9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

人教A数学必修2-2.1.7



知识点 1 平面的概念、画法及表示法 (1)平面的概念 生活中常见的如黑板面、平整的操场、桌面、平静的湖面等, 都给我们以平面的印象. 几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来的, 是无限延展的.

(2)平面的画法 (1)通常把水平的平面画成一个平行四边形,用平行四边形表 示平面,如图所示,平行四边形的锐角通常画成 45° ,且横边长等 于其邻边长的 2 倍.如图①.

图① 图② (2)如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感, 把被遮挡部分用虚线画出来,如图②. (3)平面的表示法 如图①的平面可以表示为: 平面 α 或平面 ABCD 或平面 AC 或 平面 BD.

讲重点 要注意平面具有如下特点: (1)平面是平的; (2)平面是没有厚度的; (3)平面是无限延展而没有边界的; (4)平面是由空间点、线组成的无限集合; (5)平面图形是空间图形的重要组成部分.

知识点 2 点、直线、平面之间的位置关系 文字语言表达 图形语言表达 符号语言表达 点 A 在直线 l 上 A∈l 点 A 在直线 l 外 点 A 在平面 α 内 点 A 在平面 α 外 A?l A∈α A?α

直线 l 在平面 α 内 直线 l 在平面 α 外

l?α l?α

平面 α,β 相交于 l

α∩β=l

知识点 3 平面的基本性质 公理 内容 图形 如果一条直线上 公理 的两点在一个平 1 面内,那么这条 直线在此平面内 过不在一条直线 公理 上的三点,有且 2 只有一个平面

符号

作用

A∈l, B∈l, 且 判定直线 A∈α, B∈α?l 是否在平 ?α 面内 ①确定平 A,B,C 三点 面 的 依 不共线?存在 据;②判 唯一的平面 α 定点、线 使 A,B,C∈α 共面

公理

内容

图形

如果两个不重合 的平面有一个公 公理 共点,那么它们 3 有且只有一条过 该点的公共直线

作用 ①判定两 个平面相 P∈α,且 P∈β 交 的 依 ?α∩β=l,且 据;②判 P∈l 定点在直 线上

符号

讲拓展 公理的三个推论 推论 1:经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面; 推论 2:经过两条相交直线有且只有一个平面; 推论 3:经过两条平行直线有且只有一个平面.

类型一 平面的概念及画法 【例 1】 (1)下列命题:①书桌面是平面;②8 个平面重叠起来要比 6 个 平面重叠起来厚;③有一个平面的长是 50 m,宽为 20 m;④平面 是绝对平的、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念.其中正确 命题的个数为________.

(2)下图中的两个相交平面,其中画法正确的是________.

① ② ③ 思维启迪: (1)根据平面的特点进行判断; (2)观察平面被遮住的部分是否画成虚线.



解析: (1)由平面的概念,它是平滑、无厚度、可无限延展的,可以 判断命题④正确,其余的命题都不符合平面的概念,所以命题①、 ②、③都不正确. (2)对于①,图中没有画出平面 α 与平面 β 的交线,另外图中 的实、虚也没有按照画法原则去画,因此①的画法不正确.同样的 道理,也可知②、③图形的画法不正确,④中图形画法正确.

点评: (1)平面是一个不定义的原始概念,它是由平时生活中常见的 平面抽象出来的,是理想的,是无限延展的,是无厚薄、大小的. (2)在平面几何中,辅助线均画成虚线;而在立体几何中则不 然,凡是被平面遮住的线均画成虚线,无论是题中原有的,还是后 添加的辅助线,凡是不被遮住的线均画成实线.

变式训练 1 下列四种说法正确的是________. ①平面的形状是平行四边形; ②任何一个平面图形都可以表示平面; ③平面 ABCD 的面积为 100 cm2; ④空间图形中,后作的辅助线都是虚线.

