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2.2.2双曲线

的简单几何性质

曲线 方程 范围
对称性 顶点

椭 圆
x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

双曲线
x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

|x|?a,|y|≤b

/>对称轴:x轴,y轴 对称中心:原点 (-a,0) , (a,0) ,(0,b) , (0,-b) 长轴长:2a 短轴长:2b

离心率

c e= a

( 0<e <1 )

课堂新授
一、研究双曲线
x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
(-x,y)

的简单几何性质
y
(x,y)

1、范围 2 x 2 2 ? 2 ? 1,即x ? a a ? x ? a, x ? ? a
y?R

-a (-x,-y)

o a
(x,-y)

x

2、对称性 关于x轴、y轴和原点都是对称。 x轴、y轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心, 又叫做双曲线的中心。

3、顶点
(1)双曲线与对称轴的交点,叫做双曲线的顶点

顶点是A1 (?a,0)、A2 (a,0)
(2) 如图,线段 A1A2 叫做双曲线 的实轴,它的长为2a,a叫做 实半轴长;线段 B1B2 叫做双 曲线的虚轴,它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长 (3) 实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线
A1 -a

y b

B2
o a A2 x

x ? y ? a (a ? 0)
2 2 2

-b B 1

4、离心率 c 双曲线的焦距与实轴长 的比e ? ,叫做 (1)定义: a 双曲线的 离心率。
(2)e的范围:

? c>a>0 ?

e >1

5、渐近线
(1)
x2 y2 双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) a b b 的渐近线为y ? ? x a

y b

B2

(2) 等轴双曲线x 2 ? y 2 ? a 2
(a ? 0)的渐近线为

A1
o

A2
a x

y ? ?x
(3) 利用渐近线可以较准确的 y ? b x a 画出双曲线的草图

B1

b y?? x a

4、离心率 c 双曲线的焦距与实轴长 的比e ? ,叫做 (1)定义: a 双曲线的 离心率。
(2)e的范围: (3)e的含义:
b c2 ? a2 c 2 ? ? ( ) ?1 ? e2 ?1 a a a b b ?当e ? (1,?? )时, ? (0,?? ), 且e增大 , 也增大 a a ? e增大时,渐近线与实轴 的夹角增大

? c>a>0 ?

e >1

e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大

y x 二、导出双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) a b y 的简单几何性质
(1)范围: y ? a, y ? ?a

2

2

(2)对称性: 关于x轴、y轴、原点都对称
(3)顶点: (0,-a)、(0,a) (4)渐近线: y ? ? a x
b
-b

a
o b x

-a

c (5)离心率: e ? a

强调
(1)等轴双曲线的离心率e= ?2

离心率e ? 2的双曲线是等轴双曲线

c (2) e ? a

c ? a ?b
2 2

2

在a、b、c、e四个参数中,知二可求 二





双曲线的简单几何性质
范围
对称 性

双 曲 线
2 2

性 质 图象
y
o

顶点

渐近 线

离心 率

x y ? 2 ?1 2 a b (a ? 0, b ? 0) y2 x2 ? 2 ?1 2 a b (a ? 0, b ? 0)

x?a
x

x ? ?a
y?a




y o x

y ? ?a

b c 关于 (? a,0) y ? ? x e ? 坐标 a a 轴和 (其中 原点 都对 a c 2 ? a 2 ? b2 ) 称 (0,? a) y ? ? x b

例题讲解

例3 :求双曲线 9y ?16x
2

2

? 144 的实半轴长,虚半轴长,
y2 x2 ? 2 ?1 2 4 3

焦点坐标,离心率,渐近线方程。 解:把方程化为标准方程

可得:实半轴长a=4
虚半轴长b=3 半焦距c=
42 ?32 ? 5

焦点坐标是(0,-5),(0,5) 离心率:
e ?

4 渐近线方程: y ? ? x 3

c 5 ? a 4

例题讲解
1、双曲线型冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋 转所成的曲面,它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口 半径为25m,高为55m,试选择适当的坐标系,求出此双曲线 的方程。 分析引导:题目 是个典型的求曲 线方程问题,求 双曲线的方程只 需求出a,b即可, 建立坐标系、找 出关系式求解。
C

y

C’

A

o

A’

x

B

B’

解:如图以冷却塔的轴截面所在的平面建立直角坐标系, 使小圆的直径AA’在x轴上。由已知可知:

|AA’|=2a=24即a=12, 设C’(13,y),则B’(25,y-55)
x2 y 2 设双曲线的方程为: ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0), 则 a2 b y C ? 25 2 (y - 55) 2 ?1 ? 2? 2 ? 12 b ? 2 解之得:b ? 25 13 y2 ? A o ? 2 ?1 2 ? 12 b ? x2 y2 ?所求的双曲线方程为: ? ?1 144 625
B

C’
A’

x

B’

例5 点M(x,y)与定点F(5,0)的距离和它到
5 16 定直线l :x= 的距离的比是常数 , 求点 4 5

M的轨迹.
l′ y
H

l
d M

o

F

x

16 解:设d是点M到直线l:x= 的距离,根据题意, 5 点M的轨迹就是集合
? MF 5 ? ? ? P ? ?M ? ?, d 4? ? ? ?

由此得,

( x ? 5)2 ? y 2 5 ? 16 4 ?x 5

将上式两边平方,并化简,得

9 x ?16 y ? 144,
2 2

x2 y 2 即 ? ? 1. 16 9

所以,点M的轨迹是实轴、虚轴长分别

为8、6的双曲线。

双曲线的第二定义
在平面内,与一个定点的距离和一条定直线的距离的 比是常数e (e >1)的点的轨迹叫做

双曲线。
l
H d M

其中F是它的一个焦点, l′ y l是F的相应的准线。

o

F

x





椭 圆
方程
a ,b, c
2 x2 ? y ? 1 a> b >0) 2 ( 2 a b

双曲线
x2 ? y2 ? 1 ( a> 0 b>0) 2 b2 a

关系

c 2? a 2 ? b 2 (a> b>0)

c 2? a 2 ? b 2 (a> 0 b>0)

y
M

Y

p F2 X

图象

F1

0

F2

X

F1

0

范围
对称性 顶点

|x|?a,|y|≤b
对称轴:x轴,y轴 对称中心:原点 (-a,0) (a,0) (0,b) (0,-b) 长轴:2a 短轴:2b c e= a
( 0<e <1 )

|x| ≥ a,y?R
对称轴:x轴,y轴 对称中心:原点 (-a,0) (a,0) 实轴:2a 虚轴:2b

离心率

e=

c (e?1) a

渐近线



b x y=± a



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