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(王)二项式定理—解题技巧(老师用)


二项式定理
1.二项式定理:
0 n 1 n ?1 r n?r r n n (a ? b) n ? Cn a ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b (n ? N ? ) ,

2.基本概念: ①二项式展开式:右边的多项式叫做 ( a ? b) 的二项展开式。
n
r ②二项式系数:展开式中各项的系数 Cn (r ? 0,1, 2, ???, n) .

③项数:共 (r ? 1) 项,是关于 a 与 b 的齐次多项式
r n?r r ④通项:展开式中的第 r ? 1 项 Cn a b 叫做二项式展开式的通项。用 Tr ?1 ? Cn a

r

n?r

b r 表示。

3.注意关键点: ①项数:展开式中总共有 (n ? 1) 项。 ②顺序:注意正确选择 a , b ,其顺序不能更改。 ( a ? b) 与 (b ? a ) 是不同的。
n n

③指数: a 的指数从 n 逐项减到 0 ,是降幂排列。 b 的指数从 0 逐项减到 n ,是升幂排列。各项的 次数和等于 n .
0 1 2 r n ④系数:注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是 Cn , Cn , Cn , ???, Cn , ???, Cn . 项的系

数是 a 与 b 的系数(包括二项式系数) 。 4.常用的结论: 令 a ? 1, b ? x, 令 a ? 1, b ? ? x,
0 1 2 2 r r n n (1 ? x) n ? Cn ? Cn x ? Cn x ? ? ? Cn x ? ? ? Cn x (n ? N ? ) 0 1 2 2 r r n n (1 ? x)n ? Cn ? Cn x ? Cn x ? ? ? Cn x ? ? ? (?1)n Cn x (n ? N ? )

n

⑤二项式系数的最大项: 如果二项式的幂指数 n 是偶数时, 则中间一项的二项式系数 Cn2 取得最大值。
n ?1 n ?1

如果二项式的幂指数 n 是奇数时,则中间两项的二项式系数 Cn 2 , Cn 2 同时 取得最大值。 ⑥系数的最大项:求 (a ? bx) 展开式中最大的项,一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别
n

为 A1 , A2 , ???, An ?1 ,设第 r ? 1 项系数最大,应有 ? 6.二项式定理的十一种考题的解法: 题型一:二项式定理的逆用; 题型二:利用通项公式求 x n 的系数;

? Ar ?1 ? Ar ,从而解出 r 来。 ? Ar ?1 ? Ar ? 2

例:在二项式 ( 4 解:由条件知 Cn

1 3 2 n ? x ) 的展开式中倒数第 3 项的系数为 45 ,求含有 x 3 的项的系数? x
2 ? 45 ,即 Cn ? 45 ,? n2 ? n ? 90 ? 0 ,解得 n ? ?9(舍去)或n ? 10 ,由

n?2

r r Tr ?1 ? C10 ( x 4 )10?r ( x 3 )r ? C10 x

?

1

2

10? r 2 ? ? r 4 3

,由题意 ?

10 ? r 2 ? r ? 3, 解得r ? 6 , 4 3

6 3 则含有 x 3 的项是第 7 项 T6?1 ? C10 x ? 210 x3 ,系数为 210 。

1 9 ) 展开式中 x 9 的系数? 2x 1 1 1 r r 18? 2 r r 解: Tr ?1 ? C9 ( x 2 )9?r (? )r ? C9 x (? )r x ? r ? C9 (? )r x18?3r ,令18 ? 3r ? 9 ,则 r ? 3 2x 2 2 1 21 9 3 3 故 x 的系数为 C9 (? ) ? ? 。 2 2
练:求 ( x 2 ? 题型三:利用通项公式求常数项; 例:求二项式 ( x 2 ?

1 2 x

)10 的展开式中的常数项?

r 解: Tr ?1 ? C10 ( x 2 )10? r (

5 20 ? r 45 5 8 1 8 r 1 r 令2 得 r ? 8, 所以 T9 ? C10 ) r ? C10 ( ) x 2 , ( ) ? 0 ? r? 0 , 2 2 256 2 2 x

1

1 6 ) 的展开式中的常数项? 2x 1 r r 6?r 1 r 6?2 r 解: Tr ?1 ? C6 ,令 6 ? 2r ? 0 ,得 r ? 3 ,所以 (2 x)6?r (?1)r ( )r ? (?1) r C6 2 ( ) x 2x 2
练:求二项式 (2 x ?
3 T4 ? (?1)3 C6 ? ?20

