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【步步高】2015届高三数学人教B版【配套文档】 第十二章 概 率 第5课


§ 12.5

条件概率与事件的独立性

1.条件概率及其性质 条件概率的定义 对于任何两个事件 A 和 B,在已知事件 A 发生的条件下, 事件 B 发生的概率叫做条 件概率,用符号“P(B|A)”表示 2. 事件的独立性 (1)相互独立的定义: 事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响,即 P(B|A)=P(B).这时,称两个事件 A, B 相互独立,并把这两个事件叫做相互独立事件. (2)概率公式: 条件 A,B 相互独立 A1,A2,?,An 相互独立 =P(A1)×P(A2)×?×P(An) 3. 独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验: ①定义:在相同的条件下,重复地做 n 次试验,各次试验的结果相互独立,那么一般就 称它们为 n 次独立重复试验. ②概率公式:在一次试验中事件 A 发生的概率为 p,那么在 n 次独立重复试验中,事件
k n k A 恰好发生 k 次的概率为 Pn(k)=Ck (k=0,1,2,?,n). np (1-p)


条件概率公式 P(B|A)= P?A∩B? ,其中 P(A)>0,A∩B 称 P?A?

为事件 A 与 B 的交(或积).

公式 P(A∩B)=P(A)×P(B) P(A1∩A2∩?∩An)

(2)二项分布: 在 n 次独立重复试验中,事件 A 发生的次数设为 X,事件 A 不发生的概率为 q=1-p,
k n k 那么在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率是 P(X=k)=Ck ,其中 k np q


=0,1,2,?,n.于是得到 X 的分布列: X P 0
0 0 n Cn pq

1
1 Cn pqn
-1

? ?

k
k n Ck np q
-k

? ?

n
n n 0 Cn pq

此时称离散型随机变量 X 服从参数为 n,p 的二项分布,记作 X~B(n,p).

1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)条件概率一定不等于它的非条件概率. (2)相互独立事件就是互斥事件. (3)对于任意两个事件,公式 P(AB)=P(A)P(B)都成立. ( × ) ( × ) ( × )

(4)二项分布是一个概率分布,其公式相当于(a+b)n 二项展开式的通项公式,其中 a=p, b=1-p. ( × )

2. 把一枚硬币连续抛两次,记“第一次出现正面”为事件 A,“第二次出现正面”为事件 B,则 P(B|A)等于 1 A. 2 1 1 1 B. C. D. 4 6 8 ( )

答案 A 1 P?AB? 4 1 解析 P(B|A)= = = . P?A? 1 2 2 4 3. 某一批花生种子,如果每粒发芽的概率都为 ,那么播下 4 粒种子恰有 2 粒发芽的概率是 5 ( 16 A. 625 96 B. 625 192 256 C. D. 625 625 )

答案 B 4 解析 独立重复试验 B(4, ), 5 4 2 1 2 96 P(k=2)=C2 . 4( ) ( ) = 5 5 625 4. 某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的 5 个问题中,选手若能连续正确回答出两个问 题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8,且每个问 题的回答结果相互独立, 则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率为________. 答案 0.128 解析 依题意可知,该选手的第二个问题必答错,第三、四个问题必答对,故该选手恰 好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率 P=1×0.2×0.8×0.8=0.128.

5. 如图所示的电路,有 a,b,c 三个开关,每个开关开或关的概率 1 都是 ,且是相互独立的,则灯泡甲亮的概率为__________. 2 答案 1 8

解析 理解事件之间的关系,设“a 闭合”为事件 A,“b 闭合”为事件 B,“c 闭合” 为事件 C,则灯亮应为事件 AC B ,且 A,C, B 之间彼此独立,且 P(A)=P( B )=P(C) 1 = . 2 1 所以 P(A B C)=P(A)P( B )P(C)= . 8

