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湖北省省实验中学等部分重点中学2014-2015学年高一下学期期末联考数学(理)试题



武汉市部分重点中学 2014-2015 学年度下学期期末联考 高一数学试卷(理科)
命题学校:省实验中学 命题教师:王先东 审题教师:徐高诚 佘功忠
考试时间:2015 年 7 月 1 日下午 2:3 0-4:30 试卷满分:150 分

★祝考试顺利★
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出

的四个选项中,只有一项是 满足题目要求的。) 1. a, b ? R ,若 a ? b ? 0 ,则下列不等式中正确的是( A. b ? a ? 0 B. a ? b ? 0
3 3 2 2

) D. b ? a ? 0

C. a ? b ? 0 )

2.若 a, b, c 为实数,则下列命题正确的是(
2 2 A.若 a ? b ,则 ac ? bc

B. 若 a ? b ? 0 ,则 a ? ab ? b
2

2

C. 若 a ? b ? 0 ,则

1 1 ? a b

D. 若 a ? b ? 0 ,则

b a ? a b

3.规定记号 “? ” 表示一种运算, 定义:a ? b ? 则 k 的取值范围是( A. ?1 ? k ? 1
2

2 , 若1? k ? 3 , ab ? a ? b( a , b 为正实数)

) B. 0 ? k ? 1

C. ?1 ? k ? 0

D. 0 ? k ? 2

4.不等式 ax ? (a ? 2) x ? 2 ? 0(a ? 0) 的解集为( ) A. ? ,1? ?a ? C. ? ??, ? ? ?1, ?? ? a

?2 ?

B. ?1, ? ? a? D.

? 2?

? ?

2? ?

? ??,1? ? ? ?

2 ? , ?? ? ?a ?

5.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰直角三角形 A′B′O′,若 O′B′ =1,那么原△ABO 的面积是

A.

B.

2 2

C.

D.

2 2

6.如图所示的是正方体的平面展开图, 则在这个正方体中, ①BM 与 ED 平行;

②CN 与 BE 是异面直线; ③CN 与 BM 成 60 角; ④ DM 与 BN 是异面直线. 以 上四个命题中,正确命题的序号是( )

?

A. ①②③ B. ③④ C. ②④ D. ②③④ 7.如图,取一个底面半径和高都为 R 的圆柱,从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底 面圆心为顶点的圆锥,把所得的几何体与一个半径为 R 的半球放在同一水平面 α 上.用一平 行于平面 α 的平面去截这两个几何体,截面分别为圆面和圆环面(图中阴影部分) .设截面面 积分别为 S 圆和 S 圆环,那么( ) A. S 圆>S 圆环 B. S 圆=S 圆环 C. S 圆<S 圆环 D. 不确定 8.已知一个棱锥的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个棱锥的侧面

积是(
A.


B.

4cm 2

12cm2

C.

(8 ? 4 2)cm2


D.

(4 ? 4 2 ? 2 3)cm2

9.已知 x ? A.-3

5 1 ,则函数 y ? 4 x ? 的最小值为( 4 4x ? 5
B. 2 C. 5

D. 7

10.若 α、β 是两个相交平面,则在下列命题中,真命题的序号为( ) ①若直线 m⊥α,则在平面 β 内,一定不存在与直线 m 平行的直线. ②若直线 m⊥α,则在平面 β 内,一定存在无数条直线与直线 m 垂直. ③若直线 m? α,则在平面 β 内,不一定存在与直线 m 垂直的直线. ④若直线 m? α,则在平面 β 内,一定存在与直线 m 垂直的直线.
A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ①④

11.如图所示,正方体 ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为 1,E,F 分别是棱 AA′,CC′的中点,过直线 E,F 的平面分别与棱 BB′、DD′交于 M,N,设 BM=x,x∈[0,1],给出以下四个命题: ①平面 MENF⊥平面 BDD′B′; ②当且仅当 x=

1 时,四边形 MENF 的面积最小; 2

③四边形 MENF 周长 L=f(x) ,x∈[0,1]是单调函数; ④四棱锥 C′﹣MENF 的体积 V=h(x)为常函数; 以上命题中假命题的序号为( ) A. ①④ B. ② C. ③ D.③④

12.设函数 f ( x ) 是定义在 ? ??, ??? 上的增函数, 实数 a 使得 f (1 ? ax ? x2 ) ? f (2 ? a) 对于任 意 x ??0,1? 都成立,则实数 a 的取值范围是( )
A.

? ??,1?

B.

??2,0?

C.

? ?2 ? 2

2, ?2 ? 2 2

?

D.

?0,1?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。请将答案填在答题卡对应题号 的位置上, ....... 答错位置,书写不清,模棱两可均不得分) 13.已知四面体 OABC 各棱长为 1, D 是棱 OA 的中点, 则异面直线 BD 与 AC 所成角的余弦值 是 . 14.若正实数 a 使得不等式 2x ?1 ? 3x ? 2 ? a2 对于任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围 是 .

