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【解析版】广东省湛江市2013届高三4月高考测试(二)数学(理)试题



2013 年广东省湛江市高考数学二模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 2 1. 分)已知集合 A={x|x>1},B={x|x <4},则 A∩ (5 B=( ) A.{x|x<2} B.{x|﹣2<x<2} C.{x|x>1} D.{x|1<x<2} 考点: 交集及其运算

;一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 2 分析: 集合 A 与集合 B 的公共元素构成集合 A∩ B,由此利用集合 A={x|x>1},B={x|x <4}={x|﹣2<x< 2},能求出集合 A∩ B. 解答: 解:∵ 集合 A={x|x>1}, 2 B={x|x <4}={x|﹣2<x<2}, ∴ B={x|1<x<2}. A∩ 故选 D. 点评: 本题考查集合的交集及其运算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.

2. 分)复数 (5 A..1

的虚部是( B.

) C..﹣1 D..﹣

考点: 复数的基本概念;复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 利用复数的除法运算把给出的复数化简为 a+bi(a,b∈R)的形式即可得到答案. 解答: 解:由 = . 所以复数 的虚部是﹣1.

故选 C. 点评: 本题考查了复数的基本概念,考查了复数代数形式的乘除运算,复数的除法,采用分子分母同时乘 以分母的共轭复数,是基础题. 3. 分)如果命题“¬(p∧q)”是真命题,则( (5 A.命题 p、q 均为假命题 C. 命题 p、q 中至少有一个是真命题 ) B. 命题 p、q 均为真命题 D.命题 p、q 中至多有一个是真命题

考点: 复合命题的真假. 专题: 计算题. 分析: 可知 p∧q 是假命题,由复合命题的真假可知:命题 p,q 中至少有一个是假命题,进而可得答案. 解答: 解:由题意可知:“¬(p∧q)”是真命题, ∴ 是假命题, p∧q 由复合命题的真假可知:命题 p,q 中至少有一个是假命题, 即命题 p,q 中至多有一个是真命题, 故选 D 点评: 本题考查复合命题的真假,属基础题.

4. 分)下列函数中既是奇函数,又在(0,+∞)上单调递增的是( (5 A.y=x2 B.y=x3 C.y=﹣x

) D.y=tanx

考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先判断函数的奇偶性,再考查函数在(0,+∞)上单调性,从而得出结论. 2 解答: 解:由于函数 y=x 是偶函数,故不满足条件. 由于函数 y=x 是奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,故满足条件. 由于函数 y=﹣x 是奇函数,但在(0,+∞)上单调递减,故不满足条件. 由于函数 y=tanx 是奇函数,故不满足条件. 故选 B. 点评: 本题主要考查函数的奇偶性和单调性,属于基础题. 5. 分)运行如图的程序框图,输出的结果是( (5 )
3

A.510

B.1022

C.254

D.256

考点: 程序框图. 专题: 图表型. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是利用循环计 算并输出 m 值.模拟程序的运行过程,用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析,不难得到最 终的输出结果. 解答: 解:程序在运行过程中各变量的值如下表示: m n 是否继续循环 2 2 / 循环前 2 3 第一圈 是 2+2 2 3 4 第二圈 是 2+2 +2 … … … … 2 3 5 6 第五圈 是 2+2 +2 +…+2 +2 7 2 3 6 7 第六圈 是 2+2 +2 +…+2 +2 8 2 3 7 8 第七圈 否 2+2 +2 +…+2 +2 9 则程序运行后输出的结果是 2+2 +2 +…+2 +2 =510. 故选 A. 点评: 本题主要考查了直到型循环结构,循环结构有两种形式:当型循环结构和直到型循环结构,当型循 环是先判断后循环,直到型循环是先循环后判断,属于基础题. 6. 分)函数 f(x)=(x﹣1)cosx 在区间[0,4]上的零点个数是( (5 A.4 B.5 C.6
2 2 3 7 8

) D.7

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: 令函数值为 0,构建方程,即可求出在区间[0,4]上的解,从而可得函数 f(x)=(x﹣1)cosx 在区

