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新课标高中数学等差数列和等比数列教学设计



等差数列和等比数列
一、课程说明 1.教学目标: 1)知识与技能:理解并掌握等差与等比数列的定义和通项公式,并加以初 步应用。 2)过程与方法:通过概念、公式和例题的教学,渗透类比思想、方程思想、 函数思想以及从特殊到—般等数学思想, 着重培养学生观察、 比较、 概括、 归纳、 演绎等方面的思维能力,并进—步培养运算能力,分析问题和解决问题的能力, 增强应用意识。 3)情感态度与价值观:通过生活中的大量实例,鼓励学生积极思考,激发 学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度,培养学生的类比、归纳的能力; 通过对有关实际问题的解决, 体现数学与实际生活的密切关系,激发学生学习的 兴趣。 2、学习者特征分析 高中生与初中生相比,心理和心里都日趋成熟,认识能力也有提高,对事对 人都有自己的看法, 同时他们思维的独立性也较为成熟,喜欢独立思考问题以获 取答案,还具备了一定的自学能力。因此,将等比数列与等差数列的一些基本性 质以问题的形式提出进而引导他们探究新的知识这种教学模式更能激发他们的 学习兴趣。 等差与等比数列作为高考的必考内容,难度不是很大。在教学中,要求学生 掌握基本的知识体系与解题思路。 3、难点、重点分析 教学重点: 等差与等比数列的概念的形成与深化;等比数列通项公式的推导 及应用。 教学难点: 等差与等比数列性质的灵活应用: 等比数列前 n 项和公式的推导。 二、课前准备 1、教学方法:多媒体教学法;问题探究发现教学法。 2、教学器材:多媒体教学工具。

3、教材分析:本节内容先由分析日常生活中的实际问题来引出等差与等比 数列的概念, 再由归纳演绎法得出通项公式,既让学生感受到等比数列是现实生 活中大量存在的数列模型,也让学生经历了从实际问题抽象出数列模型的过程。 4、时间分配:(一)等差与等比数列的概念 (二) 、等差数列的通项、基本性质。 (20 分钟) (三) 、等比数列的通项、基本性质。 (20 分钟) (四) 、总结 (10 分钟)
三、课程设计

(10 分钟)

(一)等差与等比数列的概念 创设情境,引入概念(展示图片) 引例⒈小明觉得自己英语成绩很差。他决定从今天起每天背记 10 个单词, 若设原有的单词量为 0,那么从今天开始,他的单词量逐日增加,依次为:5, 15,25,35,?,问:多少天后他的单词量达到 3000? 引例⒉:国际象棋起源于印度,关于国际象棋有这样一个传说,国王要奖励 国际象棋的发明者,问他有什么要求,发明者说: “请在棋盘上的第一个格子上 放 1 粒麦子,第二个格子上放 2 粒麦子,第三个格子上放 4 粒麦子,第四个格子 上放 8 粒麦子,依次类推,直到第 64 个格子放满为止。 ” 国王慷慨地答应了他。 你认为国王有能力满足上述要求吗? 根据情景写出两个数列,请同学仔细观察一下,看看以上两个数列各有什 么特征? (通过对有关实际问题的解决,激发学生学习的积极性。同时发 挥了学生的主体作用,做好探究性活动。) 总结学生的结论,给出等比数列的定义。(板书) 等差数列定义:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的 差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公 差(常用字母“d”表示) 等比数列定义:一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项 的比等于同一个常数,那么这个数列叫作等比数列,这个常数叫作等比数列的 公比,公比通常用字母q表示(q≠0) 提醒学生注意:①.公差 d 一定是由后项减前项所得,而不能用前项减后项 来求; ②.等比数列的公比和项都不为零.
王新敞
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(二) 、等差数列的通项、基本性质。 ⒈通项:⑴等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得 若一等差数列
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?a n ?的首项是 a1 ,公差是 d,则据其定义可得: (板书)
a2 ? a1 ? d 即: a 2 ? a1 ? d
a3 ? a 2 ? d
a 4 ? a3 ? d

即: 即:

a3 ? a 2 ? d ? a1 ? 2d a 4 ? a3 ? d ? a1 ? 3d

?? 问:是否能由此得出第n项的关系式? 师:由此归纳等差数列的通项公式可得:
a n ? a1 ? (n ? 1)d

老师对公式讲解说明:1.已知一数列为等差数列,则只要知其首项 a1 和公 差 d,便可求得其通项 a n
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⑵由上述关系还可得: 即: 则:
a1 ? a m ? (m ? 1)d

a m ? a1 ? (m ? 1)d

a n ? a1 ? (n ? 1)d a m ? (m ? 1)d ? (n ? 1)d ? a m ? (n ? m)d = a n ? a m ? ( n ? m) d

