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必修五第二章数列基础测试(含答案)



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绝密★启用前

2012-2013 学年度???学校 3 月月考卷

试卷副标题
考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题(题型注释) 已 知 数 列 { an } 满 足 1 ? l o 3 an ? l o 3 an?1 (n ? N ? ) , 且 a2 ? a 4 ? a 6 ? 9 , 则 g g )
1 5

1.

log1 (a 5 ? a 7 ? a 9 )的值是(
3

A.

1 5

B. ?

C. -5

D. 5

2. ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 若 a, b, c 成等比数列,且 c ? 2a ,则

cos B ? (
A.

) B.

1 4

3 4

C.

2 4

D.

2 3
)

3.在等差数列 {an } 中,若 a1 ? a2 ? 3, a3 ? a4 ? 5 ,则 a7 ? a8 的和等于 ( A.7 B.8 C.9 D.10
2 a9 的值为 a11

4.在等比数列{ an }中,若 a3a5a7 a9 a11=243 ,则 A.9 B.1 C.2

D.3

5.等差数列{ an }中, a3 =2, a5 =7,则 a7 = A.10 B.20 C.16 D.12 ) 6.设数列 ?an ? 是等差数列,且 a2 ? a3 ? a4 ? 15 ,则这个数列的前 5 项和 S 5 =( A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 )

7.在等差数列 ?an ? 中,已知 a1 + a4 + a7 =39, a2 + a5 + a8 =33,则 a3 + a6 + a9 =( A. 30 B. 27 C. 24 D.21

试卷第 1 页,总 4 页

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8.各项为正数的等比数列 ?an ? 的公比 q ? 1 ,且 a2 , 值是( A. ) B.

1 a ? a4 a3 , a1 成等差数列,则 3 的 2 a4 ? a5

5 ?1 2

5 ?1 2

C.

1? 5 2

D.

5 ?1 5 ?1 或 2 2
( )

9.设 a1 , a2 , a3 , a4 成等比数列,其公比为 2,则 A.

2a1 ? a 2 的值为 2a 3 ? a 4

11.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , an?1 ? an ? 1 ? 0 (n ? N ? ) ,则此数列的通项 an 等于 ( ) B. n ? 1 C. 1 ? n D. 3 ? n ) 23

A. n 2 ? 1

12.下列四个数中,哪一个是数列{ n(n ? 1) }中的一项( A.380 B. 39 C. 35 D.

试卷第 2 页,总 4 页

※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

1 1 C. D.1 8 2 10.首项为 ?24 的等差数列,从第 10 项开始为正数,则公差 d 的取值范围是( 8 8 8 A. d > B. d >3 C. ≤ d <3 D. < d ≤3 3 3 3

1 4

B.



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第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题(题型注释) 13.已知 {an } 为等差数列,其公差为 ? 2 ,且 a7是a3与a9 的等比中项, S n 为 {an } 的 前 n 项和,则 S10 的值为 14. 在数列 {an } 中, a1 ? 1, an ?1 ? 通项公式为 an ? 15. 已知 {an } 是递增的等比数列, a2 ? 2 , 4 ? a3 ? 4 , 若 则此数列的公比 q ? a 16.已知数列的通项公式 an ? 2n ? 37 ,则 S n 取最小值时 n = 此时 S n = . , . .

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

2an ,通过计算 a2 , a3 , a4 的值,可猜想出这个数列的 2 ? an

评卷人

得分 三、解答题(题型注释)

17. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,满足 S n ? 2an ? 2n(n ? N * ) . (1)求证:数列 {an ? 2} 为等比数列; (2)若数列 {bn } 满足 bn ? log2 (an ? 2) , Tn 为数列 {

bn } 的前 n 项和,求证: an ? 2

Tn ?

3 . 2

18. (本小题满分 12 分) 已 知 等 比 数 列 {a n } , a2 ? 2, a5 ? 128 若bn ? log2 an , 数列 bn }前n 项 的 和 为 中 , {

S n , 且S n ? 360, 求n 的值。
19. (本小题满分 13 分) 在数列 ?an ?中,已知 a1 ?

