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2016高三毕业班总复习单元过关形成性测试卷(理科)(计数原理、概率统计——泉州市数学组供稿)



2016 高三毕业班总复习单元过关形成性测试卷(理科)
计数原理、概率统计 泉州市数学组
一、选择题:本大题共 6 小题,每小题 6 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 (1)变量 x,y 的几组实验测量数据如下表所示: x 0.50 0.99 2.01 2.98 y 1.42 1.99 3.98 8.00
则根据上表数据,在下列函数中,拟合变量 x , y 关系的最佳函数是( (A) y ? 2
x

)

(B) y ? log 2 x (D) y ? x2 ? 1

(C) y ? x ? 1

(2)如图所示的正方形内的曲线段 C 为正态分布 N (0, ) 密度 曲线的一段若向正方形内随机投掷 10000 个点, 则落入阴影 部分的点的个数大约为( ) (A)2386 (B)2718 (C)3413 (D)4772 (3)甲、乙二人进行一次乒乓球比赛,约定先胜 3 局者为胜方, 比赛结束.假设在每一局比赛中,甲获胜的概率为 0.6,乙获胜的概率为 0.4,且各局 比赛结果相互独立,那么在前 2 局比赛中甲、乙各胜 1 局的情况下,甲为比赛胜方的 概率为( ) (A)0.156 (B)0.504 (C)0.648 (D)0.792 (4)从 0, 6 中选一个数字,从 5, 7, 9 中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数 的个数为( (A) 6 ) (B) 12 (C) 18 (D) 24

1 4

(5)采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查:首先将这 960 人随机编号为

1,2, ? ? ?, 960并分组,然后在第一组中采用简单随机抽样方法抽得号码 9 ,最后抽到接
受 问 卷 调 查 的 32 人 . 若 要 求 编 号 落 入 区 间 [1, 450] 的做问卷 A ,编号落入区间

[ 451, 750] 的做问卷 B ,其余的人做问卷 C ,则抽到的 32 人中,做问卷 B 的人数为
第 1 页 共 8 页

(

)

(B) 9 (C) 10 (D)15 (6)从五种不同的颜色中选择若干种颜色,依次涂到右图的五个 区域中,要求相邻的区域(有公共边)涂不同的颜色,则全部 涂完后恰好只使用两种颜色的概率是( )

(A) 7

1 1280 1 (C) 128
(A)

1 640 1 (D) 64
(B)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 6 分。
(7)(a ? x)(1 ? x)4 的展开式中, 若 x 的奇数次幂的项的系数之和为 32, 则 a ? ________. (8)将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 个小球放入 3 个不同的盒子中,若每个盒子放 2 个, 其中标号为 1,5 的小球放入同一盒子,则不同的方法共有_____________种. (9)某市在对两千多名出租车司机的年龄进行的调 频率/组距 查中, 从两千多名出租车司机中随机抽选 100 名 0.08 司机, 这样 100 名司机的年龄都在 20 岁至 50 岁 0.07 0.06 该 处 之间, 且根据调查结果得出的年龄情况频率分布 0.05 图 0.04 表 直方图如图所示(部分图表污损).利用这个残 0.03 污 损 缺的频率分布直方图, 可估计该市出租车司机年 0.02 0.01 龄的中位数大约是_____________. (近似到小数 20 25 30 35 40 45 50 年龄(岁) 点后两位) (10)若从区间[0, e] ( e 为自然对数的底数, e ? 2.71828? )内随机选取两个数,则这两个数 之积不小于 ...e 的概率为_____________.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (11) (本小题满分 10 分)
某学习兴趣小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究,考察该校高二 年级 800 名学生上学期期末的语文和外语成绩,按是否优秀分类得结果:语文和外语 成绩都优秀的有 60 人,语文成绩优秀但外语成绩不优秀的有 140 人,外语成绩优秀 但语文成绩不优秀的有 100 人. (Ⅰ) 能否有 99.9% 的把握认为“该校学生语文成绩优秀与外语成绩是否优秀有关系”? (Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率,从该校高二年级学生成绩中,有放回地随 机抽取 3 名学生的成绩,记所抽取的成绩中,语文、外语两科成绩至少有一科优 秀的人数为 X ,求 X 的分布列和数学期望 E ( X ) . 附: K 2 ?
n(ad ? bc)2 . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

第 2 页 共 8 页

P( K 2 ? k0 )
k0

0.010

0.005

0.001

6.635

7.879

10.828

(12) (本小题满分 15 分) 某班级举行一次知识竞赛活动,活动分为初赛和决赛两个阶段.已知如下的初赛成绩 (满分为 100 分)频率分布表: 分组(分数段) 频数(人数)
[60, 70) [70,80) [80,90) [90,100)

频率 0.16
b

a

17 19
c

0.38
d

合计

50

1

(Ⅰ)求频率分布表中 a , b , c , d 的值; (Ⅱ) 决赛规则如下: 参加决赛的每位同学依次口答 4 道题, 答对 2 道题就终止答题, 并获得一等奖;如果前三道题都答错,就不再答第四题.若某同学进入决赛, 且已知该同学答对每道题的概率 P 的值恰好等于与频率分布表中得分不少于 80 分的频率的值. (ⅰ)求该同学恰好答满 4 道题而获得一等奖的概率; (ⅱ)记该同学决赛中答题个数为 X ,求 X 的分布列及数学期望.

