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【步步高】2015届高考数学总复习 4.3和角公式、倍角公式与半角公式课件 理 新人教B版



数学

R B(理)

§4.3 和角公式、倍角公式与 半角公式
第四章 三角函数、解三角形

基础知识·自主学习
要点梳理
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1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β (Cα-β) cos(

α+β)= cos αcos β-sin αsin β (Cα+β) sin(α-β)= sin αcos β-cos αsin β (Sα-β) sin(α+β)= sin αcos β+cos αsin β tan α-tan β tan(α-β)= (Tα-β) 1+tan αtan β tan α+tan β tan(α+β)= (Tα+β) 1-tan αtan β (Sα+β)

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2.二倍角公式 sin 2α= 2sin αcos α ;
2 2 cos α - sin α = 2cos2α-1 = 1-2sin2α ; cos 2α= 2tan α tan 2α= 1-tan2α .

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3.半角公式 α ± sin = 2 α ± tan = 2
1-cos α ± α 2 ;cos =

2

1+cos α 2



1-cos α 1-cos α sin α 1+cos α = = .

1+cos α

sin α

α 根号前的正负号,由角 所在象限确定. 2

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要点梳理
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4.函数 f(x)=asin α+bcos α(a,b 为常数),可以化为 b 2 2 f(α)= a +b sin(α+ φ)(其中 tan φ=a)或 f(α)= a 2 2 a +b cos(α-φ)(其中 tan φ=b).

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夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1) √ (2) √ (3) × (4) × (5) √ (6) √

解析

C
B
17 2 50 10 - 5

题型分类·深度剖析
题型一 三角函数式的化简与给角求值
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】

(1)化简:

θ θ ?1+sin θ+cos θ??sin -cos ? 2 2 2+2cos θ (0<θ<π). 1+cos 20° (2)求值: - 2sin 20° 1 sin 10° ( -tan 5° ). tan 5°

题型分类·深度剖析
题型一 三角函数式的化简与给角求值
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】

(1)化简:
(1)分母为根式,可以利用 二倍角公式去根号,然后 寻求分子分母的共同点进 行约分;
(2)切化弦、通分.

θ θ ?1+sin θ+cos θ??sin -cos ? 2 2 2+2cos θ (0<θ<π). 1+cos 20° (2)求值: - 2sin 20° 1 sin 10° ( -tan 5° ). tan 5°

题型分类·深度剖析
题型一 三角函数式的化简与给角求值
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】

(1)化简:

θ θ θ π ?1+sin θ+cos θ??sin -cos ? 2 2 (1)由 θ∈(0,π),得 0< < , 2 2 2+2cos θ θ ∴cos >0. 2 (0<θ<π). 1+cos 20° 因 此 2+2cos θ = (2)求值: - 2sin 20° θ 2θ 4cos 2=2cos 2. 1 sin 10° ( -tan 5° ). tan 5°

题型分类·深度剖析
题型一 三角函数式的化简与给角求值
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】

θ θ θ 又(1+sin θ+cos θ)(sin 2- ?1+sin θ+cos θ??sin -cos ? 2 2 θ cos ) 2 2+2cos θ θ θ θ 2 (0<θ<π). =(2sin cos +2cos )· 2 2 2 1+cos 20° θ θ (2)求值: - (sin -cos ) 2sin 20° 2 2 1 θ 2θ 2θ sin 10° ( -tan 5° ). =2cos (sin -cos ) tan 5° 2 2 2 θ =-2cos cos θ. 2

(1)化简:

题型分类·深度剖析
题型一 三角函数式的化简与给角求值
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】

(1)化简:
θ -2cos cos θ 2 故原式= θ 2cos 2 =-cos θ.

θ θ ?1+sin θ+cos θ??sin -cos ? 2 2 2+2cos θ (0<θ<π). 1+cos 20° (2)求值: - 2sin 20° 1 sin 10° ( -tan 5° ). tan 5°

题型分类·深度剖析
题型一 三角函数式的化简与给角求值
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】

2cos210° - θ θ (2)原式= 2×2sin 10° cos 10° ?1+sin θ+cos θ??sin -cos ? 2 2 cos 5° sin 5° sin 10° ( - ) sin 5° cos 5° 2+2cos θ cos 10° = -sin 10° · (0<θ<π). 2sin 10° 1+cos 20° cos25° -sin25° (2)求值: - 2sin 20° sin 5° cos 5° cos 10° cos 10° 1 = -sin 10° · sin 10° ( -tan 5° ). 2sin 10° 1 tan 5° sin 10° 2 cos 10° = -2cos 10° 2sin 10°

(1)化简:

题型分类·深度剖析
题型一 三角函数式的化简与给角求值
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】

(1)化简:

θ θ cos 10° -2sin 20° ?1+sin θ+cos θ??sin -cos ? 2 2 = 2sin 10° 2+2cos θ cos 10° -2sin?30° -10° ? = 2sin 10° (0<θ<π). 1 3 cos 10° - 2 ? cos 10° - sin 10° ? 1+cos 20° 2 2 (2)求值: - = 2sin 20° 2sin 10° 3sin 10° 3 1 = = . sin 10° ( -tan 5° ). 2sin 10° 2 tan 5°