1 an?1 1 , ? , bn ? 2 ? 3 log1 an (n ? N * ) . 4 an 4 4

(Ⅰ)求数列 ?an ?的通项公式;

试卷第 3 页,总 4 页

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(Ⅱ)求证:数列 ?bn ?是等差数列; (Ⅲ)设数列 ?cn ?满足 cn ? an ? bn ,求 ?cn ?的前 n 项和 Sn . 20.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , an?1 ? 3an ? 3n?1 ? 2 n (n ? N * ) . (1)设 bn ?

an ? 2 n ,证明:数列 ?bn ? 为等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; 3n

(2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n . 21. (本小题满分 12 分) 在等比数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? a3 ? 27 , a 2 ? a 4 ? 30 试求: (Ⅰ) a1 和公比 q ; (Ⅱ)前 6 项的和 S 6 .

22. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? 2a sin x cos x ? 2a(sin x ? cos x) ? a ? b 的定

义域为 [0,

? ] ,值域为 [?1, 2] . 2

(1)求实数 a , b 的值; (2)数列 {an } 中,有 an ?

n?b (n ? N * ) . 则该数列有最大项、最小项吗?若有,求 n?a

出数列的最大项、最小项;若没有,请说明理由. 23. (本小题 14 分) 在等差数列 {a n } 中, a10 ? 30 , a 20 ? 50 . (1)求数列 {a n } 的通项 a n ; (2)令 bn ? 2 an ?10 ,证明:数列 {bn } 为等比数列; (3)求数列 {nbn } 的前 n 项和 Tn .

试卷第 4 页,总 4 页

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参考答案 1.C 【解析】 试 题 分 析 : ?1 ? log an ? logan? 1? an 1? , ? 3 3
a2 ? a4 ? a6 ? 9 可得 a5 ? a7

an?, a? 是 公 比 为 3 的 等 比 数 列 , 由 3 ? n

? a9 ? (a2 ? a4 ? a6 ) ? 33 ? 35 ,
3

所以 log 1 (a5 ? a7 ? a9 ) ? log 1 35 ? ?5.
3

考点:本小题主要考查等比数列的判定,性质和应用. 点评: 判定一个数列是等比数列主要还是利用等比数列的定义, 而通项公式的灵活运用是简 单求解此题的关键. 2.B 【解析】 试题分析:根据等比数列的性质,可得 b=

2 a,将 c、b 与 a 的关系结合余弦定理分析可

得答案.解:△ABC 中,a、b、c 成等比数列,且 c=2a,则 b= 2 a,则由余弦定理可知有

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? 4a 2 ? 2a 2 3 ? ? ,故答案为 B. cosB= 2ac 4a 2 4
考点:余弦定理 点评:本题考查余弦定理的运用,要牢记余弦定理的两种形式,并能熟练应用. 【答案】C 【解析】 试题分析:因为等差数列 {an } 中,若 a1 ? a2 ? 3, a3 ? a4 ? 5 ,根据整体思想可知,则

a1 ? a2,a3 ? a4,a5 ? a6,a7 ? a8

























a7 ? a8 =a1 ? a2 +3 -3)3+6=9 ,故选 C. (5 =
考点:等差数列的性质 点评:解决的关键是根据等长连续片段的和为等差数列,进而得到结论,属于基础题。 4.D 【解析】 试 题 分 析 : 根 据 题 意 , 由 于 等 比 数 列 {

an } 中 , 若

a3a5 a7 a9 a11=243? a3a11 =a5 a9 =a7 2 ? a75=243 ? a7 =3
结合等比中项的性质故可知 考点:等比数列
答案第 1 页,总 10 页
2 a9 =a7 =3 ,故选 D. a11

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点评: 等比数列的中项性质的灵活运用是解决该试题的关键, 同时也考查了整体思想的运用, 属于基础题。 5.D 【解析】 试题分析:根据等差数列的性质可知第五项减去第三项等于公差的 2 倍,由 a5 = a3 +5 得到 2d 等于 5,然后再根据等差数列的性质得到第七项等于第五项加上公差的 2 倍,把 a5 的值 和 2d 的值代入即可求出 a7 的值。即可知 a7 = a5 +2d=a3 +2d+2d=a3 ? 4d ? 2 ? 2 ? 5 ? 12 , 故选 D. 考点:等差数列 点评:此题考查学生灵活运用等差数列的性质解决实际问题,是一道基础题. 6.D 【解析】 试题分析:由等差数列的性质知 3a3 ? 15 ,所以 a3 ? 5 ,所以 S 5 ?

