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运用几何画板动态构造圆锥曲线的方法



运用几何画板动态构造圆锥曲线的方法
贵州省平塘民族中学 摘要 刘光宜 (558300)

本文根据圆锥曲线的第一定义、第二定义以及标准方程,运用尺规作图原理结合几何画板动态生 成轨迹的功能,详尽而系统地阐述圆锥曲线的画法和构造。每一类画法及构造的步骤,极富操作性和实践 性。直接运用于教学,能够达到激活数学课堂,启迪学生思维,拓展学生数学视野,提升数学

教学效率的 目的。

关键词

圆锥曲线 尺规作图原理 几何画板 动态生成轨迹

一、根据圆锥曲线的第一定义构造圆锥曲线
(一)椭圆 1、椭圆第一定义
一般地,平面内到两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数 2a(2a>︱F1F2︱)的点 M 的轨迹叫做椭圆。 其中,定点 F1、F2 叫做椭圆的焦点,两定点 F1、F2 间的距离︱F1F2︱叫做椭圆的焦距,常数 2a 叫做椭圆的 长轴的长。 特别地,当 2a=︱F1F2︱时,点 M 的轨迹是线段 F1F2;当 2a<︱F1F2︱时,点 M 的轨迹不存在。

2、画法步骤

l

(1)按住 shift 键,在画图区上部画一条直 A C B MF1 = 4.08厘米 线 l(隐藏控制点) 。再在直线 l 上构造线段 AB, MF2 = 2.48厘米 M 度量线段 AB 的长度并改为用 2a 表示。 MF1 + MF2 = 6.56厘米 (2)在线段 AB 上取一点 C,并构造线段 AC 2a = 6.56厘米 F1F2 = 4.87厘米 和线段 BC。 F1 F2 (3)按住 shift 键在画图区中部画一条线段 F1F2,隐藏线段,保留端点,然后度量两端点的距 M' 离︱F1F2︱,并调整大小使之小于 2a。 动态生成轨迹 (4)以 F1 为圆心,线段 AC 为半径画圆, 以 F2 为圆心,线段 BC 为半径画圆。构造两圆的交点 M 和 M',并设 图 1-1 置成“追踪交点” 。 (5)构造线段 MF1、MF2 并度量长度,然后计算 MF1+MF2。 (6)设置点 C 双向在线段 AB 上滑动,并编辑生成操作按钮“动画生成轨迹” 。或用选择工具拖动点 C 在线段 AB 上滑动生成椭圆(如图 1-1) 。 (7)用选择工具拖动点 B 或点 A 调整线段 AB 与 F1F2 的大小关系:当 2a=︱F1F2︱时,动点 M 与两个定 点 F1、F2 共线,其轨迹是线段 F1F2;当 2a<︱F1F2︱时,动点 M 消失,表示其轨迹不存在。

(二)双曲线 1、双曲线第一定义
一般地,平面内到两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值等于一个常数 2a(2a<︱F1F2︱)的点 M 的轨迹 叫做双曲线。其中,定点 F1、F2 叫做双曲线的焦点,两定点 F1、F2 间的距离︱F1F2︱叫做双曲线的焦距,常 数 2a 叫做双曲线的实轴的长。
1

特别地,当 2a=︱F1F2︱时,点 M 的轨迹是以 F1、F2 为端点的两条射线;当 2a>︱F1F2︱时,动点 M 的 轨迹不存在。

2、画法步骤
(1)在画图区上部画一条直线 l(隐藏控制点) 。在直线 l 上构造线段 AB 并度量长度用 2a 表示。然 后在线段 AB 的延长线上以 B 为端点构造射线(隐藏控制点) ,并在射线上取一点 C。构造线段 BC 和线段 AC。 (2)按住 shift 键在画图区中部画一线段 F1F2(隐藏线段保留端点) 。度量点 F1、F2 的距离︱F1F2︱, 并使 2a<︱F1F2︱。 (3)分别以 F1、F2 为圆心,AC、BC 为半径 2a l 画圆,并设置两圆的交点为 M、M';用同样的办 A B C MF1 = 4.27厘米 法,分别以 F2、F1 为圆心,AC、BC 为半径画圆, MF2 = 2.18厘米 也设置两圆的交点为 M' 、M' 。并同时选中这四 M' MF1 MF2 = 2.09厘米 M 2a = 2.09厘米 点,把它们设置成“追踪交点” 。 F1F2 = 3.81厘米 (4) 构造线段 MF1 和 MF2 并度量他们的长度。 F2 F1 然后计算︱MF1-MF2︱的值。 (5) 设置点 C 双向在射线 BC 上滑动, 并编 M' M' 辑生成操作按钮“动态生成轨迹” 。或用选择工 具拖动点 C 在射线 BC 上滑动生成双曲线(如图 动态生成轨迹 1-2) 。 (6)用选择工具拖动点 B 调整线段 AB 与 F1F2 的大小关系:当 2a=︱F1F2︱时,动点 M 落在 图 1-2 线段 F1F2 的延长线或反向延长线上,其轨迹是分别以点 F1、F2 为端点的射线;当 2a>︱F1F2︱时,动点 M 消 失,表示其轨迹不存在。

