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离散型随机变量的分布列2-3 (9)



成才之路 ·数学
人教A版 ·选修2-3

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第二章 随机变量及其分布

第二章 2.1 离散型随机变量及其分布列
2.1.2 第1课时 离散型随机变量的分布列 离散型随机变量的分布列

1

自主预习学案

/>2

典例探究学案

3

课 时 作 业

自主预习学案

1 .理解离散型随机变量分布列的概念、性质,会求分布 列;能够运用概率分布求所给事件的概率.

2 .通过实例,理解超几何分布的意义及其概率的推导过
程,并能运用公式解决简单问题.

重点:离散型随机变量分布列的概念、性质和分布列的求

法.
难点:简单离散型随机变量分布列的求法.

离散型随机变量的分布列 温故知新 回顾复习古典概型的特点及概率计算、离散型随机变量的 特点.

思维导航
1 .想一想,投掷一颗骰子,所得点数记为 ξ ,则 ξ 可取哪 些数字?ξ取各个数字的概率分别是多少?可否用列表法表示ξ 的取值与其概率的对应关系?投掷两颗骰子,将其点数之和记 为ξ,则ξ可能的取值有哪些,你能列表表示ξ取各值的概率与ξ 取值的对应关系吗?

新知导学 1.离散型随机变量的分布列 (1)定义:一般地,若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1、x2、?、xi、?、xn,X 取每一个值 xi(i=1,2,?,n)的概率 P(X=xi)=pi,以表格的形式表示如下: X P 的分布列. x1 p1 x2 p2 ? ? xi pi ? ? xn pn

那么上表称为离散型随机变量 X 的概率分布列,简称为 X

表格法 、_________ 解析法 、 (2)表示:离散型随机变量可以用_________
图象法 表示. __________ (3)性质:离散型随机变量的分布列具有如下性质: 0 ①pi≥__________ ,i=1,2,?,n; 1 ② ?pi=__________.
i=1 n

两个特殊分布 思维导航 2 .在妇产科医院统计一天的新生婴儿的出生情况,在性 别这一方面共有几种情况? 3 .在含有 3 名教师、 7 名学生共 10 人的团队中任意选取 3 人,(1)若其中恰有1名教师的情况有哪些?其概率是多少?(2)

若其中所含教师人数记为ξ,则ξ可能的取值有哪些?怎样求其
概率?你能将这一问题一般化表达,并再找出类似的例子吗? 其一般概率公式如何推导?

新知导学 2.两个特殊分布列 (1)两点分布列 如果随机变量 X 的分布列是 X P 0 1-p 1 p

这样的分布列叫做两点分布列.如果随机变量 X 的分布列

两点分布 .而称 p=P(X=1)为 为两点分布列,就称 X 服从__________ 成功概率 . __________

(2)超几何分布列 一般地,在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中 恰 有 X 件 次 品 , 则 事 件 {X = k} 发 生 的 概 率 为 P(X = k) = n-k Ck C M N-M n C __________ ,k=0,1,2,?,m,其中 m=min{M,n},且 n≤N, N M≤N,n、M、N∈N*,称分布列
X P 0
n 0 C0 MCN-M Cn N


1
n 1 C1 MCN-M Cn N


? ?

m
n m Cm MCN-M n CN


超几何分布列 . 为______________ 如果随机变量X的分布列为超几何分布列,则称随机变量X 超几何分布 . 服从____________

n-k Ck C M N-M (3)公式 P(X=k)= Cn 的推导 N

由于事件{X=k}表示从含有 M 件次品的 N 件产品中, 任取 n 件,其中恰有 k 件次品这一随机事件,因此它的基本事件为 从 N 件产品中任取 n 件. 由于任一个基本事件是等可能出现的, Cn N 并且它有__________ 个基本事件,而其中恰有 k 件次品,则必
k n-k C 有(n-k)件正品,因此事件{X=k}中含有__________ MCN-M 个基本事

n-k Ck C M N-M 件,由古典概型的概率公式可知 P(X=k)= Cn . N

牛刀小试 1.设离散型随机变量 ξ 的概率分布如下表: ξ Pi 则 p 的值为( 1 A.2 1 C.3 1 1 6 ) 1 B.6 1 D.4 2 1 3 3 1 6 4 p

[答案] C

[解析]

对于离散型随机变量分布列中的参数的确定,应

1 1 1 根据随机变量取所有值时的概率和等于 1 来确定, 由6+3+6+ 1 p=1 得 p=3,选 C.