题型分类·深度剖析
题型一 三角函数式的化简与给角求值
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】

(1)化简:

θ θ (1)三角函数式的化简要遵循 ?1+sin θ+cos θ??sin -cos ? 2 2 “三看 ”原则,一看角,二 2+2cos θ 看名, 三看式子结构与特征. (0<θ<π). 1+cos 20° (2)求值: - 2sin 20° 1 sin 10° ( -tan 5° ). tan 5°
(2)对于给角求值问题,往往 所给角都是非特殊角,解决 这类问题的基本思路有: ①化为特殊角的三角函数 值;

题型分类·深度剖析
题型一 三角函数式的化简与给角求值
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】

(1)化简:
②化为正、负相消的项, 消去求值; ③化分子、分母出现公约 数进行约分求值.

θ θ ?1+sin θ+cos θ??sin -cos ? 2 2 2+2cos θ (0<θ<π). 1+cos 20° (2)求值: - 2sin 20° 1 sin 10° ( -tan 5° ). tan 5°

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1)在△ABC 中,已知三个内角 A,B,C 成等差数列, A C A C 3 . 则 tan +tan + 3tan tan 的值为________ 2 2 2 2 2cos 10° -sin 20° (2) 的值是 ( ) sin 70° 1 3 A. B. C. 3 D. 2 2 2

(1)因为三个内角 A,B,C 成等差数列,且 A+B+C=π, A+C 2π A+C π 所以 A+C= , = ,tan = 3, 3 2 3 2 A C A C 所以 tan 2 +tan 2 + 3tan 2 tan 2 ?A C?? A C? A C =tan? 2 + 2 ??1-tan 2 tan 2 ?+ 3tan 2 tan 2 ? ?? ? ? A C? A C ? ? = 3 1-tan 2 tan 2 + 3tan tan = 3. 2 2 ? ? 解析

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1)在△ABC 中,已知三个内角 A,B,C 成等差数列, A C A C 3 . 则 tan +tan + 3tan tan 的值为________ 2 2 2 2 2cos 10° -sin 20° (2) 的值是 ( C ) sin 70° 1 3 A. B. C. 3 D. 2 2 2

2cos?30° -20° ?-sin 20° (2)原式= sin 70° 2?cos 30° · cos 20° +sin 30° · sin 20° ?-sin 20° = sin 70° 3cos 20° = = 3. cos 20°

题型分类·深度剖析
题型二 三角函数的给值求值、给值求角
思维启迪 解析 思维升华

π 【例 2】 (1)已知 0<β< <α<π, 2 ? ? ?α ? β 1 ? ? ? α - - β 且 cos? =- , sin ? ? ? ?= 2 2 9 ? ? ? ? 2 ,求 cos(α+β)的值; 3 (2)已知 α, β∈(0, π), 且 tan(α 1 1 -β)= ,tan β=- ,求 2α 2 7 -β 的值.

题型分类·深度剖析
题型二 三角函数的给值求值、给值求角

解析 思维启迪 思维升华 π 【例 2】 (1)已知 0<β< <α<π, 2 ? ? ?α ? β 1 α+β ? β? ? ? ? ? ? ? 且 cos?α-2?=- , sin?2 -β?= (1)拆分角: α - = ? ?- 9 2 2 ? ? ? ? ? ? ?α ? 2 ? ? - β ,求 cos(α+β)的值; ? ? ,利用平方关系分别 2 3 ? ?

(2)已知 α, β∈(0, π), 且 tan(α 求各角的正弦、余弦. 1 1 (2)2α-β=α+(α-β); α=(α -β)= ,tan β=- ,求 2α 2 7 -β)+β. -β 的值.

题型分类·深度剖析
题型二 三角函数的给值求值、给值求角

解析 思维启迪 思维升华 π 【例 2】 (1)已知 0<β< <α<π, π 2 (1)∵0<β< <α<π, ? ? ? ? 2 β? 1 ? ?α ? 且 cos?α-2?=- , sin?2 -β?= π α π π β 9 ? ? ? ? ∴-4<2-β<2,4<α-2<π, 2 ,求 cos(α+β)的值; ?α ? 3 ? ?

(2)已知 α, β∈(0, π), 且 tan(α 1 1 = -β)= ,tan β=- ,求 2α 2 7 ? -β 的值.

∴cos?2-β?
? ?

? ? 5 ? 2?α 1-sin ?2-β?= 3 , ? ? ? β? β? ? ? 2? sin?α-2?= 1-cos ?α-2? ? ? ? ? ?

4 5 = 9 ,

题型分类·深度剖析
题型二 三角函数的给值求值、给值求角

解析 思维启迪 思维升华 π 【例 2】 (1)已知 0<β< <α<π, α+ β 2 ∴cos 2 ? ? ? ? β α 1 ? ? ? ?? ? ?? β? α - - β 且 cos? =- , sin ?? ? ?α ? ? ? ? ?= 2? =cos??α-2?-?2-β? 9 ? ?2 ? ?? ?? ? ? ?? 2 ? ?α ? ? β? β? ? ? ? ? ? ,求 cos(α+β)的值; =cos?α-2?cos?2-β?+sin?α-2? ?· 3 ? ? ? ? ? ?

