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高中数学竞赛专题讲座函数2:函数的图像和性质



高中数学竞赛专题讲座:函数
第二节
基础知识: 一、函数的图像 1、函数 y=f(x)的图象是由坐标为(x,f(x))的点构成的;要证明点(a,b)在函数 y=f(x)的图象上,只须 证明 b=f(a); 2、画图象的方法——描点法和图象变换法.要掌握这两种方法; 由函数解析式,用描点法作图象应①化简解析式;②分析函数的性质如:分布范围、变化趋势、对称性、 周

期性等,③选算对应值,列表描点; 3、要理解图象变换与函数式的变换之间的关系,常见的图象变换有:平移、伸缩、对称、旋转等 (1)平移变换 函数 y=f(x+a)(a≠0)的图象——把函数 y=f(x)的图象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|; 函数 y=f(x)+b(b≠0)的图象——把函数 y=f(x)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b| 函数 y=f(x+a)+b(b≠0)的图象呢? 函数 y=f(x)的图象按向量 a =(h,k)平移后得函数 y=f(x-h)+k (2)对称变换 函数 y=f(-x)的图象与 y=f(x)的图象关于 y 轴对称(即把(x,y)换成(-x,y)); 函数 y=-f(x)的图象与 y=f(x)的图象关于 x 轴对称;(即把(x,y)换成(x,-y)) 函数 y=-f(-x)的图象与 y=f(x)的图象关于原点对称(即把(x,y)换成(-x,-y)); 函数 y=f
-1

6、若 f(x)满足 f(a+x)+f(b-x)=c 则 f(x)的图象关于点 (

函数的图像和性质

a?b c , ) 中心对称。 2 2

证明:设 P ( x,y )是图象上任一点,则 y=f(x) ;由中点公式得 P 关于点 (

a?b c , ) 对称的点为 2 2

Q(a+b-x,c-y).设 t=b-x 即 x=b-t 代入 f(a+x)+f(b-x)=c 得 f(t)=c-f(a+b-t)即 f(a+b-x) =c- f(x)=c-y,
即 Q 在图象上。所以 f(x)的图象象关于点 (

a?b c , ) 中心对称。 2 2

特例:若 f(a+x)+f(a-x)=2c 则 f(x)的图象以点(a,c)为对称中心. 二、函数的性质 单调性: 1、函数单调性定义:如果对于任意的 x1、x2∈(a,b),当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2) 〔或 f(x1) >f(x2) 〕 ,那么就说 f(x)在这个区间(a,b)上是增函数(或减函数),(a,b)叫这个函数的单调递增(或 递减)区间,说 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性。 2、函数单调性指的是某个区间上的性质,是定义域中的一部分;要说函数是增函数则必须在整个定 义域内递增;函数在每个区间上递增也未必是增函数,如正切函数,y= -1/x 等; 3、复合函数单调性:设 y=f(u) ,u=g(x) ,x∈[a,b] ,u∈[m,n]都是单调函数,则 y=f[g(x) ] 在[a,b]上也是单调函数——同增异减,即 (1)若 y=f(u)是[m,n]上的增函数,则 y=f[g(x) ]与 u=g(x)的增减性相同; (2)若 y=f(u) 是[m,n]上的减函数,则 y=f[g(x) ]的增减性与 u=g(x)的增减性相反. 4、判断函数单调性的方法: ①定义法,即比较法;②图象法;③复合函数单调性判断法则;④导数; 5、实际上,用导数求解或判断一般函数单调性是很便捷的方法,定义法是基本方法,常用来判定抽 象函数或不易求导的函数的单调性。 6、一些常用的结论: ①奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同; ②偶函数在其对称区间上的单调性相反; ③单调函数必有反函数,且单调性一致; ④在公共定义域内:增函数 f ( x) ? 增函数 g ( x) 是增函数;减函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是减函数;增 函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是增函数;减函数 f ( x) ? 增函数 g ( x) 是减函数

(x)的图象与 y=f(x)的图象关于直线 y=x 对称;

函数 y=f(|x|)的图象——把 y=f(x)在 y 轴右方的图象换成 y 轴左边的对称图形即可; 函数 y=|f(x)|的图象——把 y=f(x)的图象在 x 轴下方的翻折到 x 轴上方而得到. 3、奇偶函数图象的对称性,互为反函数的图象的对称关系; 4、 若 f(x)满足 f(a+x)=f(b-x)则 f(x)的图象以 x ? 的图象关于 x=a 对称。

k ? ? ? (k ? 0) 是奇函数,在 ??, ? k ? ? 和 ? k , ?? 上递增;在 ? ? k , 0 和 0,k ? 上是 x k 递减,进而可确定 y ? ax ? 型函数的的单调区间。 x
⑤函数 y ? x ? 奇偶性: 1.函数的奇偶性的定义:由定义知:定义域必关于原点对称; 2.奇偶函数的性质:偶函数的图象关于 y 轴对称,奇函数的图象关于原点对称;这也是判奇偶函数的 依据; 3.若奇函数 f(x)的定义域包含 0 ,则 f(0)=0;f(x)为偶函数?f(x)=f(|x|) 4.判断函数的奇偶性,先看定义域,再看是否 f(-x)=±f(x 或等价形式: f ( x) ? f (? x) ? 0 ,

?

?

? ?

a?b 为对称轴;特例: 若 f(a+x)=f(a-x)则 f(x) 2

a?b ,0) 为对称中心;特例:若 f(a+x)=-f(a-x) 5、若 f(x)满足 f(a+x)=-f(b-x)则 f(x)的图象以 ( 2
则 f(x)的图象以点(a,0)为对称中心。
14

f ( x) ? ?1 f (? x)
5.设 f(x),g(x)的定义域分别是 D1,D2,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇 ? 奇=偶,偶+偶=偶, 偶 ? 偶=偶,奇 ? 偶=奇

6.若函数 g(x),f(x),f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的,则 u=g(x),y=f(u)都是奇函数时,y=f[g(x)] 是奇函数;u=g(x),y=f(u)都是偶函数,或者一奇一偶时,y= f[g(x)]是偶函数. 7.奇偶性与单调性:奇函数在对称区间(-b,-a)与(a,b)上增减性相同。偶函数在对称区间(-b,-a) 与(a,b)上增减性相反。 周期性 1.函数的周期性定义: 若 T 为非零常数, 对于定义域内的任一 x, 使 f ( x ? T ) ? f ( x) 恒成立, 则 f(x) 叫做周期函数,T 叫做这个函数的一个周期。周期函数定义域必是无界的 2.若 T 是周期,则 k·T(k≠0,k∈Z)也是周期,所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的 周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非所都有最小正周期。如常函数 f(x)=C; 3.若函数 f(x)对定义域内的任意 x 满足:f(x+a)=f(x-a),则 2a 为函数 f(x)的周期。 (若 f(x)满足 f(a+x)=f(a-x)则 f(x)的图象以 x=a 为图象的对称轴,应注意二者的区别) 4.若函数 f(x)图象有两条对称轴 x=a 和 x=b, (a<b) ,则 2(b-a)是 f(x)的一个周期 证明:设P( x, y )为y ? f ( x)图像上任一点,则y ? f ( x),且

给出证明; (3)当 k ? 2 时,求证:在区间 [ ? 1, 5 ] 上, y ? kx ? 3k 的图像位于函数 f ( x) 图像的上方.