15.长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,已知 AA1=3,AB=AD=2,棱 AD 在平面 α 内,则长方体在平面 α 内的射影所构成的图形面积的取值 范围是 . 16.若 x ? 0, y ? 0 ,且 为 .

1 3 ? ? 2 ,则 6 x ? 5 y 的最小值 2x ? y x ? y

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) 已知 A ? x ? x ? 3x ? 2 ? 0 , B ? x x ? (a ? 1) x ? a ? 0
2 2

?

?

?

?

(Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 A B 时,求实数 a 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分) 如图,在水平放置的直径与高相等的圆柱内,放入两个半径相等的小球(球 A 和球 B) ,圆柱的底面直径为 2 ? 2 ,向圆柱内注满水,水面刚好淹没小球 B (Ⅰ)求球 A 的体积; (Ⅱ)求圆柱的侧面积与球 B 的表面积之比。

19.(本小题满分 12 分) 如图边长为 4 的正方形 ABCD 所在平面与正△PAD 所在平面互相垂直,M,Q 分别为 PC,AD 的中点. (1)求四棱锥 P-ABCD 的体积; ;

(2)求证:PA∥平面 MBD; (3)试问:在线段 AB 上是否存在一点 N,使得平面 PCN⊥平面 PQB?若存在,试指出点 N 的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.

20.(本小题满分 12 分) 如图,建立平面直角坐标系 xoy , x 轴在地平面上, y 轴垂直于地平面,单位长度为 1 千米.某 炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程 y ? kx ?

1 (1 ? k 2 ) x2 (k ? 0) 表示的曲线上,其中 20

k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.

(1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小) ,其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不超过 多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.

21. (本小题满分 12 分)

E 如图所示,在多面体 A1B1D1 ? ABCD ,四边形 AA 1B 1B , ADD 1A 1 , ABCD 均为正方形, 为

B1D1 的中点,过 A1 , D, E 的平面交 CD1 于 F
(Ⅰ)证明:EF∥ B1C ; (Ⅱ)求二面角 E ? A1D ? B1 的正切值; (Ⅲ)求直线 AC 1 与平面 B 1CD 1 所成角的余弦值。

22. (本小题满分 12 分) 设关于 x 的一元二次方程 a x2+x+1=0(a>0)有两个实根 x1,x2, (Ⅰ)求(1+x1) (1+x2)的值; (Ⅱ)求证 x1 ? ?1且 x2 ? ?1 ; (Ⅲ)如果

x1 ? 1 ? ? ? ,10? ,试求 a 的取值范围. x2 ?10 ?

武汉市部分重点中学 2014-2015 学年度下学期期末联考 高一数学试卷(理科)参考答案
一、 选择题
DBAAC BBDDC CA

二、 填空题
13.
3 6
14. 0 ? a ?

3 3

15. 4 ? S ? 2 13

16.

13 ? 4 3 2

三、解答题 17 解: (Ⅰ)由 x ? (a ? 1) x ? a ? 0 得 ( x ? a )( x ? 1) ? 0
2

当 a ? 1 时,B= ?a,1? 当 a ? 1 时,B= ?1? 当 a ? 1 时,B= ?1, a? ???5 分

2 2 (Ⅱ)由 ? x ? 3x ? 2 ? 0 得 x ? 3x ? 2 ? 0 ,即 1 ? x ? 2

? A ? x 1 ? x ? 2?
若 A B 时,由(Ⅰ)知 a ? 1 ,且 a ? 2 , 故实数 a 的取值范围是 a ? 2 。 ???5 分 18 解: (Ⅰ)设圆柱的半径为 R,小球的半径为 r, 且 r ? R 由圆柱与球的性质知

?

AB2 ? (2r)2 ? (2R ? 2r)2 ? (2R ? 2r)2 ,
即 r ? 4 Rr ? 2 R ? 0
2 2

? r ? R,? r ? (2 ? 2) R ? (2 ? 2)
4 4 ?球 A 的体积 V ? ? r 3 ? ? 3 3

2? 2 ?1 2

???6 分

(Ⅱ)球 B 的表面积 S球B ? 4? r 2 ? 4? r 圆柱的侧面积 S圆柱 ? 2? R? 2R ? 4? R2 ? (6 ? 4 2 )?

?圆柱的侧面积与球 B 的表面积之比为

3? 2 2 。 2

???6 分


19 解: (1)连接 PQ,∵PA=PD=AD=4,AQ=QD,∴PQ⊥AD,PQ= 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴PQ⊥底面 ABCD. ∴ = .