(2)已知 α, β∈(0, π), 且 tan(α 1 1 -β)= ,tan β=- ,求 2α 2 7 -β 的值.

?α ? ? sin?2-β? ? ? ? ? 1? ? - =? ? 9 ?× ? ?

5 4 5 2 7 5 + × = , 3 9 3 27 2 α+β ∴cos(α +β)=2cos -1= 2 49×5 239 2× -1=- . 729 729

题型分类·深度剖析
题型二 三角函数的给值求值、给值求角

解析 思维启迪 思维升华 π 【例 2】 (1)已知 0<β< <α<π, 2 (2)∵tan α = tan[(α - β) + β] ? ? ?α ? β 1 tan?α-β?+tan β ? ? ? ? 且 cos?α-2?=- , sin?2 -β?= = 9 1-tan?α-β?tan β ? ? ? ? 1 1 2 - ,求 cos(α+β)的值; 2 7 1 π 3 = = >0,∴0<α< , 1 1 3 2 1+ × (2)已知 α, β∈(0, π), 且 tan(α 2 7 1 1 2tan α -β)= ,tan β=- ,求 2α 又∵tan 2α=1-tan2α 2 7

-β 的值.

1 2× 3 3 = ? ? = >0, ? 1? 2 4 1-?3? ? ?

题型分类·深度剖析
题型二 三角函数的给值求值、给值求角

解析 思维启迪 思维升华 π 【例 2】 (1)已知 0<β< <α<π, π 2 ∴0<2α< , ? ? ? ? 2 β? 1 ? ?α ? tan 2α-tan β 且 cos?α-2?=- , sin?2 -β?= 9 ∴tan(2α - β) = ? ? ? ? 1+tan 2αtan β 2 3 1 ,求 cos(α+β)的值; + 3 4 7 = =1. 3 1 (2)已知 α, β∈(0, π), 且 tan(α 1- × 4 7 1 1 -β)= ,tan β=- ,求 2α ∵tan β=-1<0, 2 7 7

-β 的值.

π ∴ <β<π,-π<2α-β<0, 2 3π ∴2α-β=- . 4

题型分类·深度剖析
题型二 三角函数的给值求值、给值求角

解析 思维启迪 思维升华 π 【例 2】 (1)已知 0<β< <α<π, 2 (1)解题中注意变角, 如本题 ? ? ?α ? β 1 ? ? ? α+β α - - β 且 cos? =- , sin β α ? ? ? ?= 2 2 9 ? ? ? ? 中 =(α- )-( -β); 2 2 2 2 ,求 cos(α+β)的值; (2) 通过求角的某种三角函 3

(2)已知 α, β∈(0, π), 且 tan(α 数值来求角,在选取函数 1 1 时,遵照以下原则:①已知 -β)= ,tan β=- ,求 2α 2 7 正切函数值,选正切函数; -β 的值.
②已知正、余弦函数值,选 正弦或余弦函数;

题型分类·深度剖析
题型二 三角函数的给值求值、给值求角

解析 思维启迪 思维升华 π 【例 2】 (1)已知 0<β< <α<π, 2 ? ? ?α ? β 1 ? ? ? ? ? ? π ? 且 cos?α-2?=- , sin?2 -β?= 若角的范围是?0, ? 选正、 ?, 9 ? ? ? ? 2 ? ? 2 余弦皆可;若角的范围是 ,求 cos(α+β)的值; 3

(0,π),选余弦较好;若角 (2)已知 α, β∈(0, π), 且 tan(α ? π π? ? ? - , 的范围为? 2 2 ?,选正弦 1 1 ? ? -β)= ,tan β=- ,求 2α 2 7 较好.

-β 的值.

题型分类·深度剖析
π π π 1 π β 3 跟踪训练 2 (1)若 0<α< ,- <β<0,cos( +α)= ,cos( - )= , 2 2 4 3 4 2 3 β 则 cos(α+ )等于 ( ) 2 3 3 5 3 6 A. B.- C. D.- 3 3 9 9 5 10 (2)已知 sin α= ,sin(α-β)=- ,α,β 均为锐角,则角 β 等于 5 10 ( 5π A. 12 π C. 4 β π π β 解析 (1)cos(α+ )=cos[( +α)-( - )] 2 4 4 2 π π β π π β =cos( +α)cos( - )+sin( +α)sin( - ), 4 4 2 4 4 2 π π π 3π π 2 2 ∵0<α< ,则 < +α< ,∴sin( +α)= . 2 4 4 4 4 3 π B. 3 π D. 6 )

题型分类·深度剖析
π π π 1 π β 3 跟踪训练 2 (1)若 0<α< ,- <β<0,cos( +α)= ,cos( - )= , 2 2 4 3 4 2 3 β 则 cos(α+ )等于 ( C ) 2 3 3 5 3 6 A. B.- C. D.- 3 3 9 9 5 10 (2)已知 sin α= ,sin(α-β)=- ,α,β 均为锐角,则角 β 等于 5 10 ( 5π A. 12 π π π B. C. D. 3 4 6 π π π β π π β 6 又- <β<0,则 < - < ,则 sin( - )= . 2 4 4 2 2 4 2 3 )

β π π β π π β π 故 cos(α+ 2) =cos[4 +α- (4 -2 )] = cos(4 +α)cos(4 - 2 ) +sin(4 + π β 1 3 2 2 6 5 3 α)sin(4-2)=3× 3 + 3 × 3 = 9 ,故选 C.