P( x, y )关于直线x ? a对称的点Q(2a ? x, y )也在图像上,y ? f (2a - x). ? f ( x) ? f (2a - x) ①, 同理f ( x) ? f (2b - x) ②. ? f ( x) ? f (2a - x) ? f [2b - (2a - x)] ? f [2(b - a) ? x], 2(b - a)为周期。 5.若函数 f(x)图象有两个对称中心(a,0) , (b,0) (a<b) ,则 2(b-a)是 f(x)的一个周期。(证 一证) 6.若函数 f(x)有一条对称轴 x=a 和一个对称中心(b,0) (a<b),则 4(b-a)是 f(x)的周期。 证明:由已知f ( x) ? f (2a ? x), f ( x) ? ? f (2b ? x).

解:(1)如图所示: (2)方程 f ( x) ? 5 的解分别是 2 ? 14,

0, 4 和 2 ? 14 ,由于 f ( x) 在 ( ? ?, ? 1 ]

和 [ 2, 5 ] 上单调递减,在 [ ? 1, 2 ] 和 [ 5, ? ? ) 上单调递增,因此 A ? ? ?, 2 ? 14 ?

[ 0, 4 ] ? 2 ? 14, ? ? , 由于 2 ? 14 ? 6, 2 ? 14 ? ?2, ? B ? A
(3)[解法一] 当 x ? [ ? 1, 5 ] 时, f ( x) ? ? x 2 ? 4x ? 5 . g ( x) ? k ( x ? 3) ? (? x 2 ? 4x ? 5)

?

?

?

?

? f ( x) ? f (2a ? x) ? ? f [2b ? (2a ? x)] ? ? f [2(b ? a) ? x] ? ? f [2a ? 2(b ? a) ? x] ? ? f [2(2a ? b) ? x] ? f [2b ? 2(2a ? b) ? x] ? f [4(b ? a) ? x], 周期为4(b ? a).
举例:y=sinx,等. 二、典型例题精选 例 1.作出下列函数的图象: (1) y ? | x ? x ? 6 |;
2

4?k ? k 2 ? 20k ? 36 ? ? x ? (k ? 4) x ? (3k ? 5) ? ? x ? ? ? 2 ? 4 ?
2

2

? k ? 2, ?

(2) y ?| x | ? | x | ?6
2

(3) y

? x ? | 2x ? 1 | .

2

(4) y

?

1 . | x | ?1
2 2

(5) y

1 ?| ( )|x|?1 ? 1 | . 2
2

4?k ?1. 又 ? 1 ? x ? 5 2 4?k 4?k ① 当 ?1? , ? 1 ,即 2 ? k ? 6 时,取 x ? 2 2 k 2 ? 20k ? 36 1 2 ? ? ?k ? 10? ? 64 . g ( x) min ? ? 4 4 ? 16 ? (k ? 10) 2 ? 64, ? (k ? 10) 2 ? 64 ? 0 , 则 g ( x) min ? 0 . 4?k ② 当 ? ?1 ,即 k ? 6 时,取 x ? ?1 , g ( x) min = 2k ? 0 . 2

?

?

解: (1)先作出 y ? x ? x ? 6 的图象,然后将此图象在 x 轴下方的部分对称地翻折到 x 轴的上方即可。 (2)因 y ? | x | ? | x | ?6 是偶函数,其图象关于 y 轴对称,于是我们先作出 y ? x ? x ? 6 在 x ≥0 时 的图象,然后作出它关于 y 轴对称图形即可。

由 ①、②可知,当 k ? 2 时, g ( x) ? 0 , x ? [ ? 1, 5 ] . 因此,在区间 [ ? 1, 5 ] 上, y ? k ( x ? 3) 的图像位于函数 f ( x) 图像的上方. [解法二] 当 x ? [ ? 1, 5 ] 时, f ( x) ? ? x 2 ? 4x ? 5 .

? y ? k ( x ? 3), 由? 得 x 2 ? (k ? 4) x ? (3k ? 5) ? 0 , 2 ? y ? ? x ? 4 x ? 5,
令 ? ? (k ? 4) 2 ? 4(3k ? 5) ? 0 , 解得 k ? 2 或 k ? 18 , 在区间 [ ? 1, 5 ] 上, 当 k ? 2 时, y ? 2( x ? 3) 的 例 2.设函数 f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 5 . (1)在区间 [ ? 2, 6 ] 上画出函数 f ( x) 的图像; (2)设集合 A ? x f ( x) ? 5 , 图像与函数 f ( x) 的图像只交于一点 ( 1, 8 ) ; 当 k ? 18 时, y ? 18( x ? 3) 的图像与函数 f ( x) 的图像没有交 点. 如图可知, 由于直线 y ? k ( x ? 3) 过点 ( ? 3, 0 ) , 当 k ? 2 时, 直线 y ? k ( x ? 3) 是由直线 y ? 2( x ? 3) 绕 点 ( ? 3, 0 ) 逆时针方向旋转得到. 因此, 在区间 [ ? 1, 5 ] 上,y ? k ( x ? 3) 的图像位于函数 f ( x) 图像的上方.
15

?

?

