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排列组合应用问题



排列组合应用问题,题型繁多,解法独特,但经仔细分析研究,还是有一定规律 可循。 关键是掌握两个计数原理及排列组合的定义, 了解一些基本题型及其解法, 掌握基本的一些分析问题的方法。 一、基本题型及其解法 (1)纯排列问题 “从几个不同元素中取出 m 个元素的排列”是最简单的纯排列问题, 但是它有三种 题型变化,下面分别用例题予以说明。 例1 现有九位同学排成一行,试问:

①如果其中甲、乙两位同学必须排在两端,那么一共有多少种排法? ②如果甲不能排在最左端,乙不能排在最右端,那么一共有多少种排法? 本例是属于“某些元素‘在’或‘不在’某几个位置上”的一种排列题型。“在”,一般用 直接法解,即先取出这几个元素并让它们落在指定的位置上,然后再考虑其它元 素;“不在”,一般用间接法,转化为“在”来求解。 例2 ① ② 现有五位男同学,四位女同学排成一行,试问: 如果男女同学各自排在一起,那么一共有多少种排法? 如果男女同学相间地排,那么一共有多少种排法?

本例是属于“某些元素‘相邻’或‘不相邻’的一种排列题型。 “相邻”则将这 要求“相邻”的 m 个元素捆绑起来看成一个整体(一个大元素)与另外(n-m) 个元素进行全排列,再乘以这 m 个元素自身的全排列数即 种排法;“不相邻”, 一般用插空法来解,即先将另外 p(P≥m-1)个元素排好,留出(p+1)个空挡,再 让这不能相邻的 m 个元素插进去,共有排法 (种)。 例3 ① ② 现有五位男同学,四位女同学排成一行,试问: 如果其中甲、乙、丙三人次序一定,那么一共有多少种排法? 如果男同学次序一定,女同学次序也一定,那么一共有多少种排法?

本例是属于“某几个元素“次序一定”的一种排列题型。它的解法是先将 n(n>m)个 元素全排列有 种,就其中 m 个元素而言有 种排法,但由于要求这 m 个元素次 序一定,因此只能取 中的某一种排法,故共有排法 / 种,即顺序固定问 题用除法。

(2)纯组合问题 “从几个不同元素中取出 m 个元素的组合”是最简单的纯组合问题, 但是它有两种 题型变化,下面分别用例题予以说明。 例4 ① ② 现从五位男同学,四位女同学中选出 5 名代表,试问其中: 男甲、女 A 都必须当选,有几种选法? 男甲必须当选,女 A 不能当选,有几种选法?

本例是属于“‘含有’或‘不含有’某些元素”的一种组合题型。“含”则先将这些元素取 出,再由另外元素补足;“不含”则先将这些元素剔除,再从留下的元素中去取。 例5 ① ② 现从五位男同学,四位女同学中选出 5 名代表,试问其中: 至少有一个女同学当选,有几种选法? 最多有三个女同学当选,有几种选法?

本例是属于“‘至少’或‘最多’含有几个元素”的一种组合题型。用分类法或排杂法解 都可以,但是解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义,要保 证分类合理,排杂准确,谨防漏解与重复。 (3)排列组合混合题 这类问题有两群之间的排列题和分配(分组)问题两类题型。 例6 ①用 1,2,3,4,5,6,7 这七个数字组成没有重复数字的五位数中, 由两个偶数数字和三个奇数数字组成的有多少个? ②从 n 个不同元素里取出的 m 个元素的排列中,试问其中含有 a1,a2,……, ap(n>m>p)这 p 个元素且这 p 个元素排在一起的排列有多少种? 本例是典型的“两群之间的排列问题”,它的解法是根据公式 得来的,即从 n 个 元素中取出 m 个元素的排列,可以分成两步来完成:取出( )—排好( )。 例 7 、6 本不同的书,按照以下要求处理,各有几种分法? ① ② ③ 平均分给甲、乙、丙三人。 甲得一本,乙得两本,丙得三本。 一人得一本,一人得两本,一人得三本。