练:若 ( x 2 ? ) n 的二项展开式中第 5 项为常数项,则 n ? ____.
4 4 2 n ?12 解: T5 ? Cn ,令 2n ? 12 ? 0 ,得 n ? 6 . ( x 2 ) n ?4 ( )4 ? Cn x

1 x

1 x

题型四:利用通项公式,再讨论而确定有理数项; 例:求二项式 ( x ? 3 x )9 展开式中的有理项?
r r 解: Tr ?1 ? C9 ( x 2 )9?r (? x 3 )r ? (?1)r C9 x 1 1 27 ?r 6

,令

27 ? r ? Z ,( 0 ? r ? 9 )得 r ? 3或r ? 9 , 6

27 ? r 3 4 x ? ?84 x 4 , ? 4 , T4 ? (?1)3 C9 6 27 ? r 9 3 x ? ? x3 。 当 r ? 9 时, ? 3 , T10 ? (?1)3 C9 6
所以当 r ? 3 时, 题型五:奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和;

例:若 ( x 2 ?

1
3

x 1

2

) n 展开式中偶数项系数和为 ?256 ,求 n .

解:设 ( x 2 ?

3

x

2

) n 展开式中各项系数依次设为 a0 , a1 , ???an ,

令x ? ?1 ,则有 a0 ? a1 ? ???an ? 0, ①, 令x ? 1 ,则有 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? (?1)n an ? 2n , ②
将①-②得: 2(a1 ? a3 ? a5 ? ???) ? ?2n , ? a1 ? a3 ? a5 ? ??? ? ?2n ?1 , 有题意得, ?2n?1 ? ?256 ? ?28 ,?n ? 9 。 练:若 ( 3

1 5 1 n ? ) 的展开式中,所有的奇数项的系数和为 1024 ,求它的中间项。 x x2

0 2 4 2r 1 3 2 r ?1 解:? Cn ? Cn ? Cn ??? ?Cn ? ??? ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? ??? ? 2n ?1 ,? 2n?1 ? 1024 ,解得 n ? 11

5 3 所以中间两个项分别为 n ? 6, n ? 7 , T5?1 ? Cn (

61 ? 1 6 5 1 5 ) ( 2 ) ? 462 ? x ?4 , T6?1 ? 462 ? x 15 x x

题型六:最大系数,最大项; 例:已知 ( ? 2 x) n ,若展开式中第 5 项,第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列,求展开式中二 项式系数最大项的系数是多少?
4 6 5 ? Cn ? 2Cn ,? n 2 ? 21n ? 98 ? 0, 解出 n ? 7或n ? 14 ,当 n ? 7 时,展开式中二项式系数 解:? Cn

1 2

35 4 1 3 4 , , T5的系数 ? C7 ( ) 2 ? 70, 当 n ? 14 2 2 7 1 7 7 时,展开式中二项式系数最大的项是 T8 ,?T8的系数 ? C14 ( ) 2 ? 3432 。 2
3 最大的项是 T4和T5 ?T4的系数 ? C7 ( )4 23 ?

1 2

练:在 (a ? b) 2 n 的展开式中,二项式系数最大的项是多少? 解:二项式的幂指数是偶数 2n ,则中间一项的二项式系数最大,即 T2 n
2 ?1

? Tn?1 ,也就是第 n ? 1项。

练:在 ( ?

x 2

3

1 n ) 的展开式中,只有第 5 项的二项式最大,则展开式中的常数项是多少? x

解:只有第 5 项的二项式最大,则

n ? 1 ? 5 ,即 n ? 8 ,所以展开式中常数项为第七项等于 2

1 C86 ( ) 2 ? 7 2
例:写出在 ( a ? b) 7 的展开式中,系数最大的项?系数最小的项? 解:因为二项式的幂指数 7 是奇数,所以中间两项( 第4,5项 )的二项式系数相等,且同时取得最大
3 4 3 4 3 4 值,从而有 T4 ? ?C7 a b 的系数最小, T5 ? C7 a b 系数最大。

例:若展开式前三项的二项式系数和等于 79 ,求 ( ? 2 x) n 的展开式中系数最大的项?
0 1 2 解:由 Cn ? Cn ? Cn ? 79, 解出 n ? 12 ,假设 Tr ?1 项最大,? ( ? 2 x)12 ? ( )12 (1 ? 4 x)12