2. (2015· 福州市八县高二期末)随机变量 X 的概率分布规律 1 5 a 为 P(X=n)= (n=1,2,3,4),其中 a 是常数,则 P(2<X<2) n?n+1? 的值为( 2 A.3 4 C.5 ) 3 B.4 5 D.6

[答案] D

a [解析] ∵P(X=n)= (n=1,2,3,4), n?n+1? a a a a ∴2+6+12+20=1, 5 ∴a=4, 1 5 5 1 5 1 5 ∵P(2<X<2)=P(X=1)+P(X=2)=4×2+4×6=6.

3. 一个袋子中有形状大小完全相同的 3 个白球和 4 个红球. (1)从中任意摸出一球,用 0 表示摸出白球,用 1 表示摸出 红球,即
? ?0 X=? ? ?1

摸出白球, 求 X 的分布列; 摸出红球.

(2) 从中任意摸出两个球,用“X = 0”表示两个球全是白 球,用“X=1”表示两个球不全是白球,求 X 的分布列.

[分析]

(1)从中任意摸一球,只有两种结果,或是红球,

或不是红球(即白球),符合两点分布.(2)从中任意摸两个球,
要么“全是白球”,要么“不全是白球”,只有这两种结果, 故符合两点分布.

[解析] (1)X 的分布列如下表: X P (2)X 的分布列如下表: X P 0 1 7 1 6 7 0 3 7 1 4 7

典例探究学案

离散型随机变量的分布列 一袋中装有 6 个同样大小的小球,编号分别为 1、2、3、4、5、6,现从中随机取出3个球,以X表示取出球的 最大号码,求X的分布列.

[分析] 随机取出3个球的最大号码X的所有可能取值为3、
4 、 5 、 6.“X = 3”对应事件“取出的 3 个球的编号为 1 、 2 、 3”;“ X = 4”对应事件“取出的 3 个球中恰取到 4 号球和 1 、 2、3号球中的2个”;“X=5”对应事件“取出的3个球中恰取 到5号球和1、2、3、4号球中的2个”;“X=6”对应事件“取 出的3个球中恰取到6号球及1、2、3、4、5号球中的2个”,而 要求其概率则要利用等可能事件的概率和排列组合知识来求 解,从而获得X的分布列.

[解析] 随机变量 X 的可能取值为 3、4、5、6.从袋中随机 地取出 3 个球,包含的基本事件总数为 C3 6,事件“X=3”包含 的基本事件总数为 C3 3 ;事件 “X= 4” 包含的基本事件总数为
2 C2 ;事件 “ X = 5 ” 包含的基本事件总数为 C 3 4;事件“X=6”包 3 2 C 1 C 3 3 含的基本事件总数为 C2 . 从而有 P ( X = 3) = = , P ( X = 4) = 3 5 C6 20 C3 6 2 3 C2 3 C 1 4 5 =20,P(X=5)=C3=10,P(X=6)=C3=2. 6 6

所以随机变量 X 的分布列如下表: X P 3 1 20 4 3 20 5 3 10 6 1 2

[方法规律总结] 个值的概率.

(1)解此类题关键搞清离散型随机变量 X

取每一个值时对应的随机事件,利用排列组合知识求出 X 取每 (2)求离散型随机变量的分布列的步骤: ①找出随机变量 ξ 的所有可能取值 xi(i=1、2、3、?、n) 以及 ξ 取每个值的意义; ②求出取各值的概率 P(X=xi)=pi; ③列成表格得到分布列.

