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江西省于都中学高中数学 1.6圆锥曲线统一的极坐标方程教案 北师大版选修4-4


第六课时
一、教学目的:

圆锥曲线统一的极坐标方程

知识目标:进一步学习在极坐标系求曲线方程 能力目标:求出并掌握圆锥曲线的极坐标方程 德育目标:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 二重难点:教学重点:圆锥曲线极坐标方程的统一形式 教学难点:方程中字母的几何意义 三、教学方法:启发、诱导发现教学. 四、教学过程: (一) 、复习引入: 1、问题情境 情境 1:直线与圆在极坐标系下都有确定的方程,我们熟悉的圆锥曲线呢? 情境 2:按通常情况化直角坐标方程为极坐标方程会得到让人满意的结果吗? 2、学生回顾 (1) .求曲线方程的方程的步骤 (2) .两种坐标互化前提和公式 (3) .圆锥曲线统一定义 (二) 、讲解新课: 1、 由必修课的学习我们已经知道: 与一个定点的距离和一条定直线 (定点不在定直线上) 的距离的比等于常数 e 的点的轨迹,当 e=1 时,是抛物线。那么当 0<e<1 及 e>1 时,点的 轨迹是什么曲线呢?可以借助极坐标系进行讨论。 2、圆锥曲线的统一方程 设定点的距离为 P , 求到定点到定点和定直线的距离之比为常数 e 的点的轨迹的极 坐标方程。分析:①建系 ②设点 ③列出等式 ④用极坐标 ? 、 ? 表示上述等式,并化简得极坐标方程 说明:⑴为便于表示距离,取 F 为极点,垂直于定直线 l 的方向为极轴的正方向。 ⑵ e 表示离心率, P 表示焦点到准线距离。
1

学生根据分析求出圆锥曲线的统一方程,

? ? 1?eep cos ?
化 为 直 角 坐 标 方 程 为

3 、 圆 锥 曲 线 的 统 一 方 程 ,

? ? 1?eep cos ?

(1 ? e ) x ? y ? 2e px ? e
2 2 2

2

2

p

2

,由此可由 e 与 0 和 1 的大小关系确定曲线形状。

4、思考交流:学生讨论交流课本 P18 页的问题:当 0<e<1 时,方程(1)表示了什么 曲线?角 ? 在什么范围内变化即可得到曲线上所有的点?当 e>1 时,方程(1)表示了什 么曲线?角 ? 在什么范围内变化即可得到曲线上所有的点? 2、例题讲解 例题:2003 年 10 月 15—17 日,我国自主研制的神舟五号载人航天飞船成功发射并按 预定方案安全、准确的返回地球,它的运行轨道先是以地球中心为一个焦点的椭圆,椭圆 的近地点 (离地面最近的点) 和远地点 (离地面最远的点) 距离地面分别为 200km 和 350km, 然后进入距地面约 343km 的圆形轨道。若地球半径取 6378km,试写出神舟五号航天飞船 运行的椭圆轨道的极坐标方程。 变式训练 已知抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F 。
2

2

(1)以 F 为极点, x 轴正方向为极轴的正方向,写出此抛物线的极坐标方程; (2) 过取 F 作直线 l 交抛物线于 A、 B 两点, 若|AB|=16, 运用抛物线的极坐标方程, 求直线 l 的倾斜角。 (三)、巩固练习:从极点 O 作圆 C:?=8cos ? 的弦 ON,求 ON 的中点 M 的轨迹方程。 答案:?=4cos ? (四) 、小结:本课学习了以下内容:1、我们推导了圆锥曲线统一的极坐标方程,体会和 掌握了求曲线的极坐标方程的方法步骤。2、把圆锥曲线统一的极坐标方程化为了直角坐 标方程,从而判断了曲线形状,强化了互化公式的应用。3、进一步理解和掌握了圆锥曲 线统一的定义。 (五) 、作业:课本 P19 页 A 组中 8、9、10 B 组中 2 五、教学反思:

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