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2014届高三数学一轮复习 第八章 第七节 圆的方程课件 理 新人教A版



第七节

抛物线

1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离 相等 ______的点的轨迹叫做抛物线.

2.抛物线的标准方程与几何性质 y2 = 2px(p>0) y2=- 2px(p>0) x2= 2py(p>0) x2=- 2py(p>0)

/>
标准方程

图形

范围

x≥0, y∈R

x≤0, ________ ________ y∈R

y≥0, x∈R

y≤0, x∈R

焦点坐标

p ( ,0) ______ 2
p x=- 2

p (- ,0) 2

p (0, ) 2

p (0,- ) 2 ________
p y= 2

准线方程 离心率

p x= 2 _____

p y=- 2 ______
e=1

焦半径

|PF|=x0 |PF|= p p -x0+ + 2 2 _______

|PF|= p y0+ 2 ______

|PF|=- p y0+ 2

1.在抛物线的定义中,若定点F在直线l上,动点P的轨 迹还是抛物线吗?

【提示】

不是.当定点F在定直线l上时,动点的轨迹

是过点F且与直线l垂直的直线. 2.抛物线y2 =2px(p>0)上任一点M(x1 ,y1)到焦点F的 距离|MF|与坐标x1有何关系?

【提示】 抛物线y2=2px(p>0)的准线方程是x p p =- ,根据抛物线的定义知|MF|=x1+ ., 2 2

1.(人教A版教材习题改编)若抛物线y=4x2上的一点M 到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是( ) 17 15 7 A. B. C. D.0 16 16 8
M到准线的距离等于M到焦点的距离,又 1 1 15 准线方程为y=- ,设M(x,y),则y+ =1,∴y= . 16 16 16 【解析】

【答案】

B

2.(2013·汕头质检)设抛物线的顶点在原点,准线方程

为x=-2,则抛物线的方程是(
A.y2=-8x C.y2=-4x
【解析】 2,

)
B.y2=8x D.y2=4x

p 因为抛物线的准线方程为x=-2,所以 = 2

所以p=4,所以抛物线的方程是y2=8x.

【答案】

B

3.(2012· 四川高考)已知抛物线关于x轴对称,它的顶 点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线 焦点的距离为3,则|OM|=( ) A.2 2 B.2 3 C.4 D.2 5

由题意设抛物线方程为y2=2px(p>0),则M p p 到焦点的距离为xM+ =2+ =3,∴p=2,∴y2=4x, 2 2 【解析】 ∴y 2 =4×2,∴y0=± 2 ,∴|OM|= 4+y2 = 4+8 2 0 0 =2 3.
【答案】 B

x2 16y2 4.双曲线 - 2 =1的左焦点在抛物线y2=2px的准 3 p 线上,则p的值为________.

【解析】

双曲线的左焦点坐标为(-

p2 3+ ,0), 16

p 抛物线的准线方程为x=- , 2 p2 p ∴- 3+ =- ,∴p2=16, 16 2 又p>0,则p=4.
【答案】 4

(1)(2013· 惠州质检)设圆 C 与圆 C′:2+(y-3)2=1 外切, x 与直线 y=0 相切,则 C 的圆心轨迹为( ) A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆 (2)(2012· 重庆高考)过抛物线 y2=2x 的焦点 F 作直线交 25 抛物线于 A,B 两点,若|AB|= ,|AF|<|BF|,则|AF|= 12 ________.

【思路点拨】 可求得结论.

(1)根据圆C与圆外切、和直线相切,得

到点C到圆心的距离,到直线的距离,再根据抛物线的定义

(2)由抛物线定义,将|AB|、|AF|转化为到焦点的距离, 数形结合求解.

【尝试解答】

(1)设圆C的半径为r,又圆x2+(y-3)2=

1的圆心C′(0,3),半径为1.
依题意|CC′|=r+1,圆心C到直线y=0的距离为r, ∴|CC′|等于圆心C到直线y=-1的距离(r+1). 故圆C的圆心轨迹是抛物线.