题型分类·深度剖析
π π π 1 π β 3 跟踪训练 2 (1)若 0<α< ,- <β<0,cos( +α)= ,cos( - )= , 2 2 4 3 4 2 3 β 则 cos(α+ )等于 ( C ) 2 3 3 5 3 6 A. B.- C. D.- 3 3 9 9 5 10 (2)已知 sin α= ,sin(α-β)=- ,α,β 均为锐角,则角 β 等于 5 10 ( 5π A. 12 π B. 3 π C. 4 π D. 6 )

π π (2)∵α、β 均为锐角,∴- <α-β< . 2 2
10 3 10 又 sin(α-β)=- 10 ,∴cos(α-β)= 10 .

题型分类·深度剖析
π π π 1 π β 3 跟踪训练 2 (1)若 0<α< ,- <β<0,cos( +α)= ,cos( - )= , 2 2 4 3 4 2 3 β 则 cos(α+ )等于 ( C ) 2 3 3 5 3 6 A. B.- C. D.- 3 3 9 9 5 10 (2)已知 sin α= ,sin(α-β)=- ,α,β 均为锐角,则角 β 等于 5 10 5π A. 12
又 sin α=

π B. 3

π C. 4

π D. 6

( C )

5 2 5 ,∴cos α= , 5 5 ∴sin β=sin[ α-(α-β)] =sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β) 5 3 10 2 5 10 2 π = 5 × 10 - 5 ×(- 10 )= 2 . ∴ β = 4.

题型分类·深度剖析
题型三 三角变换的简单应用
思维启迪 解析 思维升华

【 例 3 】 已 知 函 数 f(x) = ? ? 7π? 3π? ? ? ? ? sin?x+ 4 ?+cos?x- 4 ?, x∈R. ? ? ? ? (1)求 f(x)的最小正周期和最小 值; 4 (2) 已知 cos(β - α) = , cos(β 5 4 π +α)=- ,0<α<β≤ ,求证: 5 2 [f(β)]2-2=0.

题型分类·深度剖析
题型三 三角变换的简单应用
思维启迪 解析 思维升华

【 例 3 】 已 知 函 数 f(x) = ? ? 7π? 3π? ? ? ? ? sin?x+ 4 ?+cos?x- 4 ?, x∈R. ? ? ? ? (1)求 f(x)的最小正周期和最小 值; 4 (2) 已知 cos(β - α) = , cos(β 5 4 π +α)=- ,0<α<β≤ ,求证: 5 2 [f(β)]2-2=0.

(1) 可 将 f(x) 化 成 y = Asin(ωx+φ)的形式; (2)据已知条件确定 β,再 代入 f(x)求值.

题型分类·深度剖析
题型三 三角变换的简单应用
思维启迪 解析 思维升华

【 例 3 】 已 知 函 数 f(x) = ? ? 7π? 3π? ? ? ? ? sin?x+ 4 ?+cos?x- 4 ?, x∈R. ? ? ? ? (1)求 f(x)的最小正周期和最小 值; 4 (2) 已知 cos(β - α) = , cos(β 5 4 π +α)=- ,0<α<β≤ ,求证: 5 2 [f(β)] -2=0.
2

? ? 7π ? 解 ∵f(x)=sin ?x+ 4 -2π? ?+ ? ? ? π π? ? cos?x-4-2? ? ? ? ? ? π? π? ? ? ? =sin ?x-4 ? +sin ?x-4 ? ? = ? ? ? ? ? π? ? 2sin?x-4 ? ?, ? ?

∴T=2π,f(x)的最小值为-2.

题型分类·深度剖析
题型三 三角变换的简单应用
思维启迪 解析 思维升华

【 例 3 】 已 知 函 数 f(x) = ? ? 7π? 3π? ? ? ? ? sin?x+ 4 ?+cos?x- 4 ?, x∈R. ? ? ? ? (1)求 f(x)的最小正周期和最小

(2)证明 由已知得

4 cos βcos α+sin βsin α= , 5 4 值; cos βcos α-sin βsin α=-5, 4 (2) 已知 cos(β - α) = , cos(β 两式相加得 2cos βcos α=0, 5 4 π π π 2 +α)=- ,0<α<β≤ ,求证: ∵0<α<β≤ , ∴ β = , ∴ [ f ( β )] 5 2 2 2 2π [f(β)]2-2=0. -2=4sin 4-2=0.

题型分类·深度剖析
题型三 三角变换的简单应用
思维启迪 解析 思维升华

【 例 3 】 已 知 函 数 f(x) = ? ? 7π? 3π? ? ? ? ? sin?x+ 4 ?+cos?x- 4 ?, x∈R. ? ? ? ? (1)求 f(x)的最小正周期和最小 值;

三角变换和三角函数性质相 结合是高考的一个热点,解 题时要注意观察角、式子间

4 (2) 已知 cos(β - α) = , cos(β 的联系,利用整体思想解题. 5 4 π +α)=- ,0<α<β≤ ,求证: 5 2 [f(β)]2-2=0.