④ ⑤

平均分成三堆(组)。 一堆一本,一堆两本,一堆三本。

本例的①、②、③是属于“分配问题”,它有两种情况:一种是平均分配或者按某 一种确定的分配方案分配(如②),那么只要一个一个地按要求去取,然后再将 这些组合数乘起来即得;另一种是分配方案不确定的(如③),那么还要乘以分 配人数的全排列数。 本例的④、⑤是属于“分堆(组)”问题,它有两种情况:一是平均分组,如有 kn 不同元素平均分成 k 组,那么分法有 种。另一种不是平均分组,那么其解法与 分配问题的前一种情况相同。 二、解排列组合应用问题的一些分析方法 对于解比较复杂的排列组合应用题,往往比较困难,会有无从下手的感觉。为了 提高分析问题和解决问题的能力, 这里根据问题的不同特点, 介绍五种分析方法。 (一)特征分析法 例8 从 1,2,3,……,100 这一百个数中,任取两个不同的数相乘,其中 积能被 5 整除的有多少个?能被 5 整除但不能被 5n(n≥2,n∈N)整除的有多少 个? 解:两数中只要有一个是 5 的倍数,那么它们的积就能被 5 整除,而 1 到 100 中共有 20 个 5 的倍数的数,故共有取法 种;能被 5 整除而不能被 5n(n≥2,n∈ N)整除,那就是说这 20 个 5 的倍数的数中,不能取两个相乘;同时还不能取这 20 个数中本已含有 52 因数的数 25, 50, 75, 100, 因此符合题意的积共有 (种) 例9 用 1,2,3,4,5,6,7 这七个数字组成没有重复数字的五位数,试问 其中能被 3 整除的有多少? 分析:能被 3 整除的数的特征是各位数字之和是 3 的倍数,由 1+2+3+4+5+6+7=28,又组成的是五位数,因此应从 28 中减去两个数字使其差 为 3 的倍数,再由大到小依次考虑,便得到下面四种情况: 解①28-1-2=24,由 2,4,5,6,7 五个数字,可组成 个五位数。 ②28-1-6=21 或 28-2-5=21 或 28-3-4=21,一共可组成 ③28-3-7=18 或 28-4-6=18 可组成 个五位数。 ④28-6-7=15 可组成 个五位数。 个五位数。

根据分类计数原理:可得能被 3 整除的五位数共有

=840(个)。

上面两例是抓住了能被 5 整除与能被 3 整除的数的特征,再进行有条理有次序 (特别是例 2)的分析而得出解答的。因此在解应用题时,必须十分注意题意的 内含特征以及解题的条理性。 (二)排阵分析法 例 10 从 1 到 9 这九个自然数中,每次取出不同的两个分别作为对数的底数 与真数,问一共可以得到多少个不同的对数值? 分析:由于底数不能取 1,因此底数可以从 2 到 9 这八个数字中任取一个;真数 可以从留下的八个数字中任取一个,故有 个对数。但本题是问“有几个不同的对 数值?”,显然 是相同的,只能算一个。那么另外有没有相同的对数值呢?那就 要费一番周折了,而且一个一个地找很容易造成遗漏,再考虑到底数取法只有八 种情况,当取某一值为底时,真数依次排上的次序性很强(如 等等),而且在 排时若遇相同的值立即舍去,“重复取”的情况也就避免了,因此还是直接排出要 方便些,可靠些。分别以 2,3,4,……,9 为底直接排出,可得共有 53 个不 同的对数值 例 11 现在将准备从七个学校选出 12 人组成区篮球队, 要求每校至少有一人 参加,向各校分配到的队员人数,可能有几种不同情况? 解:由于每校至少要有一人参加,因此这一个名额不妨先分配下去,还余下五个 名额, 因为没有其他的分配要求, 因此这 5 个名额分配时, 可能有如下六种情况。 (注:记号“11111”表示将 5 个名额分成 5 个“1”,分配到七个学校中去,每校 1 人,其余类推) ①分成“11111”有 种分配法。 ②分成“2111”有 种分配法。 ③分成“221”有 种分配法。 ④分成“311”有 种分配法。 ⑤分成“23”有 种分配法。 ⑥分成“41”有 种分配法。 ⑦分成“5”有 种分配法。

因此共有 种分配法。 通过上述两例的分析, 可以看出“排阵分析法”主要有三个优点: ①解题方法直观, 易被接受;②条理性强,便于思考分析;③取舍明确,可避免漏解或重复。 (三)元素、位置分析法 例 12 3 封不同的信,投入 4 个不同的信箱,共有多少种不同的投信方法?