将一颗骰子掷两次,求两次掷出的最大点数ξ的分布列.
[解析] 将一颗骰子连掷两次共出现 6×6=36 种等可能的 基本事件,其最大点数 ξ 可能取的值为 1、2、3、4、5、6. 1 P(ξ=1)=36,ξ=2 包含三个基本事件(1,2)、(2,1)、(2,2), (x,y)表示第一枚骰子点数为 x,第二枚骰子点数为 y.

3 1 5 7 ∴P(ξ=2)=36=12.同理可求 P(ξ=3)=36,P(ξ=4)=36, 1 11 P(ξ=5)=4,P(ξ=6)=36, ∴ξ 的分布列为 ξ P 1 1 36 2 1 12 3 5 36 4 7 36 5 1 4 6 11 36

离散型随机变量分布列的性质及应用
1k 设随机变量 ξ 的分布列为 P(ξ=k) =a(3) .(k= 1,2,?,n),求实数 a 的值.

[分析]

由题目可获取以下主要信息:①给出随机变量ξ的

分布列关系式;②求关系式中的变量a的值.

解答本题可先写出k=1,2,?,n时的关系式,再利用离散
型随机变量分布列的性质p1+p2+p3+?+pn=1求值.

1 [解析] 依题意,有 P(ξ=1)=3a, 12 1n P(ξ=2)=(3) a,?,P(ξ=n)=(3) a, 由 P(ξ=1)+P(ξ=2)+?+P(ξ=n)=1 知, 1 1 ?1-3n? 3 1 1 1 a(3+32+?+3n)=1.则 a· 1 =1. 1-3 2×3n ∴a= n . 3 -1

[方法规律总结] 性质:

离散型随机变量的分布列具有以下两个

(1)pi≥0,i=1,2,3,?;(2)p1+p2+p3+?=1.利用上述性 质可以验证某个数列{pi}是否可以成为某一随机变量分布列中 随机变量取值的概率.还可以利用上述分布列的性质确定随机 变量的分布列中未知的概率数值.

(1)(2014~2015· 常州市高二期中)设随机变量 X 的分布列 k P(X=i)=2i(i=1,2,3),则 P(X≥2)=________. (2)设随机变量 X 的概率分布列为 X P 1 1 3 2 m 3 1 4 4 1 6

,则 P(|X-3|=1)=________.

3 5 [答案] (1)7 (2)12

[分析]
(X≥2).

(1) 先 由 分 布 列 的 性 质 求 k , 再 用 间 接 法 求 P

(2) 先由分布列的性质求出 m,再找出满足 |X- 3| =1的 X 的 值,即可求得概率.
k k k [解析] (1)由条件知2+22+23=1, 8 ∴k=7, 1 8 3 ∴P(X≥2)=1-P(X=1)=1-2×7=7.

1 1 1 1 (2)3+m+4+6=1,解得 m=4, P(|X-3|=1)=P(X=2)+P(X=4) 1 1 5 =4+6=12.
[点评] 解答随机变量分布列中求参数值的问题时,要牢
n

记分布列的两个性质:Pi≥0, ?Pi=1.
i=1

两点分布问题
袋内有 5 个白球,6 个红球,从中摸出两球,记
? ?0 X=? ? ?1

两球全红, 求 X 的分布列. 两球非全红.

[分析] 由题目可获取以下主要信息: (1)袋内白球和红球的个数; (2)随机变量X的取值.

解答本题可先根据题设条件求出 P(X = 0) ,再由两点分布
的性质求出P(X=1),列出表格即可.

C2 3 6 [解析] 显然 X 服从两点分布,P(X=0)=C2 =11. 11 3 8 ∴P(X=1)=1-11=11, ∴X 的分布列是 X P 0 3 11 1 8 11

[方法规律总结] 1.两点分布又称 0~1 分布,须注意并不 是只取两个值的随机变量才服从两点分布,如随机变量 ξ 的分 布列如下表 ξ P
? ?0 y=? ? ?1

2 0.3

3 0.7

它就不是两点分布,但经过适当变换后,它可以变为两点 分布.如令 布列为: ξ=2, 则随机变量 y 服从两点分布,分 ξ=3.

y P

0 0.3

1 0.7

用两点分布不仅可以研究只有两个结果的随机试验的概率 分布规律,也可以研究其它一些随机事件的概率分布.如在有 多个结果的随机试验中,我们经常只关心某个随机事件是否发 生,这时就可以用两点分布来研究它.