1 2

1 2

1 2

r r r ?1 r ?1 ? ? Ar ?1 ? Ar ?C12 4 ? C12 4 ?? ?? r r ,化简得到 9.4 ? r ? 10.4 ,又? 0 ? r ? 12 ,? r ? 10 , r ?1 r ?1 ? Ar ?1 ? Ar ? 2 ? ?C12 4 ? C12 4

10 10 10 展开式中系数最大的项为 T11 ,有 T11 ? ( )12 C12 4 x ? 16896 x10

1 2

练:在 (1 ? 2 x)10 的展开式中系数最大的项是多少? 解:假设 Tr ?1 项最大,? Tr ?1 ? C10 ? 2 x
r r r

r r r ?1 r ?1 ? ? Ar ?1 ? Ar ? 2(11 ? r ) ? r ?C10 2 ? C10 2 ?? ?? r r 解得 ? ,化简得到 6.3 ? k ? 7.3 ,又 r ?1 r ?1 ? r ? 1 ? 2(10 ? r ) ? Ar ?1 ? Ar ? 2 ? ?C10 2 ? C10 2 ,

7 7 7 2 x ? 15360 x 7 . ? 0 ? r ? 10 ,?r ? 7 ,展开式中系数最大的项为 T8 ? C10

题型七:含有三项变两项; 例:求当 ( x 2 ? 3x ? 2)5 的展开式中 x 的一次项的系数?
r 解法①: ( x 2 ? 3x ? 2)5 ? [( x 2 ? 2) ? 3x]5 , Tr ?1 ? C5 ( x 2 ? 2)5?r (3x) r ,当且仅当 r ? 1 时, Tr ?1 的
1 1 4 4 展开式中才有 x 的一次项, 此时 Tr ?1 ? T2 ? C5 所以 x 得一次项为 C5 ( x 2 ? 2) 4 3x , C4 2 3x

1 4 4 它的系数为 C5 C4 2 3 ? 240 。
0 5 1 4 5 0 5 1 4 5 5 x ? C5 x ? ??? ? C5 )(C5 x ? C5 x 2 ? ??? ? C5 2 ) 解法②: ( x 2 ? 3x ? 2)5 ? ( x ? 1)5 ( x ? 2)5 ? (C5

故展开式中含 x 的项为 C5 xC5 2 ? C5 x 2 ? 240 x ,故展开式中 x 的系数为 240.
4 5 5 4 4

练:求式子 ( x ?

1 ? 2)3 的常数项? x

解: ( x ?

1 1 6 ? 2)3 ? ( x ? ) ,设第 r ? 1 项为常数项,则 x x
6?r

r Tr ?1 ? C6 (?1)r x

(

1 r 6?2 r 3 3 r ,得 6 ? 2r ? 0 , r ? 3 , ?T3?1 ? (?1) C6 ? ?20 . ) ? (?1)6 C6 x x

题型八:两个二项式相乘; 例: 求(1 ? 2 x) (1 ? x) 展开式中x 的系数.
3 4 2

解:? (1 ? 2 x) 的展开式的通项是C3 ? (2 x) ? C3 ? 2 ? x ,
3 m m m m m n n n n (1 ? x)4的展开式的通项是Cn 4 ? ( ? x) ? C 4 ? ?1 ? x , 其中m ? 0,1, 2,3, n ? 0,1, 2,3, 4,

令m ? n ? 2, 则m ? 0且n ? 2, m ? 1且n ? 1, m ? 2且n ? 0,因此(1 ? 2 x)3 (1 ? x) 4
0 2 1 1 0 的展开式中x 2的系数等于C3 ? 20 ? C4 ? (?1)2 ? C3 ? 21 ? C4 ? (?1)1 ? C32 ? 22 ? C4 ? (?1)0 ? ?6 .

练: 求(1 ? 3 x )6 (1 ?

4

1 10 ) 展开式中的常数项. x

m n 4 m ?3n ? 1 10 m 3 n m n 4 ) 展开式的通项为C6 x ? C10 x ? C6 ? C10 ? x 12 解: (1 ? x ) (1 ? 4 x 3 6

?m ? 0, ?m ? 3, ?m ? 6, 其中m ? 0,1, 2, ???, 6, n ? 0,1, 2, ???,10, 当且仅当4m ? 3n, 即 ? 或? 或? ?n ? 0, ?n ? 4, ?n ? 8,
0 0 3 4 6 8 时得展开式中的常数项为C6 ? C10 ? C6 ? C10 ? C6 ? C10 ? 4246 .