B ? ( ? ?, ? 2 ] ? [ 0, 4 ] ? [ 6, ? ? ) . 试判断集合 A 和 B 之间的关系,并

∴x0+(4-x0)+ x1+(4-x1)=8 即 f(x)=0 的四根之和为 8 例 3. k 为何实数时,方程 x 2 ? 2 | x | ?3 ? k 有四个互不相等的实数根。 解:将原方程变形为 x 2 ? 2 | x | ?1 ? k ? 2 ,设 y ? f ( x) ? x 2 ? 2 | x | ?1,作出其图象,而 y ? k ? 2 是 一条平行于 x 轴的直线,原方程有四个互不相等的实根,即直线与曲线有四个不同的交点,由图象可知, 0 ? k ? 2 ? 1 ,即 2 ? k ? 3 2.求函数 y ? x2 ? | x ? a | ?1 的值域。

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例 5.如图,点 A、B、C 都在函数 y= x 的图像上,它们的横坐标分 a+1、a+2 又 A、B、C 在 x 轴上的射影分别是 A′、B′、C′,记 AB′C 的面积为 f(a),△A′BC′的面积为 g(a) (1)求函数 f(a)和 g(a)的表达式;
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y C B A

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别是 a、 △

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1 3 ? ( x ? )2 ? ? a ( x ? a) 2 ? ?x ? x ? a ?1 ? ? 2 4 ?? 解: y ? f ( x ) ? ? 2 1 3 ? ? x ? x ? a ? 1 ?( x ? ) 2 ? ? a ( x ? a ) ? ? 2 4 1 1 3 (1)当 a ? ? 时,如图 1 知 y ? f (? ) ? ? a 2 2 4 1 1 (2)当 ? ? a ? 时,如图 2 知 y ? f (a) ? a2 ? 1 2 2 1 1 3 (3)当 a ? 时,如图 3 知, y ? f ( ) ? ? a 2 2 4 1 3 综上所述:当 a ? ? 时,值域为 [ ? a, ??) ; 2 4 1 1 1 当 ? ? a ? 时,值域为 [a2 ? 1, ??) ;当 a ? 时, 2 2 2 3 值域为 [ ? a, ??) 4
例 4.对函数 y=f(x)定义域中任一个 x 的值均有 f(x+a)=f(a-x), (1)求证 y=f(x)的图像关于直线 x=a 对称;

_ y

(2)比较 f(a)与 g(a)的大小,并证明你的结论 命题意图
_
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本题考查函数的解析式、函数图像、识图能力、图形的

o

A'

B'
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C'
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x

组合等

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知识依托 错解分析
_ y

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充分借助图像信息,利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题的突破口 图形面积不会拆拼
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a _ _ 1 2 _ 图1 _

O _

_ 1 2 _

x

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技巧与方法 解
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数形结合、等价转化

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(1)连结 AA′、BB′、CC′, 则 f(a)=S△AB′C=S 梯形 AA′C′C-S△AA′B′-S△CC′B

y C B A
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_ y

_ O _1 a _ 2 图2 _

_ 1 2 _

_ x

1 1 = (A′A+C′C)= ( a ? a ? 2 ), 2 2
g(a)=S△A′BC′=

_ 1 2 _ 33 图

_ _ O 1 _ a 2 _

_ x

1 A′C′·B′B=B′B= a ? 1 2

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o

A'

B'

C'

x

1 1 (2) f (a) ? g (a) ? ( a ? a ? 2 ? 2 a ? 1) ? [( a ? 2 ? a ? 1) ? ( a ? 1 ? a )] 2 2

1 1 1 ? ( ? )?0 2 a ? 2 ? a ?1 a ?1 ? a
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∴f(a)<g(a)

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(2)若函数 f(x)对一切实数 x 都有 f(x+2)=f(2-x),且方程 f(x)=0 恰好有四个不同实根,求这些实根之和 命题意图 知识依托 错解分析
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本题考查函数概念、图像对称问题以及求根问题 把证明图像对称问题转化到点的对称问题
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例 6.(07 湖南 B7)函数 f ( x ) ? A、 a ? 0

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a2 ? x2 是奇函数的充要条件是( C ) x?a ?a
C、 a ? 0 D、 ? 1 ? a ? 0或0 ? a ? 1

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找不到问题的突破口,对条件不能进行等价转化
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B、 a ? ?1或a ? 1

技巧与方法 (1)证明 ∵
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数形结合、等价转化

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解:先证充分性。若 a ? 0 ,则 f ( x) 的定义域为 [?a, 0) ? (0, a] 。此时 f ( x) ? 数 。 再 证 必 要 性 。 若 f ( x) ?

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设(x0,y0)是函数 y=f(x)图像上任一点,则 y0=f(x0),

a2 ? x2 ,显然为奇函 x

(2a ? x0 ) ? x0 =a, ∴点(x0,y0)与(2a-x0,y0)关于直线 x=a 对称,又 f(a+x)=f(a-x), 2

a2 ? x2 是 奇 函 数 , 则 a ? 0 ( 否 则 f ( x) 的 定 义 域 为 空 集 ) ,又由 x?a ?a

∴f(2a-x0)=f[a+(a-x0)]=f[a-(a-x0)]=f(x0)=y0,∴(2a-x0,y0)也在函数的图像上, 故 y=f(x)的图像关于直线 x=a 对称 (2)解
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a 2 ? (? x) 2 a2 ? x2 ? ? f ( ? x) ? ? f ( x) 得 ? x?a ?a ? a? x?a ?x?a ?a x?a ?a

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由 f(2+x)=f(2-x)得 y=f(x)的图像关于直线 x=2 对称,

? x ? a ? x ? a ? 2a ? a ? 0
例 7. 设函数 f ( x) 对任一实数 x 满足: f (2 ? x) ? f (2 ? x), f (7 ? x) ? f (7 ? x) 且 f (0) ? 0 。求证:

若 x0 是 f(x)=0 的根,则 4-x0 也是 f(x)=0 的根, 若 x1 是 f(x)=0 的根,则 4-x1 也是 f(x)=0 的根,
16

f ( x) ? 0 的根在区间 [?30,30] 上至少有 13 个,且 f ( x) 是以 10 为周期的周期函数。 证明:由题设知,函数 f ( x) 图象关于直线 x ? 2 和 x ? 7 对称,所以

f (4) ? f (2 ? 2) ? f (2 ? 2) ? f (0) ? 0 f (10) ? f (7 ? 3) ? f (7 ? 3) ? f (4) ? 0 ,于是 f ( x) ? 0 在 (0,10] 上至少有两个根。 另一方面,有 f ( x ? 10) ? f (7 ? 3 ? x) ? f (7 ? 3 ? x) ? f (4 ? x) ? f (2 ? 2 ? x) ? f (2 ? 2 ? x) ? f ( x) ,所以 f ( x) 是以 10 为周期的周期函数,因此 f ( x) ? 0 的根在区间 [?30,30] 上至少有 6 ? 2 ? 1 ? 13 个点。 评述:设函数的定义域为 D ,若对任意的 x ? D ,都有 f (a ? x) ? f (a ? x) ( a 为常数) ,则函数 f ( x) 图 象关于直线 x ? a 对称。
例 8.已知 f ( x) 是定义在实数集上的函数,且 f ( x ? 2)(1 ? f ( x)) ? 1 ? f ( x) . (1)试证: f ( x) 是周期函数。 (2)若 f (1) ? 2 ? 3 ,试求: f (1989 ), f (1993 ) 的值。 解 ( 1) ,是 f ( x ? 2)(1 ? f ( x)) ? 1 ? f ( x) 在 R 上有定义,知 f (1) ? 1 (否则 f (3) 没有意义) ,所以

