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三次多项式函数的性质研究与应用举例



三次多项式函数的性质研究与应用举例
北京市六一中学
1 1.1 100142

康志山

教学中学习思考 新课标学习 高中数学理科选修(2—2)(文科选修(1一1))

厂(髫)有两个不同的零点为菇,、菇:且八髫.班菇:)<0.
(Ⅲ班省)只有两个不同的零点的充要条件是:
厂(菇)

有两个不同的零点为x.、石:且厂(石。)以菇:)=0. 证明 (I)充分性: 1.若厂(菇)没有零点或只有一个零点, (1)当a,>0时,任石∈R_=fif(x)≥0恒成立, 所以以髫)在R上为增函数;(2)当a,<0,任髫∈R 有f(x)≤0,所以以名)在R上为减函数.所以以舅) 只有一个零点. 2.若f(x)有两个不同的零点为z。、舅:,设石。<
石2?

导数及其应用一章,数学课程标准中指出:会用导数 求不超过三次多项式函数的极值(极大值、极小 值)、单调区间以及闭区间上的最值(最大值、最小 值),体会导数方法在研究函数性质中的一般性和 有效性.
1.2

实践中体会 在使用新课程标准人教B版教材高中数学理科

选修(2—2)(文科选修(1—1))导数及其应用一章 教材时,我们逐步知道了对于可导函数y=八髫),可 用它的导函数Y=厂(菇)大于零(或小于零)研究原 函数的单调性;可用导函数,,=厂(石)研究原函数的 极值(或最值);可用导函数y=厂(石)研究原函数y =八茹)在点(‰以‰))处的切线等问题.这使我们 在实践中认识了导数是研究函数的有利工具.
1.3

(1)当n3>0,耳∈(一∞,菇1),有厂(省)>0,

八茹)为增函数;菇∈(菇,,茗2),有厂(菇)<0以菇)为减 函数;菇∈(菇2,+∞),有f(x)>0以菇)为增函数;
所以八石。)和f(x2)分别为以茗)的极大值与极小值,

有八石。)>以菇2),由八石。状菇2)>0知以石。)和

高考中思考 纵观近几年新课程实验省市高考试题,用三次

八茗:)同号,姒菇。)<0,则八菇)在(菇:,+∞)只有 一个零点,猷菇:)>0,则八石)在(一∞,菇。)只有一
个零点,则八筇)只有一个零点. (2)同理可证:当口,<0,若厂(茹)有两个不同

多项式函数为载体,以基本知识为出发点,创设情 境,从不同角度考查学生的应用基本技能、数学方 法、数学思想方法解决问题的能力和探究能力,成为 大家共识的高考热点. 通过以上的教学实践活动(学习、体会、思考), 使我们萌发了用导数的方法,对三次多项式函数 以并)=£Z3X3+a2x,2+aI戈+ao(a3≠0,茗∈R)零点 判定、极值判定、对称中心存在唯一等性质的研究, 现得到了如下粗浅的结论,本文就将这些结论及简 单应用与大家交流如下,不妥之处敬请指导.


的零点为茗。、菇:,且以菇。抓菇:)>0.则以石)只有一
个零点. 综上/(菇)无零点或只有一个零点,厂(菇)有 两个不同的零点为菇。、X2且以菇,)以髫:)>0,则以茗) 只有一个零点. 必要性:若以x)只有一个零点, 1.当以髫)在R上单调时,即任茁∈R有y(x) ≥0或厂(石)≤0恒成立,所以厂(茗)无零点或有一 个零点. 2.当在R上八茗)不单调时,则存在石∈R使得 厂(髫)>0,还存在戈∈R使得厂(石)<0成立 所以厂(髫)必有零点,因为厂(髫)为二次函数, 所以厂(彳)必有两个不同的零点,设为瓤、髫:,所以 八茗。)和八菇:)为以髫)的极值,因Ygf(x)只有一个零 点,所以八x)的零点只能在(一∞,菇。)或(并:, 4-∞)区间内,所以以菇。)和八舅:)同号,即有 八茗1)以菇2)>0.
23

思考中性质探究 定理l (零点判定)三次多项式函数以筇)=

a3x3+a2x2+口l菇+ao(口3≠0,菇E R),它的导函数 为/,(龙)=3a3菇2+2a2髫+Ⅱ1.