题型一 条件概率 例1 在 100 件产品中有 95 件合格品,5 件不合格品.现从中不放回地取两次,每次任取

一件,则在第一次取到不合格品后,第二次再取到不合格品的概率为________. 思维启迪 直接利用条件概率公式进行计算或利用古典概型. 答案 4 99

解析 方法一 设 A={第一次取到不合格品}, C2 5 B={第二次取到不合格品},则 P(AB)= 2 , C100 5×4 100 ×99 4 P?AB? 所以 P(B|A)= = = . 5 99 P?A? 100 方法二 第一次取到不合格品后还剩余 99 件产品, 其中有 4 件不合格品, 故第二次取到 4 不合格品的概率为 . 99 思维升华 条件概率的求法: P?AB? (1)利用定义,分别求 P(A)和 P(AB),得 P(B|A)= .这是通用的求条件概率的方法. P?A? (2)借助古典概型概率公式, 先求事件 A 包含的基本事件数 n(A), 再在事件 A 发生的条件 下求事件 B 包含的基本事件数,即 n(AB),得 P(B|A)= n?AB? . n?A?

从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数”, 事件 B=“取到的 2 个数均为偶数”,则 P(B|A)等于 ( )

1 A. 8

1 2 1 B. C. D. 4 5 2

答案 B
2 C2 2 C2 1 3+C2 2 解析 P(A)= = ,P(AB)= 2= , 2 C5 5 C5 10

P(B|A)=

P?AB? 1 = . P?A? 4

题型二 相互独立事件的概率 例2 (2012· 重庆)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球.约定甲先投且先投中者获胜,一 1 直到有人获胜或每人都已投球 3 次时投篮结束. 设甲每次投篮投中的概率为 , 乙每次投 3 1 篮投中的概率为 ,且各次投篮互不影响. 2 (1)求乙获胜的概率; (2)求投篮结束时乙只投了 2 个球的概率. 思维启迪 将所求事件分解为几个彼此互斥的事件之和,再利用互斥事件概率加法公式 和相互独立事件同时发生的概率公式求解. 解 设 Ak、Bk 分别表示甲、乙在第 k 次投篮投中, 1 1 则 P(Ak)= ,P(Bk)= (k=1,2,3). 3 2 (1)记“乙获胜”为事件 C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概 率计算公式知 P(C)=P( A1 B1)+P( A1 B1 A2 B2)+P( A1 B1 A2 B2 A3 B3)

=P( A1 )P(B1)+P( A1 )P( B1 )P( A2 )P(B2)+P( A1 )· P( B1 )P( A2 )P( B2 )P( A3 )P(B3) 2 1 2?2?1?2 ?2?3?1?3 13 = × +? + = . 3 2 ?3? ?2? ?3? ?2? 27 (2)记“投篮结束时乙只投了 2 个球”为事件 D,则由互斥事件有一个发生的概率与相互 独立事件同时发生的概率计算公式知 P(D)=P( A1 B1 A2 B2)+P( A1 B1 A2 B2 A3)

=P( A1 )P( B1 )P( A2 )P(B2)+P( A1 )P( B1 )P( A2 )P( B2 )· P(A3) 2?2?1?2 ?2?2?1?2 1 4 =? ?3? ?2? +?3? ?2? ×3=27. 思维升华 相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查,这类问题具有 一个明显的特征,那就是在题目的条件中已经出现一些概率值,解题时先要判断事件的 性质(是互斥还是相互独立),再选择相应的公式计算求解. 甲、乙两人各进行一次射击,如果两人击中目标的概率都是 0.8,计算:

(1)两人都击中目标的概率; (2)其中恰有一人击中目标的概率; (3)至少有一人击中目标的概率. 解 记“甲射击一次,击中目标”为事件 A,“乙射击一次,击中目标”为事件 B.“两