二、根据圆锥曲线的第二定义构造圆锥曲线
(一)椭圆 1、椭圆第二定义
一般地,平面内到一个定点 F 的距离与到一条定直线 l 的距离之比等于一个常数 e(0<e<1)的点 M 的轨迹叫做椭圆。其中,定点 F 叫做椭圆的一个焦点,定直线 l 叫做椭圆相应于点 F 的一条准线,常数 e 叫做椭圆的离心率。

2、画法步骤
(1)按住 shift 键在画图区上部画直 线(隐藏控制点) ,在直线上构造线段 AB 后 隐藏所画直线。再在线段 AB 上取点 C,分别 AC 度量点 A、B 和点 A、C 的距离,并计算 AB 的值,并改为用 e 表示。 (2)在画图区域中部按住 shift 键画 一条竖直的直线 l,并在直线 l 外确定一点 F。过点 F 作直线 l 的垂线 h,垂足标为 K。

A

C

B l M O2 J H F r M'

N
AC = 3.70厘米 AB = 6.32厘米 e = 0.59 KF = 3.62厘米 1 e+1 ?KF = 2.29厘米

G O1 E D

K

动态生成轨迹

图 2-1
2

构造线段 FK 后隐藏所画的垂线 h,度量线段 FK 的长度︱FK︱,并计算 (3)以点 K 为圆心,
1

1 e ?1

FK 的值 。

FK 为半径画圆交线段 FK 于点 D,并隐藏所画的圆。过点 D 作直线 m 与直 e ?1 线 l 平行。然后在直线 l 上任取一点 N(不与点 K 同) ,并构造线段 NF 使之与直线 m 相交于点 E,并隐藏

直线 m。 (4)分别以线段 NE、FE 为直径画圆 O1 和圆 O2。过点 N 作直线 l 的垂线 r,并构造垂线 r 与圆 O1 的交 点 G。然后以点 E 为圆心,线段 EG 为半径画圆,使之与圆 O2 交于两点 H、J(若圆 E 与圆 O2 无交点,可通 过拖动点 N 调整来获得交点) 。 (5)构造直线 FH 和 FJ 使之都与垂线 r 分别相交于点 M、M’。并设置这两点为“追踪交点” 。 (6)设置点 N 为沿直线 l 运动的动画,并编辑生成“动态生成轨迹”按钮。点击该按钮或拖动点 N 即可动态构造椭圆(如图 2-1) 。拖动点 C 可改变椭圆的扁平程度或大小。

(二)双曲线 1、双曲线第二定义
一般地, 平面内到一个定点 F 的距离与到 一条定直线 l 的距离之比等于一个常数 e (e>1)的点 M 的轨迹叫做双曲线。其中,定 点 F 叫做双曲线的一个焦点, 定直线 l 叫做双 曲线相应于点 F 的一条准线, 常数 e 叫做双曲 线的离心率。
A C M'
AC = 2.37厘米 AB = 4.82厘米 e = 2.03 KF = 3.62厘米 1 e+1 ?KF = 1.20厘米

B l N O1 E J K D F G M H O2 r

动态生成轨迹

2、画法步骤
把椭圆的画法构造中 “计算 成“计算
AB AC AB

的值” 改

图 2-2

的值” 其他画法步骤和方法与椭圆的画法步骤和方法相同。这样就可以动态的构造出双 , AC 曲线了(如图 2-2) 。拖动点 C 即可改变双曲线的开口大小或两支的远近程度。 说明: 1、上述用椭圆或双曲线的第二定义构造椭圆或双曲线的画法,实际上是圆锥曲线的统一画法步骤。 2、当拖动点 C 与点 B 重合时,e=1.这时,点 M(或点 M’)的轨迹是抛物线,移动点 F 调整线段 FK 的长短,可改变抛物线开口的大小。

(三)抛物线
抛物线定义本没有第一定义、第二定义之说的。鉴于其定 义与椭圆、双曲线的第二定义有共同之处,因此也就把它纳入 本节内容来进行讲述。

l

m p q M A K F

N

1、抛物线定义
一般地,平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等 的点 M 的轨迹叫做抛物线,其中,定点 F 叫做抛物线的焦点, 定直线 l 叫做抛物线的准线。 特别地,当定点 F 在直线 l 上时,点 M 的轨迹是一条经过 定点 F 且垂直与定直线 l 的直线。
3

