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No.40 全国高中数学联合竞赛模拟试题



No.40 高中数学联赛模拟试卷
1、抛物线 y ? x 上到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离最小的点的坐标是 ________ 。
2

2、 s ?

1 3

?

1 5

?

1 7

???

>
1 99

的整数部分是



3、在棱长为 2 的正四面体内任取一点 P , P 到四面体四个面的距离分别记为 PP , PP2 , 1

PP3 , PP4 ,则 PP ? PP2 ? PP3 ? PP4 ? 1

。 S

4、在三棱锥 S ? ABC 中,侧棱 SA , SB , SC 两 两垂直, SA ? SB ? 4 , SC ? 6 , 在三棱锥的内部 有一个与三棱锥的四面体都相切的球,则此球的半径 . R?

? x ? 1, x ? 0, 5、若 f ( x) ? ? 则 f (cos 2) = ?1, x ? 0
为 。
n



A B

C

当 x ?[0,2? ) 且 满 足 co sx ? f ( s i n ) ? 1 的 x 的 集 合 x

1 ? ? * 6、已知 (1 ? x ? x ) ? x ? 3 ? 的展开式中没有常数项, n ? N ,且 2≤n≤8,则 n=______。 .. x ? ?
2

7、双曲线 x ? y ? k 关于直线 x-y=1 对称的曲线与直线 x+2y=1 相切,则 k 的值等于
2 2



8、求函数 y ?

x 4 ? 32 x ? 80 ? x 2 ? 4 的最小值和取最小值时 x 的值
2 2 2

9、证明圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的两条互相垂直的切线 m, n 的交点 P 的轨迹方程是

( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? 2r 2 。
10、密码员王超设计了一种给自然数编码的方法: (1)先将自然数表示成五进制数(逢五进 一) (2)再将五进制中的 5 个数码与集合 ? , W , X , Y , Z ?中的元素建立一个一一对应,后来, V 他发现三个递增的相邻的十进制自然数被编成 VYZ , VYX , VVW 求被编成 VWXYZ 的数所对应 的十进制数。 11、数列{an}的定义是: a1 ? 1, a2 ? 1, a3 ? 2, an ?3 ? 项都是正整数。 (德国)

1 (an ?1an ? 2 ? 7) ,证明,该数列中的 an

12、已知 a, b 是正数,并且 a

2009

? b2009 ? a2007 ? b2007 ,求证 a 2 ? b 2 ? 2 。

乌鲁木齐市高级中学数学竞赛培训题 3 参考答案
1、解法 1 设抛物线 y ? x 上的点的坐标是 x, x
2

?

2

? ,则它到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离是

d?

x ? x2 ? 2 2

?? 1 , 1 ?. 2 4

( x ? 1 )2 ? 7 2 4 ,当 x ? ? 1 时 d 最小,此时 y ? 1 .故所求点的坐标是 ? 2 4 2

解法 2

如图,将直线 x ? y ? 2 ? 0 平移至与抛物线 y ? x 相切,则此时的切点即为所
2 2

求点.设切线方程为 y ? ? x ? k ,代入 y ? x ,得 x ? x ? k ? 0 .由
2

?x ? ? 1 ? y ? x2 ? ? 2 得? .故所 ? ? o ,即 1 ? 4k ? 0 ,得 k ? ? 1 .解 ? 4 ? y ? ?x ? 1 ? y ? 1 ? 4 ? 4
求点的坐标是 ? 1 , 1 . 2 4 解法 3 设所求点的坐标为 P ? x 0 , y 0 ? , 则过点 P 的抛物线的切线 应 与 直 线 x? y?2?0 平 行 . 而 其 切 线 方 程 为
2 x0 ? ? 1 .? y0 ? x0 ? 1 . 故所求点的坐标为 ? 1 , 1 . 2 4 2 4

y x y=x2 -2 O -2 x

?

?

?

?

y ? y0 ? x0 x , 故 2 x0 ? ?1 , 2

2、解 ?