1 (2)由y =2x,得p=1,焦点F( ,0). 2 25 又|AB|= ,知AB的斜率存在(否则|AB|=2). 12 1 设直线AB的方程为y=k(x- )(k≠0),A(x1,y1), 2 B(x2,y2). 1 将y=k(x- )代入y2=2x,得 2 k2 k2x2-(k2+2)x+ =0.(*) 4
2

2 ∴x1+x2=1+ 2, k 25 又|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=x1+x2+1= , 12 2 13 2 因此x1+x2=1+ 2= ,k =24. k 12 则方程(*)为12x2-13x+3=0, 又|AF|<|BF|, 1 3 ∴x1= ,x2= . 3 4 p 1 1 5 ∴|AF|=x1+ = + = . 2 3 2 6
【答案】 (1)A 5 (2) 6

1.(1)凡涉及抛物线上的点到焦点距离时,一般运用 定义转化为到准线距离处理.(2)第(2)题中充分运用抛物线 定义实施转化,其关键在于求点A的坐标. 2.若P(x0,y0)为抛物线y2=2px(p>0)上一点,由定义 p 易得|PF|=x0+ ;若过焦点的弦AB的端点坐标为A(x1, 2 y1),B(x2,y2),则弦长为|AB|=x1+x2+p,x1+x2可由根 与系数的关系整体求出;若遇到其他标准方程,则焦半径 或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.

已知点P是抛物线y2=2x上的动点,点P在y轴上的射影 7 是M,点A( ,4),求|PA|+|PM|的最小值. 2

1 【解】 设抛物线的焦点为F,则|PF|=|PM|+ , 2 1 ∴|PM|=|PF|- , 2 1 ∴|PA|+|PM|=|PA|+|PF|- , 2 7 将x= 代入抛物线方程y2=2x,得y=± 7, 2 ∵ 7<4,∴点A在抛物线的外部, ∴当P、A、F三点共线时,|PA|+|PF|有最小值, 1 ∵F( ,0), 2

7 1 2 ∴|AF|= ( - ) +(4-0)2=5, 2 2 1 9 ∴|PA|+|PM|有最小值5- = . 2 2

(1)(2013· 东菀质检)已知直线l过抛物线C的焦点,且与 C的对称轴垂直,l与C交于A、B两点,|AB|=12,P为C的 准线上一点,则△ABP的面积为( ) A.18 B.24 C.36 D.48 (2)已知抛物线C与双曲线x2-y2=1有相同的焦点,且 顶点在原点,则抛物线C的方程是( ) A.y2=± 2x B.y2=± 2 2x C.y2=± 4x D.y2=± 2x 4

【思路点拨】 点,从而求出p值.

(1)由于准线与AB平行,将点P到直线

AB的距离转化为焦点F到准线的距离,只需求P.(2)确定焦

【尝试解答】 (1)设抛物线方程为y2=2px, p 当x= 时,y2=p2,∴|y|=p, 2 |AB| 12 ∴p= = =6, 2 2 又点P到AB的距离始终为6, 1 ∴S△ABP= ×12×6=36. 2

(2)由题意知,抛物线C的焦点坐标为(- ( 2,0), ∴p=2 2, ∴抛物线的方程为y2=4 2x或y2=-4 2x.

2

,0)或

【答案】

(1)C

(2)D

1.抛物线有四种不同形式的标准方程,要掌握焦点 与准线的距离,顶点与准线、焦点的距离,通径与标准方 程中系数2p的关系. 2.求标准方程要先确定形式,必要时要进行分类讨 论,标准方程有时可设为y2=mx或x2=my(m≠0). 3.焦点到准线的距离,简称焦准距,抛物线y2= y2 2px(p>0)上的点常设为( ,y),便于简化计算. 2p

设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的 焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相

交,则y0的取值范围是(
A.(0,2) C.(2,+∞) 【解析】

)
B.[0,2] D.[2,+∞)

由抛物线C:x2=8y知p=4,

∴焦点F(0,2),准线方程y=-2. 由抛物线定义,|MF|=y0+2,

∵以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交,且圆心
F(0,2)到准线y=-2的距离为4. ∴4<y0+2,从而y0>2. 【答案】 C

(2013· 深圳质检)已知平面内一动点P到点F(1,0)的距 离与点P到y轴的距离的差等于1. (1)求动点P的轨迹C的方程; (2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1,l2,设 l1与轨迹C相交于点A,B,l2与轨迹C相交于点D,E,求 → → AD·EB的最小值.