题型分类·深度剖析
π 跟踪训练 3 (1)函数 f(x)= 3sin x+cos( +x)的最大值为 ( C ) 3 1 A.2 B. 3 C.1 D. 2 π π (2)函数 f(x)=sin(2x- )-2 2sin2x 的最小正周期是________ . 4 π π 解析 (1)f(x)= 3sin x+cos 3· cos x-sin 3· sin x 1 3 π = cos x+ sin x=sin(x+ ). 2 2 6 ∴f(x)max=1.
2 2 (2)f(x)= 2 sin 2x- 2 cos 2x- 2(1-cos 2x) 2 2 π = sin 2x+ cos 2x- 2=sin(2x+ )- 2, 2 2 4 2π ∴T= 2 =π.

题型分类·深度剖析
高频小考点3 高考中的三角变换问题

典例:(20分)(1)若tan 2θ=-2 2 ,π<2θ<2π,则 2θ 2cos -sin θ-1 2 =________. π 2sin?θ+ ? 4 5 3 10 (2)已知锐角α,β满足sin α= ,cos β= ,则α+β 5 10 等于 ( ) 3π π 3π A. B. 或 4 4 4 π π C. D.2kπ+ (k∈Z) 4 4

题型分类·深度剖析
高频小考点3 高考中的三角变换问题

(3)(2012· 大纲全国)已知 α 为第二象限角,sin α+cos α 3 = ,则 cos 2α 等于 ( ) 3 5 5 5 5 A.- B.- C. D. 3 9 9 3 sin 47° -sin 17° cos 30° (4)(2012· 重庆) 等于 ( ) cos 17° 3 1 1 3 A.- B.- C. D. 2 2 2 2

题型分类·深度剖析
高频小考点3
思 维 启 迪

高考中的三角变换问题
规 范 解 答 温 馨 提 醒

题型分类·深度剖析
高频小考点3
审 思题 维路 启线 迪图

高考中的三角变换问题
规 范 解 答
温 馨 提 醒

(1)注意和差公式的逆用及变形;
(2)可求 α+β 的某一三角函数值,结合 α+β 的范围求 角; (3)可以利用sin2α+cos2α=1寻求sin α± cos α与sin α cos α的联系;

(4)利用和角公式将已知式子中的角向特殊角转化.

题型分类·深度剖析
高频小考点3
思 维 启 迪

高考中的三角变换问题
规 范 解 答

温 馨 提 醒

cos θ-sin θ 1-tan θ 解析 (1)原式= = , sin θ+cos θ 1+tan θ 2tan θ 又 tan 2θ= =-2 2, 1-tan2θ
即 2tan2θ-tan θ- 2=0, 1 解得 tan θ=- 或 tan θ= 2. 2 π ∵π<2θ<2π,∴ <θ<π. 2 1 1+ 2 1 ∴tan θ=- ,故所求= 1 =3+2 2. 2 1- 2

题型分类·深度剖析
高频小考点3
思 维 启 迪

高考中的三角变换问题
规 范 解 答 温 馨 提 醒

5 3 10 (2)由 sin α= ,cos β= 且 α,β 为锐角,可知 cos α 5 10 2 5 10 = ,sin β= , 5 10 2 5 3 10 5 故 cos(α + β) = cos αcos β - sin αsin β = × - 5 10 5 10 2 × = , 10 2 π 又 0<α+β<π,故 α+β=4.

题型分类·深度剖析
高频小考点3
思 维 启 迪

高考中的三角变换问题
规 范 解 答 温 馨 提 醒

3 1 (3)由 sin α+cos α= 两边平方得 1+2sin αcos α= , 3 3 2 ∴2sin αcos α=- . 3

∵α 为第二象限角,∴sin α>0,cos α<0,
∴sin α-cos α= ?sin α-cos α?2 15 = 1-2sin αcos α= 3 .

题型分类·深度剖析
高频小考点3
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高考中的三角变换问题
规 范 解 答 温 馨 提 醒

? ?sin α+cos α= ? 由? ? sin α-cos α= ? ?
2

3 , 3 15 , 3

? ?sin α= 3+ 15, ? 6 得? 3- 15 ? cos α= . ? 6 ?

5 ∴cos 2α=2cos α-1=- 3 .

题型分类·深度剖析
高频小考点3
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高考中的三角变换问题
规 范 解 答 温 馨 提 醒

(4)利用两角和的正弦公式化简原式 sin?30° +17° ?-sin 17° cos 30° = cos 17° sin 30° cos 17° +cos 30° sin 17° -sin 17° cos 30° = cos 17° sin 30° cos 17° 1 = =sin 30° = . cos 17° 2 答案 (1)3+2 2

(2)C (3)A (4)C

题型分类·深度剖析
高频小考点3
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高考中的三角变换问题
规 范 解 答 温 馨 提 醒

三角变换中的求值问题要注意利用式子的特征,灵活 应用公式;对于求角问题,一定要结合角的范围求解.