解法一:元素分析法(以信为主) 第一封信有四种不同的投法,不论把它投入哪一个信箱里,第二封信还有四种投 法, 同理第三封信也有四种投法, 根据分步计数原理, 故共有投法 4x4x4=64 (种) 解法二:位置分析法(以信箱为主) 四个信箱中某一个信箱收到 3 封信的有 ;四个信箱中某一个信箱收到 2 封信的 有 ; 四个信箱中某三个信箱各收到 1 封信的, 收信方法有 。 因此收信方法 (种) 元素分析法(即以元素为主考虑各种可能性)与位置分析法(即以位置为主考虑 多种可能性)是解排列组合应用题的两种常用方法,它的优点是研究对象清楚单 一易于分析各种情况。 例 13 三位教师分配到六个班里,各人数不同的班级,若每人都教两个班,有 几种分配方法? 解法一(以教师为主) 这是一个分配问题,第一位教师可从六个班中选二个有 ,第二位教师可从四个 班中选二个有 ,第三位教师教余下的二班有 ,因此共有 种不同的分法。 解法二(以班级为主) 将六个班分成三组,每组两个班,共有 分组法,再将每种方法中的三组分配给 三位教师有 种,因此共有 种方法。 (四)图形分析法 例 14 用 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的数,试问能组成多少个大 于 401325 的自然数? 解:大于 401325 的数,必须是六位数;当最高位数字为 5 时,形如 5xxxxx 的 数一定大于 401325 有 个;再看最高位是 4 时,形如下面的数也必须大于 401325:

①41xxxx;42xxxx;43xxxx;45xxxx。共有 个。 ②402xxx;403xxx;405xxx 共有 个。 ③4015xx 共有 个。 ④401352 共有 1 个。 综上得大于 401325 的自然数共有 个。 例 15 一直线和圆相离,这条直线上有六个点,圆上有四个点,通过其中任 意两点作直线,试问: ①最多可作几条直线?②最少可作几条直线? 解:①显然除了 A1、A2、A3,……A6 这六点共线外,其余无三点共线时,那以 任取其中两点作直线必最多,共有 (条) 如图,由于 B1,B2,B3,B4 在圆上,故四点 中任意三点均不共线,因此当过 B1,B2,B3,B4 中任意两点的直线(共有 条)正好分 别通过 A1、A2、A3,……A6 这六个点时,则直线条数最少,共有 (条)。(如 图 B2 B4 A1 三点,原来过其中任意两点可作三条直线,而现在只能作一条,减 少了两条) 从上两例可以看出,有时结合图形来分析比较直观,易于发现规律。 (五)减元分析法 例 16 我们把元素和它的排列完全相同的行列式看成是相同的, 否则就是不同 的,用三个“1”和六个“0”作三阶行列式,试问能作成多少个不同的行列式? 分析:本题情况比较复杂,因此不妨先减元来分析一下,如两个“1”与两个“0”, 作成二阶行列式有: 在排的过程中发现,当两个“1”排好位置以后,那两个“0”只能进入留下的空挡, 因此实际上只要排好两个“1”的位置即可,而四个空挡中排两个“1”的方法共有 种,这与实际排出也是一致的,由此减元分析可得原题三阶行列式的个数是 个。

例 17 ①将四个“十”号,六个“一”号排成“一十一一十十一十一一”时,符号改 变了几次? ②将八个“十”号,六个“一”号排成一列时使符号改变 5 次的排法共有多少种? 解:①从左往右依次点算,可得符号共改变了 6 次。 ②通过对①的仔细观察分析可以发现: (a)“十”号旁边排上一个或几个“一”号将使符号改变(“一”号旁边排上“十”号也 同样) (b)两个“十”号之间插入一个或几个“一”号,将使符号改变 2 次。 (c)最左端那一个“十”号的左边加上一个或几个“一”号,使符号改变一次(最右 端那个“十”号的右边加上一个或几个“一”号也同样) 由上述三点发现,再考虑到符号改变 5 次的要求,我们不妨先让八个“十”号排成 一列,留出首尾空位和中间七个空挡,只要在中间的七个空挡中取出两个,各插 入一个或几个“一”号,使符号改变 4 次;再在首或尾空位中放上留下的一个或几 个“一”号使符号改变 1 次,那么问题的要求就满足了。 具体计算过程从略,符号改变 5 次的排法,共有 (种) 减元分析法是用在一时看不出眉目,或无从下手的排列组合应用题。这时不妨先 减元排出,然后仔细观察,分析归纳,找出解题规律。



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