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第一章第四讲求函数的解析式的八种方法



第二章
第一讲求函数的解析式的八种方法
对应法则是函数三要素的核心,是研究函数函数性质的基础.在许多情况下对应征法则是用解 析式来表示的.函数解析式的求法涉及的知识面广 ,综合性强,涉及到的数学思想方法也灵活 多样,因此,是各种各类考试的常见题型,要引起我们的足够重视. 一.直接法 例 1 已知

f ( x) ? 3x ? 1, g ( x) ?

1 . x ?1
2



f? ? g ? x ?? ?,g ? ? f ? x ? ? 2? ?.

解:

f ? x ? ? 3x ? 1, g ? x ? ?

1 , x ?1
2

1 2 ? x2 ?f? ? g ? x ?? ? ? 3g ? x ? ? 1 ? 3 ? x 2 ? 1 ? 1 ? 1 ? x 2 .
g? ? f ? x ? ? 2? ? ? g? ?? 3x ? 1? ? 2? ? ? g ? 3x ? 1? ? 1 ?2. 9 x2 ? 6 x

点评:直接法是求函数解析式的最一般、最最基本的方法. 变式练习 :已知函数 f ( x) =4x+3,g(x)=x ,求 f[f(x)],f[g(x)],g[f(x)],g[g(x)]. 解:f[f(x)]=4f(x)+3=4(4x+3)+3=16x+15; f[g(x)]=4g(x)+3=4x +3; g[f(x)]=[f(x)] =(4x+3) =16x +24x+9; g[g(x)]=[g(x)] =(x ) =x . 二.换元法 例 2 已知 解:令 t
2 2 2 4 2 2 2 2 2

f ? 2 x ? 1? ? x ? x 2 ,求 f ? x ? .
t ?1 . 2
2

? 2 x ? 1, 则 x ?

t ?1 ? t ?1? 1 2 1 ? f ? x? ? ?? ? ?? t ? . 2 ? 2 ? 4 4


1 1 f ? x ? ? ? x2 ? . 4 4

变式练习: 1.若 f ( ) ?

1 x

x 求 f(x) 1? x

1 1 1 1 解: 令 t ? 则x ? (t?0) 则 f (t ) ? t ? 1 t ?1 x t 1? t 1 ∴f(x)= (x?0 且 x?1) x ?1
2.已知
2 ? 1? x ? 1? x ,求 f ? x ? 和 f ? 4? . f? ?? 2 ?1? x ? 1? x
2

?1? t ? 1? ? ? 8 1? x 1? x 2t 1? t ? ? 解:令 t ? ,则 x ? .? f ? t ? ? ? t ? ?1? , f ? 4 ? ? . 2 2 ? 17 1? x 1? x 1? t ? 1? t ? 1? ? ? ?1? t ?
三.待定系数法 例 3 已知 解: 所 以

f ? x ? 为有理函数,且 f ? x ? 1? ? f ? x _1? ? 2 x2 ? 4 x ,求 f ? x ? .

f ? x ? 1? 、 f ? x ?1? 与 f ? x ? 有相同的次数,且 f ? x ? 1? ? f ? x _1? ? 2 x2 ? 4 x , f ? x?
为 二 次 函 数 . 设

f ? x ? ? ax 2 ? bx ? c

,



?2a ? 2, ? 解得 f ? x ? 1? ? f ? x ? 1? ? 2ax ? 2bx ? 2 ? a ? c ? . 由 由 已 知 得 : ?2b ? ?4, ?2 a ? c ? 0, ? ? ?
2

?a ? 1, ? ?b ? ?2, ?c ? ?1. ?

? f ? x ? ? x2 ? 2x ? 1 .
点评:当已知函数类型求解析式时,常用待定系数法. 变式练习: 1.已知 f(x)是一次函数, 且 f[f(x)]=4x?1, 求 f(x)的解析式 解:设 f(x)=kx+b 则 k(kx+b)+b=4x?1

王新敞
奎屯

新疆

? ?k ? ?2 ? k ?2 1 或 ? ?? b?? ? b ?1 ?(k ? 1)b ? ?1 ? 3 ? 1 ∴ f ( x ) ? 2 x ? 或 f ( x) ? ?2 x ? 1 3
则?

?

k2 ? 4

2.设二次函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f (2 ? x) 且 f ( x) =0 的两实根平方和为 10,图象过点 (0,3),求 f ( x) 的解析式. 解:设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) , ∵图象过点(0,3),∴有 f(0)=c=3,故 c=3; 又∵f(x)满足 f ( x ? 2) ? f (2 ? x) 且 f ( x) =0 的两实根平方和为 10, ∴得对称轴 x=2 且 x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 2x1 x2 =10,
2 2

b2 6 b ? 2 且 2 ? ? 10 ,∴a=1,b=-4, ∴ f ( x) ? x 2 ? 4x ? 3 即? 2a a a
四.解方程组法或消去法 例 4 已知

?1? f ? x ? ? 2 f ? ? ? x, 求 f ? x ? . ? x?