例 10.设函数 f(x)的定义域是 R,对于任意实数 m,n,恒有 f(m+n)=f(m)? f(n),且当 x>0 时,0<f(x)<1。 ①求证:f(0)=1,且当 x<0 时,有 f(x)>1; ②判断 f(x)在 R 上的单调性; 2 2 ③设集合 A={(x,y)|f(x )?f(y )>f(1)},集合 B={(x,y)|f(ax-y+2)=1,a∈R},若 A∩B= ? ,求 a 的取值 范围。 解析:①∵f(m+n)= f(m)?f(n) 且当 x>0 时,0<f(x)<1 ∴f(1)=f(1)f(0)?f(0)=1 设 m=x<0,n= -x>0 ∴f(0)=f(x)f(-x)?f(x)=

1 >1 f (? x)

②设 x1<x2?x2-x1>0?0<f(x2-x1)<1 ∴f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1) f(x1)-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1]<0 ∴f(x)在 R 上单调递减 2 2 2 2 2 2 ③∵f(x )? f(y )>f(1)?f(x +y )>f(1)? x +y <1 ∵f(ax-y+2)=1=f(0)? ax-y+2=0 ∵A∩B= ? ∴

2 a2 ?1

1 ? f ( x) 1 ? f ( x ? 2) , f ( x ? 4) ? f ?( x ? 2) ? 2? ? 1 ? f ( x ? 2) 1 ? f ( x) 1 ? f ( x) 1? 1 1 ? f ( x) 1 ? ?? ? f ( x) . , f ( x ? 8) ? f ?( x ? 4) ? 4? ? ? 1 ? f ( x) f ( x) f ( x) 1? 1 ? f ( x) 故函数 f ( x) 是周期为 8 的周期函数。 f ( x ? 2) ?
(2)由(1)的结果,得 f (1985 ) ? f (8 ? 248? 1) ? f (1) ? 2 ? 3 ,

≥1?a +1≤4?- 3 ≤a≤ 3 。
2

1 ?1 ) ? f (1985? 4) ? ? ? 所以 f (1989 ? 3 ? 2, f (1985 ) 2? 3 f (1993 ) ? f (8 ? 249? 1) ? f (1) ? 2 ? 3 .
例 9. (2000 年北京市中学生数学竞赛) f(x)是定义在 R 上的函数, 对任意的 x∈R, 都有 f(x+3) ≤f(x)+3 和 f(x+2) ≥f(x)+2,设 g(x)=f(x)-x, (1)求证 g(x)是周期函数; (2)如果 f(998)=1002,求 f(2000)的值。 解:本例的难度显然又有增加,主要是难以具体化。只能在抽象的层面来解决问题 (1)g(x)=f(x)-x,可得 g(x+2)=f(x+2)-x-2,g(x+3)=f(x+3)-x-3,再以 f(x+3) ≤f(x)+3 和 f(x+2) ≥ f(x)+2 代 换 , 可 得

例 11.已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的周期函数,周期 T=5,函数 y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数,又知 y=f(x) 在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在 x=2 时,函数取得最小值,最小值为-5 (1)证明 f(1)+f(4)=0; (2)试求 y=f(x),x∈[1,4]的解析式; (3)试求 y=f(x)在[4,9]上的解析式 证明 ∵y=f(x)是以 5 为周期的周期函数,∴f(4)=f(4-5)=f(-1), 又 y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数,∴f(1)=-f(-1)=-f(4),∴f(1)+f(4)=0 2 (2)解 当 x∈[1,4]时,由题意,可设 f(x)=a(x-2) -5(a≠0),由 f(1)+f(4)=0 2 2 2 得 a(1-2) -5+a(4-2) -5=0,解得 a=2,∴f(x)=2(x-2) -5(1≤x≤4) (3)解 ∵y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数,∴f(0)=-f(-0),∴f(0)=0, 又 y=f(x) (0≤x≤1)是一次函数,∴可设 f(x)=kx(0≤x≤1), 2 ∵f(1)=2(1-2) -5=-3, f(1)=k·1=k,∴k=-3 ∴当 0≤x≤1 时,f(x) =-3x, 当-1≤x<0 时,f(x)=-3x, 当 4≤x≤6 时,-1≤x-5≤1,∴f(x)=f(x-5)=-3(x-5)=-3x+15, 2 2 当 6<x≤9 时,1<x-5≤4,f(x)=f(x-5)=2[(x-5)-2] -5=2(x-7) -5 (4 ? x ? 6) ?? 3x ? 15 ∴f(x)= ? 2 (6 ? x ? 9) ?2( x ? 7) ? 5
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g ( x ? 2) ? f ( x) ? 2 ? x ? 2 ? f ( x) ? x