练:已知(1 ? x ? x )( x ?
2

1 n ) 的展开式中没有常数项, n ? N *且2 ? n ? 8, 则n ? ______ . x3

解: ( x ?

1 n n ?r n?4r ) 展开式的通项为Cr ? x ?3r ? Cr , 通项分别与前面的三项相乘可得 n ?x n ?x 3 x

n?4r n ? 4 r ?1 n ?4r ? 2 Cr , Cr , Cr ,? 展开式中不含常数项, 2 ? n ? 8 n ?x n ?x n ?x

? n ? 4r且n ? 4r ? 1且n ? 4r ? 2,即n ? 4,8且n ? 3,7且n ? 2,6,? n ? 5.
题型九:奇数项的系数和与偶数项的系数和; 例: 在( x ? 2) 解: 设( x ? 2)
2006

的二项展开式中, 含x的奇次幂的项之和为S ,当x ? 2时, S ? _____ .

2006

=a0 ? a1 x1 ? a2 x 2 ? a3 x3 ? ? ? a2006 x 2006 -------①

(? x ? 2)2006 =a0 ? a1 x1 ? a2 x 2 ? a3 x3 ? ? ? a2006 x 2006 -------② ① ? ②得2(a1 x ? a3 x3 ? a5 x5 ? ? ? a2005 x 2005 ) ? ( x ? 2) 2006 ? ( x ? 2) 2006

1 ? ( x ? 2)2006 展开式的奇次幂项之和为S ( x) ? [( x ? 2)2006 ? ( x ? 2) 2006 ] 2
3?2006

1 2 2 当x ? 2时, S ( 2) ? [( 2 ? 2) 2006 ? ( 2 ? 2) 2006 ] ? ? 2 2
题型十:赋值法;

? ?23008

例:设二项式 (3 3 x ? ) n 的展开式的各项系数的和为 p ,所有二项式系数的和为 s ,若

1 x

p ? s ? 272 ,则 n 等于多少?
0 n n 解:若 (3 3 x ? ) n ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ??? ? an x n ,有 P ? a0 ? a1 ? ??? ? an ,S ? Cn ? ?? ?Cn ? 2 ,

1 x

n 令 x ? 1 得 P ? 4 ,又 p ? s ? 272 ,即 4 ? 2 ? 272 ? (2 ? 17)(2 ? 16) ? 0 解得
n n n n

2n ? 16或2n ? ?17(舍去) ,?n ? 4 .
? 1 ? ? 练:若 ? ?3 x ? ? 的展开式中各项系数之和为 64 ,则展开式的常数项为多少? x? ? ? 1 ? n ? 解:令 x ? 1 ,则 ? ?3 x ? ? 的展开式中各项系数之和为 2 ? 64 ,所以 n ? 6 ,则展开式的常数 x? ?
3 项为 C6 (3 x )3 ? (?

n

n

1 3 ) ? ?540 . x

例: 若(1 ? 2 x)2009 ? a0 ? a1 x1 ? a2 x 2 ? a3 x3 ? ? ? a2009 x 2009 ( x ? R), 则 解: 令x ?

a a1 a2 ? 2 ? ??? ? 2009 的值为 2 2 22009

a a a a a a 1 , 可得a0 ? 1 ? 2 ? ??? ? 2009 ? 0,? 1 ? 2 ? ??? ? 2009 ? ?a0 2 2009 2 2 2 2 2 2 2 22009 a a a 在令x ? 0可得a0 ? 1,因而 1 ? 2 ? ??? ? 2009 ? ?1. 2 2 2 22009
5 5 4 3 2 1

练: 若( x ? 2) ? a5 x ? a4 x ? a3 x ? a2 x ? a1 x ? a0 , 则a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? ____ . 解: 令x ? 0得a0 ? ?32, 令x ? 1得a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? ?1,

? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 31.
题型十一:整除性; 例:证明: 32 n ? 2 ? 8n ? 9(n ? N * ) 能被 64 整除 证: 3
2n?2

? 8n ? 9 ? 9n?1 ? 8n ? 9 ? (8 ? 1)n?1 ? 8n ? 9

0 n ?1 1 n n ?1 2 n 1 n ?1 ? Cn ? Cn ?1 8 ?1 8 ? ??? ? Cn ?1 8 ? Cn ?1 8 ? Cn ?1 ? 8n ? 9 0 n ?1 1 n n ?1 2 0 n ?1 1 n n ?1 2 ? Cn ? Cn ? Cn ?1 8 ?1 8 ? ??? ? Cn ?1 8 ? 8( n ? 1) ? 1 ? 8n ? 9 ? Cn ?1 8 ?1 8 ? ??? ? Cn ?1 8