???4 分

(2)证明:连接 AC、BD 交于点 O,连接 OM. 则 AO=OC,又 PM=MC, ∴PA∥OM. ∵PA?平面 BMD,OM?平面 BMD, ∴PA∥平面 BMD. ???8 分 (3)存在,N 为 AB 中点. 证明:取 AB 的中点 N,连接 CN 交 BQ 于点 E. 由正方形 ABCD 可知:△ABQ≌△BCN,∴∠ABQ=∠BCN, ∵∠CNB+∠BCN=90°,∴∠ABQ+∠CNB=90°,∴BQ⊥CN. 由(1)可知:PQ⊥平面 ABCD,∴PQ⊥CN. 又 PQ∩QB=Q,∴CN⊥平面 PQB, ∵CN?平面 PCN, ∴平面 PCN⊥平面 PQB.

???12 分

20 解: (1)在 y ? kx ?

1 1 (1 ? k 2 ) x2 (k ? 0) 中,令 y ? 0 ,得 kx ? (1 ? k 2 ) x2 =0 。 20 20

由实际意义和题设条件知 x > 0,k > 0 。

20k 20 20 = ? =10 ,当且仅当 k =1 时取等号。 2 1 1? k ?k 2 k ∴炮的最大射程是 10 千米。 ???6 分 1 (2)∵ a > 0 ,∴炮弹可以击中目标等价于存在 k ? 0 ,使 ka ? (1 ? k 2 )a2 =3.2 成立,即关于 20 2 2 2 k 的方程 a k ? 20ak ? a ? 64=0 有正根。
∴ x= 由 ?= ? ?20a ? ? 4a 2 a 2 ? 64 ? 0 得 a ? 6 。
2

?

?

此时, k =

20a ?

? ?20a ?

2

? 4a 2 ? a 2 ? 64 ?

2a 2

。 > 0 (不考虑另一根)

∴当 a 不超过 6 千米时,炮弹可以击中目标。

???6 分

21 解(Ⅰ)? B1C / / A 1D, B 1C ? 平面A1DEF, A 1D ? 平面A1DEF 由线面平行的判定定理有 B1C / / A1DEF 又过 B1C 的平面 B1CD1 与平面 A1DEF 相交于 EF , 由线面平行的性质定理有 B1C ∥ EF (Ⅱ)将多面体 A1B1D1 ? ABCD 补成正方体 A 1B 1C1D 1 ? ABCD 如图,并设棱长为 a

?二面角 E ? A1D ? B1 即为 C1 ? A1D ? B1
取 B1C 的中点 G, A1D 的中点 H,连接 C1G, GH , C1H 可知 C1G ? 平面A1B1CD

?GH ? A1D,?C1H ? A1D ,
故 ?C1HG 是二面角 C1 ? A 1D ? B 1 的平面角, 在 RT ?C1HG 中, C1G ?

2 CG 2 a, GH ? a,? tan ?C1HG ? 1 ? 2 GH 2 2 。 2

则二面角 E ? A1D ? B1 的正切值为 (Ⅲ)连接 EC, AC 1

? B1D1 ? 平面AAC 1 1C ,

?平面B1CD1 ? 平面AA1C1C.

? EC 是 AC 1 在平面 B1CD1 上的射影,
故 ?ACE 是直线 AC 1 1 与平面 B 1CD 1 所成的角, 在 ?C1 AE 中, AC ? 1

3a, A1E ?

2 6 a, EC ? a, 2 2

cos ?A1CE ?

( 3a ) 2 ? (

6 2 2 2 a) ? ( a) 2 2 2 2 ? 3 6 2? 3a ? a 2

则直线 AC 1 与平面 B 1CD 1 所成角的余弦值为

2 2 。 3

22 解: (1)∵关于 x 的一元二次方程 ax +x+1=0(a>0)有两个实根 x1,x2, 由韦达定理可得 x1+2=- ,x1?x2= , (1+x1) (1+x2)=1+x1+x2+x1?x2=1- + =1
2

2

???3 分

(2)由方程的△≥0,可推得二次函数 f(x)=ax +x+1 图象的对称轴 ,又由于 f(-1)=a>0, 所以 f(x)的图象与 x 轴的交点均位于(-1,0)的左侧,故得证

???7 分

1 ? x1 ? x2 ? ? ? ( x ? x )2 x x 1 ? a ? 1 2 ? 1 ? 2 ?2? (3)由 ? x1 ?x2 x2 x1 a ? x1 ?x2 ? 1 ? a ?

?

x1 ? 1 ? 1 x x ? 121? ? 10 1 ? ? ? ,10? ,? ? 1 ? 2 ? 2 ? ?4, ? a?? , ? x2 ?10 ? a x2 x1 ? 10 ? ?121 4 ? ?

结合 ?

?a ? 0 1 ? 0 ? a ? ,可得 4 ? ? ? 1 ? 4a ? 0
???12 分

? 10 1 ? , a 的取值范围为 ? ? 121 4 ? ?



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