思想方法·感悟提高
1.巧用公式变形: 和差角公式变形:tan x± tan y=tan(x± y)· (1?tan x·

方 法 与 技 巧

tan y) ; 倍 角 公 式 变 形 : 降 幂 公 式 cos2α = 1+cos 2α 1-cos 2α 2 ,sin α= , 2 2 ? α α? 2, cos ? 1 + cos α = 配 方 变 形 : 1± sin α = ?sin2± 2? ? 2α 2α 2cos 2,1-cos α=2sin 2.
2.利用辅助角公式求最值、单调区间、周期.由 y =asin α+bcos α= a2+b2sin(α+φ)(其中 tan φ= b )有 a2+b2≥|y|. a

思想方法·感悟提高

方 法 与 技 巧

3.重视三角函数的“三变”:“三变”是指 “变角、变名、变式”;变角:对角的分 拆要尽可能化成同名、同角、特殊角;变 名:尽可能减少函数名称;变式:对式子 变形一般要尽可能有理化、整式化、降低 次数等. 在解决求值、 化简、 证明问题时, 一般是观察角度、函数名、所求 (或所证 明)问题的整体形式中的差异,再选择适 当的三角公式恒等变形.

思想方法·感悟提高
1.运用公式时要注意审查公式成立的条件,要 注意和、差、倍角的相对性,要注意升次、 降次的灵活运用,要注意“1”的各种变通.
2 2.在(0,π)范围内,sin(α+β)= 2 所对应的角 α+β 不是唯一的.

失 误 与 防 范

3. 在三角求值时, 往往要估计角的范围后再求值.

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4

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5
6 7 8 9 10

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π π 3 7 1.若 θ∈[ , ],sin 2θ= ,则 sin θ 等于 4 2 8 3 A. 5 4 B. 5 7 C. 4

( D ) 3 D. 4

3 解析 由 sin 2θ=8 7和 sin2θ+cos2θ=1 得 3+ 7 2 3 7 2 (sin θ+cos θ) = 8 +1=( 4 ) , 3+ 7 π π 又 θ∈[4,2],∴sin θ+cos θ= 4 . 3- 7 3 同理,sin θ-cos θ= 4 ,∴sin θ=4.

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? ? π? π? 2 1 ? ? ? 2.已知 tan(α+β)= ,tan?β-4 ?= ,那么 tan?α+4 ? ?等 5 4 ? ? ? ?


π π 解析 因为 α+ +β- =α+β, 4 4 ? π? π ? ? β - 所以 α+ =(α+β)-? ?,所以 4 4 ? ?

13 A. 18

13 B. 22

3 C. 22

( C ) 1 D. 6

? π? ? ? β - tan ? α + β ? - tan ? ? ? ? ? 4? π? π? 3 ? ? ? ? ? ? ?? tan?α+4?=tan??α+β?-?β-4??= = . ? ? π ? ? ? ?? ? ? ? 22 1+tan?α+β?tan?β-4? ? ?

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3.(2013· 重庆)4cos 50° -tan 40° 等于 2+ 3 A. 2 B. C. 3 2
解 析

( C ) D.2 2-1

4sin 40° cos 40° -sin 40° 解析 4cos 50° -tan 40° = cos 40° 2sin 80° -sin 40° 2sin?50° +30° ?-sin 40° = = cos 40° cos 40° 3sin 50° +cos 50° -sin 40° 3sin 50° = = cos 40° = 3. cos 40°

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1 10 π π π 4.若 tan α+ = ,α∈( , ),则 sin(2α+ )的值 tan α 3 4 2 4 为 ( ) 2 2 3 2 7 2 A.- B. C. D. 10 10 10 10 1 10 sin α cos α 10 解析 由 tan α+tan α= 3 得cos α+ sin α = 3 , 1 10 3 ∴sin αcos α= 3 ,∴sin 2α=5. π π π ∵α∈(4,2),∴2α∈(2,π), 4 ∴cos 2α=-5.

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1 10 π π π 4.若 tan α+ = ,α∈( , ),则 sin(2α+ )的值 tan α 3 4 2 4 为 2 A.- 10 2 B. 10 3 2 C. 10 ( A ) 7 2 D. 10

π π π ∴sin(2α+ )=sin 2αcos +cos 2αsin 4 4 4 2 3 4 2 = ×( - )=- . 2 5 5 10

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5.在△ABC 中,tan A+tan B+ 3= 3tan A· tan B, 则 C 等于 π A. 3 2π B. 3 π C. 6 π D. 4 ( A )

解析 由已知可得 tan A+tan B= 3(tan A· tan B-1),
tan A+tan B ∴tan(A+B)= =- 3, 1-tan Atan B 2 π 又 0<A+B<π,∴A+B=3π,∴C=3.

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7 π 3 -25 6.若 sin( +θ)= ,则 cos 2θ=________. 2 5
π 3 解析 ∵sin(2+θ)=cos θ=5, 32 7 2 ∴cos 2θ=2cos θ-1=2×(5) -1=-25.

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2 7.若α=20° ,β=25° ,则(1+tan α)(1+tan β)的值为_____ .
tan α+tan β 解析 由tan(α+β)= =tan 45° =1可得 1-tan αtan β

tan α+tan β+tan αtan β=1,

所以(1+tan α)(1+tan β)=1+tan α+tan β+tan αtan β=2.