(I状戈)只有一个零点的充要条件是,(髫)
无零点或只有一个零点扩(菇)有两个不同的零点为 菇l、茹2且以髫1)以菇2)>0.

(II状聋)有三个不同零点的充要条件是:

万方数据

综上以茗)只有一个零点,贝llf(x)无零点或只
有一个零点,或y(x)有两个不同的零点为菇。、菇:且 八菇1)八戈2)>0. (Ⅱ)充分性:若f(x)有两个不同的零点为石。、 恐,设石l<菇2. 1.当口3>0,石E(一∞,石1),有f(X)>0, 八戈)为增函数;髫E(戈。,髫:),有厂(菇)<0以菇)为 减函数;菇∈(戈:, +∞),有厂(并)>0以茗)为增函 数;所以以髫。)和八茹:)分别为八菇)的极大值与极小

个的零点与八石)只有两个不同的零点矛盾.假设 以省)有两个不同的零点为茗,、菇:且以菇,)以石:)<0. 由(Ⅱ).厂(茄)有三个不同的零点与八菇)只有两个不 同的零点矛盾.所以.厂(菇)只有两个不同的零点必有

厂(菇)有两个不同的零点为省。、菇:且八茹.坎菇:)=0.
定理2(极值点判定)三次多项式函数八石) 有极值的充要条件是;,’(菇)有两个不同的零点. 证明 充分性:若厂(茗)有两个不同的零点设 为菇I、z2且茗l<髫2. (1)当口3>0,菇E(一∞,菇1),有厂(石)>0, 以茗)为增函数;x∈(石。,茹:),有y(x)<0以菇)为减

值,因为以算。Ⅵ茗:)<O,则以茄。)>0“恐)<O,所
以以膏)在(一∞,菇1)、(算l,髫2)、(戈2, 点. 2.当a,<0,同理可证:若厂(髫)有两个不同的 +∞)区 间内分别各有一个零点,则“石)有三个不同的零

函数;聋∈(茗2,+∞),有厂(髫)>0以石)为增函数.
所以八戈。)和八名:)分别为八髫)的极大值与极小值. (2)当口,<0,同理可证,若y(x)有两个不同 的零点,函数以菇)有极值. 必要性:若函数.厂(髫)有极值,则函数八菇)有两 个极值(假设函数八菇)只有一个极值以‰),则函数 厂(菇)只有一个零点,茗∈11有厂(菇)≥0或厂(茗)≤ 0恒成立,所以以茗)在R上为单调函数,函数八石) 无极值与函数火石)有极值矛盾.)设为以菇。)和 八茹:),髫。、菇2为函数以菇)的两个极值点,所以茗。、石2 为函数厂(石)的磺个零点,且pf(X)有两个不同的零 点.


零点为石.、石:且以省。抓省:)<0,则八石)有三个不同
的零点. 所以,(茗)有两个不同的零点为戈。、菇:且 以毛)以石:)<0,则以石)有三个不同的零点. 必要性:若以省)有三个不同的零点.设为b。, b2,b3且b1<b2<63,则存在xI∈(bI,b2)、菇2∈ (b:,b,)为以戈)的极值点,所以茗。、茗:为f(X)的零

点,且八菇。抓菇:)<0.所以厂(石)有三个不同零点,
则厂(菇)有两个不同的零点为舅。、菇:且以名。)f(x2)<
0.