人都击中目标”是事件 AB;“恰有 1 人击中目标”是 A B ∪ A B;“至少有 1 人击中 目标”是 AB∪A B ∪ A B. (1)显然,“两人各射击一次,都击中目标”就是事件 AB,又由于事件 A 与 B 相互独立, ∴P(AB)=P(A)· P(B)=0.8×0.8=0.64. (2)“两人各射击一次, 恰好有一次击中目标”包括两种情况: 一种是甲击中乙未击中(即 A B ),另一种是甲未击中乙击中(即 A B).根据题意,这两种情况在各射击一次时不可 能同时发生,即事件 A B 与 A B 是互斥的,所以所求概率为 P=P(A B )+P( A B)= P(A)· P( B )+P( A )· P(B)=0.8×(1-0.8)+(1-0.8)×0.8=0.16+0.16=0.32. (3)“两人各射击一次,至少有一人击中目标”的概率为 P=P(AB)+[P(A B )+P( A B)] =0.64+0.32=0.96. 题型三 独立重复试验与二项分布 例3 乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用 7 局 4 胜制(即先胜 4 局者获

胜,比赛结束),假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同. (1)求甲以 4 比 1 获胜的概率; (2)求乙获胜且比赛局数多于 5 局的概率; (3)求比赛局数的分布列. 思维启迪 本题主要考查独立重复试验及二项分布,解题关键是正确判断是不是独立重 复试验及正确应用概率计算公式. 解 1 (1)由已知,得甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是 . 2

记“甲以 4 比 1 获胜”为事件 A, 1 3 1 3 1 4-3 1 则 P(A)=C4 ( ) ( ) ·= . 2 2 2 8 (2)记“乙获胜且比赛局数多于 5 局”为事件 B.乙以 4 比 2 获胜的概率为 5 3 1 3 1 5-3 1 P1=C5 ( ) ( ) ·= , 2 2 2 32 乙以 4 比 3 获胜的概率为 5 3 1 3 1 6-3 1 P2=C6 ( ) ( ) ·= , 2 2 2 32

5 所以 P(B)=P1+P2= . 16 (3)设比赛的局数为 X,则 X 的可能取值为 4,5,6,7. 14 1 P(X=4)=2C4 4( ) = , 2 8 1 3 1 4-3 1 1 P(X=5)=2C3 ·= , 4( ) ( ) 2 2 2 4 1 3 1 5-3 1 5 P(X=6)=2C3 ·= , 5( ) ( ) 2 2 2 16 1 3 1 6-3 1 5 P(X=7)=2C3 ·= . 6( ) ( ) 2 2 2 16 比赛局数的分布列为 X P 4 1 8 5 1 4 6 5 16 7 5 16

思维升华 利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程,但需要注意检查该概率
k n k 模型是否满足公式 Pn(k)=Ck 的三个条件: ①在一次试验中某事件 A 发生的概 np (1-p)


率是一个常数 p; ②n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验, 而且各次试验 的结果是相互独立的;③该公式表示 n 次试验中事件 A 恰好发生了 k 次的概率. (2013· 山东)甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜 3 局者获得比赛的胜利, 1 2 比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是 外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是 . 2 3 假设各局比赛结果相互独立. (1)分别求甲队以 3∶0,3∶1,3∶2 胜利的概率; (2)若比赛结果为 3∶0 或 3∶1,则胜利方得 3 分,对方得 0 分;若比赛结果为 3∶2,则 胜利方得 2 分,对方得 1 分.求乙队得分 X 的分布列及数学期望. 解 (1)设“甲队以 3∶0,3∶1,3∶2 胜利”分别为事件 A,B,C,

2 2 2 8 则 P(A)= × × = , 3 3 3 27

?2?2 ? 2? 2 8 , P(B)=C2 3 3 × 1-3 × = ? ? ? ? 3 27 ?2?2 ? 2?2 1 4 . P(C)=C2 4 3 × 1-3 × = ? ? ? ? 2 27
(2)X 的可能的取值为 0,1,2,3. 16 则 P(X=0)=P(A)+P(B)= , 27 4 P(X=1)=P(C)= , 27

? 2?2 ?2?2 ? 1? 4 , P(X=2)=C2 4× 1-3 × 3 × 1-2 = ? ? ? ? ? ? 27

1?3 2 1 1 2?1?2 P(X=3)=? ?3? +C3?3? ×3×3=9. ∴X 的分布列为 X P 0 16 27 1 4 27 2 4 27 3 1 9