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3tan 12° -3 -4 3 8. =________. 2 ?4cos 12° -2?sin 12°

3sin 12° cos 12° -3 解析 原式= 2?2cos212° -1?sin 12° ? ? 1 3 ? 2 3? - 2 cos 12° ? sin 12° ? 2 ? ? 2 3sin?-48° ? cos 12° = = 2cos 24° sin 12° 2cos 24° sin 12° cos 12° -2 3sin 48° -2 3sin 48° =sin 24° = 1 =-4 3. cos 24° 2sin 48°

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1 5 π π 9.已知 tan α=- ,cos β= ,α∈( ,π),β∈(0, ), 3 5 2 2 求 tan(α+β)的值,并求出 α+β 的值.
5 π 解 由cos β= 5 ,β∈(0,2), 2 5 得 sin β= 5 ,tan β=2.
1 tan α+tan β -3+2 ∴tan(α+β)= = = 1. 2 1-tan αtan β 1+3

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1 5 π π 9.已知 tan α=- ,cos β= ,α∈( ,π),β∈(0, ), 3 5 2 2 求 tan(α+β)的值,并求出 α+β 的值.
π π π 3π ∵α∈( ,π),β∈(0, ),∴ <α+β< , 2 2 2 2

5π ∴α+β= 4 .

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4
?π ? ? α∈?2,π? ?,且 ? ?

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10.已知

6 α α sin +cos = . 2 2 2

(1)求 cos α 的值;
?π ? 3 ? (2)若 sin(α-β)=- ,β∈?2,π? ?,求 cos β 的值. 5 ? ? α α 6 解 (1)因为sin 2+cos 2= 2 , 1 两边同时平方,得sin α=2. π 3 又2<α<π,所以 cos α=- 2 .

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1 2 3

A组
4
?π ? ? α∈?2,π? ?,且 ? ?

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5
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10.已知

6 α α sin +cos = . 2 2 2

(1)求 cos α 的值;
?π ? 3 ? (2)若 sin(α-β)=- ,β∈?2,π? ?,求 cos β 的值. 5 ? ? π π (2)因为 <α<π, <β<π, 2 2 π π π 所以-π<-β<-2,故-2<α-β<2. 3 4 又 sin(α-β)=-5,得 cos(α-β)=5. cos β=cos[ α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) ? 4 3+3 3 3 4 1 ? ? ? =- 2 ×5+2×?-5?=- 10 . ? ?

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1 2

B组

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3 4 5

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1 2

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3 4 5

2 2sin α+sin 2α π 1 π 1.已知 tan(α+ )= ,且- <α<0,则 等 4 2 2 π cos?α- ? 4 于 ( A ) 2 5 3 5 3 10 2 5 A.- B.- C.- D. 5 10 10 5

π tan α+1 1 1 解析 由 tan(α+ )= = ,得 tan α=- . 4 1-tan α 2 3 π 10 又- <α<0,所以 sin α=- . 2 10 2sin2α+sin 2α 2sin α?sin α+cos α? 2 5 故 = =2 2sin α=- . π 5 2 cos?α- ? ?sin α+cos α? 4 2

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1
?a ? 2.定义运算? ?c

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2

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3 4 5

sin β ? b? 1 ? ? ?sin α ? ?=ad-bc,若 cos α= , 7 ? d? cos β? ?cos α ? 3 3 π = ,0<β<α< ,则 β 等于 ( ) 14 2 π π π π A. B. C. D. 12 6 4 3
3 3 解析 依题意有 sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β)= , 14 π π 又 0<β<α< ,∴0<α-β< , 2 2 13 2 故 cos(α-β)= 1-sin ?α-β?= , 14 1 4 3 而 cos α= ,∴sin α= , 7 7

练出高分
1
?a ? 2.定义运算? ?c

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3 4 5

sin β ? b? 1 ? ? ?sin α ? ?=ad-bc,若 cos α= , 7 ? d? cos β? ?cos α ? 3 3 π = ,0<β<α< ,则 β 等于 ( D ) 14 2 π π π π A. B. C. D. 12 6 4 3
于是 sin β=sin[α-(α-β)] =sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β) 4 3 13 1 3 3 3 = × - × = , 7 14 7 14 2 π 故 β=3,选 D.

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3. 设

? ? π ? 0 , x∈? 则函数 ? ?, 2 ? ?

2sin2x+1 y= 的最小值为________. sin 2x

2sin2x+1 2-cos 2x 解析 方法一 因为 y= sin 2x = sin 2x , ? 2-cos 2x π? ? 所以令 k= sin 2x .又 x∈?0,2? ?, ? ?
所以 k 就是单位圆 x2+y2=1 的左半圆上的动点 P(-sin 2x, cos 2x)与定点 Q(0,2)所成直线的斜率. 又 2sin2x+1 kmin=tan 60° = 3,所以函数 y= sin 2x 的最小值 为 3.

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1 2

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3. 设

? ? π ? 0 , x∈? 则函数 ? ?, 2 ? ?