由于各项均能被 64 整除? 32 n ? 2 ? 8n ? 9(n ? N * )能被64整除

二项式定理的应用
一、概述
二项式定理是人教版《普通高中课程标准实验教科书》数学选修 2-3 的第二章的课程内容,共 包含两个课时。 “二项式定理的应用”是在前面学习的二项式定理的基础上对涉及二项式定理的相关题目进行 解题训练和研究的课题。

二、教学目标分析
1.知识与技能 (1)能熟练的运用二项式定理进行解题; (2)能准确熟练的运动二项式定理的通项进行解题; (3)熟练掌握二项式定理的相关性质。

2.过程与方法 (1)引导学生通过观察、分析、归纳,自主总结出二项式定理的相关性质; (2)通过习题的训练使学生能熟练的运用二项式定理的性质及二项式的通项解决相应的问题; (3)通过观察法使学生了解到从简单到复杂,由特殊到一般的学习过程,也使学生学会通过自身的 观察来分析问题、解决问题,进而找出规律。 3.情感态度与价值观 (1)使学生了解到学习数学的科学性及解题的技巧; (2)使学生学会分析问题的方法和思路。

三、学习者特征分析
在前面学习了二项式定理及其通项之后,同学们对二项式定理及其通项有了一定的了解,也有了 一定的分析方向,二项式定理及其通项的运用相对来说比较简单,只要掌握了一定的方法之后运用 二项式定理及其通项解答相关题目还是比较容易的。

四、教学策略选择与设计
(1)回顾阶段: 首先对前面学习过的二项式定理及其通项的相关性质进行回顾,包括二项式定理、二项展开式的 通项、二项式系数。 (2)引入阶段: 对前面学习的内容进行了复习之后,先给出一些简单的二项式让学生进行展开,然后归纳总结二项 式定理可能会考到的习题目类型。 (3)运用阶段: 在熟练掌握二项式定理及其通项的基础上,针对不同类型的题目进行针对性的训练,进行的方式采 用:老师讲解一个题目,然后学生自己做类似的 3 个题目。 (4)巩固阶段: 课程结束后,布置一些相关的作业,让学生对课堂上所学的知识、方法和技巧进行复习和巩固。

五、教学资源与工具设计
人教版《普通高中课程标准实验教科书》选修 2-3 教材、多媒体教室黑板。

六、教学过程
(1)回顾阶段: (2 分钟) 熟话说:温故而知新。那么现在大家来回顾一下上节课我们都学了哪些内容, 付云同学,你起 来说一下我们上节课学了哪些内容: 学生回答:??? 老师:付云同学回答的很全面,上节课我们主要学习了二项式定理: 二项式定理: ? a ? b ? ? Cn a ? Cn a
n 0 n 1 n ?1 2 n?2 2 k n?k k n n b ? Cn a b ? ??? ? Cn a b ? ??? ? Cn b ? n ? N ? ? (板书)

其中的 Cn 我们称为二项式系数 二项式系数: Cn (板书) 通项: Tk ?1 ? Cn a
k n?k k

k

b k (指的是第 k+1 项,而不是第 k 项) (板书)

老师:在这里要特别注意二项式系数和项的系数的区别,这是两种不同的概念。 (2)引入阶段: 在上节课中我们学习了二项式定理的基本知识和相关性质。那么这节课我们将要对上节课所学 习的知识加以运用和检测。二项式定理是每年高考常考的内容之一,主要以选择题和填空题的形式 出现,分值在 5 分左右。下面我们将对二项式定理常见的几种出题类型进行分类总结。 二项式定理的出题题型有以下几种:

(3)运用阶段: 老师:下面我用一个例子来进行演示 第一种:求第 k 项或第 k 项的系数。 (板书) 老师:在做这种类型的题目是最关键的是把通项写出来,然后根据通项来判断某一项的系数,下面 我用一个例子来给大家演示:

1 ? 160 ? 例 1: ? 2 ? 。 (板书) ? 的展开式中的第 4 项是 ? 3 x x? ?
老师:请大家思考 5 秒钟。 老师:第一步,写出通项公式 Tk ?1 ? C 2
k 6 6?k