1 2k ? 3 ? 2k ? 1

?

1 2 2k ? 1

?

1 2k ? 1 ? 2k ? 1





1 2k ? 1 ? 2k ? 1 2k ? 3 ? 2k ? 1 ? ? .?取 k ? 1,2,?,49 ,得 49 个式子, 2 2 2 2k ? 1

并相加,得 101 ? 3 ?

1 3

? 1 99

1 5

?

1 7

???

1 99

? 99 ? 1 .
1 5 1 7 1 ? ? ?8. 99 ?

显然

1 3

?

1 5

?

1 7

???
6

在 8 与 9 之间,故 ?

? 1 ? 3

?

?

???

拓展

将题中 10 改为 n ,得

2

推广 1 当 n 为大于 1 的自然数时, 1 ?

1 1 1 ? ??? 的整数部分是 2(n ? 1) . 2 3 n2

推广 2 当 n 为大于 1 的自然数时, ? 1

1
3

2

2

?

1
3

3

2

???
3

1

?n ?

3 2

的整数部分是 3(n ? 1) .

证明 ?

1
3

k

2

?

? k ? ?? k ? ?? k ?
3 2 3 2 3

3

2

,?

1
3

k

2

?

?

3

k ?1 ? 3 k ?1 ? 3 k ?
2

?

3
2

? k?
3

2

?3

?

3

k ?1 ? 3 k ,

?

1
3

k

2

?

? k?
3

3
2

? 3 k ? 3 k ?1 ?

?

3

k ?1
?3

?

?3

?

3

k ? 3 k ? 1 . (k ? 1)

?

令 k ? 1, 2,? , n , 相加得 3
3

?

3

n3 ? 1 ? 1 ? ?
k ?1

?

n3

1
3

k

2

?
3

3

n3 ? 1 ? 1 ,即

?

3 ? n ? 1? ? ?
k ?1

n3

1
3

k

2

? 3 ? n ? 1? ? 1 ,?1 ?
m?1 m?1

1
3

22

?

1
3

32

???
m?1

1

?n ?

3 2

的整数部分是 3(n ? 1) .

由于 mm k m?1 ?

?? ?

?

m

k ?1

?

m ?1

? k ? ? ? k ? ? ?? ? k ? ? k ? ? ? k ?1? ? 1 ?
m m m
m m m m m

?

? k?
m

m?1

?

? k? ?
m m? 2

m

k ?1

?
,

k ? m k ?1

m

k ? m k ?1

, (k ? 1)

.





m m k m?1 ?

m

1 ,故又得 k ?1 ? m k
当 m 、 n 为大于 1 的自然数时, 1 ?

推广 3

1
m

2

m ?1

???
m

1

?n ?

m m ?1

的整数部分是

m(n ? 1) .
3、解法 1 将 P 与正四面体的四个顶点联结,得到以 P 为顶点,正四面体的各个面为底面的 四个小棱锥,它们的高分别为 PP , PP2 , PP3 , PP4 , 体积的和等于原正四面体的体积.由于 1 四个小棱锥的底面与原正四面体的底面一样,所以 PP ? PP2 ? PP3 ? PP4 ? 正四面体的高 1

2 3? 2 2 2 3 ? ( 2 )2 ? ( ? ) ? . 3 2 3
解法 2 设已知正四面体为 ABCD ,由题意,可知 PP ? PP2 ? PP3 ? PP4 为定值.故不 1

妨令 P 为正四面体的一个顶点 A ,则 P 到面 ABC 、面 ACD 、面 ADB 的距离都是 0 ,故

PP ? PP2 ? PP3 ? PP4 就是点 A 到面 BCD 的距离,即正四面体的高 1

2 3 . 3

4、解:∵ SA , SB , SC 两两垂直, SA ? SB ? 4 , SC ? 6 ,∴ AB ? 4 2 ,

AC ? BC ? 2 13 , S ?SAB ? 8 , S ?SBC ? S ?SAC ? 12 , S ?ABC ? 4 22 ,
设此三棱锥的内切球的半径为 R ,则 VS ? ABC ?

