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江西省南昌市2013届高三第一次模拟测试文科数学试卷



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2012—2013学年度南昌市高三第一次模拟测试卷
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数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共10题,每小题5分,共50分) 题目 答案 1 A 2 D 3 D

4 C 5 D 6 A 7 A 8 B 9 D 10 C

二、填空题(本大题共5小题,每小题5,共25分)

11.

12. 5? ? 3 5?

7 13. 8

1 3 (??, ? ] ? [ , ??) 2 2 14.

15.

? 0, 2 ?

三、解答题: (本大题共6小题,共75分) 16.解: (1)①的位置为12,②的位置为0.30……4分
6 1 ? 30 5 ,所以第三、四、五组抽中的人数为3,2,1……8分 (2)抽样比为

(3)设2人中至少有1名是第四组为事件A,则

P ( A) ? 1 ?

6 3 ? 15 5 ……12分

? cos A ?
17.解: (1)

1 ? cos A 5 1 2? ? , cos A ? ? A? 2 4 2 ,因为 A ? (0, ? ) ,所以 3 …6分

??? ??? ? ? AB ? AC ? ?1 知 bc ? 2 , ……8分 (2)由
1 3 S?ABC ? bc sin A ? 2 2 2 2 ,而 a ? b ? c ? bc ? 3bc ? 6 ……10分, 所以
当且仅当 b ? c ?

2 时,上式取等号……11分

2 所以 BC 边上的高 AD 的最大值为 2 .……12分

19 解:(1)取线段

A1 B1

的中点为 E ,连接 OE , C1 E, CO

已知等边 ABC 是边长为4,

AA1 ? BB1 ? 2CC1 ? 4



AA1 ?

平面 ABC



AA1 // BB1 // CC1

? AA1 B1 B 是正方形, OE ? AB, CO ? AB , 又?CO ? OE ? O ? AB ? 面EOCC1

A1 B1 || AB, OC 1? 面EOCC1 , 故 OC1 ? A1 B1 ……6分
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(2)设

OE ? AB1 ? D ,则点 D 是 AB1 的中点,
ED ? 1 AA1 2 ……8分

AA1 , 所以, ED ∥



?CC1 || AA , CC1 ? 1

1 AA 1 CC1 ED 是平行四边形,…10分 2 , 所以四边形

? CD // C1 E ,? CD // 平面 A1 B1C1
即存在点D使得 CD // 平面

A1 B1C1 ,点D是 AB1 的中点.…12分
? na1 ?

s ?a ? 19.解:设 n 的公差为 d ,则

n

d 2 d n(n ? 1)d Sn ? n ? (a1 ? )n 2 2 , 2 ,即

d ? ?a1 ? 2 ? 0 ? ? ? s ? dn sn ? n 2 ……2分, 由 是等差数列得到: ?

d?


d 1 d? 2 且 d ? 2a1 ? 0 ,所以 2 ,……4分,
a1 ? d 1 1 1 2 n ?1 ? an ? ? (n ? 1) ? ? 2 4 ……5分, 4 2 4 ……6分

所以:

1 3 9 b1 ? a1 ? , b2 ? a2 ? , b3 ? a5 ? 4 4 4 ,得到:等比数列 {bn } 的公比 q ? 3 , (2)由
bn ? 1 n ?1 ?3 4 , ……8分

所以:

cn ?
所以

1 1 1 1 ? ? ? n ?1 log3 3 ? log3 3 n(n ? 1) n n ? 1 ……10分
n

Tn ? 1 ?

1 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? ? ? 1? 2 2 3 n n ?1 n ? 1 ……12分

f ?( x) ? 2ax ?
20. (1)

? f ?(1) ? 3 ?a ? 2 b ? ? x ,由 ? f (1) ? 2 ,得 ? b ? 1 …………………………2分
1 1 4 x 2 ?1 x? ? ?0 2 ,………………3分 x x ,得

f ( x) ? 2x ? ln x ,
2

f ?( x) ? 4 x ?