5(a1 ? a5 ) ? 5a3 ? 25 2

考点:等差数列的性质;等差数列的前 n 项和. 点评:本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的简单应用,属于基础试题. 7.B 【解析】 试题分析:因为根据已知条件,等差数列 ?an ? 中,已知 a1 + a4 + a7 =39, a2 + a5 + a8 =33, 根据三项整体的相差为 3 个公差,得到 a2 + a5 + a8 -( a1 + a4 + a7 )=3d=-6,d=-2,则

a3 + a6 + a9 =( a2 + a5 + a8 )+3d=33-6=27,故选 B.
考点:等差数列 点评:等差数列的求和的运用,主要是整体思想,是解决的关键,属于基础题。 8.B 【解析】 试题分析:由条件各项为正数的等比数列 ?an ? 的公比 q ? 1 ,且 a2 ,

1 a3 , a1 成等差数列,列 2















a3 =a +a ? a +q)=a q 2 ? q ? 1 (1 1 2 1

5 ?1 2





a3 ? a4 ?

a4 ? a3 a 5 ?1 1 = ,故选 B. = ? 4 a5q( ? a3 ) a4 2 q

考点:等比例数列 点评:此题重点考查了等比数列的通项公式及等比数列满足条件 an>0,还考查了等差中项 的概念 9.A 【解析】
答案第 2 页,总 10 页

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试 题 分 析 : 根 据 题 意 , 由 于 设 a1 , a2 , a3 , a4 成 等 比 数 列 , 其 公 比 为 2 , 则

2a1 =a, a2 =a3 , 2 3 ,因此可知 a =4 a 2 2

2a1 ? a2 4a1 a1 1 1 = = = ? ,故选 A. 2a3 ? a4 4a3 a3 q 2 4

考点:等比数列 点评:解决该试题的关键是利用等比数列的性质来得到整体之间的关系,进而得到结论,运 用公比表示,属于基础题。 10.D 【解析】 试题分析:根据据题意,由于首项为 ?24 的等差数列,从第 10 项开始为正数,则先设数列 为{an}公差为 d,则 a1=-24,根据等差数列的通项公式,分别表示出 a10 和 a9,进而根据

a10 ? 0 , a 9 ? 0 求得 d 的范围.设数列为{an}公差为 d,则 a1 =-24; a10 = a1 +9d>0;
即 9d>24,所以 d>

8 8 而 a 9 = a1 +8d≤0;即 d≤3 所以 <d ? 3 故选 D 3 3

考点:等差数列 点评:本题主要考查了等差数列的性质.属基础题. 11.D 【解析】 试题分析:根据题意,由于数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , an?1 ? an ? 1 ? 0?an?1 ? an =-1? an} { 是 首项为 2,公差为-1 的等差数列,因此可知 an =2+(n-1)(1) +3 ,故选 D. - =-n 考点:数列的通项公式 点评: 解决该试题的关键是对于递推关系式的变形和运用。 转化为特殊的等差数列来求解得 到结论。属于基础题 12.A 【解析】 试题分析:分别让选项中的数值等于 n(n+1) ,求出 n 是自然数时的这一项,就是符合要求 的选项. 解:由 n(n+1)=380,有 n=19.所以 A 正确; n(n+1)=39,n(n+1)=35,n(n+1)=23 均无整数解,则 B、C、D 都不正确.故选 A. 考点:数列的概念 点评:数列的概念是高考中的热点,应充分重视.属于基础题. 13.110 【解析】 试 题 分析 : 因为 {an } 为 等 差数 列 ,其 公 差为 ? 2 , 且 a7是a3与a9 的 等 比 中项 , 所以

(a3 ? 4d )2 ? a3 (a3 ? 6d ) ,解得 a3 =16, a1 ? 20 , a10 ? 2 S10 ? 110 。
考点:本题主要考查等差数列的性质、求和公式,等比中项的概念。 点评:小综合题,利用题中给定条件,可首先求出 a7 ,a3 ,a9 中的某项,进一步求 S10 。

答案第 3 页,总 10 页

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14.