解析:①错,通常用平行四边形表示平面,但平面的形状不一 定是平行四边形;③错,平面不能度量;④错,看不到的线画成虚 线;②显然正确. 答案:②

类型二 三种语言的转换 【例 2】 根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的 位置关系,并画出相应的图形: (1)A∈α,B?α; (2)l?α,m∩α=A,A?l; (3)P∈l,P?α,Q∈l,Q∈α. 思维启迪:正确理解立体几何中表示点、线、面之间位置关系 的符号“∈”,“?”,“?”,“?”,“∩”的意义,在此基础 上,实现三种语言间的互译.

解析: (1)点 A 在平面 α 内,点 B 不在平面 α 内. (2)直线 l 在平面 α 内,直线 m 与平面 α 相交于点 A,且点 A 不在直线 l 上. (3)直线 l 经过平面 α 外一点 P 和平面 α 内一点 Q. 图形分别如图①、②、③所示.

点评: 三种语言的相互转换是一种基本技能,要注意符号语言的意 义;由符号语言画相应图形时,要注意实、虚线.

变式训练 2 用符号表示下列语句,并画出图形. (1)三个平面 α、β、γ 相交于一点 P,且平面 α 与平面 β 交于 PA,平面 α 与平面 γ 交于 PB,平面 β 与平面 γ 交于 PC; (2)平面 ABD 与平面 BDC 相交于 BD,平面 ABC 与平面 ADC 交于 AC.

解析: (1)符号语言表示:α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ =PC. 图形表示如左图:

(2)符号语言表示: 平面 ABD∩平面 BDC=BD, 平面 ABC∩平 面 ADC=AC.如右图.

类型三 共面问题 【例 3】 已知直线 a∥b,直线 l 与 a,b 都相交,求证:过 a, b,l 有且只有一个平面.

解析: 证法一:如图所示,由已知 a∥b,所以过 a,b 有且只有一个 平面 α.设 a∩l=A,b∩l=B,∴A∈α,B∈α,且 A∈l,B∈l.∴l ?α.即过 a,b,l 有且只有一个平面. 证法二:由已知可设 l∩a=A,l∩b=B. ∵l∩a=A,∴过 l 与 a 有且只有一个平面 β. ∵a∥b,∴过 a,b 有且只有一个平面 α. ∴B∈α,B∈β,a?α,a?β. 又∵b?α,∴平面 α 与 β 重合. 即 a∥b,a∩l=A,b∩l=B ∴过 a,b,l 有且只有一个平面.

点评: 在证明多线共面时,可用下面的两种方法来证明 (1)纳入法:先由部分直线确定一个平面,再证明其他直线在 这个平面内. 确定一个平面的方法有:①直线和直线外一点确定一个平面; ②两条平行线确定一个平面;③两条相交直线确定一个平面. (2)重合法:先说明一些直线在一个平面内,另一些直线在另 一个平面内,再证明两个平面重合.

变式训练 3 已知:A∈l,B∈l,C∈l,D?l,如图,求证:直 线 AD,BD,CD 共面.

证明: 因为直线 l 与点 D 可以确定平面 α,所以只需证明 AD,BD, CD 都在平面 α 内. 因为 D?l,所以 l 与 D 可以确定平面 α. 因为 A∈l,所以 A∈α,又 D∈α,所以 AD?α(基本性质). 同理,BD?α,CD?α,所以 AD,BD,CD 在同一平面 α 内, 即它们共面.

类型四 点共线问题 【例 4】 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 M,N,E, F 分别是棱 CD,AB,DD1,AA1 上的点,若 MN 与 EF 交于点 Q, 求证:D,A,Q 三点共线. 思维启迪:欲证 D,A,Q 三点共线,只需说明三点均在平面 AD1 和平面 AC 的交线 DA 上即可.

解析: ∵MN∩EF=Q, ∴Q∈直线 MN,Q∈直线 EF. 又∵M∈直线 CD,N∈直线 AB,CD?平面 ABCD,AB?平面 ABCD, ∴M,N∈平面 ABCD,∴MN?平面 ABCD. ∴Q∈平面 ABCD.同理,可得 EF?平面 ADD1A1, ∴Q∈平面 ADD1A1. 又∵平面 ABCD∩平面 ADD1A1=AD,∴Q∈直线 AD,即 D, A,Q 三点共线.