例 12.(2006 上海)已知函数 y = x + 数,在 [





a 有如下性质:如果常数 a >0,那么该函数在 ( 0, a ] 上是减函 x

g ( x ? 3) ? f ( x) ? 3 ? x ? 3 ? f ( x) ? x , ②由①可得 g(x+4) ≥f(x+2)-x-2≥f(x)+2-x-2=f(x)-x, g(x+6)
≥ f(x+2)-x-2 ≥ f(x)-x 。 ③ 由 ② 可 得 g(x+6) ≤ f(x+3)-x-3 ≤ f(x)-x , ④ g(x+6)=f(x)-x=g(x)。 ∴g(x)是周期函数获证(6 是它的一个周期) (2)2000-998=1002 是 6 的整数倍,所以 g(2000)=g(998),即 f(2000)-2000= f(998)-998,f(2000)=f(998)+1002=1002+1002=2004。 本题的不同之处在于没有“具体化” ,而是利用 f(x+3)与 f(x+2)的反复操作以求 g(x+6)与 f(x)的关系, 进而得到 g(x+6)=g(x),以达到证明的目的。 由③、④知

a ,+∞ ) 上是增函数

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2b ( x >0)的值域为 [ 6,+∞ ) ,求 b 的值; x c 2 (2)研究函数 y = x + 2 (常数 c >0)在定义域内的单调性,并说明理由; x a a 2 (3)对函数 y = x + 和 y = x + 2 (常数 a >0)作出推广,使它们都是你所推广的函数的特例 研 x x 1 n 1 2 n 究推广后的函数的单调性(只须写出结论,不必证明) ,并求函数 F ( x) = ( x ? ) + ( 2 ? x ) ( n 是 x x 1 正整数)在区间[ ,2]上的最大值和最小值(可利用你的研究结论) 2
(1)如果函数 y = x +
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2b (x>0)的最小值是 2 2 b ,则 2 2 b =6, ∴b=log29 x c c c 2 2 2 2 (2) 设 0<x1<x2,y2-y1= x2 ? 2 ? x1 ? 2 ? ( x2 ? x1 )(1 ? 2 2 ) x2 x1 x1 ? x2 c 2 当 4 c <x1<x2 时, y2>y1, 函数 y= x ? 2 在[ 4 c ,+∞)上是增函数; x c c 2 2 当 0<x1<x2< 4 c 时 y2<y1, 函数 y= x ? 2 在(0, 4 c ]上是减函数 又 y= x ? 2 是偶函数, x x 4 4 于是,该函数在(-∞,- c ]上是减函数, 在[- c ,0)上是增函数; a n (3) 可以把函数推广为 y= x ? n (常数 a>0),其中 n 是正整数 x a n 当 n 是奇数时,函数 y= x ? n 在(0, 2 n a ]上是减函数,在[ 2 n a ,+∞) 上是增函数, x 2n 在(-∞,- a ]上是增函数, 在[- 2 n a ,0)上是减函数; a n 当 n 是偶数时,函数 y= x ? n 在(0, 2 n a ]上是减函数,在[ 2 n a ,+∞) 上是增函数, x 1 n 1 2 n 在(-∞,- 2 n a ]上是减函数, 在[- 2 n a ,0)上是增函数;F(x)= ( x ? ) + ( 2 ? x ) = x x 1 1 1 1 0 1 r n Cn ( x 2n ? 2n ) ? Cn ( x 2 n ?3 ? 2 n ?3 ) ? ? ? C n ( x 2 n ?3 r 2 n ?3 r ) ? ? ? C n (x n ? n ) x x x x 1 因此 F(x) 在 [ ,1]上是减函数,在[1,2]上是增函数 2 1 9 n 9 n n+1 所以,当 x= 或 x=2 时,F(x)取得最大值( ) +( ) ; 当 x=1 时 F(x)取得最小值 2 2 2 4
[解](1)函数 y=x+
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A. 1 B .2 C .3 D.4 解:b 是 y3 的一个周期,故 t ? b.若 t = a, 则由 y2=y3-y1 可得 b ? a,矛盾.故”t=a”和”t>b”不可能.下面的例子表明另 外的三种情形都可能出现:取 y2 = sinx + sin (1).令 y1 = -sin

2? , 此时 a =3 ? , y3= sinx, t =2 ? , t < a ; 3 2? (2). 令 y1 = -sinx, 此时 a =2 ? , y3= sin , t =3 ? , a < t< b ; 3 2? (3). 令 y1 = sinx, 此时 a = 2 ? , y3 = 2sinx+sin , t = 6? , t = b ; 3
6.(05 浙江 3)设 f1 ( x) ?

2x , 则 b = 6? . 3

2 , f2 ( x) ? sin x ? cos 2x , f3 ( x) ? sin
(C) 3 (D) 4

x ? cos 2 x , 2

f 4 ( x) ? sin x2 ,上述函数中,周期函数的个数是(B)
(A) 1 解: f1 ( x) ? (B) 2

2 是以任何正实数为周期的周期函数; f 2 ( x) 不是周期函数。 2? 因为 sin x 是以 T1 ? 2? 为周期的周期函数, cos 2 x 是以 T2 ? 为周期的周期函数, 而 T1 与 T2 之比不 2 是有理数,故 f 2 ( x) 不是周期函数。 f 3 ( x) 不是周期函数。 T x 2? 因为 sin 是以 T1 ? 2 2? 为周期的周期函数, cos 2 x 是以 T2 ? 为周期的周期函数, 而 1 ? 2 , T2 2 2
故 f 3 ( x) 是周期函数。 f 4 ( x) ? sin x 2 不是周期函数。因此共有 2 个周期函数。 7. (05 湖南 4)对于 x ? R, 函数 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ? f ( x) ,则它是周期函数,这类函数的最小正周期是 ( ) A. 4 B. 6 C. 8 D.12 x ? 2 提示:将 代 替 式中的 x , 则 有 f ( x) ? f ( x ? 4) ? f ( x ? 2) 于是 f ( x ? 2) ? ? f ( x ? 4) , 可 得

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针对性训练题 一、选择题: 1.(04 四川 1)函数 f ?x? ? x ? 是( A ) 4 ?1 (A)是偶函数但不是奇函数 (B)是奇函数但不是偶函数 (C)既是奇函数又是偶函数 (D)既不是奇函数也不是偶函数 2.(04 四川 2)已知 f ?x ? 对任意整数 x 都有 f ?x ? 2? ? f ?x ? 2? ,若 f ?0? ? 2003,则 f ?2004? =( B
x

2x



(A)2002 则 f ( x) ? g ( x) ? A. ? x ? 9 x ? 12
2

(B)2003 ( A
2

(C)2004

(D)2005
2

3.(04 湖南 1)已知函数 f(x)是 R 上的奇函数,g(x)是 R 上的偶函数,若 f ( x) ? g ( x) ? x ? 9 x ? 12 , ) C. ? x ? 9 x ? 12 D. x ? 9 x ? 12
2 2

f ( x ? 6) ? ? f ( x) ,所以 f ( x ? 12) ? f ( x) 8.(05 湖南 5)函数 y ? f ( x) 的图象为 C , 而 C 关于直线 x ? 1 对称的图象为 C1 , 将 C1 向左平移 1 个单后得 到的图象为 C 2 ,则 C 2 所对应的函数为( B ) A. y ? f (? x) B. y ? f (1 ? x) C. y ? f (2 ? x) D. y ? f (3 ? x) 提示: C1 : y ? f (2 ? x) , C2 : y ? f ([2 ? ( x ? 1)] ? f (1 ? x) 3 x 2 ? 3a 9.(06 陕西 3)若关于 x 的方程 ( ) ? 有负数根,则实数 a 的取值范围为( ) 2 5?a 2 3 2 2 3 A. (??, ? ) (5, ?? ) B. (??, ? ) (5, ??) C. (? ,5) D. ( ? , ) 3 4 3 3 4

B. x ? 9 x ? 12

4.(04 湖南 2)有四个函数:① y=sinx+cosx ② y= sinx-cosx ③ y= sin x ? cos x ④ y ?