16 4 4 1 7 ∴E(X)=0× +1× +2× +3× = . 27 27 27 9 9

对二项分布理解不准致误

典例:(12 分)一名学生每天骑车上学,从他家到学校的途中有 6 个交通岗,假设他在各个交 1 通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是 . 3 (1)设 X 为这名学生在途中遇到红灯的次数,求 X 的分布列; (2)设 Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数,求 Y 的分布列. 易错分析 由于这名学生在各个交通岗遇到红灯的事件相互独立,可以利用二项分布解决, 二项分布模型的建立是易错点;另外,对“首次停车前经过的路口数 Y”理解不当,将 1 “没有遇上红灯的概率也当成 ”. 3 规范解答 解 1 (1)将通过每个交通岗看做一次试验,则遇到红灯的概率为 ,且每次试验结果是相 3

互独立的, 1? 故 X~B? ?6,3?. [2 分] [5 分]

?1?k ?2?6-k,k=0,1,2,3,4,5,6. 所以 X 的分布列为 P(X=k)=Ck 6 3 ·3 ? ? ? ?

(2)由于 Y 表示这名学生在首次停车时经过的路口数,显然 Y 是随机变量,其取值为 0,1,2,3,4,5,6.其中:{Y=k}(k=0,1,2,3,4,5)表示前 k 个路口没有遇上红灯,但在第 k+1 个 路口遇上红灯,故各概率应按独立事件同时发生计算. [7 分]

2 1 P(Y=k)=( )k·(k=0,1,2,3,4,5),而{Y=6}表示一路没有遇上红灯.故其概率为 P(Y=6) 3 3 2 =( )6, 3 因此 Y 的分布列为 Y 0 1 2 3 4 5 6 [9 分]

P

1 3

12 · 33

1 22 · ( ) 3 3

1 23 · ( ) 3 3

1 24 · ( ) 3 3

1 25 · ( ) 3 3

2 ( )6 3 [12 分]

温馨提醒 (1)二项分布是高中概率部分最重要的概率分布模型,是近几年高考非常注重的一 个考点. 二项分布概率模型的特点是“独立性”和“重复性”, 事件的发生都是独立的、 相互之间没有影响,事件又在相同的条件之下重复发生.
k n k (2)独立重复试验中的概率公式 Pn(k)=Ck 表示的是 n 次独立重复试验中事件 A np (1-p)


发生 k 次的概率,p 与(1-p)的位置不能互换,否则该式子表示的意义就发生了改变,变 为事件 A 有 k 次不发生的概率了.

方法与技巧 1. 古典概型中,A 发生的条件下 B 发生的条件概率公式为 P(B|A)= 在实际应用中 P(B|A)= n?AB? 是一种重要的求条件概率的方法. n?A? P?AB? n?AB? = ,其中, P?A? n?A?

2. 相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响,计算式为 P(AB)=P(A)P(B).互斥事 件是指在同一试验中,两个事件不会同时发生,计算公式为 P(A∪B)=P(A)+P(B). 3. n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次可看做是 Ck n个互斥事件的和,其中每一个事件 都可看做是 k 个 A 事件与 n-k 个 A 事件同时发生,只是发生的次序不同,其发生的概率
k n k 都是 pk(1-p)n k.因此 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率为 Ck . np (1-p)
- -

失误与防范 1. 运用公式 P(AB)=P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件, 只有当事件 A、 B 相互独立时, 公式才成立. 2. 独立重复试验中,每一次试验只有两种结果,即某事件要么发生,要么不发生,并且任 何一次试验中某事件发生的概率相等.注意恰好与至多(少)的关系,灵活运用对立事件.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 一、选择题 1. 已知 A,B 是两个相互独立事件,P(A),P(B)分别表示它们发生的概率,则 1-P(A)P(B)