点评: 点共线的证明方法:证明多点共线通常利用公理 3,即两相交 平面交线的唯一性,通过证明点分别在两个平面内,证明点在相交 平面的交线上,也可选择其中两点确定一条直线,然后证明其他点 也在其上.

变式训练 4 如图, 不在同一平面内的两个三角形△ABC 和△ A1B1C1,AB 与 A1B1 相交于 P,BC 与 B1C1 相交于 Q,AC 与 A1C1 相交于 R,求证:P,Q,R 三点共线.

证明: ∵AB∩A1B1=P,∴P∈AB,P∈A1B1. ∵AB?平面 ABC,∴P∈平面 ABC. 又∵A1B1?平面 A1B1C1,∴P∈平面 A1B1C1. ∴P 在平面 ABC 与平面 A1B1C1 的交线上. 同理可证 Q,R 也都在平面 ABC 与平面 A1B1C1 的交线上. 根据公理 3 知两个平面的交线有且只有一条,故 P,Q,R 三 点共线.

类型五 线共点问题

【例 5】 如图,三个平面 α,β,γ 两两相交于三条直线,即 α∩β=c,β∩γ=a,γ∩α=b,若直线 a 和 b 不平行.求证:a,b, c 三条直线必过同一点. 思维启迪: a?γ, a,b相交, 直线a和b不平行 ―→ ―→ ―→ b?γ 设为P P∈α,P∈β ―→ 由公理3知P∈c ―→ 三线共点

证明: ∵α∩γ=b,β∩γ=a,∴a?γ,b?γ. 由于直线 a 和 b 不平行,∴a,b 必相交. 设 a∩b=P,则 P∈a,P∈b. ∵a?β,b?α,∴P∈β,P∈α. 又 α∩β=c,∴P∈c,即交线 c 经过点 P. ∴a,b,c 三条直线相交于同一点.

点评: (1)证明三线共点常用的方法 ①先说明两条直线共面且交于一点, 然后说明这个点在两个平 面内.于是该点在这两个平面的交线上,从而得到三线共点. ②也可以说明 a,b 相交于一点 A,b 与 c 相交于一点 B,再说 明 A,B 是同一点,从而得到 a,b,c 三线共点. (2)证明线共点主要利用公理 1,公理 3 作为推理的依据.

变式训练 5 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 AB 的中点,F 为 A1A 的中点.求证 CE,D1F,DA 三线共点.

1 证明:∵EF 綊2CD1,∴直线 D1F 和 CE 必相交, 设 D1F∩CE=P,∵D1F?平面 AA1D1D,P∈D1F, ∴P∈平面 AA1D1D. 又 CE?平面 ABCD,P∈EC,∴P∈平面 ABCD, ∴P 是平面 ABCD 与平面 AA1D1D 的公共点. 又平面 ABCD∩平面 AA1D1D=AD, ∴P∈AD,∴CE,D1F,DA 三线共点.

1.下列四个命题:①三点确定一个平面;②一条直线和一个 点确定一个平面;③若四点不共面,则每三点一定不共线;④三条 平行线确定三个平面.其中正确的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

解析:①不共线的三点确定一个平面;②一条直线和直线外一 点确定一个平面;③若四点不共面,则每三点一定不共线,故③正 确;④不共面的三条平行线确定三个平面. 答案:A

2.如果 a?α,b?α,l∩a=A,l∩b=B,那么下列关系成立 的是( ) A.l?α B.l?α C.l∩α=A D.l∩α=B

解析:∵A∈a,a?α,∴A∈α,同理 B∈α,而 A、B∈l,∴ l?α. 答案:A

3.下列推断中,错误的是( ) A.A∈l,B∈l,A∈α,B∈α?l?α B.A∈α,B∈α,A∈β,B∈β?α∩β=直线 AB C.l?α,A∈l?A?α D.A、B、C∈α,A、B、C∈β,A、B、C 不共线?α 与 β 重 合