(0, ) 上为单调增函数的是 2

?

sin x 其中在 cos x

10.(06 湖南 B6)设函数 f 9x) ? a A、f(-2)>f(-1) C、f(1)>f(2)

?| x|

(a ? 0且a ? 1) ,f(-2)=9,则





(

D

)

B、f(-1)>f(-2) D、f(-2)>f(2)

A.① B.② C.①和③ D.②和④ 5.(04 福建 6)两个周期函数 y1,y2 的最小正周期分别为 a,b,且 b = na (n ? 2,n 为整数).如果函数 y3=y1+y2 的最小正周期为 t . 那么五种情形: ”t<a”,”t=a”,”a<t<b”,”t=b”,”t>b” 中 , 不可能出现的情形的个数是 ( B )
18

提示:将 x=-2 代入得 a=

1 ,则 f ( x) ? 3| x| ,进而可以判断出 f(-2)>f(-1) 3

解: F ( x) 的定义域为 g ( x) ? 1 ? 0 ,即 x ? 0 ,所以定义域关于原点对称,又

11.(07 江苏 6)已知 f(x)=|x+1|+|x+2|+?+|x+2007|+|x-1|+|x-2|+?+|x-2007|(x∈R) ,且 f(a2- 3a+2)=f(a-1).则 a 的值有( D ). (A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)无数个 解: 由题设知 f(x)为偶函数, 则考虑在-1≤x≤1 时, 恒有 f(x)=2×(1+2+?+2007)=2008×2007.所 以当-1≤a2-3a+2≤1,且-1≤a-1≤1 时,恒有 f(a2-3a+2)=f(a-1).由于不等式-1≤a2-3a+2≤ 3- 5 3+ 5 3- 5 1 的解集为 ≤a≤ , 不等式-1≤a-1≤1 的解集为 0≤a≤2. 因此当 ≤a≤2 时, 恒有 f(a2 2 2 2 -3a+2)=f(a-1). 故选(D) . 12.(07 湖北 3) 定义在 R 上的函数 f ( x ) 既是奇函数又是周期函数,若 f ( x ) 的最小正周期是 ? ,且当

F (? x) ?

2 f (? x) ? 2 f ( x) ? f ( x) ? f ( x) g ( x) ? f (? x) ? ? f (? x) ? ? F ( x) 1 g (? x) ? 1 1 ? g ( x) ?1 g ( x)
log3 x

所以 F ( x) 为偶函数。 17.(06 江苏 2)函数 y ? 3 的图象是 (A)

? 8 )时, f ( x) ? sin x ,则 f ( ? ) 的值为 ( B ) 3 2 1 1 3 3 A. B. ? C. D. ? 2 2 2 2 8 ? ? ? ? 3 解:根据题设条件可知 f ( ? ) ? f (? ? 3? ) ? f (? ) ? ? f ( ) ? ? sin ? ? . 3 3 3 3 3 2 x 13.(07 吉林 2)若 x ? {x | log2 ( A ) ? 2 ? x } ,则有 2 2 2 2 A. x ? x ? 1 B. x ? 1 ? x C. 1 ? x ? x D. x ? 1 ? x
x∈[0,

? A?
则( B )

? B?

?C ?

? D?

18.(06 江苏 4)设 f ? x ? 是定义在 R 上单调递减的奇函数.若 x1 ? x2 ? 0 , x2 ? x3 ? 0 , x3 ? x1 ? 0 , A. f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? 0 C. f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? 0 19.(07 四川 1)下列函数中,既是在 [0,
1 sin x 2

B. f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? 0 D. f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ?

2 14.(07 浙江 B4)设非常值函数 f ( x) ( x ? R) 是一个偶函数,它的函数图像 y ? f ( x) 关于直线 x ? 对 2
称,则该函数是 ( C ) A. 非周期函数 C. 周期为 2 的周期函数 B.周期为

?
2

] 内的增函数,又是以 ? 为最小正周期的函数是( A )

2 的周期函数 2

D. 周期为 2 的周期函数

解:因为偶函数关于y轴对称,而函数图像 y ? f ( x) 关于直线 x ?

2 对称,则 2

f(

2 2 2 2 即 f ( x ? 2) ? f ( 故该函数是周期为 2 的 ? x) ? f ( ? x) , ?( ? x)) ? f (? x) ? f ( x) 。 2 2 2 2

A.y={sinx} B. y ? e C.y=sin2x D.y=cos4x 20.定义在实数集上的函数 f(x),对一切实数 x 都有 f(x+1)=f(2-x)成立,若 f(x)=0 仅有 101 个不同 的实数根,那么所有实数根的和为( ) 303 305 A.150 B. C.152 D. 2 2 3 提示:由已知,函数 f(x)的图象有对称轴 x= ,于是这 101 个根的分布也关于该对称轴对称.即有一 2 3 3 个根就是 ,其余 100 个根可分为 50 对,每一对的两根关于 x= 对称,利用中点坐标公式,这 100 个根 2 2 3 3 303 的和等于 ×100=150,所有 101 个根的和为 ×101= .选 B 2 2 2 二、填空题

周期函数。
2 15.(07 浙江 B6)设 f ( x) ? min 2 x ? 4, x ? 1,5 ? 3 x ,则 max f ( x) ? ( B

?