?


1 (32 ? 4 22 ) R ? VC ?SAB 3

1 ( S?SAB ? S?SBC ? S?SAC ? S?ABC ) R 3 1 1 1 ? S ?SAB ? SC ? ? ? 4 ? 4 ? 6 ? 16 , 3 3 2

16 ? 2 22 1 (32 ? 4 22 ) R ? 16 ,解得 R ? 7 3

5、希望杯 16-2-2-12 6、08 高考辽宁理科 15 题。答案 5 7、解 设点 P(x0,y0)是双曲线 x ? y ? k 上任意一点,点 P 关于直线 x-y=1 的对称点为
2 2

P’(x,y),则

y ? y0 x ? x0 y ? y 0 ? ?1 ②,解①、②联立方程组得 ? ? 1 ①,又 x ? x0 2 2
④.③代入④,得

? x0 ? y ? 1 2 2 2 2 ③ . ∵ P 点 在 双 曲 线 x ? y ? k 上 , ∴ x0 ? y 0 ? k ? ? y0 ? x ? 1

( y ? 1) 2 ? ( x ? 1) 2 ? k ⑤,此即对称曲线的方程,由 x+2y=1,得 x=1-2y`,代入⑤并整理,得 3 y 2 ? 2 y ? k ? 1 ? 0 .由题意,△=4-12(k-1)=0,解得 k=

4 ,故选 B. 3
2

8、解法 1 由已知函数式,得 x ? 32 x ? 80 ? ( y ? 4) ? x ,两边平方并整理,得
4

2( y ? 4) x 2 ? 32 x ? (64 ? 8 y ? y 2 ) ? 0 ,看作关于 x 的方程,由 x ? R ,知 ? x ? 0 ,即 32 2 ? 8( y ? 4)( 64 ? 8 y ? y 2 ) ? 0 ,得 ? 4 2 ? y ? 4 2 ①或 y ? 12 ②,因为
x 4 ? 32 x ? 80 ? ( x 2 ? 4) 2 ? 8( x ? 2) 2 ? 32 ? 4 2 , y ? ( x 2 ? 4) ? 4 2 ? 4 ? 4 2 , 即
故舍去①,只取②: y ? 12 ,将 y ? 12 代入已知函数式,得 x ? 1 ,即当且仅当 x ? 1 时, y 有最小值 12 . 解法 2 因为 y ?

? ( x 2 ? 8) 2 ? ( 4 x ? 4) 2 ? ( x 2 ? 4) 2 ,所以设 a ? ( x 2 ? 8,4 x ? 4) ,

? ? ? ? ? b ? ( x 2 ? 4,0) ,则 y ? a ? b ? a ? b ? ( x 2 ? 8,4 x ? 4) ? ( x 2 ? 4,0) ?
( ?12 ) 2 ? ( 4 x ? 4) 2 ? 12 ,故当且仅当 x ? 1 时, y 有最小值 12 .

9、证明 如图,易知四边形 APBO1 为正方形,所以|PO1|= 2 | AO1 |?

2r ,所以点 P 的轨迹

是以 O1 为圆心, 2 r 为半径的圆,其方程是 ( x ? a) ? ( y ? b) ? 2r .
2 2 2

10、希望杯 16-2-2-22 11 、 12 、 由 递 推 公 式 知 , an ?3an ? an ?1an ? 2 ? 7, an ? 4 an ?1 ? an ? 2 an ?3 ? 7 , 两 式 相 减 , 得 :

an?3an ? an ? 4 an ?1 ? an ? 2 an ?3 ? an ?1an ? 2 ,即 an?3an ? an? 2 an?3 ? an?1an? 2 ? an? 4 an?1 , an?3 (an ? an ? 2 ) ? an ?1 (an ? 2 ? an ? 4 )