在掷骰子试验中,有 6 种可能结果,如果我们只关心出现 的点数是否小于 4,问如何定义随机变量 η,才能使 η 满足两点 分布,并求其分布列.

[解析]
? ?1 η=? ? ?0

随机变量 η 可以定义为: 掷出点数小于4, 掷出点数不小于4.

显然 η 只取 0,1 两个值. 3 1 且 P(η=1)=P(掷出点数小于 4)=6=2,故 η 的分布列为 η P 0 1 2 1 1 2

超几何分布列 某产品 40 件,其中有次品 3 件,现从中任取 3

件,求取出的3件产品中次品数ξ的分布列.
[ 分析 ] ξ 的所有取值为 0 、 1 、 2 、 3 ,事件“ ξ = k”表示 “ 3 件产品中恰有 k 件次品” (k = 0 、 1 、 2 、 3)(“ξ = 0”等价于 “3件全是正品”),符合超几何分布,分别计算P(ξ=k),列出 分布列.

[解析] ξ 的所有可能取值为 0、1、2、3.
1 C3 777 C2 999 37 37C3 P(ξ=0)=C3 =988,P(ξ=1)= C3 =4940, 40 40 2 3 C1 111 C0 1 37C3 37C3 P(ξ=2)= C3 =9880,P(ξ=3)= C3 =9880. 40 40

于是所得 ξ 的分布列如下表: ξ P 0 777 988 1 999 4940 2 111 9880 3 1 9880

[ 方法规律总结 ]

1. 在求离散型随机变量的分布列之前,

要弄清楚随机变量可能取的每一个值,以及取每一个值时所表 示的意义,另外需要求出随机变量 ξ 取每个值时相应的概率, 这就要用到以前所学的排列 、组合知识,以及概率的求法 等.要得出正确地分布列,关键是准确地求出相应的概率.

2.超几何分布是一种重要的概率分布,其特征明显:在总 数为 N 件的物品中,含有 A 类物品 M 件,从中任取 n 件,其
n-k Ck · C M N-M 中恰有 X 件 A 类物品, 其概率 P(X=k)= Cn (k=0、 1、 2、 ?、 N

m).解题时应先分析随机变量是具满足超几何分布.若满足, 则可直接依据定义中的概率表达式写出结果.否则利用计数原 理与概率知识求解.

(2015·江西上饶市三模)对某校高二年级学生暑期参加社会

实践次数进行统计,随机抽取M名学生作为样本,得到这M 名
学生参加社会实践的次数.根据此数据作出了频数与频率的统 计表和频率分布直方图如下: 分组 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) 合计 频数 20 48 m 4 M 频率 0.25 n p 0.05 1

(1)求出表中 M,p 及图中 a 的值; (2)在所取样本中,从参加社会实践的次数不少于 20 次的 学生中任选 3 人,记参加社会实践次数在区间[25,30)内的人数 为 X,求 X 的分布列.

[解析]

(1)由频率分布表和频率分布直方图的知识与性质

20 48 n 知,M =0.25,M =n,0.25+n+p+0.05=1,5=a,解之可得 M =80,p=0.1,a=0.12. (2)参加社会实践次数分别在[20,25]和[25,30)的人数依次为 0.1×80=8 人,0.05×80=4 人,从这 12 人中随机抽取 3 人, 随机变量 X 的取值为 0,1,2,3. C3 56 14 8 P(X=0)=C3 =220=55, 12
1 C2 C 112 28 8 4 P(X=1)= C3 =220=55, 12

2 C1 48 12 8C4 P(X=2)= C3 =220=55, 12

C3 4 1 4 P(X=3)=C3 =220=55. 12 分布列如下: X P 0 14 55 1 28 55 2 12 55 3 1 55



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