2 n ?1

【解析】 试题分析:根据已知的递推关系,可以构造出我们熟悉的等差数列.再用等差数列的性质进 行 求 解 . 由 于 在 数 列 {an } 中 ,

a1 ? 1, an?1 ?

2an 2 ? an


, 则 可 知

1 1 1 1 1 ? + ? { }是等差数列公差为 ,首项为1 an?1 2 an an?1 2









2 1 1 n 1 2 ,故答案为 =1+ (n-1)= ? ? an ? n ?1 an 2 2 2 n ?1
考点:数列的通项公式 点评:构造数列是对已知数列的递推关系式变形后发现规律,创造一个等差或等比数列,借 此求原数列的通项公式,是考查的重要内容. 15.2 【解析】 试题分析:由已知{an}是递增等比数列, a2 ? 2 ,我们可以判断此数列的公比 q>1,又由

a2 ? 2 , a4 ? a3 ? 4 ,我们可以构造出一个关于公比 q 的方程,解方程即可求出公比 q 的
值. :∵{an}是递增等比数列,且 a2 ? 2 ,则公比 q>1,又∵ a4 ? a3 ? a 2 (q2 ? q) =2(q -q)
2

=4,即 q -q-2=0,解得 q=2,或 q=-1(舍去),故此数列的公比 q=2,故答案为:2 , 考点:等比数列的性质 点评:本题考查的知识点是等比数列的通项公式,其中利用等比数列的通项公式及 a2 ? 2 ,

2

a4 ? a3 ? 4 ,构造出一个关于公比 q 的方程,是解答本题的关键.
16.18 -324 【解析】 试 题 分 析 : 由 an=2n ﹣ 37 , 知 {an} 是 首 项 为 ﹣ 35 , 公 差 为 2 的 等 差 数 列 , 故 =n ﹣36n=(n﹣18) ﹣324,由此能得到当 n=18 时,Sn 取最 小值﹣324.解:∵an=2n﹣37,∴a1=2﹣37=﹣35,a2=4﹣37=﹣33,d=a2﹣a1=33+35=2,∴{an} 是首项为﹣35,公差为 2 的等差数列,∴
2 2 2

=n ﹣36n=(n﹣18)

2

﹣324,∴当 n=18 时,Sn 取最小值 S18=﹣324.故答案为:18,﹣324. 考点:等差数列的前 n 项和 点评:本题考查等差数列的前 n 项和的性质和应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解 答,注意配方法的合理运用. 17. (1) an ? 2 ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 .
答案第 4 页,总 10 页

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(2)先“错位相减法”求和,放缩即得 Tn ? 【解析】

3 . 2

试题分析: (1)由 S n ? 2an ? 2n 得 S n?1 ? 2an?1 ? 2(n ? 1) ,

? S n?1 ? S n ? an?1 ? 2an?1 ? 2an ? 2 ,? an?1 ? 2an ? 2 ,
? an?1 ? 2 ? 2(an ? 2) , ?{an ? 2} 为 等 比 数 列 , 首 项 a1 ? 2 ? 4 , 公 比 为
2.? an ? 2 ? 4 ? 2 n?1 ? 2 n?1 . (2) bn ? log2 (an ? 2) ? log2 2n?1 ? n ? 1 ,?

bn n ?1 ? n?1 , an ? 2 2

2 3 4 n n ?1 1 2 3 n n ?1 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ? n ?1 ,? Tn ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ?1 ? n ? 2 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n ?1 ? Tn ? ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ?1 ? n ? 2 , 2 2 2 2 2 2 1 1 1 n ?1 ? Tn ? 1 ? ( 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ) ? n ?1 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ?1 ) 2 n ?1 2 ?1? 2 ? n ?1 1 2 1? 2 1 1 n ?1 ? 1 ? ? n ? n ?1 2 2 2 3 n?3 ? ? n ?1 2 2 3 ? n ? N * ? Tn ? . 2 ? Tn ?
考点:本题主要考查等差数列、等比数列的的基础知识, “错位相减法” ,不等式证明的放缩 法。 点评:中档题,本题具有较强的综合性,本解答从确定通项公式入手,进一步认识数列

