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2015四川高考文科数学前4道解答题组合训练九


2015 四川高考数学解答题组合训练九
1. (本小题满分 12 分) 如图, 某城市有一条公路从正西方 AO 通过市中心 O 后转向东偏北 ? 角方向的 OB .位于该市的某大学 M 与市中心 O 的距离 OM ? 3 13km ,且 ?AOM ? ? .现 要修筑一条铁路 L,L 在 OA 上设一站 A ,在 OB 上设一站 B,铁路在 AB 部分为直线段,且经 3 过大学 M .其中 tan ? ? 2 , cos ? ? , AO ? 15km . 13 (Ⅰ)求大学 M 与站 A 的距离 AM ; (Ⅱ)求铁路 AB 段的长 AB .
B L

L L M
?

?
O

A

2. (本小题满分 12 分)已知单调递增的等比数列 {an } 满足: a2 ? a3 ? a4 ? 28,且

a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项.
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? an log 1 an , Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,求使 Sn ? n ? 2
2

n ?1

? 30 成立的正整数 n 的

最小值.

1

3. (本小题满分 12 分)在四棱锥 P ? ABCD 中, 平面PAC ? 平面 ABCD , ?ABC 是边长为 4 的正三角形 , AC 与 BD 的交点 M 恰好是 AC 中点 , 又 ?ADC ? 120 , 点 N 在线段 PB 上 , 且
PN 1 ? NB 3 .

(Ⅰ)求证: PA ? BD ; (Ⅱ)求证: MN / / 平面 PDC .

P

N

A D M B C

4. (本小题满分 12 分)最新高考改革方案已在上海和江苏开始实施,某教育机构为了解我 省广大师生对新高考改革方案的看法, 对某市部分学校 500 名师生进行调查, 统计结果如下:

在全体师生中随机抽取 1 名“赞成改革”的人是学生的概率为 0.3,且 x=2y. (Ⅰ)现从全部 500 名师生中用分层抽样的方法抽取 50 名进行问卷调查,则应抽取“不 赞成改革”的教师和学生人数各是多少? (Ⅱ)在(Ⅰ)中所抽取的“不赞成改革”的人中,随机选出三人进行座谈,求至少有一名 教师被选出的概率。

2

1. 【解析】 (1)在 ?AOM 中, AO ? 15 , ?AOM ? ? 且

cos ? ?

3 13 , OM ? 3 13 ,

2 2 2 由余弦定理得, AM ? OA ? OM ? 2OA ? OM ? cos ?AOM

? (3 13) 2 ? 152 ? 2 ? 3 13 ? 15 ?

3 13

? 13 ? 9 ? 15 ?15 ? 2 ? 3 ?15 ? 3 ? 72.
? AM ? 6 2 ,即大学 M 与站 A 的距离 AM 为 6 2km ;

cos ? ?

3 13 ,且 ? 为锐角,

? sin ? ?

2 13 ,

(2)

在 ?AOM 中,由正弦定理得,

AM OM ? sin ? sin ?MAO

,

6 2 3 13 ? 2 2 sin ?MAO ? ? sin ?MAO ? ??MAO ? 2 , 4, 即 13 ,
??ABO ? ? ?

?
4,
tan ? ? 2 ,

? sin ? ?

2 5,

cos ? ?

1 5, 2 5,

? sin ?ABO ? sin(? ?

?
4

)?

1 10 ,又 ?AOB ? ? ? ? ,

? sin ?AOB ? sin(? ? ? ) ?

AB AO ? 在 ?AOB 中, AO ? 15 , 由正弦定理得, sin ?AOB sin ?ABO , AB 15 ? 2 1 10 ,? AB ? 30 2 ,即铁路 AB 段的长 AB 为 30 2km . 即 5

2. 【解析】 ( 1 )设等比数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公比为 q. 依题意,有 2(a3 ? 2) ? a2 ? a4 ,代 入
2 ? ?q ? 2, ? a1q ? 8, 解之得 或 a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,可得 a3 ? 8 ,? a2 ? a4 ? 20 ,? ? ? 3 a ? 2 a q ? a q ? 20, ? ? 1 ? 1 1

1 ? ?q ? , n 2 又数列 ?an ? 单调递增, ? q ? 2 , a1 ? 2 ,? 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2 . ? ? ? a1 ? 32.
3

6 (2)? bn ? 2n log 1 2n ? ?n ? 2n ,? Sn ? ?(1? 2 ? 2 ? 2 ?
2
2

? n ? 2n ) ,

2Sn ? ?[1? 22 ? 2 ? 23 ?
2

? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1 ] ,
3

两式相减,得 Sn ? 2 ? 2 ? 2 ?

? 2n ? n ? 2n?1 ? 2n?1 ? 2 ? n ? 2n?1.

? Sn ? n ? 2n?1 ? 30 即 2n?1 ? 2 ? 30 ,即 2n?1 ? 32 ? 25
? n ? 1 ? 5 ? n ? 1 ? 5 从而 n ? 4 故正整数 n 的最小值为 5.
? 使? Sn ? n ? 2n?1 ? 30 成立的正整数 n 的最小值为 5.
3. 【解析】 (1)因为 ?ABC 是正三角形, M 是 AC 中点, 所以 BM ? AC ,即 BD ? AC , 又 平面PAC ? 平面ABCD , 平面PAC 所以 BD ? 平面 PAC . 又 PA ? 平面 PAC ,所以 PA ? BD . . (2)在正三角形 ABC 中, BM ? 2 3 在 ACD 中,因为 M 为 AC 中点, DM ? AC ,所以 AD ? CD , 因为 ?ADC ? 120 ,所以 ?ADM ? 60 .
DM ? 2 3 3 ,所以 BM : MD ? 3 :1 ,

12 分

平面ABCD ? AC, BD ? 平面 ABCD , BD ? AC ,

所以,

所以 BN : NP ? BM : MD ,所以 MN // PD . 又 MN ? 平面 PDC , PD ? 平面 PDC , 所 以 MN // 平面 PDC . 4. (Ⅰ)由题意

x ? 0.3,? x ? 150 ,所以 y ? z ? 60 , 500 50 ? 20 ? 2, 应 抽 取 学 生 人 数 500

因 为 z ? 2 y , 所 以 y ? 20, z ? 40, 则 应 抽 取 教 师 人 数

50 ? 40 ? 4. 500

5分

(Ⅱ)所抽取的“不赞成改革”的 2 名教师记为 a , b ,4 名学生记为 1,2,3,4,随机选出
4

三人的不同选法 有 (a, b,1), (a, b,2), (a, b,3), (a, b,4), (a,1,2), (a,1,3), (a,1,4), (a,2,3), (a,2,4), (a,3,4) ,

(b,1,2)(b,1,3), (b,1,4), (b,2,3), (b,2,4), (b,3,4) , (1,2,3), (1,2,4), (1,3,4), (2,3,4), 共 20 种,
分 至少有一名教师的选法有

9

(a, b,1), (a, b,2), (a, b,3), (a, b,4), (a,1,2), (a,1,3), (a,1,4), (a,2,3), (a,2,4), (a,3,4) ,
(b,1,2)(b,1,3), (b,1,4), (b,2,3), (b,2,4), (b,3,4) 共 16 种,
至少有一名教师被选出的概率 p ?

16 4 ? . 20 5

5


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