动态生成轨迹

图 2-3

2、画法步骤
(1)按住 shift 键画一条竖直的直线 l(隐藏控制点) 。在直线外给定一个点 F。然后在直线 l 上任取 一点 N(与点 F 不能在同一水平线上) ,并构造线段 FN。 (2)过点 F 作直线 l 的垂线段 FK,垂足为 K。然后作出线段 FK 的中垂线 m,并设它与线段 FN 相交于 点 A。 (3)过点 A 作线段 FN 的垂线 p,过点 N 作直线 l 的垂线 q,然 l 后构造直线 p 和直线 q 的交点 M,并把点 M 设置成“追踪交点” 。 (4)选中点 N,使点 N 显示动画生成并编辑成“动态生成轨迹” q N 按钮,或沿直线 l 拖动点 N,即可生成抛物线(如图 2-3) 。 M' M (5)拖曳点 F,使之与点 K 完全重合(即点 F 在直线 l 上) ,记 K F 为点 K。 N' (6) 标记点 K 为旋转中心, 使点 N 绕点 K 旋转 180 度得到点 N’。 然后分别以点 N 和 N’为圆心,大于线段 NK 的长为半径画两圆交于 动态生成轨迹 点 M(或点 M’),并设置该交点为“追踪交点” 。点击“动态生成轨 迹”按钮或拖动点 N,即可生成点 M(或点 M’)的轨迹。这是一条 图 2-4 经过点 F(点 K)且垂直于直线 l 的直线(如图 2-4) 。

三、根据圆锥曲线的统一定义构造圆锥曲线
鉴于教学的实际需要,有时为了方便向学生演示椭圆、双曲线、抛物线的相互转换关系或内在联系, 我把上节画图方法的一些环节做适当的调整,得到根据圆锥曲线的统一定义构造圆锥曲线的画法。

1、圆锥曲线的统一定义
一般地,在平面内到一个定点 F 的距离与到一条定直线 l 的距离的比等于一个常数 e 的点的轨迹,当 0<e<1 时叫做椭圆;当 e=1 时叫做抛物线;当 e>1 时叫做双曲线。其中定点 F 叫做圆锥曲线的焦点,定直 线 l 叫做圆锥曲线的准线。

2、画法步骤
(1)按住 shift 键在画图区上部画直线(隐藏控制点) ,在直线上构造线段 AB 后隐藏所画直线。再 在线段 AB 上取点 C,分别度量点 B、C 和 A C B BC 点 A、C 的距离,并计算 的值,并改 AC M' G M r N O1 BC =3.18厘米 为用 e 表示。 H AC =1.11厘米 E (第(2)~(5)步骤与用第二定义画椭 e =2.86 FK =3.65厘米 圆的方法和步骤完全相同) J 1 O2 ?FK =0.95厘米 e +1 (6) 通过拖动点 C 可调整离心率 e 的大小 来获得不同的圆锥曲线。 动态生成轨迹
KD F

3、画法依据简述
在△MNF 中,ME 是∠NMF 的平分线, MF EF ? 所以 。又因为在△FNK 中, MN EN E F D F ? ED ∥ NK , 所 以 。从而 E N D K
4

图 3-1

? e 。即动点 M 到定点 F 的距离与它到 MN DK e ?1 DK MN 定直线 l 的距离之比等于常数 e。因此,动点 M 的轨迹就是圆锥曲线(如图 3-1) 。

MF

?

DF

。又因为 KD=

1

FK ,所以

DF

? e 。所以

MF

值得注意的是:当拖动点 C 向点 B 靠近并与点 B 重合时,e 值减小到 0,而椭圆逐渐变“圆”变小,最 终退化为定点 F;当拖动点 C 向点 A 靠近并与点 A 重合时,e 值增大到无穷大,而双曲线两支逐渐靠近且 越发由“曲”变“直” ,最终并合于定直线 l。

四、根据圆锥曲线的标准方程构造圆锥曲线
下面以焦点在 x 轴上的圆锥曲线为例讲述怎样根据圆锥曲线的标准方程画圆锥曲线。

(一)画椭圆 画法步骤:

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0)

8

6

1、定义直角坐标系并隐藏网络。 x y P + =1 a = 5 b = 3 B2 2、新建参数 a 和 b,使 a>b。选中参数 a,在 x a b M Q OA = 5.00厘米 轴上绘制点 A2,选中参数 b,在 y 轴上绘制点 B2。 3、以原点 O 为圆心,分别以 OA2、OB2 为半径 O F1 F2 A2 画圆。 4、用画线段工具画线段:先在大圆上任意处点 击,然后拖动到与原点重合时放开。设线段与大圆 交于点 P,与小圆交于点 Q。 5、过点 P 作 x 轴的垂线 l,过点 Q 做直线 l 的 图 4-1 垂线 m。设两直线相交于点 M。 6、依次选中点 P 和点 M,然后点击“构造”菜单下的“轨迹” ,即可得到所需要的椭圆(如图 4-1) 。 7、以 B2 为圆心,OA2 为半径画圆与 x 轴相交于 F1 和 F2,则得到椭圆的两个焦点。如有必要,可隐藏 掉除椭圆、椭圆顶点、坐标系以外的其他对象。
2 2
4