an ? an ? 2 an ? 2 ? an ? 4 a ? an ? 2 a ? an ? 4 (*) ,记 bn ? n , 即bn ? b n+2 (**) ? , 则b n+2 ? n ? 2 an ?1 an ?3 an ?1 an ?3 a1 ? 1, a2 ? 1, a3 ? 2, an ?3 ? 1 (an ?1an ? 2 ? 7), 得a 4 ? 9 , b1 ? 3, b2 ? 5, 从而 an

a2 k ?1 ? 3a2 k ? a2 k ?1 , a2 k ? 2 ? 5a2 k ?1 ? a2 k ,结合 a1 ? 1, a2 ? 1, a3 ? 2 ,知数列中各项为正。
12、证法 1 若 a 与 b 中有一个等于 1,那么另一个也等于 1,此时,显然 a ? b ? 2 .
2 2

若 a ? b 且 b ? 1 ,可将 a

1998

? b1998 ? a1996 ? b1996 改写为 a1996?a 2 ? 1? ? b1996?1 ? b 2 ? ,由
2

此 推 得 0 ? b ? 1 ( 若 b ? 1 , 则 a ? 1 ? 0 , 得 a ? 1 , 这 与 a ? b 矛 盾 ), 由 此 得

a2 ?1 ? b ? ?? ? 1? b2 ? a ?
证法 2

1996

b ?b? ,? 0 ? ? 1,0 ? ? ? a ?a?

1996

? 1,?

a2 ?1 ? 1, 得 a 2 ? b 2 ? 2 . 2 1? b

2 ? a1998 ? b1998 ? ? ? a 2 ? b 2 ? ? a1996 ? b1996 ? ? a1998 ? a 2b1996 ? a1996b 2 ? b1998 ?

?a

2

? b 2 ? ? a1996 ? b1996 ? .? a 2 ? b 2 与 a1996 ? b1996 同号,?

?a

2

? b 2 ? ? a1996 ? b1996 ? ? 0,

? 2 ? a1998 ? b1998 ? ? ? a 2 ? b 2 ? ? a1996 ? b1996 ? . ? a1998 ? b1998 ? a1996 ? b1996 ? 0,? a 2 ? b2 ? 2 .
证法 3 由a
1998

?b

1998

?a

1996

?b

1996

及 a, b ? R ,得 a ? b
2

?

2

?a ?

1996

? b1996 ? ? a 2 ? b 2 ? a1998 ? b1998

?

a1998 ? b1998 ? a1996b2 ? a 2b1996 a1996b2 ? a 2b1996 ? 1? . a1998 ? b1998 a1998 ? b1998

? a1996b 2 ? a 2b1996 ? a1998 ? b1998 ? ? ? a 2 ? b 2 ? ? a1996 ? b1996 ? ,
又a ?b 与a
2 2 1996

? b1996 同号,?? ? a 2 ? b 2 ? ? a1996 ? b1996 ? ? 0,

?

a1996b 2 ? a 2b1996 ? 1,? a 2 ? b 2 ? 2 . 1998 1998 a ?b

推广 1 推广 2 推广 3 推广 4

设 a, b ? R ,且 a 设 a, b ? R ,且 a 设 a, b ? R ,且 a

1998

? b1998 ? a1996 ? b1996 ,则 a 2 ? b 2 ? 2 . ? b 2n?2 ? a 2n ? b 2n ,其中 n ? N ? ,则 a 2 ? b 2 ? 2 . ? b 2m?2n ? a 2m ? b 2m ,其中 m, n ? N ? ,则 a 2 n ? b 2 n ? 2. . ? Bb 2m?2n ? Aa 2m ? Bb 2m ,其中 m, n ? N ? ,

2n?2

2 m? 2 n

设 a, b ? R ,且 Aa

2 m? 2 n

A, B ? R ? , A ? B ? 1,则 Aa 2n ? Bb 2n ? 1 ②.



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