2 ,0),L:x =2 设动点M的坐标为(x,y) K o 由抛物线的定义可知, F

· ·

x

p2 p ( x ? ) ? y2 ? x ? 2 2
化简得

y2 = 2px(p>0)

抛物线的标准方程
2 方程 y

= 2px(p>0)叫做

抛物线的标准方程
其中 p 为正常数,它的几何意义是:

焦点到准线的距离

抛物线的标准方程
方程 y2

= 2px(p>0)表示的抛物线,其焦点

位于X轴的正半轴上,其准线交于X轴的负半轴 p p 即右焦点F( 2 ,0),左准线L:x =- 2


y

o

x

但是,对于一条抛物线,它在坐标平面 内的位置可以不同,所以建立的坐标系 也不同,所得抛物线的方程也不同,所 以抛物线的标准方程还有其它形式。

抛物线的标准方程
抛物线的标 准方程还有 哪些形式?

想 一 想 ?

其它形式的 抛物线的焦 点与准线呢?

﹒ ﹒ ﹒
o
y

图象 y

开口方向 标准方程

焦点

准线

x

向右

o

x 向左

y

o

x

向上


o

y

向下

x

抛物线的标准方程
怎样把抛物线的位置特 征(标准位置)和方程特征 (标准方程)统一起来?

想 一 想 ?

抛物线的标准方程
抛 物 线 方 程

左右 型

标准方程为

开口向右:

y2 =+ 2px
(p>0)

y2 =2px(x≥ 0)
开口向左:

y2 = -2px(x≤ 0)
开口向上:

上下 型

标准方程为

x2 =+ 2py
(p>0)

x2 =2py (y≥ 0)
开口向下:

x2 = -2py (y≤0)

课堂练习
例1:求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:
(1)y2 = 20x (3)2y2 +5x =0 (2)y=2x2
注意:求抛物线的焦点 一定要先把抛物线化为 (4)x2 +8y =0 标准形式

焦点坐标

准线方程

(1 )
( 2) ( 3) ( 4)

( 5, 0)
1 (0,—) 8 5 (- —,0) 8

x= -5
1 y= - — 8 5 x= — 8

(0,-2)

y=2

例2:根据下列条件,写出抛物线的标准方程:

(1)焦点是F(-2,0) 解:y2 =-8x 1 2 =x (2)准线方程 是x = ? 解: y 4 (3)焦点到准线的距离是2 解:y2 =4x或y2

1.由于抛物线的标准方程有四种形式,且每一种形式中 都只含一个系数p,因此只要给出确定p的一个条件, 就可以求出抛物线的标准方程

= -4x 或x2 =4y或x2 = -4y

2.当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后, 它的标准方程就唯一确定了;若抛物线的焦点 坐标或准线方程没有给定,则所求的标准方程 就会有多解.

由例1.和例2.反思研究
已知抛物线的标准方 程 求其焦点坐标 和准线方程 先定位,后定量

课堂练习
例3:求过点A(-3,2)的抛物线的 标准方程。
解:1)设抛物线的标准方程为 x2 =2py,把A(-3,2)代入, A 得p= 9
2)设抛物线的标准方程为 y2 = -2px,把A(-3,2)代入, 得p= 2



y

4

O

x

4 9 2 2 ∴抛物线的标准方程为x = y或y = ? x 3 2

3



课堂小结
1。抛物线的定义

2。抛物线的标准方程与其焦点、准线
3。抛物线的标准方程类型与图象特征的 对应关系及判断方法

4。注重数形结合的思想 5。注重分类讨论的思想

课后练习
已知抛物线方程为x=ay2(a≠0),讨论 抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程? 1 1 2 解:抛物线的方程化为:y = a x 即2p= a
①当a>0时,
p 2

=
1 4a

1 4a

,抛物线的开口向右
1 4a

∴焦点坐标是(

,0),准线方程是: x=
1 4a

②当a<0时,

p 2

=

,抛物线的开口向左 x=
1 4a

∴焦点坐标是(

1 , 0 ),准线方程是: 4a



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