从定理的证明可见:三次多项式函数以菇)有极 (Ⅲ)充分性,(茗)有两个不同的零点为菇。、髫: 值,则必有两个极值,且以菇)的极值点就是厂(茗)的 零点:当戈E(a,b)时,三次多项式函数以菇)在区间 菇1),有,(茄)>0, (Ⅱ,6)内可能无极值、有一个极值、有两个极值,于 是由定理2得如下推论 推论1 三次多项式函数以菇)在区间(口,6)内 有一个极值的充要条件是,(髫)在区间(口,b)内有 一个零点;三次多项式函数八石)在区间(口,b)内有 两个极值的充要条件是,(龙)在区间(口,b)内有两 个不同的零点. 定理3(对称中心存在与唯一性)三次多项式 函数以名)有唯一的对称中心 +∞)上还必有一个零点,所以

且八膏1).,.(菇2)=0.设髫l<茁2. 1.当83>O,x∈(一∞, 减函数;茗∈(菇2,

八茁)为增函数;茗∈(茗。,石:),有f(x)<0以戈)为

+∞),削(并)>0'厂(笫)为增函

数;所以八戈。)和八髫:)分别为八石)的极大值与极小 值.因为以石。)f(x2)=0,显然以舅。)以省:)不可能同
时为零. (1)若以算。)=0,则菇。是八茗)的一个零点, 以茗)在(戈:, 以菇) (2) 只有两个不同的零点. 若以算:)=0,则髫:是八石)的一个零点,

以筇)在(一∞,茏,)上还必有一个零点,所以八茗)只 有两个不同的零点. 2.当口,<0,同理可证:若厂(z)有两个不同的

(一面a2,(一薏))'
证明 存在性:因为厂(茗)=3a3茗2+2a2菇+口l

零点为茗。、石:且以算。状石:)=0,则尺菇)有两个不同
的零点. 必要性:若以菇)只有两个不同的零点,假设 厂(髫)无零点或只有一个零点,以算)有两个不同的 零点为石。、髫:且以菇。)以菇:)>0.由(I),(菇)只有一
2皿

的对称轴方程为:戈:二≥,所以
j口1

厂(菇)=厂(一瑟一算),故存在常数c使得: 州.叫(一碧一茗)+c’当茗一老时濡

万方数据

可(一蠡)乩gJrl?Af(小厂(一石2a2一并)= 可(一砉),ep函数f(z)关于点(一面a2,
,(一鼍))对称?
唯一性 假设函数八茄)还有对称中心设为

(”)且m≠一蠡,

所以以石)=-f(2m一茗)+矾m),求导缈(石)

=厂(2m一菇),茗=m是导函数厂(茗)的对称轴,因为

m≠一墨,所以与二次函数只有一条对称轴(茗:一
jal j口1

石(寺2…m2一)\l。

≥)矛盾,

所以(一面a2,厂(一鼍))
八菇)唯一的对称中心. 说明 以茹)对称中心的步骤:

是三次多项式函数

:i蠡豢釜旬/午
函数八髫)有三个互不相 同的零点o,菇l,菇2,且茗l<

l\ o\、/





1.本定理的证明过程给出了求函数


s。:求导厂(石);s::求厂(石)的对称轴z=一五a

2,

下1(舍),m>_.1又厂(石):--,X2+2并+(m:一1)的

进而计算,f一导1;s:写出对称中心.


jalI

2?函数八菇)对称中心(一石a2/(一蚤))
的交点. 定理4



几何意义:导函数厂(算)的对称轴与函数八if,)图象 三次多项式函数火if,)两个极值点为

扎%则八戈t)+f(x2)=2/(一未)?
证明 由定理3知:函数以石)关于点

ePf(1)=m2一了1<o,解得一譬<m<鱼3 综上,m的取值范围是(÷,譬)