是下列哪个事件的概率 A.事件 A,B 同时发生 B.事件 A,B 至少有一个发生 C.事件 A,B 至多有一个发生 D.事件 A,B 都不发生 答案 C

(

)

解析 P(A)P(B)是指 A,B 同时发生的概率,1-P(A)· P(B)是 A,B 不同时发生的概率, 即至多有一个发生的概率. 5 2. 设随机变量 X~B(2,p),Y~B(4,p),若 P(X≥1)= ,则 P(Y≥2)的值为( 9 32 A. 81 11 B. 27 65 16 C. D. 81 81 )

答案 B 5 1 5 2 2 解析 P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)=C1 2p(1-p)+C2p = ,解得 p= .(0≤p≤1,故 p= 9 3 3 舍去). 24 2 3 11 1 1 故 P(Y≥2)=1-P(Y=0)-P(Y=1)=1-C0 4×( ) -C4× ×( ) = . 3 3 3 27 3. 甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军,乙队需要再赢 两局才能获得冠军,若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为( 1 A. 2 3 2 3 B. C. D. 5 3 4 )

答案 D 1 解析 甲队若要获得冠军,有两种情况,可以直接胜一局,获得冠军,概率为 ,也可以 2 1 1 1 1 1 3 乙队先胜一局,甲队再胜一局,概率为 × = ,故甲队获得冠军的概率为 + = . 2 2 4 4 2 4 4. 位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动:质点每次移动一个单位;移动的方向为向 1 上或向右,并且向上、向右移动的概率都是 .质点 P 移动五次后位于点(2,3)的概率是 2 ( 1?5 A.? ?2? )

?1?5 B.C2 5 2 ? ?
3?1?5 D.C2 5C5 2 ? ?

?1?3 C.C3 5 2 ? ?
答案 B

2 3 5. 两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为 和 ,两个零件是否加工为 3 4 一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 ( )

1 A. 2

5 1 1 B. C. D. 12 4 6

答案 B 解析 设事件 A:甲实习生加工的零件为一等品; 事件 B:乙实习生加工的零件为一等品, 2 3 则 P(A)= ,P(B)= , 3 4 所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为 P(A B )+P( A B)=P(A)P( B )+P( A )P(B) 2 3 2 3 5 = ×(1- )+(1- )× = . 3 4 3 4 12 二、填空题 6. 明天上午李明要参加校运动会,为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己.假设甲 闹钟准时响的概率为 0.80,乙闹钟准时响的概率是 0.90,则两个闹钟至少有一个准时响 的概率是________. 答案 0.98 解析 1-0.20×0.10=1-0.02=0.98. 16 7. 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同, 且在两次罚球中至多命中一次的概率为 , 25 则该队员每次罚球的命中率为________. 答案 3 5

16 9 解析 设该队员每次罚球的命中率为 p(其中 0<p<1),则依题意有 1-p2= ,p2= .又 25 25 3 0<p<1,因此有 p= . 5 8. 一个病人服用某种新药后被治愈的概率为 0.9,服用这种新药的有甲、乙、丙 3 位病人, 且各人之间互不影响,有下列结论: ①3 位病人都被治愈的概率为 0.93; ②3 人中的甲被治愈的概率为 0.9; ③3 人中恰有 2 人被治愈的概率是 2×0.92×0.1; ④3 人中恰好有 2 人未被治愈的概率是 3×0.9×0.12; ⑤3 人中恰好有 2 人被治愈,且甲被治愈的概率是 0.92×0.1. 其中正确结论的序号是________.(把正确的序号都填上) 答案 ①②④ 三、解答题

9. 如图,一圆形靶分成 A,B,C 三部分,其面积之比为 1∶1∶2.某同 学向该靶投掷 3 枚飞镖,每次 1 枚.假设他每次投掷必定会中靶, 且投中靶内各点是随机的. (1)求该同学在一次投掷中投中 A 区域的概率; (2)设 X 表示该同学在 3 次投掷中投中 A 区域的次数,求 X 的分布列; (3)若该同学投中 A,B,C 三个区域分别可得 3 分,2 分,1 分,求他投掷 3 次恰好得 4 分的概率. 解 1 (1)设该同学在一次投掷中投中 A 区域的概率为 P(A),依题意,P(A)= . 4