{

bn } 的特征,利用“错位相减法”达到求和目的,最后通过放缩实现不等式证明。 “分 an ? 2

组求和法” “裂项相消法”也是常常考到的求和方法。 18.20 【解析】 试题分析:解:由 a2 ? a1q ? 2, a5 ? a1q 4 ? 128 q 3 ? 64. 得

? a1 ?

1 ,q ? 4 2

2分

答案第 5 页,总 10 页

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? a n ? a1 q n ?1 ?

1 n ?1 ? 4 ? 2 2 n ?3 2

4分

bn ? log2 an ? log2 2 2n?3 ? 2n ? 3
? bn?1 ? bn ? [2(n ? 1) ? 3] ? (2n ? 3) ? 2, ?{b n }是以b1 ? ?1为首项,2为公差的等差数列 .
? Sn ? (?1 ? 2n ? 3)n ? 360 , 即n 2 ? 2n ? 360 ? 0 2
12 分 8分 10 分

? n ? 20或n ? ?18(舍去),即n ? 20.

考点:等比数列 点评:该试题是常规试题,主要是对于等比数列的公式的熟练运用,属于基础题。
1 19. (Ⅰ) an ? ( ) n (n ? N * ) .(Ⅱ)由 an 的通项公式求 bn 的通项公式即可得证. 4

(Ⅲ) S n ? 【解析】

2 12n ? 8 1 n?1 ? ? ( ) (n ? N * ) 3 3 4

试题分析: (Ⅰ)∵

an ?1 1 ? an 4
1 1 ,公比为 的等比数列, 4 4

∴数列{ a n }是首项为
1 ∴ an ? ( ) n (n ? N * ) . 4

(Ⅱ)∵ bn ? 3 log1 an ? 2
4

∴ bn ? 3 log1 ( ) n ? 2 ? 3n ? 2 .
2

1 4

∴ b1 ? 1 ,公差 d=3 ∴数列 {bn } 是首项 b1 ? 1 ,公差 d ? 3 的等差数列.
1 (Ⅲ)由(Ⅰ)知, an ? ( ) n , bn ? 3n ? 2 (n ? N * ) 4 1 ∴ cn ? (3n ? 2) ? ( ) n , (n ? N * ) . 4

1 1 1 1 1 ∴ S n ? 1? ? 4 ? ( ) 2 ? 7 ? ( )3 ? ?? (3n ? 5) ? ( ) n?1 ? (3n ? 2) ? ( ) n , 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 于是 S n ? 1? ( ) 2 ? 4 ? ( )3 ? 7 ? ( ) 4 ? ?? (3n ? 5) ? ( ) n ? (3n ? 2) ? ( ) n?1 4 4 4 4 4 4 3 1 1 1 1 1 两式①-②相减得 S n ? ? 3[( ) 2 ? ( )3 ? ? ? ( ) n ] ? (3n ? 2) ? ( ) n?1 4 4 4 4 4 4
1 1 = ? (3n ? 2) ? ( ) n?1 . 2 4

① ②

答案第 6 页,总 10 页

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∴ Sn ?

2 12n ? 8 1 n?1 ? ? ( ) (n ? N * ) . 3 3 4

考点:等差数列 等比数列的性质及求和公式 点评:本题考查数列的证明,求和,着重考查数列的 “错位相减法”求和,属于中档题. 20. (1)? bn ?1 ? bn ?

a n?1 ? 2 n?1 a n ? 2 n 3a n ? 3 n ?1 ? 2 n ? 2 n ?1 a n ? 2 n ? ? ? ? 1, 3n?1 3n 3 n ?1 3n

? {bn } 为等差数列.又 b1 = 0 ,?bn ? n ?1 . ?an ? ?n ?1?? 3n ? 2n .
(2) Sn ? Tn ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2

?

n

?