?



x lg 2 a ? 1 1.(04 天津 7)若关于 x 的方程 ? x 只有一个实数解,则 a 的值等于 100 x ? lg a
2.(04 福建 7)已知 log a x = 24, log b x = 40, log abc x = 12 . 那么 log c x = 60

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

max f ( x) ? 2 。 16.(07 湖 南 A2) 函 数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 有 相 同 的 定 义 域 , 且 对 定 义 域 中 的 任 何 x , 有 2 f ( x) f (? x) ? f ( x) ? 0, g ( x) ? g (? x) ? 1 。 ? f ( x) 是 若 g ( x) ? 1 的解集是 {x | x ? 0} , 则函数 F ( x) ? g ( x) ? 1
解: 作图比较容易得到 ( B ) A、奇函数 C、既是奇函数又是偶函数 B、偶函数 D、既不是奇函数又不是偶函数
19

1 1 1 1 - - = , log c x = 60 . 12 24 40 60 2 5 3.(06 陕西 13)设 f ( x ) 是以 2 为周期的奇函数,且 f ( ? ) ? 3 ,若 sin ? ? 则 f (4cos 2? ) 的值 5 5
解:log x c = log x abc-log x a-log x b =

4. (07 浙江 A10) 设 f ( x ) 是定义在R上的奇函数, 且满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ; 又当 0 ? x ? 1 时,f ( x ) ? 则 ? x f ( x) ? ? ? =

1 x, 2

1? 。 2? ? 解:依题意, f ( x ? 4) ? ? f ( x ? 2) ? f ( x) ,即 f ( x ) 是以4为周期的周期函数。 1 1 因为当 0 ? x ? 1 时, f ( x ) ? x ,且 f ( x ) 为奇函数,所以当 ?1 ? x ? 0 时, f ( x ) ? x 。此时有 2 2 ? 1 x ?1 ? x ? 1 ? 1 ? 2 f ( x) ? ? 。可得 f (?1) ? f (3) ? ? 。又因为 f ( x ) 是以4为周期的周期函数,所以 2 ?? 1 x ? 1 1 ? x ? 3 ? ? 2 1 y 也有 f (4k ? 1) ? ? , ( k ?Z ) 。 2 答案为 4k ? 1 ( k ? Z ) 。
5.(07 江苏 9)已知函数 y=f(x)的图象如图,则满足 2x -x-1 f( 2 )f(lg(x2-6x+20))≤0 的 x 的取值范围为 x -2x+1
2

?

BD 上,故可令 M ( x1 ,1 ? x1 ,1). 由 MN ? BD ? 0 ,知 x1 ? 3 ( 1 ? x ). 于是, y ?| MN |? 6 ( 1 ? x ) ? 6 ? 6 . 2 3? x 2 3? x 2 3? x 1 1 8.函数 f(x)对一切实数 x 都满足 f ( ? x) ? f ( ? x) ,并且方程 f(x)=0 有三个实根,这三个实根的和是 2 2 ________. 1 1 1 解:y=f(x)的图象关于 x ? 对称,其中一根必是 ,另两根之和是 2 ? ? 1 。故所有实根之和是 1.5。 2 2 2 3 9.设 f(x)是 R 上的奇函数,且 f(x+3)=-f(x),当 0≤x≤ 时,f(x)=x,则 f(2003)=( ) 2 A.-1 B.0 C.1 D.2003 9.解:f(x+6)=f(x+3+3)=-f(x+3)=f(x)∴ f(x)的周期为 6 f(2003)=f(6×335-1)=f(-1)= -f⑴=-1 选 A 10.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足: f ( x) ? f (4 ? x) 且 f (2 ? x) ? f ( x ? 2) ? 0 ,求 f (2000) 的值。 解:由 f (2 ? x) ? f ( x ? 2) ? 0 以 t ? x ? 2 代入,有 f (?t ) ? ? f (t ) ,

? f ( x) 为奇函数且有 f (0) ? 0 又由 f ( x ? 4) ? f [4 ? (? x)] ? f (? x) ? ? f ( x) ? f ( x ? 8) ? ? f ( x ? 4) ? f ( x) 故 f ( x ) 是周期为 8 的周期函数, ? f (2000) ? f (0) ? 0
三、解答题 1. 设函数 f(x), 对任意 x, y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y),若 x>0 时,f(x)<0 且 f(1)=-2. (1)证明:f(x)是奇函数; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 【思路分析】因为 x∈R,由区间的特殊点,即 x=0 入手,是解题的出发点. 【略解】 (1)令 x=y=0,则有 f(0)=f(0)+f(0), ∴f(0)=0. 再令 y=-x,得 f(0)=f(x)+f(-x), ∵f(0)=0, ∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)是奇函数. (2)设 x1, x2∈R,且 x1< x2,则 f(x2)=f[x1+(x2-x1)]=f(x1)+f(x2-x1),∵x2>x1, ∴x2-x1>0. 由已知得 f(x2-x1)<0,∴f(x2)<f(x1).故 f(x)在 R 上是减函数. ∴f(x)在[-3,3]上的最大值[f(x)]最大值=f(-3),最小值[f(x)]最小值=f(3). 又∵f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1)+f(1)=-6, f(-3)=-f(3)=6. 故 f(x)在[-3,3]上的最大值为 6,最小值为-6. 【评述】本题中的 “x2=x1+(x2-x1)”是完成证明函数是减函数的证明的主要过程,这一特点读者应有所体 会. 2.定义在(0,+∞)上的函数 f(x)满足:①f(2)=1;②f(xy)=f(x)+f(y),其中 x,y 为任意实数;③任意正实数 x,y 满足 x>y 时,f(x)>f(y)。试求下列问题: (1)求 f(1), f(4); (2)试判断函数 f(x)的单调性; (3)如果 f(x)+f(x-3)≤2,试求 x 的取值范围。 解析: ①f(1)=0, f(4)=2;②增函数;③(3,4]。 3.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=f(-x),当 x∈(0,1]时, f ( x) ?

O .

1

x

解:因为 lg(x2-6x+20)=lg[(x-3)2+11]≥lg11>1,所以 f(lg(x2-6x+ 2x2-x-1 2x2-x-1 2x+1 x+2 20))≤0 因此 f( 2 )≥0.于是,由图象可知, 2 = ≤1(x≠1).即 ≤0,解得-2≤x x -2x+1 x -2x+1 x-1 x-1 <1. 故 x 的取值范围为 x∈[-2,1). 6.(07 广西 10)设函数 f 0 ( x) ?| x |, f1 ( x) ?| f 0 ( x) ? 1 |, f 2 ( x) ?| f1 ( x) ? 1 | ,则函数 f 2 ( x) 的图象与 x 轴 所围成图形中的封闭部分的面积是 7 。 解:函数 y ? f 2 ( x) 的图象如图的实线部分所示。所求的封闭部分的面积为

S 梯形ABCD ? S ?CDE ?