即的第二通项公式 特征,直线的斜率

am ? an ∴ d= m ? n

拓展: 几何

⑶. 当 d>0(<0 时, an } 为递增(减)数列; 当 d=0 时﹛ an } 为常数 即时练习1:在等差数列

?a n ? 中,已知 a5 ? 10 , a12 ? 31 ,求 a1 , d , a20 , an

鼓励学生用分别用两个通项公式解答此题。 ⒉基本性质。 观察练习中的数列,思考一下问题: ⑴每三个相邻的数之间满足什么关系式? ⑵当m+n=p+q时,其在数列中对应的数之间有什么关系? ⑶在此数列中抽取一些数, 形成一个新的数列,若要求新的数列仍是等差数 列,应该怎么抽取? 学生思考,老师引导,得出结论。 (板书)性质1.由三个数 a,A,b 组成的等差数列可以看成最简单的等差 数列,这时,A 叫做 a 与 b 的等差中项。 2. m ? n ? p ? q ? a m ? a n ? a p ? a q 3 {a n } 中共
n1n2. ...... nk

成等差则

an1 , an 2, ...... ank

也成等差数列。

及时练习2

在等差数列中 a6 ? a9 ? a12 ? a15 ? 20 求 S 20

(通过实例启发学生运用基本性质简便运算。 ) (三) 、等比数列的通项、基本性质。 1.通项 演绎推理论证(累乘法) 设 a1,a2,a3?是公比为 q 的等比数列,则由定义得:

a2 ? q ??????????????(1) a1 a3 ? q ??????????????(2) a2

?????
an ? q ??????????????(n-1) an ?1

问:结合求等差数列的通项公式的方法,如何求得等比数列的通项公式? 由定义式得:(n-1)个等式

?a =q ?a =q ?a ? ? a =q ?a
a2
1 3 2

① ② ?

n

n-1

n-1

若将上述 n-1 个等式相乘,便可得:

a2 a3 a4 an × × ×?× =qn-1 a1 a2 a3 an-1
即:an=a1·qn-1(n≥2) 当 n=1 时,左=a1,右=a1,所以等式成立, ∴等比数列通项公式为:an=a1·qn-1(an,,q≠0) 其中 a1 首项, q 为公比 说明:⑴由等比数列的通项公式可以知道:当公比 q ? 1 时该数列既是等比 数列也是等差数列;既是等差又是等比数列的数列:非零常数列 ⑵等比数列的通项公式(二):
a n ? a m ? q m?1 (a1 ? q ? 0)

2基本性质 采用与等差数列类似的方法,自己写出一个等比数列,寻求是否存在一样的 性质。 (板书)基本性质 1等比中项:a b c 成等比数列 ? b 2 ? ac 2 m ? n ? p ? q ? am ? an ? a p ? a q 3 {a n } 成等比,若 n1 , n2 ,... nk 成等差 则 a1 , an 2 ,...ank 成等比数列。

即时练习 3: ①在等比数列 {an}中, an >0 ,且 an + 2=an +an + 1,则该数列的公比 q=___
___.? ②在等比数列 {an} 中, 已知 a4a7=-512, a3+a8=124, 且公比为整数, 求 a10= .

学生练习,老师纠正,巩固之前所学知识。 (四) 、总结 请同学从定义、 通项公式类比等差数列与等比数列并归纳总结。 (展示图片) 名 等差数列 等比数列 称 定 义 通 通 项 公 式
an ? an?1 ? d (n ? 2)或an?1 ? an ? d (n ? 1)
an a ? q(n ? 2)或 n?1 ? q(n ? 1) an?1 an

an ? a1 ? (n ? 1)d an ? am ? (n ? m)d

an ? a1 ? q n ?1 an ? am ? q n ? m

1 基 本 性 质 基 m ? n ? p ? q ? am ? an ? a p ? a q
{a n } 中 共 n1n2. ...... nk 成 等 差 则
an1 , an 2, ...... ank 也成等

m ? n ? p ? q ? am ? an ? a p ? a q
{a n } 成等比, 若 n1 , n2 ,... nk 成

等差 则 a1 , an 2 ,...ank 成等比

教学设计反思: 这是我第一次写教学设计, 总是认为教师之于我是一个比较 遥远和陌生的称呼, 只有当自己手握着写教案的笔的时候,才觉得这种称呼与我 的距离并不遥远。 在这次教案的准备过程中,我感觉到了对教师这个职业有了更 多的亲近。 不只是站在讲台上的运筹帷幄和慷慨激昂。一位真正的老师只有在讲 台之下有所准备, 才有足够的自信掌控课堂。教学设计是老师在教学之前的一个 假设,设计的合理与否在很大程度上决定了教学的质量。所以,一个合理的设计 是必须的。同时,在教学的过程中,会出现与教学设计不符的情况,老师应该合 理的把握,保证教学有序的进行。

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