间[0,4]上的零点个数 解答: 解:令 f(x)=0,可得 x=1 或 cosx =0 ∴ 或 x =kπ+ x=1
2 2 2

,k∈Z,

∵ x∈[0,4],则 x ∈[0,16], ∴ 可取的值有 0,1,2,3,4, k ∴ 方程共有 6 个解, ∴ 函数 f(x)=(x﹣1)cosx 在区间[0,4]上的零点个数为 6 个, 故选 C 点评: 本题考查三角函数的周期性以及零点的概念,属于基础题.
2

7. 分)设 F1,F2 是椭圆 (5

的左右焦点,若直线 x=ma (m>1)上存在一点 P,

使△ 2PF1 是底角为 30°的等腰三角形,则 m 的取值范围是( F ) A.1<m<2 B.m>2 C. 1<m<

D.

m>

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用△ 2PF1 是底角为 30°的等腰三角形, F 可得|PF2|=|F2F1|, 根据 P 为直线 x=ma 上一点, 可建立方程, 由此可求椭圆的离心率的范围. 解答: 解:∵F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形 △ ∴ 2|=|F2F1| |PF ∵ 为直线 x=ma 上一点,所以∠ 2A=60° P PF ∴ cos60°= = ,即 e= ∈(0,1)

∴ m∈(1,2) 故选 A.

点评: 本题考查椭圆的几何性质,解题的关键是确定几何量之间的关系,属于基础题 8. 分) (5 (2008?海南)某几何体的一条棱长为 ,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为 线段, 在该几何体的侧视图与俯视图中, 这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段, a+b 的最大值为 则 ( A. B. C.4 D. 的 )

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 设棱长的线段是长方体的对角线,由题意所成长方体的三度,求出三度与面对角线的关系,利用基 本不等式即可求出 a+b 的最大值 解答: 解:结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算.如图设长方体的高宽高分别为 m,n,k, 由题意得
2 2


2 2

?n=1





所以(a ﹣1)+(b ﹣1)=6?a +b =8, 2 2 2 2 2 ∴ (a+b) =a +2ab+b =8+2ab≤8+a +b =16?a+b≤4 当且仅当 a=b=2 时取等号. 故选 C.

点评: 本题是基础题,考查长方体的对角线与三视图的关系,长方体的三度与面对角线的关系,基本不等 式在求最值中的应用,考查空间想象能力,计算能力,常考题型. 二、填空题(共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 3 9. 分) (5 (2012?广东)曲线 y=x ﹣x+3 在点(1,3)处的切线方程为 2x﹣y+1=0



考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题. 分析: 先求出导函数,然后将 x=1 代入求出切线的斜率,利用点斜式求出直线的方程,最后化成一般式即 可. 2 解答: 解:y′ ﹣1 =3x 令 x=1 得切线斜率 2 所以切线方程为 y﹣3=2(x﹣1) 即 2x﹣y+1=0 故答案为:2x﹣y+1=0 点评: 本题主要考查导数的几何意义:在切点处的导数值为切线的斜率、考查直线的点斜式,属于基础题.

10. 分)已知 (5

,则

=



考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 求出 f( )的值,然后求解 解答: 解:因为函数 ,

的值即可.

所以 f( )= 所以 故答案为: .

=﹣1, =f(﹣1)=2 = .
﹣1

点评: 本题考查函数值的求法,注意分段函数的定义域,考查计算能力. 11. 分)不等式|x ﹣3x+1|<1 的解集为 (0,1)∪ (5 (2,3) . 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 直接利用绝对值不等式的解法,求解即可. 解答: 解:不等式|x2﹣3x+1|<1 的解集等价于﹣1<x2﹣3x+1<1 的解集, 即 ,
2

解① 得:x<1 或 x>2; 解② 得:0<x<3, 所以原不等式的解集为: (0,1)∪ (2,3) . 故答案为: (0,1)∪ (2,3) . 点评: 本题考查绝对值不等式的解法,考查转化思想与计算能力.

