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广东开侨中学2015届高三文科数学单元练习——平面向量



开侨中学 2015 届高三文科数学单元练习——平面向量
一、选择题 1、已知向量 a ? ? x,1? , b ? ? 3,6 ? , a ∥ b ,则实数 x 的值为( A. ) D. ?

1 2

B. ? 2

C. 2

1 2
( )

2、设 x

? R ,向量 a ? ( x,1), b ? (1, ?2), 且 a

? b ,则 | a ? b |?
C. 2 5 D. 10 )

A. 5

B. 10

3、平面向量 a 与 b 的夹角为 60 0 , a ? (2, 0) , b ? 1,则 a ? b ? ( A. 3 B. 7 C. 3 D.2

4、若向量 AB ? ?1,2? , BC ? ? 3,4? ,则 AC ?

( C. ? ?2, ?2? D. ? 2, 2 ?



A. ? 4,6 ?

B. ? ?4, ?6?

5、已知平面向量 a ? (1,3),b ? (?3, x) ,且 a // b ? ,则 a ? b ? A. -30 B. 20 C. 15 D.0

6、设向量 a =(1,2) , b =(2,3) ,若向量 ? a ? b 与向量 c =(-4,-7)共线,则 ? 的值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.

3 2


7、 在边长为 1 的等边△ ABC 中, 设 BC ? a, CA ? b, AB ? c ,则a ? b ? b ? c ? c ? a ?( A.

3 2

B.0

C. ?

3 2


D.3

8、如图,在 ?ABC 中,已知 BD ? 2DC ,则 AD ? ( A. ?

1 3 AB ? AC 2 2

B.

1 3 AB ? AC 2 2

A B C

C.

1 2 AB ? AC 3 3

D.

1 2 AB ? AC 3 3


D

9、若 AB ? BC ? AB2 ? 0 ,则 ?ABC 必定是( A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形

D.等腰直角三角形

10、对任意两个非零的平面向量 ? 和 ? ,定义 ? ? ? ?

? ?? ,若平面向量 a 、 b 满足 ? ??

?n ? ? ?? a ? b ? 0 , a 与 b 的 夹 角 ? ? ? 0, ? , 且 a b 和 b a 都 在 集 合 ? n ? Z ? 中 , 则 a b ? ? 4? ?2 ?

( A.



1 2

B.1

C.

3 2

D.

5 2

二.填空题 11、已知平面向量 a ? (1,2) , b ? (?2, m) , 且 a // b ,则 2a ? 3b = 12、已知向量 a ? (1,1) , b ? (1,2) ,且 (ka ? b) ? (b ? a) ,则实数 k 的值为 13 、 已 知 向 量 a = ( x ? 1,2), b = ( 4, y ) , 若 a ? b , 则 .

9 x ? 3 y 的最小值为
14 、 如 图 , 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 ,AP ⊥ BD, 垂 足 为
B

A P C

D

P, AP ? 3 且 AP AC = _____. 三.解答题

15、设向量 OA ? (3,1),OB ? (?1,2) ,向量 OC 垂直于向量 OB ,向量 BC 平行于 OA ,试 求 OD ? OA ? OC 时, OD 的坐标.

16、已知 e1 , e2 是夹角为 60°的单位向量,且 a ? 2e1 ? e2 , b ? ?3e1 ? 2e2 。 (1)求 a ? b ; (2)求 a 与 b 的夹角 ? a, b ? 。

17、已知向量 a ? (cos x ? sin x,sin x), b ? (cos x ? sin x, ?2sin x) ,且 f ( x) ? a ? b+1 。 (1)求 f ( x ) 的解析式和它的最小正周期; (2)求函数 f ( x)在x ? ?0,

? ?? 的值域。 ? 2? ?

18 、在△ ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c (其中 a ? b ? c ) ,设向量 , n ? (0, m? (cos B , sin B)

3) ,且向量 m ? n 为单位向量.

(1)求∠B 的大小; (2)若 b ? 3, a ? 1 ,求△ABC 的面积.

参考答案
1、A 2、B 3 、B 4、 A

5、A 6、B 7、C 8、C

9、 【答案】 B 【解析】 AB ? BC ? AB ? 0 ? AB ? ( BC ? AB) ? 0 ? AB ? AC ? 0 ? AB ? AC 则 ?ABC 必定是直角三角形。 10、 【答案】 B 解析 :C. a b ?
2

b a ?b a k k kk ? cos? ? 2 , 两式相乘 , 可得 cos2 ? ? 1 2 . 因 cos? ? 1 , b a ? b?b b a 2 2 4

kk 1 ? ?? 为 ? ? ? 0, ? , 所 以 k1 、 k 2 都 是 正 整 数 , 于 是 ? cos2 ? ? 1 2 ? 1 , 即 2 ? k1k2 ? 4 , 所 以 4 2 4 ? ?
k1k2 ? 3 .而 a ? b ? 0 ,所以 k1 ? 3 , k2 ? 1 ,于是 a b ?
11、 (?4, ?8) 13、 【答案】6 【解析】若 a ? b ,向量 a = ( x ? 1,2), b = ( 4, y ) ,所以 a ? b ? 0 ,所以 2 x ? y ? 2 ,由基本 不等式得 9 ? 3 ? 6
x y

3 . 2

12、

8 5

14. 【答案】18

【解析】设 AC

BD ? O ,则 AC ? 2( AB ? BO) , AP AC = AP 2( AB ? BO) ?
2

2 AP AB ? 2 AP BO ? 2 AP AB ? 2 AP( AP ? PB) ? 2 AP ? 18 .
15.解:设 OC ? ( x, y), OC ? OB ,∴ OC ? OB ? 0 ,∴ 2 y ? x ? 0 ① 又? BC // OA, BC ? ( x ? 1, y ? 2)
?y ? 7

3( y ? 2) ? ( x ? 1) ? 0

即: 3 y ? x ? 7 ②

x ? 14, 联立①、②得 ? ∴ OC ? (14,7), 于是OD ? OC ? OA ? (11,6) . ?

16、解: (1) a ? b =( (2e1 ? e2 ) ? (?3e1 ? 2e2 ) =-6 e 1 + e1 ? e2 +2 e 2 = ? (2) | a |?| 2e1 ? e2 |? (2e1 ? e2 ) ? 7 ,同理得 | b |? 7 ,
2

2

2

7 ; 2

所以 cos ? a, b ??

a ?b 1 ? ? ,又 ? a, b ? ?[0,180?] ,所以 ? a, b ? =120° 2 | a || b |
2

2 2 17、解: (1) f ( x) ? a ? b+1 = ? cos x ? sin x ? ? 2sin x +1=1+ sin 2 x ? 2 sin x +1

= sin 2 x ? cos 2 x +1= 2 sin ? 2 x ?

? ?

??

2? ?? ? +1;? T ? 2 4?

(2)

? ? 5? ? ?? x ? ?0, ? ? ? 2x ? ? ? f ?x? ? 0, 2 ? 1 4 4 4 ? 2?

?

?

18、解: (1)

m ? n ? (cos B, sin B ? 3), | m ? n |? 1
3 2

∴ cos 2 B ? (sin B ? 3)2 ? 1, sin B ?

又 B 为三角形的内角,由 a ? b ? c ,故 B ?

?
3

(2)根据正弦定理,知

a b 1 3 ? ,即 , ? sinA sin B sinA sin ? 3

∴ sin A ?

1 ? ,又 a ? b ? c ,∴ A ? 2 6

故 C=

? 1 3 ,△ABC 的面积= ab ? 2 2 2



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