【思路点拨】

(1)利用直接法求轨迹方程;(2)先设直

→ → 线l1的斜率为k,依题设条件可求出 AD · EB 关于k的解析 式,利用均值不等式求最值.

【尝试解答】

(1)设动点P的坐标为(x,y),

由题意得 (x-1)2+y2-|x|=1, 化简得y2=2x+2|x|. 当x≥0时,y2=4x;当x<0时,y=0. 所以动点P的轨迹C的方程为 y2=4x(x≥0)和y=0(x<0). (2)由题意知,直线l1的斜率存在且不为0,设为k,则l1 的方程为y=k(x-1).
?y=k(x-1) ? 由? 2 ,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0. ?y =4x ?

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实 根, 4 于是x1+x2=2+ 2,x1x2=1. k 1 因为l1⊥l2,所以l2的斜率为-k. 设D(x3,y3),E(x4,y4), 则同理可得x3+x4=2+4k2,x3x4=1. → → → → (EF → AD·EB=(AF+FD)·→ +FB) → → → → → → → → =AF·EF+AF·FB+FD·EF+FD·FB → → → → → → → → =AF·FB+FD·EF=|AF|·|FB|+|FD|·|EF|

=(x1+1)(x2+1)+(x3+1)(x4+1) =x1x2+(x1+x2)+1+x3x4+(x3+x4)+1 4 =1+(2+ 2)+1+1+(2+4k2)+1 k 1 1 2 2 =8+4(k + 2)≥8+4×2 k · 2=16 k k 1 2 → → 故当且仅当k = 2即k=± 1时,AD·EB取最小值,即 k 16.

1.本题常见的错误:(1)误把点P到y轴的距离写成x, → → → 错求轨迹C的方程.(2)不能将 AD · EB 转化为( AF + → (→ → FD )·EF + FB ),进而难以用A、B、C、D的坐标(l1,l2的 → → 斜率)表示出AD·EB,思维受阻. → → 2.(1)第(2)问的关键是数量积 AD · EB 的转化,应重 视数形结合,利用交点坐标准确表示.(2)题目涉及直线与 抛物线的位置关系,基本方法是联立方程,寻求各点坐标 间的关系.

(2012· 课标全国改编)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点 为F,准线为l,若点A是抛物线C上在第一象限内任意一 点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点. (1)若∠BFD=90°,△ABD的面积为4 2,求p的值及 圆F的方程; (2)若A,B,F三点共线,直线m与直线AB平行,且直 线M与抛物线C只有一个公共点,求坐标原点到直线M的距 离.

【解】

(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形,

∴|BD|=2p,圆F的半径|FA|= 2p. 由抛物线定义可知A到l的距离d=|FA|= 2p. 1 由S△ABD=4 2,得 |BD|·d=4 2, 2 ∴ 2p2=4 2,则p=2(p=-2舍去). ∴x2=4y,焦点F(0,1), 从而圆F的方程为x2+(y-1)2=8.

(2)因为A,B,F三点在同一直线m上,所以AB为圆F 的直径,∠ADB=90°. 1 由抛物线定义知|AD|=|FA|= |AB|, 2 所以∠ABD=30°, 又点A在第一象限, 3 ∴直线m的斜率k= . 3 3 设直线m:y= x+b, 3 代入x2=2py.

2 得x - 3px-2pb=0, 3 因m与C只有一个公共点, 4 2 p 故Δ= p +8pb=0,b=- . 3 6
2

从而直线m的方程为2 3x-6y-p=0. |-p| 3 ∴原点O(0,0)到m的距离d= = p. 36+12 12

焦半径:抛物线y2=2px(p>0)上一点P(x0,y0)到焦点 p p F( ,0)的距离|PF|=x0+ . 2 2

1.定义法:根据条件确定动点满足的几何特征,从而 求出抛物线方程.

2.待定系数法:根据条件设出标准方程,再确定参数p
的值,这里要注意抛物线标准方程有四种形式.若焦点在x 轴 上 , 设 为 y2 = ax(a≠0) , 若 焦 点 在 y 轴 上 , 设 为 x2 = by(b≠0).

从近两年的高考看,抛物线的定义、标准方程及几何性 质是高考的热点,且常以选择题、填空题的形式出现,属中 档题目,有时与圆、向量等综合交汇,考查定点、定(最)

值、或开放性问题,以解答题的形式出现,突出数学思想与
创新探究能力的考查.