12. 分)已知{an}的前 n 项之和为 Sn,a1=1,Sn=2an+1,则 Sn= (5



考点: 数列的求和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由 Sn=2an+1,得 Sn=2(Sn+1﹣Sn) ,化简后可判断{Sn}为以 1 为首项、 为公比的等比数列,由等比 数列的通项公式可求得 Sn. 解答: 解:由 Sn=2an+1,得 Sn=2(Sn+1﹣Sn) ,即 3Sn=2Sn+1, 又 a1=1,所以 Sn≠0, 则 ,

所以{Sn}为以 1 为首项、 为公比的等比数列, 所以 故答案为: , .

点评: 本题考查数列递推式、数列前 n 项和,考查等比数列的定义、通项公式,属中档题. 13. 5 分) ( 四位学生, 坐在一排有 7 个位置的座位上, 有且只有两个空位是相邻的不同坐法有 480 种. 用 ( 数字作答)

考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 计算题. 分析: 7 个座位,四人就座恰有两个座位相邻.也就是说,有两个空座位是连在一起,还有一个空座位没 和其他空座位连一起,所以,可以把这三个空座位分成两组,2 个相邻的,1 个单一放置的.然后把 四个人排好,把座位插空到四个人产生的 5 个空档里,求出满足要求的不同坐法的种数即可. 解答: 解:可以把这三个空座位分成两组,2 个相邻的,1 个单一放置的. 4 而:四个人的坐法(不考虑空座位)共有 A4 =4×3×2×1=24 种, 2 再把两组不同的空座位插入到四个人产生的 5 个空档里,有 A5 =5×4=20 种 所以满足题意的不同坐法有 24×20=480 种. 故答案为:480. 点评: 此题主要考查用排列组合及简单的计数原理问题,用插空法求解是题目的关键,有一定的灵活性, 需要同学们很好的理解. 14. 分) (5 (坐标系与参数方程选做题) 在直角坐标系 xoy 中,曲线 C 的参数方程是 轴正半轴为极轴,则曲线 C 的极坐标方程是 ρ=4cosθ . (θ∈[0,2π],θ 为参数) ,若以 O 为极点,x

考点: 简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 专题: 直线与圆. 分析: 先求出曲线 C 的普通方程,再利用 x=ρcosθ,y=ρsinθ 代换求得极坐标方程. 解答: 2 2 解:由 得 ,两式平方后相加得(x﹣2) +y =4,…(4 分) ∴ 曲线 C 是以(2,0)为圆心,半径等于的圆.令 x=ρcosθ,y=ρsinθ, 代入并整理得 ρ=4cosθ.即曲线 C 的极坐标方程是 ρ=4cosθ. …(10 分) 故答案为:ρ=4cosθ. 点评: 本题主要考查极坐标方程、参数方程及直角坐标方程的转化.普通方程化为极坐标方程关键是利用 公式 x=ρcosθ,y=ρsinθ,ρ= .

15. (几何证明选讲选做题) 如图,点 A、B、C 都在⊙ 上,过点 C 的切线 交 AB 的延长线于点 D,若 AB=5,BC=3,CD=6,则线段 O AC 的长为 .

考点: 与圆有关的比例线段;余弦定理. 专题: 计算题. 分析: 利用切割线定理求出 DB,利用余弦定理求出∠ DBC 的余弦值,然后利用余弦定理求解 AC 即可.

解答: 解:由切割线定理可知,DC2=DB?DA,因为 AB=5,CD=6,解得 DB=4, 由余弦定理可知 cos∠ DBC=
2 2 2

=

, ,

在△ ABC 中,AC =BC +AB ﹣2AB?BCcos∠ ABC=9+25﹣2×3×5× 所以 AC= . 故答案为: . 点评: 本题考查切割线定理的应用,余弦定理的应用,考查计算能力.

