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广东省佛山市2015届高三教学质量检测(二)数学文试题



2015 年佛山市普通高中高三教学质量检测(二)

数学(文科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分,考试用时 120 分钟.

2015.4

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1.集合 {x ? Z

| ?1 ? x ? 1} 的子集个数为( A.3 B.4 C.7 ) D.8 )

2.若复数 z 满足 (1 ? i) z ? i ,其中 i 为虚数单位,则在复平面上复数 z 对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )

3.已知向量 a ? (?1,0) , b ? ( , A.

?

?

? ? 1 3 ) ,则向量 a 与 b 的夹角为( 2 2
C.

? 6

B.

? 3

2? 3

D.

5? 6

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 4.由不等式组 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 确定的平面区域记为 M,若直线 3x ? 2 y ? a ? 0 与 M 有公共点,则 a ? x ?1 ? 0 ?
的最大值为( ) A. ? 3 B. 1 C.2 D.4 5.某班有 49 位同学玩“数字接龙”游戏,具体规则按如图所示 的程序框图执行(其中 a 为座位号) ,并以输出的值作为下一轮 输入的值。若第一次输入的值为 8,则第三次输出的值为( ) A. 8 B.15 C. 20 D.36
开始

输入 a 否 a≤25? 是 a=2a—1 a=a—25 a=2a

1 x ? b 作为切线的曲线是( ) 2 1 x A. y ? sin x B. y ? C. y ? ln x D. y ? e x 7.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a , b , c ,若
6.不可能以直线 y ?

输出 a 图1 结束

( 2c ? b)cos A ? a cos B ,则 A=(
A.

) C.

? 12

B.

? 6

? 4

D.

? 3

8.已知函数 f ( x) ? ( x ? a)(bx ? 2a) , (a, b ? R) ,则“ a ? 0 ”是“ f ( x ) 为偶函数”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既充分也不必要条件

9.已知 a , b , c 均为直线, ? , ? 为平面,下面关于直线与平面关系的命题: (1)任意给定一条直线与一个平面 ? ,则平面 ? 内必存在与 a 垂直的直线; (2) a ∥ ? , ? 内必存在与 a 相交的直线; (3) ? ∥ ? , a ? ? , b ? ? ,必存在与 a , b 都垂直的直线; (4) ? ⊥ ? , ? ? ? ? c , a ? ? , b ? ? ,若 a 不垂直 c ,则 a 不垂直 b 。 其中真命题的个数为( A.1 B.2 10.若集合 P 具有以下性质: ① 0 ? P , 1? P ; ) C. 3 D.4

②若 x, y ? P ,则 x ? y ? P ,且 x ? 0 时, )

1 ?P。 x

则称集合 P 是“ ? 集” ,则下列结论不正确的是( A.整数集 Z 是“ ? 集” B.有理数集 Q 是“ ? 集”

C.对任意的一个“ ? 集” P,若 x, y ? P ,则必有 xy ? P

y ?P x 二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题)
D.对任意的一个“ ? 集” P,若 x, y ? P ,且 x ? 0 ,则必有 11.已知等差数列 {an } 满足 a3 ? a4 ? 12 , 3a2 ? a5 ,则 a6 = 12.用两种不同的颜色给图 2 中三个矩形随机涂色, 每个矩形只涂一种颜色,则相邻两个矩形涂不同 颜色的概率是
2 2



图2

13.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C: ( x ?1) ? ( y ? 2) ? 1 ,过 x 轴上的一个动点 P 引圆 C 的 两条切线 PA,PB,切点分别为 A,B,则线段 AB 长度的取值范围是

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)

?x ? t 14. (极坐标与参数方程选讲) 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? (t 为 y ? 4 ? t ?
参数) ,以原点 O 为极点,以 x 轴的正半轴为极轴建立极 坐标系,曲线 C 的极坐标为 ? ? 4 2 sin(? ?

C

?
4

) ,则直线 l
A F
图3

和曲线 C 的公共点有 个. 15. (几何证明选讲) 如图 3,AB 是圆 O 的直径,CD⊥AB 于 D, 且 AD=2BD,E 为 AD 的中点,连接 CE 并延长交圆 O 于 F,

E OD

B

若 CD ?

2 ,则 EF=

.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?

(1)求 f ( ) 的值; (2)求函数 f ( x ) 的值域和单调递增区间.

? 2

) ? cos(2 x ? ) , x ? R . 4 4

?

17. (本小题满分 12 分)
寒假期间,很多同学都喜欢参加“迎春花市摆档口”的社会实践活动,下表是今年某个档口某 种精品的销售数据. 日期 销售量 (件) 白天 晚上 2 月 14 日 35 46 2 月 15 日 32 42 2 月 16 日 43 50 2 月 17 日 39 52 2 月 18 日 51 60

已知摊位租金 900 元/档,售余精品可以以进货价退回厂家. (1) 画出表中 10 个销售数据的茎叶图,并求出这组数据的中位数; 明年花市期间甲、乙两位同学想合租一个摊位销售同样的精品,其中甲、乙分别承包白天、晚上的 精品销售,承包时间段内销售所获利润归承包者所有。如果其它条件不变,以今年的数据为依据, 甲、乙两位同学应如何分担租金才较为合理?

18. (本小题满分 14 分)
如图 4,平面 ABCD⊥平面 PAB,且四边形 ABCD 为正方形,△PAB 为正三角形,M 为 PD 的中点, CC D E 为线段 BC 上的动点. (1)若 E 为 BC 的中点,求证:AM⊥平面 PDE; (2)若三棱锥 A—PEM 的体积为

3 ,求正方形 ABCD 的边长. 3
A

E M B 图4

P

19. (本小题满分 14 分)
设 Sn 为数列 ? an ?的前 n 项和,数列 ? an ?满足 a1 ? 1 , Sn ? (2n ?1)an ,其中 a ? 0 . (1)求数列 ? an ?的通项公式;

og (2)设 bn ? an ? l
取值范围.

2

an ,Tn 为数列 {bn }的前 n 项和,若当且仅当 n ? 4 时,Tn 取得最小值, 求a的 a1

20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 E:

3 x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 过点(0, -1) ,且离心率为 . 2 a b 2

(1) 求椭圆 E 的方程; (2) 如图 5,A,B,D 是椭圆 E 的顶点,M 是椭圆 E 上除顶点外的任意一点,直线 DM 交 x 轴于 点 Q,直线 AD 交 BM 于点 P,设 BM 的斜率为 k,PQ 的斜率为 m,则点 N(m,k)是否在定 直线上,若是,求出该直线方程,若不是,说明理由.
y P D M x A O B j Q

21. (本小题满分 14 分) 设常数 a>0, ? ? R ,函数 f ( x) ? x ( x ? a) ? ? ( x ? a) .
2 3

图5

(1)若函数 f ( x ) 恰有两个零点,求 ? 的值;

(2)若 g (? ) 是函数 f ( x ) 的极大值点,求 g (? ) 的取值范围.

-END-



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