解析:若 l∩α=A,则 l?α,A∈l,但可以得到 A∈α. 答案:C

4.如图,α∩β=l,A、B∈α,C∈β,C?l,直线 AD∩l=D, 过 A,B,C 三点确定的平面为 γ,则平面 γ,β 的交线必过( ) A.点 A B.点 B C.点 C,但不过点 D D.点 C 和点 D

解析:A、B、C 确定的平面 γ 与直线 BD 和点 C 确定的平面重 合,故 C、D∈γ,且 C、D∈β,故 C,D 在 γ 和 β 的交线上. 答案:D

5.如图,已知空间四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AB、AD 的中 BG DH 点,G、H 分别是 BC、CD 上的点,且GC=HC=2. 求证: 直线 EG、FH、AC 相交于同一点 P.

证明:∵E、F 分别是 AB、AD 的中点, 1 ∴EF∥BD 且 EF=2BD, 1 BG DH 又∵GC= HC=2,∴GH∥BD 且 GH=3BD, ∴EF∥GH 且 EF>GH, ∴四边形 EFHG 是梯形,其两腰必相交,设两腰 EG、FH 相 交于一点 P, ∵EG?平面 ABC,FH?平面 ACD, ∴P∈平面 ABC,P∈平面 ACD, 又平面 ABC∩平面 ACD=AC, ∴P∈AC,故直线 EG、FH、AC 相交于同一点 P.



更多相关文章:
最新 人教A版 高中数学必修二:2.2.1配套练习(含答案)
最新 人教A版 高中数学必修二:2.2.1配套练习(含答案)_数学_高中教育_教育...α,其中正确命题的个数是___. 7.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 DD1...
2015版人教A数学必修2课本例题习题改编
2015版人教A数学必修2课本例题习题改编_数学_高中教育_教育专区。名师名校精品...? ?1 ? 2? ?1? 2 ? ? ?1? 2 ? 7? (cm ) , 2 P 2 O? 所...
2015版人教A数学必修2课本例题习题改编
2015版人教A数学必修2课本例题习题改编_数学_高中教育_教育专区。2015 版人教...? ?1 ? 2? ?1? 2 ? ? ?1? 2 ? 7? (cm ) , 2 P 2 ? O? ...
成才之路人教A数学必修2-1.1.2
成才之路人教A数学必修2-1.1.2_数学_高中教育_教育专区。第一章一、选择题...其它截面截圆锥得到的都不是三角形. 二、填空题 7 .已知一个圆柱的轴截面是...
高中数学必修2综合测试题__人教A
高中数学必修2综合测试题__人教A版_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修 2 ...题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 、填空题(本大题共 4 ...
高中数学必修2综合测试题__人教A
高中数学必修2综合测试题__人教A版_高二数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学...在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的) 1、下图(1)所示的...
成才之路人教A数学必修2-1.2.1、2
成才之路人教A数学必修2-1.2.1、2_数学_高中教育_教育专区。第一章一、选择...只有 D 项符合题意. 二、填空题 7.(2010· 新课标全国)一个几何体的正...
成才之路人教A数学必修2-1.1.1
成才之路人教A数学必修2-1.1.1_数学_高中教育_教育专区。第一章一、选择题...(1)由 6 个平行四边形围成的几何体; (2)由 7 个面围成,其中一个面是...
卓越学案数学必修2(人教A版)-第一章1.1 1.2.1 1.2.2课...
卓越学案数学必修2(人教A版)-第一章1.1 1.2.1 1.2.2课后分层训练_数学...2 4 7.如图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:①存在三棱柱,其...
人教版高一数学必修2测试题
人教版高一数学必修2测试题_数学_高中教育_教育专区。高一数学必修 2 测试题一...) 6、直线 2x-y=7 与直线 3x+2y-7=0 的交点是( A (3,-1) B (-1...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图