6

? 1 ? ? ? 3 ? ,第二步,令 k=3 ,则第 4 项应该是: x? ?

k

T3?1 ? C 2
3 6

6 ?3

160 ? 1 ? ?? 3 ? ? ? x x? ? ? 1 ? ?? 3 ? x? ?
k

3

以下内容板书: 通项: Tk ?1 ? C 2
k 6 6?k

令 k=3

1 ? 160 3 6 ?3 ? 第四项: T3?1 ? C6 2 ? ? 3 ? ? ? x x? ?
老师:现在请同学们拿出笔和纸,用 30 秒钟快速算出下面这个题的答案: 1、 求 ? 2 x ?
5

3

? ?

1? (板书) ? 的展开式中的第 4 项及第 4 项的系数。 x?

老师:30 秒时间到!高智亮,你算出来的结果是多少? ……… 老师:答案完全正确!还有没有谁算出其他的结果? 答案完全统一 解析:求第 4 项时 k=3,第 4 项为 T3?1 ? C 该是 C5 2
3 2

3 5

? 2x ?

5 ?3

3 ?1 ? 1? 3 2 ? ? ? ? C5 2 ? ?1? x ,所以第 4 项的系数应 ? x?

3

? ?1?

3

? ?40

老师:像这种直接求第 k 项及第 k 项的系数的类型相对比较简单,那下面我们来看比这类题稍微难 一点的题: 第二种:求展开式中次数为某一确定值的项的系数。 (板书) 例 2: ?1 ? 2 x ? 的展开式中, x 的系数为____________。 (板书)
5

2

老师:请同学们先思考 5 秒钟。 老师:在做这种题时第一步先写出它的通项: Tk ?1 ? C5 ? 2 x ? ? 2 C5 x ,
k k k k k

2 然后令 k=2,这是就可以得到 x 的系数为: 2 ? C5 ? 4 ?10 ? 40
2 2

老师:像这类题目是最喜欢考的题型之一,但同时也是比较简单的一种题型,我相信对于我们班的

同学来说根本就不是什么问题。 老师:下面请同学们拿出笔和纸,用 5 分钟快速的把下面的 4 个题目做出来: 老师:刘昶忻,第一题的答案是多少?第二题算出来了吗,答案是多少?第三题呢? 老师:还有没有同学有其他答案的?那么现在我们来看看大家算的结果是否和我的一样。

? x 2 ? 3 2 1、在 ? 的二项展开式中, x 的系数为 ? 。 (板书) ? ? ? 2 ? 8 x ? ? ? x? k 老师:第一步:写出通项 Tk ?1 ? C6 ? ? 2 ? ? ? ?
1

6

6?k

? 2 ? k 2 k ? 6 k 3? k ?? ? ? ? ? ?1? 2 C6 x ,第二步:令 3-k=2, x? ?
1

k

2 则 k=1,第三步:求出 x 的系数为 ? ?1? 2 C6 = ?
?4

3 8
2 。 (板书)

2、 (1 ? 2 x ) (1 ? 3 x ) 的展开式中 x 的系数是
3 5

老师:什么情况下会出现 x 的一次项?是不是只有当这两个二项式的展开式中一个取常数,另一个 取一次项的时候才会出现 x 的一次项?所以 第一步:写出 (1 ? 2 x ) 和(1 ?
3 3 3

x ) 的展开式, Tk ?1 ? C 2 x 、 Tk ?1 ? C
5

k 3

k

k 2

k 5

? ?1?

k

x

k 3

第二步:确定 (1 ? 2 x ) 和(1 ? 3 x ) 的一次项和常数项,有两种可能
5

第三步:求出 (1 ? 2 x ) (1 ? 3 x ) 展开式中 x 的系数为 ?C5 ? 2 C3 ? ?10 ? 12 ? 2
3 5 2 2 2

1? x 3、已知等差数列 ? an ? 的通项公式为 an ? 3n ? 5 ,则 ?1 ? x ? ? ?1? x ? ? ?
5 6

?

7

的展开式中含 x 的

4

系数是该数列的第

20

项。

第三种:求展开式中的常数项或有理项。 (板书)
x ?x 例 3: 4 ? 2

?

? ? x ? R ? 展开式中的常数项是
6

15

。 (板书)

老师:请大家先思考 5 秒钟。 老师:这个题的做法和上面的做法相类似
k x 第一步:先求通项 Tk ?1 ? C6 4

? ? ? ?2 ? ? ? ?1?
6? k ?x k

k

C6k 2?