2sin2x+1 3 y= 的最小值为________ . sin 2x

3 1 3 1 ∴2tan x+2tan x≥2 2tan x· = 3. 2tan x 3 π (当 tan x= 3 ,即 x=6时取等号)即函数的最小值为 3.

2sin2x+1 3sin2x+cos2x 方法二 y= = sin 2x 2sin xcos x 3tan2x+1 3 1 = = tan x+ . 2tan x 2 2tan x π ∵x∈(0,2),∴tan x>0.

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1 2

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3 4 5

π sin 2? -α?+4cos2α 2 1 4.已知 tan(π+α)=- ,tan(α+β)= . 2 3 10cos α-sin 2α (1)求 tan(α+β)的值; (2)求 tan β 的值.

1 1 解 (1)∵tan(π+α)=-3,∴tan α=-3. π sin 2?2-α?+4cos2α sin 2α+4cos2α ∵tan(α+β)= = 2 10cos α-sin 2α 10cos2α-sin 2α 2sin αcos α+4cos2α 2cos α?sin α+2cos α? = = 2 10cos α-2sin αcos α 2cos α?5cos α-sin α?

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1 2

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π sin 2? -α?+4cos2α 2 1 4.已知 tan(π+α)=- ,tan(α+β)= . 2 3 10cos α-sin 2α (1)求 tan(α+β)的值; (2)求 tan β 的值.

1 sin α+2cos α tan α+2 -3+2 5 = = = = . 1 16 5cos α-sin α 5-tan α 5-?- ? 3

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3 4 5

π sin 2? -α?+4cos2α 2 1 4.已知 tan(π+α)=- ,tan(α+β)= . 2 3 10cos α-sin 2α (1)求 tan(α+β)的值; (2)求 tan β 的值. (2)tan β=tan[(α+β)-α] tan?α+β?-tan α = 1+tan?α+β?tan α 5 1 + 16 3 31 = = . 5 1 43 1- × 16 3

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5.已知函数

? ? π ? ωx + f(x)=2cos? ? ?(其中 6 ? ?

ω>0,x∈R)的最小

正周期为 10π. (1)求 ω 的值; (2)设
? ? ? ? ? ? π 5 5 6 16 ? ? ? ? ? ? α,β∈?0,2 ?,f?5α+3π?=- ,f?5β-6π?= , 5 ? 17 ? ? ? ? ?

求 cos(α+β)的值.

2π 1 解 (1)由T= ω =10π得ω=5.

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3 4 5

5.已知函数

? ? π ? ωx + f(x)=2cos? ? ?(其中 6 ? ?

ω>0,x∈R)的最小

正周期为 10π. (1)求 ω 的值; (2)设
? ? ? ? ? ? π 5 5 6 16 ? ? ? ? ? ? α,β∈?0,2 ?,f?5α+3π?=- ,f?5β-6π?= , 5 ? 17 ? ? ? ? ?

求 cos(α+β)的值.
? ? ? 5 ? ?f 5α+ π?=-6, ? ?? 3 5 ? ? (2)由? ? 5 ? 16 ?? ? f?5β-6π?= ? 17 ?? ?

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5.已知函数

? ? π ? ωx + f(x)=2cos? ? ?(其中 6 ? ?

ω>0,x∈R)的最小

正周期为 10π. (1)求 ω 的值; (2)设
? ? ? ? ? ? π 5 5 6 16 ? ? ? ? ? ? α,β∈?0,2 ?,f?5α+3π?=- ,f?5β-6π?= , 5 ? 17 ? ? ? ? ?

求 cos(α+β)的值.
?1? ? ? ? 5 π ? ? ? ?2cos 5α+ π + ?=-6, ? ? ? 3 ? 6? 5 ?5? ? ? 得? ?1? 5 ? π? 16 ? ? ? ? ? 2cos? ?5β-6π?+ ?= , ? 6? 17 ? ?5? ?

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5.已知函数

? ? π ? ωx + f(x)=2cos? ? ?(其中 6 ? ?

ω>0,x∈R)的最小

正周期为 10π. (1)求 ω 的值; (2)设
? ? ? ? ? ? π 5 5 6 16 ? ? ? ? ? ? α,β∈?0,2 ?,f?5α+3π?=- ,f?5β-6π?= , 5 ? 17 ? ? ? ? ?

求 cos(α+β)的值.
? ?sin α=3, ? 5 整理得? 8 ? cos β= . ? 17 ?
? π? ? ? 0 , ∵α,β∈? ?, 2 ? ?

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5.已知函数

? ? π ? ωx + f(x)=2cos? ? ?(其中 6 ? ?

ω>0,x∈R)的最小

正周期为 10π. (1)求 ω 的值; (2)设
? ? ? ? ? ? π 5 5 6 16 ? ? ? ? ? ? α,β∈?0,2 ?,f?5α+3π?=- ,f?5β-6π?= , 5 ? 17 ? ? ? ? ?

求 cos(α+β)的值.

4 15 2 ∴cos α= 1-sin α= ,sin β= 1-cos β= . 5 17 ∴cos(α+β)=cos αcos β -sin αsin β 4 8 3 15 13 =5×17-5×17=-85.
2



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