(一面a2,/(一蠹))对称:所以八戈)+厂

(一碧一菇)=可(一蠢)以钔+厂(一甄2a2一茗。)=
可(一蚤)(-’
又因为菇。、膏:是函数以髫)两个极值点,所以茗。、 戈:是厂(戈)=0的两个不同的根.因为厂(石)=3a,算2

他:聋托,所以字一砉
茗:=一凳一菇t代人(1)式得以菇?)+,(髫z)=
2f(一妾)?
万方数据

|1

11

4+8(m2—1)>0,解得m<一警(舍),m>华又

矾1)=八菇。)+以茹:),由题设得以1)≥0,即
2m2一i4+n≥0毒口≥i4—2m2,

相等的实数根. 等价于 f△=36+12(m2—4m+4)>0 3(一1)2+6一(m2—4,n+4)>0

m>譬,所以口≥÷,故口的最小值为}
例2(2009年福建高考题改编)已知函数

J3m2—6m一(m2—4m+4)>0
【m>1
f一1<m<5

以石)=}3一菇2+bx,且厂(一1)=0,设函数以z)
在菇l,菇2(菇l<算2)处取得极值,记点肘(菇l以髫I)), N(菇2√.(筇2)),P(nl,√I,71)), 围. 解析 依题意,得厂(算)=菇2—2x+b,由 算l<,n<髫2,线段J)IfP 3). 与曲线以舅)有异于肘,P的公共点,试求m的取值范

即{/1"/,>2或m<一1,解得2<m<5
l,n>1 又因为一1<m<3,所以m的取值范围为(2, 例3 (2009年浙江高考题)已知函数以髫)=

省3+(1一口)茗2一a(a+2)名+b(口,b∈R),若函数

厂(一1)=1+2+b=0得b=一3.所以以茗)=i≥3
一菇2—3x,令厂(戈)=石2—2z一3=0,得石I=一1, 省:=3,所以八茗)单调增区间为(一∞,一1)和(3,

八算)在区间(一1,1)上不单阐,求口的取值范围.
解析 因为厂(菇)=(石一口)(3x+a+2),所

以函数厂(石)的零点有石:口或石:一生墨
函数八茗)在区间(一1,1)不单调,等价于以菇) 在区间(一1,1)有极值,由推论1得,(石)在区间 (一1,1)内有一个零点或两个不相等的零点,即髫=

+∞),单调减区间为(一l,3),所以肘(一l,÷),
Ⅳ(3,一9).

吐塑由j舻下+丁


直线MP的方程为,,:堕二掣+
.,n2—4m一5,n2—4m



l,,=}3--X,2础

得戈3—3x2一(m2—4m+4)x—m2+4m=0,

线段肿与曲线八菇)有异于肘,P的公共点等价于
上述方程在(一1,m)上有根,即函数g(x)=菇3— 3菇2一(m2—4m+4)x—m2+4m在(一l,m)上有零 点.又g(一1)=g(m)=0.由定理l可得g 7(菇)= 3菇2—6菇一(,,12—4m+4)=0在(一l,m)内有两不

口或髫=一生}在区间(一1,1)内且Ⅱ≠一生}铷 ≠一百1,由一1<n<1且口≠一号或一l<一}} <1且口≠—F1,解得:一5<。<一丢或一丢<口 <l,所以口的取值范围为(一5 ,一÷)u
(一虿1,1).

异曲同工

异“心"同“标"
643200

四川省富顺县城关中学 贵刊文[1]利用向量式给出了三角形“奇心” 的定义:若D为△A曰c所在平面内一点,且满足上.

李显权

坐标为(丝二丝芸{≮芋学aO
DC+C口+



耐+{.蔬+上.布:o(口,b,c分别为内角A,B,
D C

生气等等譬生丝).


Oc+c口+ab

文[2]运用等截共轭点给出了三角形“伴内心” 的定义:设,为ZXABC的内心,且直线A,、B,、C,分别

c的对边),则称点0叫做AABC的奇心.奇心0的

万方数据



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