1 (2)依题意知,X~B(3, ),从而 X 的分布列为 4 X P 0 27 64 1 27 64 2 9 64 3 1 64

(3)设 Bi 表示事件“第 i 次击中目标时, 击中 B 区域”, Ci 表示事件“第 i 次击中目标时, 击中 C 区域”,i=1,2,3. 1 1 1 3 依题意知 P=P(B1C2C3)+P(C1B2C3)+P(C1C2B3)=3× × × = . 4 2 2 16 1 10.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为 与 p,且乙投球 2 次 2 1 均未命中的概率为 . 16 (1)求乙投球的命中率 p; (2)求甲投球 2 次,至少命中 1 次的概率; (3)若甲、乙两人各投球 2 次,求共命中 2 次的概率. 解 (1)方法一 设“甲投一次球命中”为事件 A,“乙投一次球命中”为事件 B. 1 , 16

由题意得(1-P(B))2=(1-p)2= 3 5 解得 p= 或 p= (舍去), 4 4 3 所以乙投球的命中率为 . 4

方法二 设“甲投一次球命中”为事件 A,“乙投一次球命中”为事件 B. 由题意得:P( B )P( B )= 1 , 16

1 1 于是 P( B )= 或 P( B )=- (舍去). 4 4 3 故 p=1-P( B )= . 4

3 所以乙投球的命中率为 . 4 1 1 (2)方法一 由题设知,P(A)= ,P( A )= . 2 2 故甲投球 2 次,至少命中 1 次的概率为 3 1-P( A ·A )= . 4 1 1 方法二 由题设知,P(A)= ,P( A )= . 2 2 故甲投球 2 次,至少命中 1 次的概率为 3 1 C2 P(A)P( A )+P(A)P(A)= . 4 (3)由题设和(1)知, 1 1 3 1 P(A)= ,P( A )= ,P(B)= ,P( B )= . 2 2 4 4 甲、乙两人各投球 2 次,共命中 2 次有三种情况:甲、乙两人各中一次;甲中 2 次,乙 2 次均不中;甲 2 次均不中,乙中 2 次. 3 1 概率分别为 C1 2P(A)P( A )C2P(B)P( B )= , 16 1 P(A)P(A)P( B )P( B )= , 64 9 P( A )P( A )P(B)P(B)= . 64 所以甲、乙两人各投球 2 次,共命中 2 次的概率为 3 1 9 11 + + = . 16 64 64 32 B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) 1. 某种元件的使用寿命超过 1 年的概率为 0.6,使用寿命超过 2 年的概率为 0.3,则使用寿 命超过 1 年的元件还能继续使用的概率为 A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.1 答案 B 解析 设事件 A 为“该元件的使用寿命超过 1 年”,B 为“该元件的使用寿命超过 2 年”,则 P(A)=0.6,P(B)=0.3. P?AB? 0.3 因为 B?A,所以 P(AB)=P(B)=0.3,于是 P(B|A)= = =0.5. P?A? 0.6 2. 如图,用 K、A1、A2 三类不同的元件连接成一个系统.当 K 正 常工作且 A1、A2 至少有一个正常工作时,系统正常工作.已知 K、A1、A2 正常工作的概率依次为 0.9、0.8、0.8,则系统正常工作的概率为 ( ) ( )

A.0.960 C.0.720 答案 B

B.0.864 D.0.576

解析 方法一 由题意知 K, A1, A2 正常工作的概率分别为 P(K)=0.9, P(A1)=0.8, P(A2) =0.8, ∵K,A1,A2 相互独立, ∴A1,A2 至少有一个正常工作的概率为 P( A1 A2)+P(A1 A 2)+P(A1A2)=(1-0.8)×0.8+ 0.8×(1-0.8)+0.8×0.8=0.96. ∴系统正常工作的概率为 P(K)[P( A1 A2)+P(A1 A 2)+P(A1A2)]=0.9×0.96=0.864. 方法二 A1,A2 至少有一个正常工作的概率为 1-P( A
1 1

A 2)=1-(1-0.8)(1-0.8)=

0.96,∴系统正常工作的概率为 P(K)[1-P( A

A 2)]=0.9×0.96=0.864.