? 2n ? 3? 3n?1 ? 2n?3 ? 1 . ?
4
析 : ( 1 )

【解析】 试





? bn?1 ? bn ?

a n?1 ? 2 n?1 a n ? 2 n 3a n ? 3 n ?1 ? 2 n ? 2 n ?1 a n ? 2 n ? ? ? ? 1,??2 分 3n?1 3n 3 n ?1 3n

? {bn } 为等差数列.又 b1 = 0 ,?bn ? n ?1 . ?an ? ?n ?1?? 3n ? 2n .
(2)设 Tn ? 0 ? 31 ? 1? 32 ? ?? (n ? 1) ? 3n ,则 3 Tn ? 0 ? 32 ? 1? 33 ? ? ? (n ? 1) ? 3n?1 .

? ? 2Tn ? 32 ? ? ? 3n ? (n ? 1) ? 3n?1 ?

9(1 ? 3n?1 ) ? (n ? 1) ? 3n?1 . 1? 3

? Tn ?

9 ? 3n?1 (n ? 1) ? 3n?1 (2n ? 3) ? 3n?1 ? 9 ? ? . 4 2 4

? S n ? Tn ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2

?

n

?2n ? 3?3n?1 ? 2 n?3 ? 1 . ??
4

考点:本题考查了等差数列的通项及数列的前 N 项和 点评:高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面: (1)数列本身的有关知识,其中有等 差数列、等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式; (2)数列与其他知识结合,其中有 数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合以及探索性问题; (3)数列的应用问题,其 中主要是以增长率为主. 21. (1) ? 【解析】 试题分析:解: (Ⅰ)在等比数列 ?an ? 中,由已知可得:

?a1 ? ?1 ?a1 ? 1 或? (2)182 q ? ?3 q?3 ? ?

答案第 7 页,总 10 页

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2 ? ?a1 ? a1 q ? a1 q ? 27 ? ?a1 q ? a1 q 3 ? 30 ?

解得: ?

?a1 ? ?1 ?a1 ? 1 或? ?q ? ?3 ?q ? 3
?a1 ? 1 1 ? (1 ? 36 ) 1 ? 36 ? ? 364. 时, S 6 ? ?当 ? 1? 3 ?2 ?q ? 3

a1 (1 ? q n ) (Ⅱ)?S n ? 1? q
当?

?a1 ? ?1 (?1) ? [1 ? (?3) 6 ] 36 ? 1 ? ? 182 时, S 6 ? 1? 3 4 ?q ? ?3

考点:等比数列的通项公式和求和 点评:解决关键是对于等比数列的熟练运用,以及能解决一元高次方程的根,属于基础题。 22. (1) ?

?a ? -3( 2 ? 1) ? ; (2)当 n=1 时,最小项为 a1 ? 3 2 ? 4 ,无最大项; ?b ? -1 ?

【解析】本试题主要是考查了三角函数与数列的综合运用。 (1)设 t ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ?

?
4

),
t 2 ?1 , 2

由 x ? [0,

?
2

] ,知 t ?[1, 2] ,又 sin x cos x ?

则函数为 y ? 2a

t 2 ?1 2 2 1 ? 2at ? a ? b ? a(t ? ) ? b ? a 根据单调性分析得到参数 a,b 2 2 2

的值。 (2)在第一问的基础上,进一步运用定义法得到数列的单调性,进而得到最小项的值。 解: (1)设 t ? sin x ? cos x ?

2 sin( x ? ) , 4
??????2 分

?

由 x ? [0,

?
2

] ,知 t ?[1, 2] ,
t 2 ?1 , 2

又 sin x cos x ?

则函数为 y ? 2a

t 2 ?1 2 2 1 ? 2at ? a ? b ? a(t ? ) ? b ? a ,???????4 分 2 2 2 2 2 1 ) ? b ? a, t ? [1, 2] , ????5 分 2 2

即 g (t ) ? at 2 ? 2at ? b ? a(t ?

答案第 8 页,总 10 页

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①当 a>0 时,g(t)在 t ?[1, 2] 单调递增, 有?