=

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)某市甲、乙两校高二级学生分别有 1100 人和 1000 人,为了解两校全体高二级学生期 末统考 的数学成绩情况, 采用分层抽样方法从这两所学校共抽取 105 名高二学生的数学 成绩, 并得到成绩频数分 布表如下,规定考试成绩在[120,150]为优秀. 甲校: 分组 [70,80) [80,90) [90,100) [100, 110) [110, 120) [120, 130) [130, 140) [140, 150) 2 3 10 15 15 x 3 1 频数 乙校: 分组 [70,80) [80,90) [90,100) [100, 110) [110, 120) [120, 130) [130, 140) [140, 150) 1 2 9 8 10 10 y 3 频数 (1)求表中 x 与 y 的值; (2) 由以上统计数据完成下面 2x2 列联表, 问是否有 99%的把握认为学生数学成绩优秀 与所在学校有关? (3)若以样本的频率作为概率,现从乙校总体中任取 3 人(每次抽取看作是独立重复的) ,求优秀学生人 数 ξ 的分布列和数学期望. (注:概率值可用分数表示) 甲校 乙校 总计 优秀 非优秀 总计 考点: 离散型随机变量及其分布列;独立性检验;离散型随机变量的期望与方差. 专题: 概率与统计. 分析: (1)根据条件知道从甲校和乙校各自抽取的人数,做出频率分布表中的未知数; (2)根据所给的条件写出列联表,根据列联表做出观测值,把观测值同临界值进行比较,得到没有 99%的把握认为认为学生数学成绩优秀与所在学校有关. (3)由题意知 ξ 的可能取值为 0,1,2,3.结合变量对应的事件和 ξ~B(3, ) ,写出变量的概率, 做出变量的分布列,再求出变量的期望值. 解答: 解: (1)由分层抽样知,甲校抽取了 105× ∴ x=6,y=7; (2)2×2 列联表如下: 甲校 乙校 10 20 优秀 45 30 非优秀 =55 人成绩,乙校抽取了 105﹣55=50 人成绩

总计 30 75

总计 ∵ = K
2

55

50

105 ≈6.109<6.635,

∴ 没有 99%的把握认为认为学生数学成绩优秀与所在学校有关. (3)由题意知,乙校优秀的概率为 ,ξ 的可能取值为 0,1,2,3. 又 ξ~B(3, ) ,且 P(ξ=k)=C ∴ 分布列为: ( )( )
k 3﹣k

, (k=0,1,2,3)

∴ 随机变量 ξ 的 Eξ=np=3× = . 点评: 本题主要考查离散型随机变量的期望与方差、独立性检验的应用,解题的关键是正确运算出观测值, 理解临界值对应的概率的意义,属于基础题. 17. (12 分)如图,已知平面上直线 l1∥ ,A、B 分别是 l1、l2 上的动点,C 是 l1,l2 之间一定点,C 到 l1 l2 的距离 CM=1, 到 l2 的距离 CN= , ABC 内角 A、 C 所对 边分别为 a、 c, C △ B、 b、 a>b, bcosB=acosA 且 (1)判断三角形△ ABC 的形状; (2)记∠ ACM=θ,f(θ)= ,求 f(θ)的最大值.

考点: 已知三角函数模型的应用问题. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)利用正弦定理,结合结合 bcosB=acosA,得 sin2B=sin2A,从而可三角形△ ABC 的形状; (2)记∠ ACM=θ,表示出 f(θ)= 解答: 解: (1)由正弦定理可得: 结合 bcosB=acosA,得 sin2B=sin2A ∵ a>b,∴ A>B ∵ A,B∈(0,π) 2B+2A=π,∴ ,∴ A+B= ∴ABC 是直角三角形; △ (2)记∠ ACM=θ,由(1)得∠ BCN= ∴ AC= ,BC= ,即 C= ,利用辅助角公式化简,即可求 f(θ)的最大值.

∴ f(θ)= ∴ θ=

=cosθ+

=

cos(θ﹣ .

) ,

时,f(θ)的最大值为

点评: 本题考查正弦定理的运用,考查三角形形状的判定,考查辅助角公式的运用,考查学生的计算能力, 属于中档题. 18. (14 分)如图,在长方体 ABCD 一 A1B1C1D1 中,AA1=2,AD=3,E 为 CD 中点,三棱 锥 A1﹣AB1E 的体积是 6. (1)设 P 是棱 BB1 的中点,证明:CP∥ 平面 AEB1; (2)求 AB 的长; (3)求二面角 B﹣AB1﹣E 的余弦值.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定. 专题: 空间角;空间向量及应用. 分析: (1)因为 P 是棱 BB1 的中点,可想到取 AB1 的中点 M,由三角形中位线知识证明四边形 PCEM 是 平行四边形,由此可得 PC∥ EM,然后利用线面平行的判定即可得到结论; (2)题目给出了三棱锥 A1﹣AB1E 的体积是 6,借助于等积法可求 AB 的长度; (3)以 A 为坐标原点,建立空间直角坐标系,利用平面法向量所成角的余弦值求二面角的余弦值. 解答: (1)证明:取 AB1 的中点 M,连结 PM,ME. 则 PM∥ CE, BA∥ .

