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2014届高考数学(山东专用理科)一轮复习教学案4.2同角三角函数的基本关系及三角函数的诱导公式



4.2
考纲要求

同角三角函数的基本关系及三角函数的诱导公式

π sin α α≠kπ+ (k∈Z)?. 1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2α+cos2α=1, =tan α? 2 ? ? cos α π 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 ±α,π±α 的正弦、余弦、正切的诱导公式, 2 并能灵活运用.


____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ 函数名改变 函数名不变 口诀 符号看象限 符号看象限 即 α+k·2π(k∈Z),-α,π±α 的三角函数值,等于 α 的同名函数值,前面加上一个把 α π 看成__________时原函数值的符号; ±α 的正弦(余弦)函数值,分别等于 α 的余弦(正弦)函 2 数值,前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号. 3.特殊角的三角函数值 0° 30° 45° 60° 90° 120° 150° 180° 270° 角α 角α的 ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ 弧度数 sin α ____ ____ ____ _ ___ ____ ____ ____ ____ ____ cos α ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ tan α ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____
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1.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系:__________; (2)商数关系:__________. 2.诱导公式 组数 一 2kπ+α 角 (k∈Z) ____ 正弦 ____ 余弦 ____ 正切

二 π+α

三 -α

四 π-α

五 π -α 2 ____ ____

六 π +α 2 ____ ____

5 1.已知 cos(α-π)=- ,且 α 是第四象限角,则 sin α=( ). 13 12 12 A.- B. 13 13 12 5 C.± D. 13 12 2.已知 sin x=2cos x,则 sin2x+1=( ). 6 9 4 5 A. B. C. D. 5 5 3 3 5 3.已知 α 是第四象限角,tan α=- ,则 sin α 等于( ). 12 1 1 5 5 A. B.- C. D.- 5 5 13 13 sin α+3cos α 4.已知 =5,则 sin2α-sin αcos α 的值是________. 3cos α-sin α

一、同角三角函数基本关系式的应用 1 【例 1-1】已知 tan α= ,则 cos 2α+sin2α 的值为__________. 4 1 【例 1-2】已知 α 是三角形的内角,且 sin α+cos α= . 5 (1)求 tan α 的值; 1 (2)把 2 用 tan α 表示出来,并求其值. cos α-sin2α 方法提炼 sin α 1.利用 sin2α+cos2α=1 可以实现角 α 的正弦、余弦的互化,利用 =tan α(α≠kπ+ cos α π ,k∈Z)可以实现角 α 的弦切互化. 2 2.注意公式逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α. 3.求值或化简中一定要注意角 α 的范围. 请做演练巩固提升 1,2 二、诱导公式的应用 sin(540° -x) cos(360° -x) 1 【例 2-1】化简: · · =__________. tan(900° -x) tan(450° -x)tan(810° -x) sin(-x) 【例 2-2】化简 cos(π+θ) cos(θ-2π) + . 3π ? 3π cos θ[cos(π-θ)-1] +θ sin(θ- )cos(θ-π)-sin? ?2 ? 2 1 【 例 2 - 3 】 已 知 cos(π + α) = - , 且 α 是 第 四 象 限 角 , 计 算 : 2 sin[α+(2n+1)π]+sin[α-(2n+1)π] (n∈Z). sin(α+2nπ)· cos(α-2nπ) 方法提炼 利用诱导公式化简求值时的原则为: 1.“负化 正”,运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数. 2.“大化小”,利用公式一将大于 360° 的角的三角函数化为 0° 到 360° 的三角函数,利 用公式二将大于 180° 的角的三角函数化为 0° 到 180° 的三角函数. 3.“小化锐”,利 用公式六将大 于 90° 的角化为 0° 到 90° 的角的三角函数. 4.“锐求值”,得到 0° 到 90° 的三角函数后,若是特殊角直接求得,若是非特殊角可 由计算器求得. 提醒:诱导公式中“符号看象限”是指把 α 从形式上看作锐角,从而 2kπ+α(k∈Z),π π π +α,-α,π-α, -α, +α 分别是第一,三,四,二,一,二象限的角. 2 2 请做演练巩固提升 3 三、sin x±cos x 与方程思想 1 【例 3】已知 sin θ-cos θ= ,求: 2 (1)sin θcos θ; (2)sin3θ-cos3θ; (3)sin4θ+cos4θ. 方法提炼 1.已知 asin x+bcos x=c 可与 sin2x+cos2x=1 联立,求得 sin x,cos x,一般此法不常 用,原因是计算麻烦. 2.sin x+cos x,sin x-cos x,sin xcos x 之间的关系为: (sin x+cos x)2=1+2sin xcos x, (sin x-cos x)2=1-2sin xcos x, (sin x+cos x)2+(sin x-cos x)2=2.