(13) (本小题满分 15 分) 某工厂生产的甲、乙两种产品都需经过两道工序加工而成,且两道工序的加工结果均 有 A, B 两个等级.当两道工序的加工结果都为 A 级时,产品为一等品,其余均为二等 品. 已知两种不同的产品之间及其每一道工序的加工结果都相互独立, 且加工结果为 A 级的概率如表一所示. (Ⅰ)从甲、乙产品中各随机抽取二件,求至少有一件为一等品的概率; (Ⅱ)某商家计划按表二所示的统一售价经销甲、乙两产品,据市场预测,每件产品 的经销成本均为 10 元,且甲,乙产品均能按表二售价售出.
第 3 页 共 8 页

(ⅰ)用 ? 表示经销一件甲产品的利润,求 ? 的分布列和期望 E? ; (ⅱ)该商家拟投资不超过 100 元用于经营甲、乙两种产品,要确保资金亏损不 超过 14 元,请你根据以上信息制定一个最大盈利的投资计划(甲、乙两种 产品各应销售多少元). 工序 概率 产品 甲产品 乙产品 第一工序 0.8 0.75 (表一) 注: 产品销售的盈利率= 第二工序 0.875 0.8 等级 售价 产品 甲产品 乙产品 一等品 13 12 二等品 8 9

(表二) (单位:元/件)
销售价-成本 ? 100%(正值表示盈利率, 负值表示亏损率) . 成本

第 4 页 共 8 页

2016 高三毕业班总复习单元过关形成性测试卷(理科)
计数原理、概率统计(参考答案) 泉州市数学组
一.选择题。 1.选 A.【解析】画出散点图,或取近似值代入后, y ? 2x 最适合. 2.选 D.【解析】该正态分布标准差 ? ?

1 ,而 P(? ? 2? ? ? ? ? ? 2? ) 2

? P(?1 ? ? ? 1) ? 0.9544 ,则 P(0 ? ? ? 1) ? 0.4722,故选 D.

,j4 ,? 3 3. 选 C. 【解析】 用 Ai 表示事件 “第 i 局甲胜” ,B j 表示事件 “第 j 局乙胜” ( i,5

) ,

B 表示事件“甲为胜方”.因前两局中,甲、乙各胜一局,故甲成为胜方当且仅当在后
面的比赛中,甲先胜 2 局,从而 B ? A3 ? A4 ? B3 ? A4 ? A5 ? A3 ? B4 ? A5 ,由于各局比 赛结果相互独立,计算可得 P( A) ? 0.648,故选 C. 4.选 C.【解析】第一类:从 0,6 中选一个数字 0,则 0 只能排在十位,从 5,7,9 中选
2 两个数字排在个位与百位,共有 A 3 ? 6 种;第二类:从 0,6 中选一个数字 6,且 6 2 排在十位,从 5,7,9 中选两个数字排在个位与百位,共有 A 3 ? 6 种;第三类:从 0, 2 6 中选一个数字 6, 且 6 排在百位, 从 5, 7, 9 中选两个数字排在个位与十位, 共有 A 3 ?6 2 种.故共有 3A3 ? 18 种,选 C.

5. 选 C.【解析】采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人,将整体分成 32 组,每组 30 人, 即 l ? 30 , 第 k 组的号码为 (k ? 1)30 ? 9 , 令 451? (k ? 1)30 ? 9 ? 750 (k ? z ) , 解得 16 ? k ? 25 ,则满足 16 ? k ? 25 的整数 k 有 10 个,故选 C. 6. 选 D.【解析】总涂法数 n ? 5 ? 4 ? 1280 ,恰好涂了两种颜色即 1,3,4,5 区域涂相
4

2 同颜色,共有 m ? A5 ? 20 种涂法,则所求概率 p ?

m 20 1 ? ? ,故选 D. n 1280 64

二、填空题。
第 5 页 共 8 页

7.填 3 .【解析】 (1 ? x) 4 ? 1 ? 4x ? 6x 2 ? 4x 3 ? x 4 ,故 (a ? x)(1? x)4 的展开式中 x 的 奇数次幂项分别为 4ax ,4ax , x ,6 x , x ,其系数和为 4a ? 4a ? 1 ? 6 ? 1 ? 32 ,
3 3 5

解得 a ? 3 ,故填 3.
1 8.填 18 .【解析】第一步:先从 3 个盒子中选一个放 1,5 号小球,有 C3 ? 3 种不同的选

法;第二步:再从剩下的 4 个球中选两个放入一个盒子,有 C 2 4 ? 6 种不同的选法;第
2 三步:余下两球放入最后一个盒子,只有 1 种选法,所以共有 C1 3 ? C 4 ? 18 种选法,

故填 18.