即四边形 PCEM 是平行四边形,所以 PC∥ EM. 又 EM?平面 AEB1,PC?平面 AEB1. ∴ 平面 AEB1; CP∥ (2)解:由题意 点 E 到平面 AB1A1 的距离是 AD=3, 所以 ,即 AB=6; . .

(3)解:以 A 为坐标原点,分别以 AB,AD,AA1 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标 系 A﹣xyz. 则 A(0,0,0) 1(6,0,2) ,B ,E(3,3,0) , . 设平面 AB1E 的法向量为 .



,得

,取 x=1,得 y=﹣1,z=﹣3.

所以

. .

由平面 ABB1 的一个法向量为 并设二面角 B﹣AB1﹣E 的大小为 α, 则 cosα= =

=



所以二面角 B﹣AB1﹣E 的余弦值为



点评: 本题考查了线面平行的判定,关键是寻求定理成立的条件,常借助于三角形的中位线处理.训练了 等积法求点到面的距离或线段的长度,考查了利用平面法向量求二面角的余弦值,是中档题.

19. (14 分)已知 a<2, (1)求 f(x)的单调区间;

. (注:e 是自然对数的底)

(2)若存在 x1∈[e,e ],使得对任意的 x2∈[﹣2,0],f(x1)<g(x2)恒成立,求实数 a 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)确定函数的定义域,求导函数,再分类讨论,利用导数的正负,可得 f(x)的单调区间; 2 (2)由题意,存在 x1∈[e,e ],使得对任意的 x2∈[﹣2,0],f(x1)<g(x2)恒成立,等价于对任 2 意 x1∈[e,e ]及 x2∈[﹣2,0],f(x)min<g(x)min,确定函数的单调性,求出最值,即可求得实数 a 的取值范围. 解答: 解: (1)由题意可得 f(x)的定义域为(0,+∞) ,

2

∵ a<2,∴ a﹣1<1 ① a﹣1≤0,即 a≤1,∴ 当 x∈(0,1)时,f′ (x)<0,f(x)是减函数,x∈(1,+∞)时,f′ (x)>0, f(x)是增函数; ② 0<a﹣1<1,即 1<a<2,∴ 当 x∈(0,a﹣1)∪ (1,+∞)时,f′ (x)>0,f(x)是增函数,x∈ (a﹣1,1)时,f′ (x)<0,f(x)是减函数; 综上所述,当 a≤1 时,f(x)的单调减区间是(0,1) ,单调增区间是(1,+∞) ;当 1<a<2 时,f (x)的单调减区间是(a﹣1,1) ,单调增区间是(0,a﹣1)(1,+∞) , ; (2)由题意,存在 x1∈[e,e ],使得对任意的 x2∈[﹣2,0],f(x1)<g(x2)恒成立,等价于对任 2 意 x1∈[e,e ]及 x2∈[﹣2,0],f(x)min<g(x)min, 由(1) ,当 a<2,x1∈[e,e ]时,f(x)是增函数,f(x)min=f(e)= ∵ (x)=x(1﹣e ) g′ ,对任意的 x2∈[﹣2,0],g′ (x)≤0 ∴ g(x)是奇函数,∴ g(x)min=g(0)=1 ∴
x 2 2

∴ ∵ a<2 ∴ 点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查函数的最值,考查分类讨论的数学思想,考查 学生分析解决问题的能力,属于中档题. 20. (14 分)已知抛物线 C:y =4x,F 是抛物线的焦点,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)是 C 上异于 原点 O 的两个不重合点,OA 丄 OB,且 AB 与 x 轴交于点 T (1)求 x1x2 的值; (2)求 T 的坐标; (3)当点 A 在 C 上运动时,动点 R 满足: ,求点 R 的轨迹方程.
2

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;圆锥曲线的轨迹问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)利用数量积公式,结合 A,B 在抛物线上,即可求 x1x2 的值; (2)分类讨论,确定 OA 的方程与抛物线联立,即可求 T 的坐标; (3)利用动点 R 满足: ( ,确定坐标之间的关系,利用点差法,结合 AB 的中点 M

) ,点 T(4,0)都在直线 AB 上,即可求点 R 的轨迹方程.