因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值可求其余两个代数式的值. 请做演练巩固提升 4 关于诱导公式主观题的规范解答 π? 5 【典例】(12 分)(2012 山东肥城模拟)已知 sin? ?α+2?=- 5 ,α∈(0,π), π α? 2?π α? cos2? ?4+2?-cos ?4-2? (1)求 的值; sin(π-α)+cos(3π+α) 3π? (2)求 cos? ?2α- 4 ?的 值. 分析:利用已知结合诱导公式求出 cos α 和 sin α,把所给三角函数式利用诱导公式和三 角函数关系式化简,即可求得. π 5 α+ ?=- ,(2 分) 规范解答:(1)∵sin? ? 2? 5 5 2 5 ∴cos α=- ,又 α∈(0,π),∴sin α= .(4 分) 5 5 π α? 2?π α? cos2? ?4+2?-cos ?4-2? sin(π-α)+cos(3π+α) π α? α? 2?π cos2? ?4+2?-sin ?4+2? = sin α-cos α π ? cos? ?2+α? -sin α 2 = = =- .(6 分) 3 sin α-cos α sin α-cos α 5 2 5 4 (2)∵cos α=- ,sin α= ,α∈(0,π)?sin 2α=- , 5 5 5 3 cos 2α=- ,(10 分) 5 3π? 2 2 2 cos? ?2α- 4 ?=- 2 cos 2α+ 2 sin 2α=- 10 .(12 分) 答题指导:1.在解答本题时有以下两点容易造成失分: (1)忽略 α 的范围而使解的三角函数值符号错误; (2)在化简时公式应用错误,而使结果错误. 2.在用诱导公式解三角函数的问题时,还有以下几点容易造成失分,在备考时要高度 关注: (1)诱导公式记忆不准确; (2)不注意角的范围和象限,造成符号的错误. 另外,需要熟练掌握几种常见角的变形和公式的变形,才能快速正确地解决这类问题.
[来源:学科网 ZXXK]

1.已知 α∈(0,π),且 sin α+cos α= A.- 2 C. 2 B.- D. 6 2 6 2

2 ,则 sin α-cos α 的值为( 2

).

3 3π 2.若 cos α=- ,且 α∈(π, ),则 tan α=__________. 5 2 sin(kπ+α) cos(kπ+α) 3.已知 A= + (k∈Z),则 A 的值构成的 集合是__________. sin α cos α

4.已知关于 x 的方程 2x 2-( 3+1)x+m=0 的两根为 sin θ 和 cos θ,θ∈(0,2π),求 m 的值.

参考答案
基础梳理自测 知识梳理 1.(1)sin2α+cos2α=1 2. sin α -sin α -sin α tan α tan α π π π 3.0 6 4 3 3π 1 2 0 2 2 2 3 2 1 1 2 2 2 3 0 1 3 3 基础自测 sin α π (2)tanα= (α≠kπ+ ,k∈Z) cos α 2 -sin α sin α cos α cos α cos α -cos α cos α -cos α sin α -tan α -tan α 锐角 π 2π 5 π π 2 3 6 3 3 1 1 0 -1 2 2 2 1 3 0 - - -1 0 2 2 3 不存在 - 3 - 0 不存在 3