2

2

2

2

15

10

5

5

10

2

4

6

说明: 1、改变参数 a、b 的值可得到不同的椭圆。 2、要作焦点在 y 轴上的椭圆,需要过点 P 作 y 轴上的垂线 l,再过点 Q 作直线 l 的垂线获得点 M。
8

(二) 画双曲线 画法步骤:

x a

2 2

?

y b

2 2

?1 (a>0, b>0)

6

m B2 N l T M n

4

1、定义直角坐标系并隐藏网络。 2、新建参数 a、b,使 a>0,b>0,并且 为画图方便,取 a≠b。选中参数 a,在 x 轴 上绘制点 A2,选中参数 b,在 y 轴上绘制点 B2。 3、 以原点 O 为圆心, 分别以 OA2、 2 OB 为半径画圆,并设过点 B2 的圆与 x 轴交于 点R 4、用画直线工具点在过点 A2 的圆上,
15

a=3

b=4
2

x2 y 2 - =1(a>0,b>0) a 2 b2
10

P O Q R 5F2

B2A2 = 5.00厘米

5

F1
2

A2

10

4

图 4-2
5

6

然后拖动到与原点重合时放开获得直线 l,设直线 l 与过点 A2 的圆交于点 P,与过点 B2 的圆交于点 T。 5、过点 P 作直线 l 的垂线,使之与 x 轴交于点 Q。分别过点 R、Q 作垂直于 x 轴的垂线 m 和 n。设直 线 m 和直线 l 相交于点 N。然后过点 N 作直线 m 的垂线,设交点为 M。 6、依次选中点 T 和点 M,然后点击“构造”菜单下的“轨迹” ,即可得到所需要的双曲线(如图 4-2) 。 7、以原点 O 为圆心,点 A2、B2 的距离为半径画圆与 x 轴相交于 F1 和 F2,则得到双曲线的两个焦点。 如有必要,可隐藏掉除双曲线、双曲线顶点、坐标系以外的其他对象。 说明: 1、改变参数 a,b 的值可得到不同的双曲线。 2、要作焦点在 y 轴上的双曲线,需要取过点 P 且垂直于直线 l 的直线与 y 轴的交点 Q,然后分别过点 Q、B2 作直线 i 与 h 都与 y 轴垂直。设直线 h 与直线 l 交于点 N,在过点 N 作直线 i 的垂线来获得点 M。
8

(三)画抛物线 y =2px(p≠0)
6

2

画法步骤:
1、定义直角坐标系并隐藏网络。 2、新建参数 p。并选中它,在 x 轴上绘制其相应的点 A。 构造线段 OA 及其中点 F。 3、标记 y 轴为镜面,作点 F 的反射点 K。过点 K 作 x 轴 的垂线 l,并在其上任取一点 N(与 K 不同) 。 4、构造线段 FN,并作线段 FN 的垂直平分线 m。 5、 过点 N 作直线 l 的垂线 k, 使之与直线 m 相交于点 M。 6、 依次选中点 N 和点 M, 然后点击 “构造” 菜单下的 “轨 迹” ,即可得到所需要的抛物线(如图 4-3) 。其中点 F 是焦点, 直线 l 是准线。如有必要,隐藏掉除抛物线、焦点、准线、坐 标轴之外的其他对象。
10

m l N y2=2px
p=5
5 2 4

k M

K

O
2

F

5 A

10

4

6

图 4-3

说明: 1、改变参数 p 的值,可得到不同的抛物线,并且 p 的符号会改变抛物线的开口方向,p 的绝对值的大 小决定抛物线的开口大小。 2、充分运用几何画板中的“绘制新函数”功能就能轻而易举地画出所需的抛物线。但这已经不是本 文所阐述的内容了。

结束语
圆锥曲线的上述各种画法和构造,都是以尺规作图原理为操作要领,结合几何画板的动态绘图功能而 完成的。 在教学中, 我有意避开几何画板那些现成的绘图工具, 力图向学生展示各种曲线生成的来龙去脉, 探本索源,揭示数学概念的形成过程,使学生悉知平面几何知识与解析几何知识之间的内在联系,从中体 会数学中数与形相互转化而又完美结合的奇妙规律。

参考文献
1、教育部 普通高中课程标准实验教科书《数学》 (选修 2-1) 人民教育出版社 2011.05 2、陶维林 几何画板实用范例教程 清华大学出版社 2001.04 3、关志海 数学课堂教学与学生创新思维能力的培养 中国数学教育高中版 2007.01

6



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