创新探究之十一 以抛物线为背景的创新题)

(2012· 福建高考)如图8-7-1,等边三角形OAB的边 长为8 3,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py(p>0)上. (1)求抛物线E的方程; (2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相 交于点Q,证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点.

【规范解答】

(1)依题意,|OB|=8 3,∠BOy=30°,

设 B(x,y),∠BOx=60°,由三角函数定义 x=|OB|cos 60°=4 3,y=|OB|sin 60°=12, 因为点 B(4 3,12)在 x2=2py 上, 所以(4 3)2=2p×12,解得 p=2. 故抛物线 E 的方程为 x2=4y.

1 2 1 (2)由(1)知y= x ,y′= x. 4 2 1 2 1 设P(x0,y0),则x0≠0,y0= x0,kl= x0. 4 2 1 1 1 2 ∴直线l:y-y0= x0(x-x0),即y= x0x- x0. 2 2 4 x2-4 1 1 2 ? ? ?y= x0x- x0, ?x= 0 , 4 2x0 ? 2 ? 由 得 ?y=-1, ?y=-1. ? ? x2-4 0 所以Q( ,-1). 2x0

设M(0,y1),若以|PQ|为直径的圆恒过定点M,则 → ·MQ=0对满足y0=1x2(x0≠0)的x0,y0恒成立. MP → 4 0 2 x0-4 → → 由于MP=(x0,y0-y1),MQ=( ,-1-y1), 2x0 x2-4 2 → ·MQ=0,得 0 由MP → -y0-y0y1+y1+y1=0, 2 即(y2+y1-2)+(1-y1)y0=0.(*) 1 1 2 由于(*)式对满足y0= x0(x0≠0)的y0恒成立, 4
?1-y =0, ? 1 ? 2 所以 解之得y1=1. ?y1+y1-2=0, ?

故以|PQ|为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1).

创新点拨:(1)以三角形与抛物线的关系为背景,考查

直线、圆、抛物线,并渗透三角函数定义,与导数的几何意
义. (2)突出转化化归思想与函数方程思想,以及求解探索 开放问题能力的考查. 应对措施:(1)强化知识间交汇转化训练,对于圆锥曲

线的切线问题,应重视导数的工具作用.

(2)①充分利用圆的几何性质,重视向量数量积在解决

垂直关系中的转化作用;②对于定点的探求:一是由特殊寻
求点的坐标,然后证明所求点满足一般性,二是设出含参数 的点坐标,利用恒成立直接求解.必须注意两种方法都要重 视方程思想的应用.

x2 y2 1.(2012· 山东高考)已知双曲线C1: 2 - 2 =1(a>0, a b b>0)的离心率为2.若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲 线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为( )

8 3 A.x = y 3 C.x2=8y
2

16 3 B.x = y 3 D.x2=16y
2

x2 y2 【解析】 ∵双曲线C1: 2 - 2 =1(a>0,b>0)的离心 a b a2+b2 c 率为2,∴a= a =2,∴b= 3a, ∴双曲线的渐近线方程为 3x±y=0, p ∴抛物线C2:x =2py(p>0)的焦点(0, )到双曲线的渐 2 p | 3×0± | 2 近线的距离为 =2, 2 ∴p=8.∴所求的抛物线方程为x2=16y.
2

【答案】

D

2.(2012· 安徽高考)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交 该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则 △AOB的面积为( ) 2 3 2 A. B. 2 C. D.2 2 2 2

【解析】 如图所示,由题意知,抛物线的焦点F的 坐标为(1,0),又|AF|=3,由抛物线定义知:点A到准线x =-1的距离为3,∴点A的横坐标为2. 将x=2代入y2=4x得y2=8,由图知点A的纵坐标y= 2 2, ∴A(2,2 2),∴直线AF的方程为y=2 2(x-1).
?y=2 2(x-1), ? 联立直线与抛物线的方程? 2 ?y =4x, ?

1 ? ?x=2, ?x= , ? 2 解之得? 或? ? ?y=- 2 ?y=2 2. ?

1 1 1 由图知B( ,- 2),∴S△AOB= |OF|·|yA-yB|= ×1 2 2 2 3 ×|2 2+ 2|= 2.故选C. 2

【答案】

C



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