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? ? k ?1 ? 0 ? 1 3 ? ?k ? 1 ? ? 1 ? k ? 2 2 ? 1 ? ?k ? 1 ? 2 所以 ? …………………………………………………………6分
1 c ?1 2 1 g (t ) ? t 3 ? t ?ct ? ln 2 ? 3 2 6 根据题意可知 g (t )min ? f ( x)min …………7分 (2)设
1 1 f ( x)min ? f ( ) ? ? ln 2 2 2 由(1)知 ……………………………………………………8分
g ?(t ) ? t 2 ? (c ? 1)t ? c ? (t ? 1)(t ? c)


g (t )min ? g (1) ? c ? ln 2 2 ,

? t ? [1, 3] 当 c ? 1 时, g (t ) ? 0 ; g (t ) 在 上单调递增,

满足 g (t )min ? f ( x) min ……………………………………………………………………9分 当 1 ? c ? 3 时, g (t ) 在
t ? [1, c ]

时递减 ,在

t ? [c,3]

时递增,

1 1 1 1 1 1 1 g (t )min ? g (c) ? ? c3 ? c2 ? ln 2 ? ? c3 ? c2 ? ln 2 ? ? ? ln 2 6 2 6 ,由 6 2 6 2 得
c3 ? 3c 2 ? 2 ? 0,(c ? 1)(c 2 ? 2c ? 2) ? 0

,此时 1 ? 3 ? c ? 3 ……………………………10分
g (t )min ? g (3) ? ? 3c 14 ? ? ln 2 2 3

? t ? [1,3] 当 c ? 3 时, g (t ) ? 0 ; g (t ) 在 上单调递减,

g (3) ? ?

3c 14 3 ? 3 14 1 ? ? ln 2 ? ? ? ? ln 2 ? ? ln 2 2 3 2 3 2 ……………………………………12分

综上,c的取值范围是 21. 解: (1)由

? ??,1? ? ?1 ? ?

3, ??

?

………………………………………13分

PM ? PN ? 2 3

知道曲线 C 是以 M , N 为焦点的椭圆,且 a ? 3, c ? 1 ,

b? 2,
x2 y 2 ? ? 1. 2 所以曲线 C 的方程为 3 ………………………………6分
(2)设

A( x1, y1 )、B( x2 , y2 ) ,由题意知 l 的斜率一定不为0,故不妨设 l : x ? my ? 1,代入
2 2

椭圆方程整理得 (2m ? 3) y ? 4my ? 4 ? 0 ,…………………7分

显然 ? ? 0. 则

y1 ? y2 ? ?

4m 4 , y1 y2 ? ? ??? 2 2m ? 3 2m 2 ? 3 ①,…………………8分

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假设存在点 Q ,使得四边形 OAQB 为平行四边形,其充要条件为 OQ ? OA ? OB ,则点 Q 的

???? ??? ??? ? ?

( x1 ? x2 )2 ( y1 ? y2 ) 2 ? ? 1. ( x ? x2 , y1 ? y2 ) 。由点 Q 在椭圆上,即 3 2 坐标为 1
整理得

2x12 ? 3 y12 ? 2x22 ? 3 y22 ? 4x1x2 ? 6 y1 y2 ? 6. ………………………………10分 2x12 ? 3 y12 ? 6,x22 ? 3 y22 ? 6. 2

又 A、B 在椭圆上,即 故

2x1x2 ? 3 y1 y2 ? ?3??? ②………………………………………………………11分
x1x2 ? (my1 ?1)(my2 ?1) ? m2 y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ?1
m?? 2 . 2 ………………………………………………………13分

所以

将①②代入上式解得

即直线 l 的方程是:

x??

2 y ?1 2 ,即 2x ? 2 y ? 2 ? 0 …………………………14分

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