? g (1) ? ?1 ?a ? 3( 2 ? 1) ? ? ,得 ? ; ? g ( 2) ? 2 ?b ? 2 ? ?

???????6 分 ???????7 分

①当 a=0 时,g(t)=b 不合; ②当 a<0 时,g(t)在 t ?[1, 2] 单调递减, 有?

? g (1) ? 2 ?a ? -3( 2 ? 1) ? ? ,得 ? ; ? g ( 2) ? ?1 ?b ? -1 ? ?

???????8 分

(2)①当 ?

?a ? 3( 2 ? 1) n?2 3 2 ?1 ? ,则 an ? , ? 1? n ? (3 2 ? 3) n ? (3 2 ? 3) ?b ? 2 ?

由图象知,当 n=7 时,最小项为 a7 ? ?10 ?

15 2, 2
???????11 分

当 n=8 时,最大项为 a8 ?

30 ? 18 2 ; 7

②当 ?

? a ? ?3( 2 ? 1) n ?1 3 2 ?2 ? ,则 an ? , ? 1? n ? (3 2 ? 3) n ? (3 2 ? 3) ?b ? ?1 ?

由图象知,当 n=1 时,最小项为 a1 ? 3 2 ? 4 ,无最大项;?????14 分 23. (1)? an ? 2n ? 10 ; (2)见解析 (3)

Tn ? 1 ? 41 ? 2 ? 4 2 ? ? n ? 4 n 4Tn ? 1 ? 4 2 ? ? ? (n ? 1) ? 4 n ? n ? 4 n ?1

? ?3Tn ? 41 ? 4 2 ? ? 4 n ? n ? 4 n ?1 ? 4 1 ? 3Tn ? - ? ( - n)4n ?1 ??13分 3 3 4 ?n 1? ? Tn ? ? ? ? ? ? 4 n ?1 ??14分 9 ?3 9?
【解析】

4 1 ? 4n ? n ? 4 n ?1 ??12分 1? 4

?

?

试题分析:(1)先由 a10 ? 30 , a 20 ? 50 ,可建立关于 a1 和 d 的方程求出 a1 和 d 的值,从而求 出通项 a n . (2)再(1)的基础上可求出 bn ? 4n ,再利用等比数列的定义可判断出 {bn } 为等比数列;
答案第 9 页,总 10 页

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(3)由于 {nbn } 的通项为 n ? 4n 显然要采用错位相减的方法求和。 (1)设数列 ?a n ? 首项为 a1 ,公差为 d 依题意得 ?

?a1 ? 9d ? 30 ?a ? 12 ,???2 分? ? 1 ??????3 分 ?d ? 2 ?a1 ? 19d ? 50

? an ? 2n ? 10 ?????4 分

bn ? 2 2 n ? 4 n ,??5分
(2)

bn ?1 4 n ?1 ? ? n ? 4?? 7分 bn 4

? ?bn ?是以 b1 =4 为首项,4 为公比的等比数列。?????????8 分
(3) nbn ? n ? 4 n ????????9 分

Tn ? 1 ? 41 ? 2 ? 4 2 ? ? n ? 4 n 4Tn ? 1 ? 4 2 ? ? ? (n ? 1) ? 4 n ? n ? 4 n ?1

???????11 分

? ?3Tn ? 41 ? 4 2 ? ? 4 n ? n ? 4 n ?1 ? 4 1 ? 3Tn ? - ? ( - n)4n ?1 ??13分 3 3 4 ?n 1? ? Tn ? ? ? ? ? ? 4 n ?1 ??14分 9 ?3 9?

4 1 ? 4n ? n ? 4 n ?1 ??12分 1? 4

?

?

考点:等差数列的通项公式,等比数列的定义及通项公式及其前 n 项和公式,错位相减法求 和。 点评: 等差数列及等比数列的定义是判断数列是否是等差或等比数列的依据, 并且要注意结 合通项公式的特点判断选用何种方法求和, 本题是一个等差数列与一个等比数列的积所以应 采用错位相减法求和.

答案第 10 页,总 10 页



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