3. 市场上供应的灯泡中,甲厂产品占 70%,乙厂产品占 30%,甲厂产品的合格率是 95%,乙厂 产品的合格率是 80%,则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是________. 答案 0.665 解析 记 A=“甲厂产品”,B=“合格产品”,则 P(A)=0.7,P(B|A)=0.95. ∴P(AB)=P(A)· P(B|A)=0.7×0.95=0.665. 4. 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自 由下落.小球在下落的过程中,将 3 次遇到黑色障碍物,最后落入 A 袋 或 B 袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时,向左、右两边下落的概率 1 都是 ,则小球落入 A 袋中的概率为________. 2 答案 3 4

解析 记“小球落入 A 袋中”为事件 A,“小球落入 B 袋中”为事件 B,则事件 A 的对 立事件为 B,若小球落入 B 袋中,则小球必须一直向左落下或一直向右落下, 1?3 ?1?3 1 故 P(B)=? ?2? +?2? =4, 1 3 从而 P(A)=1-P(B)=1- = . 4 4 5. 甲罐中有 5 个红球,2 个白球和 3 个黑球,乙罐中有 4 个红球,3 个白球和 3 个黑球.先 从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以 A1,A2 和 A3 表示由甲罐取出的球是红球,白 球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件, 则下列结论中正确的是________.(写出所有正确结论的编号) 2 5 ①P(B)= ;②P(B|A1)= ;③事件 B 与事件 A1 相互独立;④A1,A2,A3 是两两互斥的 5 11

事件;⑤P(B)的值不能确定,因为它与 A1,A2,A3 中究竟哪一个发生有关. 答案 ②④ 解析 P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3) = 5×5 2×4 3×4 9 + + = ,故①⑤错误; 10×11 10×11 10×11 22

5×5 10×11 5 ②P(B|A1)= = ,正确; 1 11 2 ③事件 B 与 A1 的发生有关系,故错误; ④A1,A2,A3 不可能同时发生,是互斥事件,正确. 6. (2013· 辽宁)现有 10 道题,其中 6 道甲类题,4 道乙类题,张同学从中任取 3 道题解答. (1)求张同学至少取到 1 道乙类题的概率; (2)已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题,1 道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都 3 4 是 ,答对每道乙类题的概率都是 ,且各题答对与否相互独立.用 X 表示张同学答对题 5 5 的个数,求 X 的分布列和数学期望. 解 (1)设事件 A=“张同学所取的 3 道题至少有 1 道乙类题”, 则有 A =“张同学所取

的 3 道题都是甲类题”. 因为 P( A )= C3 1 5 6 = ,所以 P(A)=1-P( A )= . C3 6 6 10

(2)X 所有的可能取值为 0,1,2,3.

?3?0 ?2?2 1 4 ; P(X=0)=C0 2·5 ·5 ·= ? ? ? ? 5 125 ?3?1 ?2?1 1 0?3?0 ?2?2 4 28 ; P(X=1)=C1 2·5 ·5 ·+C2 5 ·5 ·= ? ? ? ? 5 ? ? ? ? 5 125 ?3?2 ?2?0 1 1?3?1 ?2?1 4 57 ; P(X=2)=C2 2·5 ·5 ·+C2 5 ·5 ·= ? ? ? ? 5 ? ? ? ? 5 125 ?3?2 ?2?0 4 36 . P(X=3)=C2 2·5 ·5 ·= ? ? ? ? 5 125
所以 X 的分布列为 X P 0 4 125 1 28 125 2 57 125 3 36 125

4 28 57 36 所以 E(X)=0× +1× +2× +3× =2. 125 125 125 125


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