1 1 (2 ? 6) ? 2 ? ? 2 ? 1 ? 7 2 2

7. (07 广西 11) 已知单位正方体 ABCD—EFGH 棱 AD 与直线 BC 上分别有动点 Q、 P。 若△PQG 与△BDE 相截得到的线段 MN 长度为 y ,设 AQ=x ( 0 ≤ x ≤ 1 ) ,则 y 的最小值写成关于 x 的函数关系式是

y?
'

6 6 ? 2 3? x


'

解:当 AQ=x 时,设 GQ 与面 BDE 交于点 N,作 NM⊥BD 于点 M,联结 QM 交直线 BC 于点 P ,取 点 P 为点 P,知此时 y=|MN|最小。 建立如图 1 的空间直角坐标系,则 Q(0,x,1)且△BDE 所在平面上的点(x,y,z)满足 x+y=z,故可 令 N ( x0 , y0 , x0 ? y0 ) 。 由点 N 在 QG 上, 知在 ( 0 , 1 )内 存在 λ 使 QN= λ QG 。 代入消 去 λ 得

2x ; 4x ? 1

2x0 ? y0 ? 1, x0 ( x ? 1) y0 ? x. 从而, x0 ?

1? x 1? x 1? x 1? x 2 , y0 ? , , ). 而点 M 在 于是, N ? ( 3? x 3? x 3? x 3? x 3? x
20

(1)求证:f(x)是以 4 为周期的周期函数; (2)求 f(x)在[-1,0]上的解析式; (3)若 x∈[a,a+4],(a∈R),求使关于 x 的方程 f(x)=λ 有解的λ 的取值范围. 解(1)∵f(x+4)=f[(x+2)+2]=f(-x-2)=-f(x+2)=f(x) ∴f(x)的周期为 4. (2)显然 f(0)=0,当 x∈[-1,0)时-x∈(0,1].

2? x 2x ? ? 4? x ? 1 4x ? 1 ?0 ( x ? 0) ? ? f ( x) ? ? 2 x ( x ? [?1, 0)) ?? x ? 4 ?1 f ( x) ? ? f (? x) ? ?
(3) 当 x ? (0,1] 时, 令t ? 2 ? (1, 2], 则f ( x) ?
x

当1 ? t1 ? t2 ? 2时, t2 ? t1 ? 0, t1t2 ? 1, g (t1 ) ? g (t2 ) ? (t1t2 ? 1)(t2 ? t1 ) ?0 2 (t12 ? 1)(t2 ? 1)
2 1 5 2

t g (t ) t ?1 ?
记 2

2 1 5 2 2 1 1 2 由 f ( x ) 是奇函数, x ?[?1,1], f ( x) ? [ , ) ( ? , ? ] {0} 5 2 2 5
∴ g (t ) 在(1,2]上是减函数, g (t ) ? [ , ) 即 f ( x) ? [ , ) 又 f(x+2)=f(-x),∴x=1 是 f(x)的对称轴.

42 49 7 ) ? f (x) ? f (x ? ) ? f (x ? ) 42 42 42 7 1 49 ) ? f (x ? ) ? f (x ? ) ? f (x ? 同理有 f ( x ? 42 42 42 49 7 43 f (x ? ) ? f (x ? ) ? f (x ? ) ? f (x ? 即 42 42 42 42 49 7 ) ? f (x) ? f (x ? ) ? f (x ? ) 由① ②f ( x ? 42 42 42 43 1 ? f (x ? ) ? f (x ? ) 42 42 44 2 ? f (x ? ) ? f (x ? ) 42 42 ? ......


f (x ?



43 ) 42 1 ) 42



?? f ( x ?

84 42 ) ? f (x ? ) 42 42

2 1 1 2 ?当 x ?[?1,3]时 , f ( x) ? [ , ) (? , ? ] {0} 5 2 2 5 当 x ? [a, a ? 4] 时, f ( x) 的周期为 4, 2 1 1 2 ?当? ? [ , ) (? , ? ] {0} 时,在[a,a+4]上可使方程 f ( x) ? ? 有解. 5 2 2 5
4. (奥数教程 P47)函数 f ( x ) 的定义域关于原点对称,但不包括数 0 ,对定义域中的任何实数 x ,在定义 域中存在 x1 , x 2 ,使得 x ? x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,且满足以下三个条件: f ( x1 ) f ( x2 ) ? 1 (1) x1 , x 2 是定义域中的数, f ( x1 ) ? f ( x2 ) 或 0 ? x1 ? x2 ? 2a ,则 f ( x1 ? x2 ) ? ; (2) f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( a) ? 1 ( a 是一个正常数) ; (3)当 0 ? x ? 2 a 时, f ( x ) ? 0 . 求证: (1) f ( x ) 是奇函数; (2) f ( x ) 是周期函数,并求出其周期; (3) f ( x ) 在 (0,4a) 内为减函数. 5 . 设 f(x) 是 一 个 从 实 数 集 R 到 R 的 一 个 映 射 , 对 于 任 意 的 实 数 x, 都 有 |f(x)|≤1, 并 且

于是 f(x+1)-f(x)=f(x+2)-f(x+1),记这个差为 d 同理 f(x+3)-f(x+2)=f(x+2)-f(x+1)=d …… f(x+n+1)-f(x+n)=f(x+n)-f(x+n-1) =…… =f(x+1)-f(x)=d 即是说数列{f(x+n)}是一个以 f(x)为首项,d 为公差的等差数列 因此 f(x+n)=f(x)+nd=f(x)+n[f(x+1)-f(x)]对所有的自然数 n 成立, 而对于 x∈ R,|f(x)|≤1,即 f(x)有界, 故只有 f(x+1)-f(x)=0 即 f(x+1)=f(x) x∈ R 所以 f(x)是周期为 1 的周期函数.

13 1 1 ) ? f ( x ? ) ? f ( x ? ) ,求证:f(x)是周期函数. 42 6 7 13 7 16 ) ? f (x ? ) ? f (x ? ) 证明:由已知 f(x)+ f ( x ? 42 42 42 7 13 6 ) ? f (x) ? f (x ? ) ? f (x ? ) 所以 f ( x ? 42 42 42 19 12 ? f (x ? ) ? f (x ? ) 42 42 ? ......
f(x)+ f ( x ?

?? f ( x ?

49 42 ) ? f (x ? ) 42 42
21



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