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1.2.2一元二次方程根的分布与充要条件的习题课



二面角

2013-8-13

根的分布问题

例.求一元二次方程 2(k ? 1) x2 ? 4kx ? 3k ? 2 ? 0 有两个 负实根的一个充要条件.

2013-8-13

1.解:要原方程有两个负实根的充要条件为 ?k ? 1 ? 0 ? k ? ?1 ? 2 ?

2( k ? 1) ? 0 ??2 ≤ k ≤ 1 ?k ? k ? 2 ≤ 0 ?? ≥ 0 ? ? ? ? 4k ? ?? ? 0 ? ?k ? 0或k ? ?1 . ? ? x1 ? x2 ? 0 ? 2( k ? 1) ? ? x1 x2 ? 0 ? 3k ? 2 ? k ? 2 或 k ? ?1 ? ?0 ? ? 3 ? ? 2(k ? 1) 2 ? ?2 ? k ? ?1或 ? k ? 1 3 ∴一元二次方程 2(k ? 1) x2 ? 4kx ? 3k ? 2 ? 0 有两个 2 负实根的一个充要条件是 ?2 ? k ? ?1或 ? k ? 1 3
2013-8-13

一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的 根的分布

当m为何值时,方程x2+(m-3)x+m=0
(1) 两个正根
(2)有两个负根 (3) 两个根都小于1
1 (4) 两个根都大于 2

(5) 一个根大于1,一个根小于1 (6) 两个根都在(0 . 2)内

(7) 一个根在(-2 .0)内,另一个根在(1 . 3)内
2013-8-13

一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的 根的分布

例:x2+(m-3)x+m=0 求m的范围
(1) 两个正根

?? ? (m ? 3) ? 4m ? 0 ? ? ?m 0 ? m ? 1? ?3 ? m ? 0 ?m ? 0 ?
2
2013-8-13

一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的 根的分布

例:x2+(m-3)x+m=0 求m的范围
(2)有两个负根

?? ? (m ? 3) ? 4m ? 0 ? ? ?3 ? m ? 0 ?m ? 0 ?
2

?m m ? 9?
2013-8-13

一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的 根的分布

例:x2+(m-3)x+m=0 求m的范围
(3) 两个根都小于1

?? ? (m ? 3) ? 4m ? 0 ? ? b 3? m ? ?1 ? ?? 2a 2 ? ? f (1) ? 2m ? 2 ? 0 ?
2

?m m ? 9?
2013-8-13

一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的 根的分布

1 (4) 两个根都大于 2 ? ?? ? ( m ? 3) 2 ? 4m ? 0 ? b 3? m 1 ? ? ? ? ?? 2 2 ? 2a 1 6m ? 5 ? ?0 ? f ( 2) ? 4 ?

例:x2+(m-3)x+m=0 求m的范围

? 5 ? ?m ? m ? 1? ? 6 ?
2013-8-13

一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的 根的分布

例:x2+(m-3)x+m=0 求m的范围
(5) 一个根大于1,一个根小于1

f(1)=2m-2 <0 ?

?m m ? 1?
2013-8-13

一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的 根的分布

例:x2+(m-3)x+m=0 求m的范围
(6) 两个根都在(0 . 2)内

?? ? (m ? 3) ? 4m ? 0 ? 3? m ?0? ?2 ? ? 2 ? ? f (0) ? m ? 0 ? ? f (2) ? 3m ? 2 ? 0 ?
2

? 2 ? ?m ? m ? 1? ? 3 ?