1 . 4 3 9. 填3

30) 的频率为 0.3 , . 【解析】 由频率分布直方图可知 [20,25) 的频率为 0.1 ,[25,

[30,35] 的频率为 0.35 , 35) , 因为 0.1 ? 0.3 ? 0.5 ? 0.1 ? 0.3 ? 0.35 , 所以中位数 x0 ? (30,

由 0.1 ? 0.3 ? ( x0 ? 30) ? 0.07 ? 0.5 ,得 x0 ? 31.43 ,故填 31.43. 10 . 填 2. 【 解 析 】 设 x, y ?[0, e] , 由 xy ? e , 得 y ?
e ? ? dx ?? x? ?
1 e

e ,所以所求概率 x

?

e?

P?

e2

?

(ex ? eln x) 1 e2

e

?

e2 ? 2e 2 ?1? . 2 e e

三、解答题。 11.解: (Ⅰ)由题意得列联表: 外语优秀 外语不优秀 总计 因为 K 2 ? 语文优秀 60 140 200
2

语文不优秀 100 500 600

总计 160 640 800

800 ? 60 ? 500 ? 100 ?140 ? 160 ? 640 ? 200 ? 600

由 16.667 ? 10.828 知, 有 99.9% 的把握 ? 16.667 ,

认为“该校学生语文成绩优秀与外语成绩是否优秀有关系”. (Ⅱ)由已知得,随机抽取 1 名学生,其语文、外语两科成绩至少有一科优秀的概 率是
60 ? 140 ? 100 3 3? k ? 3? ? 5? ? , 所以 X ~ B ? P( X ? k ) ? C3 ? 3, ? , ? ? ? ? 800 8 8 ? ? ?8? ?8?
k 3? k

k ? 0,1, 2,3 . ,

X 的分布列为

X

0
125 512

1
225 512

2
135 512

3
27 512

P

第 6 页 共 8 页

故 E( X ) ? 3 ? ? . 12.解: (Ⅰ) a =8, b =0.34, c =6, d =0.12. (Ⅱ) (ⅰ) 依题意 P ? 0.5 . 设 A 表示事件 “该同学恰好答满4道题而获得一等奖” ,
1 1 1 3 1 则 P( A) ? ? C3 ? ( )2 ? ? . 2 2 2 16

3 8

9 8

(ⅱ) X 的可能取值为2,3,4.
1 1 1 1 1 1 1 3 且 P( X ? 2) ? ( )2 ? , P( X ? 3) ? ( )3 ? ? C2 ? ? ? , 2 4 2 2 2 2 8

1 1 3 1 P( X ? 4) ? C3 ? ( )2 ? ? . 2 2 8

故 X 的分布列为:
X P

2
1 4

3
3 8

4
3 8

1 3 3 25 故 EX ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? . 4 8 8 8 13.解: (Ⅰ)生产出的甲产品、乙产品为一等品的概率分别记为 P甲 , P乙 , 则P 甲 ? 0.8 ? 0.875 ? 0.7 , P 乙 ? 0.75 ? 0.8 ? 0.6 .

记“随机抽取的四件产品中至少有一件一等品”为事件 A ,则 A 表示抽取 的四件产品均为二等品, 2 2 所以 P( A) ? (1 ? P 甲) ? (1 ? P 乙) ? 0.0144 , P( A) ? 1 ? P( A) ? 0.9856 . 所以随机抽取的四件产品中至少有一件一等品的概率为 0.9856 . (Ⅱ) (ⅰ)随机变量 ? 的取值为 3 元和 ?2 元,其分布列为: ? 3 ?2
P

0.7

0.3

所以 E? ? 3 ? 0.7 ? (?2) ? 0.3 ? 1.5 (元) . (ⅱ)设分别用 x 元、 y 元投资甲、乙两种产品,获利 z 元. 因 为
1 ? 3 1 0 ?1 ? 0 0 % , 10 8 ? 10 20 % ? 100% ? ?20% , , 10 3 0 %

1 2? 1 0 ?1 0 0 % ? 10 9 ? 10 ? 100% ? ?10% , 10

y
x ? y ? 100

所以经销甲、乙两种产品可能的最大盈利 率分别为 30% 和 20% ,最大亏损率分别为 20% 和 10% .
? 依题意得 ? ?0.2 x ? 0.1y ? 14, 即 ?2 x ? y ? 140, ? x ? 0,y ? 0, ? x ? 0,y ? 0, ? ? 盈利的目标函数 z ? 0.3 x ? 0.2 y (元) .
第 7 页 共 8 页

A

? x ? y ? 100,

? x ? y ? 100,

O

x

作出不等式组表示的平面区域如图,由

? x ? y ? 100, 解得 A(40,60) , ? ?2 x ? y ? 140,
2经 过 点 A 时 , z 最 大 , 且 结 合 图 形 可 知 , 当 直 线 z ? 0 . 3x? 0 . y zmax ? 0.3 ? 40 ? 0.2 ? 60 ? 24 (元) . 所以该商家应分别投资 40 元、60 元用于经营甲、乙两种产品,才能在 确保亏损不超过 14 元的前提下使可能的收益最大.

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