解答: 解: (1)由 OA 丄 OB,可得 x1x2+y1y2=0 ∵ 代入上式得 ∵1y2≠0,∴1y2=﹣16,∴1x2=16; y y x , ,∴ =0

(2)设 T(t,0) ,当 x1≠x2 时,A,B,T 三点共线,∴

=

∴ 2﹣y1)t=y2x1﹣y1x2=﹣4(y1﹣y2) (y ∵1≠y2,∴ y t=4 当 x1=x2 时,∵ OB,此时△ OA⊥ AOB 为等腰直角三角形,x1=x2=t,直线 OA 的方程式为 y=x 与抛物线联立,解得 t=x1=4 ∴ 的坐标是(4,0) T ; (3)设 R(x,y) ,由 F(1,0) , 即 ,得(x1﹣1,y1)+(x2﹣1,y2)=(x﹣1,y)





,∴ 两式相减可得(y1﹣y2) 1+y2)=4(x1﹣x2) (y

当 x1≠x2 时,

∵ 的中点 M( AB

) ,点 T(4,0)都在直线 AB 上,

∴AB=kTM,即 k
2

=

代入上式得 y?

=4

化简可得 y =4x﹣28 当 x1=x2 时,点 R(7,0)符合上式 2 综上可知点 R 的轨迹方程是 y =4x﹣28. 点评: 本题考查轨迹方程,考查点差法的运用,考查分类讨论的数学思想,考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题. 21. (14 分)已知 x 轴上有一列点 P1,P2 P3,…,Pn,…,当 n≥2 时,点 Pn 是把线段 Pn﹣1 Pn+1 作 n 等分的 分点中最靠近 Pn+1 的点,设线段 P1P2,P2P3,P3P4,…,PnPn+1 的长度分别 为 a1,a2,a3,…,an,其中 a1=1. (1)求 an 关于 n 的解析式; (2 )证明:a1+a2+a3+…+an<3 (3)设点 P(n,an) {n≥3) ,在这些点中是否存在两个点同时在函数 y= 上?如果存在,求出点的坐标;如果不存在,说明理由. 考点: 数列与函数的综合;数列的函数特性;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由于 Pn 是把 Pn﹣1Pn+1 线段作 n 等分的分点中最靠近 Pn+1 的点,所以知 Pn﹣1Pn=(n﹣1)PnPn﹣
1,从而可得

的图象

=

,进而利用叠乘即可求出 a2,a3 和 an 的表达式;

(2)对通项进行放缩,再求和,利用等比数列的求和公式即可证明;

(3)假设存在,即可得

=

,再设 bn=

,考查数列{bn}单调减即可.

解答: (1)解:由已知 Pn﹣1Pn=(n﹣1)PnPn﹣1 令 n=2,P1P2=P2P3,∴2=1,同理 a3= , a ∴n= a =

an﹣1=

?

?an﹣2=…= = =3﹣ <3 ≤

(2)证明:∵ 时, n≥2 ∴1+a2+a3+…+an≤1+1+ +… a

而 n=1 时,结论成立,故 a1+a2+a3+…+an<3; (3)假设有两个点 A(p,ap) ,B(q,aq) ,都在函数 y= 上,

即 ap=

,aq=

所以

=k,

=k,消去 k 得

=

① ,

设 bn=

,考查数列{bn}的增减情况,

∵n﹣bn﹣1= b


2

=﹣



∴ n>2 时,n ﹣3n+1>0,所以对于数列{bn}为递减数列 当 ∴ 不可能存在 p,q 使得① 式成立, ∴ 不存在两个点同时在函数 y= 的图象上.

点评: 本题以线段为载体,考查数列的通项,考查放缩法的运用,考查函数的单调性,综合性强,难度较 大.



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