12 ? 3 k ? x



第二步:令 12 ? 3k ? 0 得 k=4,
4 第三步:将 k=4 带入,求出常数项为 ? ?1? C6 ? 15 。 4

老师:在求展开式中的常数项的时候我们 第一步:写出通项 第二步:将 x 的幂设为 0,求出 k 的值, 第三步:将 k 带入,求出常数项。 老师:同样的,请同学们拿出笔和纸,用 5 分钟快速的把下面的 4 个题目做出来: 老师:大家都算出来了没?杨文奇,第一题你算出来的结果是多少?毕筱琪,第二题算出来没?第 三题的结果是多少,有谁算出来了?

1 ? ? 1、 ? x ? (板书) ? 的展开式中的常数项为 -220 。 3 x? ?
老师:按照步骤,第一步写出通项 Tk ?1 ? C x 第二步:令 12 ?
k 12 ? k 12 4 (12 ? k ) ? 1 ? k k ? ? ? 3 ? ? C12 ? ?1? ? x 3 , x? ? k

12

4 k ? 0, 得k ? 9 3
9 3

第三步:将 k=9 带入,求出常数项 T10 ? ?C12 ? ?C12 ? ?220

1? ? 2、 (1 ? x ? x ) ? x ? ? 的展开式中的常数项为 -5 。 (板书) x? ?
2

6

3、若 C

3 n ?1 27

?C

n ?6 27

2 ? ? ? n ? N *? ,则 ? x ? 3 ? 的展开式中的常数项是 x? ?

n

-80

。 (用数字作答) (板

书) 解析:n=5 4、在 x ? 4 3 y

?

?

20

的展开式中,系数为有理数的项共有
k k

6

项。

k 4 20? k k k 4 解析:通项 Tk ?1 ? C20 3 x y ,其系数为 C20 3 ,当 k=0、4、8、12、16、20 时,其系数为有理

数,?共有 6 项。 第四种:求二项式中的未知数的值。 (板书)

a? ? 3 例 4: ? x ? ? 展开式中 x 的系数为 10,则实数 a 等于___________。 x ? ?
老师:请同学们先思考 5 秒钟。 老师:谁能告诉我怎么解? 老师:像这样的题目,它先告诉了我们 x 的系数为 10,然后让我们求出二项式中位置的量 a,这种 题目跟上面两种类型的题目的解法是一样的,只是多了一步而已,那么我们来看看怎么解。 解析: 第一步:写出 ? x ?
3

5

? ?

a? 5? k ? a ? k k k 5? 2 k ? 的通项 Tk ?1 ? C5 ? x ? ? ? ? a C5 x , x? ?x?
1

5

k

第二步:令 5 ? 2k ? 3 ,求出 k ? 1
3 第三步:由题目已知条件有 x 项的系数为 a ? C5 ? 10,? a ? 2

老师:在求展开式中的未知数的时候我们 第一步:写出通项 第二步:通过已知条件,求出 k 的值, 第三步:将 k 带入通项,解出未知数。 老师:同样的,请同学们拿出笔和纸,用 2 分钟快速的把下面的 2 个题目做出来:

老师:第一题的结果是多少,谁能告诉我?第二题呢?

? a? 1、若 ? x ? 2 ? 展开式的常数项为 60,则常数 a 的值为 ? x ? ? ?
解析: 第一步:求出通项: Tk ?1 ? C
k 6

6

4



? ?1?

k

a

k 2

? x?

6 ?3 k



第二步:令 6-3k=0,则 k=2, 第三步:将 k=2 带入通项得 C6 ? a ? 60 ,解出 a=4
2

a ? ? 3 2、设二项式中 ? x ? ? (a ? 0) 展开式中 x 的系数为 A,常数项为 B,若 B =4A,则 a 的值是 x? ?
2 。

6

第五种:求展开式中的部分项的系数的和。 (板书) 例 5:若 ( x ? 2) ? a5 x ? a4 x ? a3 x ? a2 x ? a1 x ? a0 ,则 a5 ? a4 ? a3 ? a2 ? a1 =
5 5 4 3 2