解:用

1 代替已知式中的 x 得 x

1 ?1? f ? ? ? 2 f ? x? ? , x ? x?
? ?f ? 联立方程组 ? ?f ? ?

? x? ? 2 f ? ?

1? ? ? x, ? x?

1 ?1? ? ? ? 2 f ? x? ? , x ? x?

x2 ? 2 ?1? 消去 f ? ? ,得 f ? x ? ? ? . 3x ? x?
例 5 已知 af 求

? 2x ? 3? ? bf ?3 ? 2x ? ? 2x(a2 ? b2 ) ,

f ? x? .
t ?3 ,则方程可化为: 2

解:令 t ? 2 x ? 3 ,则 x ?

af ?t ? ? bf ? ?t ? ? t ? 3, ①
在①中以 ?t 代替 t ,得 af

? ?t ? ? bf ?t ? ? ?t ? 3,②
t 3 ? . a ?b a ?b

联立方程①、②并消去

f ? ?t ? ,得 f ? t ? ?

? f ? x? ?

x 3 . ? a ?b a ?b

点评:应用消去法关键是建立与与已知方程中含有同样未知数的方程,通过解方程组获解. 变式练习 已知 f(x)满足 2 f ( x) ? f ( 1 ) ? 3 x ,求 f ( x) ; x ∵已知 2 f ( x) ? f ( 1 ) ? 3 x x 将①中 x 换成 ①, ②,

1 得 2 f ( 1 ) ? f ( x) ? 3 x x x

①×2-②得 3 f ( x) ? 6 x ? 3 x 五.配凑法 例 6 已知

∴ f ( x) ? 2 x ? 1 . x

1? 1 ? f ? x ? ? ? x2 ? 2 ,求 f ? x ? 。 x? x ?
1 f? ? g ? x ?? ? ? ? ? x ? ,求 f ? x ? , 容易联想到用换元法,但若令 t ? x ? x ,
2

分析:该题型属属已知

则用 t 表示 x 就相当困难,不易求得. 解:

1? 1 ? 1? ? f ? x ? ? ? x2 ? 2 ? ? x ? ? ? 2 , x? x? x ? ?

? f ? x ? ? x2 ? 2 .
点评 : 当已知

f? ? ? ? ? x? , 求 f ? x ? 时 , 若不易用换元法求解 , 则思考配凑法 , 即将 ? g ? x? ?

? ? x? 配凑为 g ? x ? 的表达式,再用整体代换而求解.
六.赋值法 例 7 设

f ? x? 是 定 义 在 实 数 集 R

上的函数,满足

f ? 0? ? 1 , 且 对 任 意 实 数 a, b 都 有

f ? a ? b? ? f? a 1? ,求 f ? x ? . ??b ? 2 a? b?
解法一: 令a 又

f ? a ? b? ? f ? a ? ? b ? 2a ? b ? 1?? a, b ? R ? ,

? b ? x ,得 f ? 0? ? f ? x ? ? x ? 2x ? x ? 1? .

f ? 0? ? 1 ,

? f ? x ? ? x2 ? x ? 1 .
七.坐标转换法

例 8 已知

f ? x? ? l o g ? 1 ? , 当 且 仅 当 点 ? x0 , y0 ? 在 y ? f ? x ? a? x

的图象上时,点

? 2x0 ,2 y0 ? 在函数 y ? g ? x ? 的图象上,求函数 g ? x? 的解析式.
解:设

P ? x, y ? 是 函 数 y ? g? x ?

图象上的任意一点.由条件知点

?x y? ? , ? 在函数 ?2 2?

y ? loga ? x ?1? 的图象上.


y ?x ? ?x ? ? log a ? ? 1? ,? y ? 2log a ? ? 1? . 2 ?2 ? ?2 ?

故所求函数 g

? x? 的解析式为 g ? x ? ? 2loga ? ?

x ? ? 1? . ?2 ?

点评:抓住所求函数图像上的点与已知函数图像上的点之间关系,再利用已知点满足已知函数, 从而转换坐标,代入即可求得. 八.图像变换法 例 9 将函数 y

? 2x 的图像先向左平行移动 1 个单位,再向下平行移动 1 个单位,最后再作关

于直线 y ? x 的对称的图像,求所得图像对应的函数解析式. 解 : 函数
向下平移1个单位 ? 函数 y ? 2x 的图像 向左平移1个单位 函数 y ? 2x?1 的图像 ??????

y ? 2x?1 ? 1 的图像 , 而 y ? 2x?1 ? 1 的反函数为 y ? log ? x ? 1? ?1? x ? ?1? . 故所求函数
的解析式为 y ? log

? x ?1? ?1? x ? ?1? .



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