2013-8-13

一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的 根的分布

例:x2+(m-3)x+m=0 求m的范围
(7) 一个根在(-2 .0)内,另一个根在(1 . 3)内

? f (?2) ? ?m ? 10 ? 0 ? f (0) ? m ? 0 ? ? ? ? f (1) ? 2m ? 2 ? 0 ? f (3) ? 4m ? 0 ?
?
2013-8-13

一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的 根的分布

一般情况 两个根都小于K 两个根都大于K
y

一个根小于K,一个 根大于K

k

x

k k

小 结

?? ? 0 ?? ? 0 ? ? b b ? ? ? k ?? ?k ?? ? 2a ? 2a ? f (k ) ? 0 ? f (k ) ? 0 ? ?

f(k)<0 ,

2013-8-13

一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的 根的分布

一般情况
两个根都在(k1 .k2)内
y

两个根有且仅有 一个在(k1 .k 2 )内

x 1∈(m,n) x ∈(p,q) 2

k1

k2

x

k1

k2

m

n p

q

小 结
?? ? 0 ? b ?k1 ? ? ? k2 ? 2a ? ? f (k1 ) ? 0 ? ? f (k 2 ) ? 0 ?

?f ?f f(k )f(k )<0 ? ? 并验证 ?f f(k )f(k )=0 ? f ?
1 2

( m) ? 0 ( n) ? 0 ( p) ? 0 (q) ? 0
2013-8-13

一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的 根的分布

例:x2+(m-3)x+m=0 求m的范围
(9)一个根小于2,一个根大于4

? f (2) ? 3m ? 2 ? 0 ?m m ? ? 4 ? ? ?? ? 5? f (4) ? 5m ? 4 ? 0 ? ?
2013-8-13

一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的 根的分布

例:x2+(m-3)x+m=0 求m的范围
(8) 一个正根,一个负根且正根绝对值较大

? f (0) ? m ? 0 ? ? ? b 3? m ? ? ?0 ? 2a 2 ?

?m m ? 0?
2013-8-13

一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的 根的分布

例:x2+(m-3)x+m=0 求m的范围
(10)一个根在(-2 .0)内,另一个根在(0 . 4)内

? f (?2) ? ? m ? 10 ? 0 ? 4 ? ? ? ?m ? ? m ? 0? ? f ( 0) ? m ? 0 5 ? ? ? f ( 4) ? 5 m ? 4 ? 0 ?
2013-8-13

一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的 根的分布

例:x2+(m-3)x+m=0 求m的范围
(11) 两个根有且仅有一个在(0 . 2)内

f(0)f(2)=m(3m-2) <0

? 2 ? ??m ? m ? 1? ? 3 ?

解法对吗?
2013-8-13

例2
若方程 2ax 2 ? x ? 1 ? 0 在 ? 0,1? 内恰有一解,则 a 的取值范围( )

A. a ? ?1

B. a ? 1

C. ?1 ? a ? 1

D. 0 ? a ? 1

2013-8-13

根的分布问题
变形、方程x ? (k ? 1) x ? k ? 0有两个大于2
2

的根,求实数k的取值范围。
变形、设方程x ? (2k ? 1) x ? 4 ? 2k ? 0的
2

两根为? , ?,且? ? 2 ? ?,求实数k的取值 范围。

2013-8-13

练习: 2 实系数方程 x ? ax ? 2b ? 0 的两根为 x1 、 x2 , b?2 且 0 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2 , 则 的取值范围是( ) a ?1 1 1 1 1 1 1 (A) ( ,1) (B) ( ,1) (C) (? , ) (D) (? , ) 4 2 2 4 2 2

A

2013-8-13

例 1 求关于 x 的方程 9x ? (4 ? a) ? 3x ? 4 ? 0 有解的一个充要条件. 法一:令 3x ? t (t ? 0) , 即求关于 t 的一元二次方程 t 2 ? (4 ? a)t ? 4 ? 0 有正根的充要条件,

?△= (4 ? a)2 ? 16 ≥ 0 ∵4>0,∴ ? 解得 a ≤ -8 , ??(4 ? a) ? 0 ∴关于 x 的方程 9x ? (4 ? a) ? 3x ? 4 ? 0 有解的一个充要条件为 a ≤ -8

t2 ? 4 ?4 法二:令 3x ? t (t ? 0) ,即求存在正实数 t 满足 a ? ? t 的充要条件. t2 ? 4 ? 4 ≤ -8 (当且仅当 t ? 2 时取等号) ∵当 t ? 0 时, ? t t2 ? 4 ? 4 ≤ -8 ∴a ? ? t
2013-8-13



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