31

老师:谁能告诉我这个题怎么做? ……… 老师:这类题目最重要的是观察特征,通过观察就会发现这类题目都可以通过取特殊值求出结果。 那么我们来看这个题 第一步:令 x=0,求出 a0 = ? 32 第二步:令 x=1,求出 a5 ? a4 ? a3 ? a2 ? a1 ? a0 ? ?1 第三步:求出 a5 ? a4 ? a3 ? a2 ? a1 =31 老师:在遇到求展开式的部分系数之和的问题时,我们一般采用“赋值法”,对展开式两端的 x 赋以 同值,利用恒等关系确定系数的和。但是如何赋值,我们要仔细的观察所求的式子的特征。 下面请大家用 5 分钟快速的解出以下的 5 个题目,在解题的时候一定要仔细观察式子的特征, 选择合适的特殊值进行赋值。 练习: 1、 (1 ? 2 x) ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ... ? a2009 x
n 2 2009

( x ? R) ,则

a a1 a2 的值为 -1 。 ? 2 ? ... ? 2009 2 2 22009

老师:在解这个题的时候我们观察到它的右边没有 a0 ,当令 x=0 时就可以快速的求出 a0 ? 1

1 1 1 ,并且 的幂跟 a 的下角标是一样的,这个时候我们可以令 x= 。 2 2 2 a a a a a a 1 解析:令 x =0,则 a0 ? 1 ,令 x ? ,则 a0 ? 1 ? 2 ? ... ? 2009 ? 0 ,? 1 ? 2 ? ... ? 2009 ? ?1 2 2009 2 2 2 2 2 2 2 22009
,而且右边的每一项都有

? 展开式中不含 x 项的系数的和为 0 。 解析:展开式的通项 T ? C 2 ? ? ? x ? ,则含 x 项的系数为 1,令 x=1,则展开式所有项系数
2、 2 ? x
8
4

?

k ?1

k 8

8? k

k

4

和为 2 ? 1

?

?

8

? 1 ,因此展开式中不含 x 4 项的系数的和为 1-1=0
2 6

3、 ?1 ? 2 x ? ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ??? ? a6 x ,则 a0 ? a1 ? a2 ? ??? ? a6 的值为
6

729



4、已知 ? x ? 1? ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ??? ? a15 x ,则 a0 ? a1 ? a2 ? ??? ? a7 等于
15 2 15

214 。

解析:
0 15 1 14 15 ? ? x ? 1? ? C15 x ? C15 x ? ... ? C15 15

? a15 x15 ? a14 x14 ? ... ? a1 x ? a0
15 14 8 ? a0 ? a1 ? a2 ? ??? ? a7 ? C15 ? C15 ? ... ? C15

?

1 0 1 15 C15 ? C15 ? ... ? C15 ? 214 ? ? 2

第六种:综合运用

a ?? 1? ? 1、 ? x ? ? ? 2x ? ? 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为 40 。 x ?? x? ?
解析: 令 x=1,的展开式各项系数的和 ?1 ? a ?? 2 ? 1? ? 2,? a ? 1 。
5

5

1? k ? ? 二项式 ? 2 x ? ? 的通项为 Tk ?1 ? C5k ? ?1? ? 25? k ? x 5? 2 k , x? ? 1 ?? 1? ? ? ? x ? ?? 2x ? ? 展开式中的常数项为: x ?? x? ?
5

5

1 3 2 3 x ? C5 ? ?1? 22 ? x?1 ? ? C52 ? ? ?1? 23 ? x ? ?40 ? 80 ? 40 x
1 ? ? 2、设 ? 5 x ? ? 的展开式的各项系数之和为 M,二项式系数之和为 N,若 M-N=240,则展开式中 x? ?
n

x 的系数为

150



(4)巩固阶段: 课程结束后,布置一些相关的作业,让学生对课堂上所学的知识进行复习和巩固;

七、教学评价设计
这堂课通过老师先交方法,然后让学生模仿老师的方法解相类似的题,通过老师讲解例题和学生自 己做练习题,可以让学生更好的掌握和运用所学习的知识和技巧。

八、帮助和总结 这节课我们对二项式定理的考查类型进行了归纳总结,主要六种:
第一种:求第 k 项或第 k 项的系数。 第二种:求展开式中次数为某一确定值的项的系数。 第三种:求展开式中的常数项或有理项。

第四种:求二项式中的未知数的值。 第五种:求展开式中的部分项的系数的和。 第六种:综合运用 不管是哪种类型的题目,其中最重要的还是通项的应用,不管哪类题目都离不开通项公式,所以大 家一定要把通项运用熟练,那么今天的课程就上到这里,课后大家把课本后面的题目做了,有问题 的话我们下午第四节课一起来探讨,下课!


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