5 5 1.A 解析:cos(α-π)=-cos α=- ,cos α= . 13 13 12 2 sin α=± 1-cos α=± , 13 12 ∵α 是第四象限角,∴sin α=- . 13 2.B 解析:∵sin2x+cos2x=1, 1 4 2 ?2 ∴sin2x+? ?2sin x? =1,∴sin x=5, 9 ∴sin2x+1= . 5 sin α 5 3.D 解析:由 tan α= =- ,sin2α+cos2α=1 及 α 是第四象限角,解得 sin α= cos α 12 5 - . 13 sin α+3cos α tan α+3 2 4. 解析:由 =5 得, =5,即 tan α=2. 5 3cos α-sin α 3-tan α 所以 sin2α-sin αcos α sin2α-sin αcos α tan2α-tan α 2 = = = . 5 sin2α+cos2α tan2α+1 考点探究突破 16 【例 1-1】 解析:cos 2α+sin2α=1-2si n2α+sin2α=cos2α 17 cos2α 1 16 = 2 . 2 = 2 = 17 cos α+sin α 1+tan α 【例 1-2】解:(1)联立方程 1 ? ① ?sin α+cos α=5, ? ② ? ?sin2α+cos2α=1. 1 由①得 cos α= -sin α,将其代入②. 5 2 整理得 25sin α-5sin α-12=0. ∵α 是三角形的内角,

?sin α=5, ∴? 3 ?cos α=-5.
4 ∴tan α=- . 3 sin2α+cos2α 1 (2) 2 = cos α-sin2α cos2α-sin2α sin2α+cos2α cos2α tan2α+1 = 2 . 2 = cos α-sin α 1-tan2α 2 cos α 4 ∵tan α=- , 3 tan2α+1 1 ∴ 2 = cos α-sin2α 1-tan2α ?-4?2+1 ? 3? 25 = =- . 4?2 7 1-? ?-3? sin(180° -x) 1 cos x sin x 【例 2-1】sin x 解析:原式= · · = · tan tan(180° -x) tan(90° -x)tan(90° -x) -sin x -tan x 1 ? x· tan x? ?-tan x?=sin x. -cos θ cos θ 1 1 【例 2-2】解:原式= + = + = cosθ(-cos θ-1) cos θ(-cos θ)+cos θ 1+cos θ 1-cos θ 2 . sin2θ 1 【例 2-3】解:∵cos(π+α)=- . 2 1 1 ∴-cos α=- ,cos α= . 2 2 sin[α+(2n+1)π]+sin[α-(2n+1)π] 则 sin(α+2nπ)· cos(α-2nπ) sin(2nπ+π+α)+sin(-2nπ-π+α) = sin(2nπ+α)· cos(-2nπ+α) sin(π+α)+sin(-π+α) = sin α· cos α -sin α-sin(π-α) -2sin α = = sin α· cos α sin αcos α 2 =- =-4. cos α 1 【例 3】解:(1)sin θ-cos θ= . 2 1 平方得 1-2sin θcos θ= , 4 3 sin θcos θ= . 8 3 11 1 1+ ?= . (2)sin3θ-cos3θ=(sin θ-cos θ)(sin2θ+sin θcos θ+cos2θ)= ? 8? 16 2? 9 23 (3)sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-2× = . 64 32

4

演练巩固提升 2 2 ,0< <1,可得 cos α<0,故 sin α-cos α>0. 2 2 1 (sin α+cos α)2=1+2sin αcos α= , 2 1 则 2sin αcos α=- ; 2 3 (sin α-cos α)2=1-2sin αcos α= , 2 6 所以 sin α-cos α= . 2 4 1 2. 解析:由 1+tan2α= 2 , 3 cos α 16 则 tan2α= . 9 3π? 又因 α∈? ?π, 2 ?, 4 故 tan α>0,则 tan α= . 3 -sin α cos α sin α cos α 3.{-2,2} 解析:当 k 为 偶数时,A= + =2;k 为奇数时,A= - sin α cos α sin α cos α =-2. 4.解:由韦达定理可知 1.D 解析:由 si n α+cos α=

?sin θ+cos θ= ? m ?sin θcos θ= 2

3+1 , 2

① ②

2+ 3 由①式平方得 1+2sin θcos θ= , 2 3 m 3 ∴sin θcos θ= , 由②得 = . 4 2 4 3 ∴m= . 2
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