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高中数学人教B版必修2同步测试:1.1.3《圆柱、圆锥、圆台和球》



1.1.3《圆柱、圆锥、圆台和球》
双基达标 1.下列几何体中是台体的是 ?限时20分钟? ( ).

解析 A 中的几何体侧棱延长线没有交于一点;B 中的几何体没有两个平行的面;很明显 C 中几何体是棱锥. 答案 D 2.给出下列命题: ①直线绕直线旋转形成柱面; ②曲线平移一定形成曲面; ③直角梯形绕一边旋转形成圆台; ④半圆面绕直径所在直线旋转

一周形成球; 其中正确的个数为 A.1 C.3 B.2 D.0 ( ).

解析 ①错.当两直线相交时,形不成柱面; ②错.也可能形成平面. ③错.若绕底边旋转,则不能形成圆台; ④对.据球的定义知,正确. 答案 A 3.下列说法中: ①到定点的距离等于定长的点的集合是球面; ②球面上三个不同的点,一定能确定一个圆; ③一个平面与球相交,其截面是一个圆. 其中正确的个数为 A.0 C.2 B.1 D.3 ( ).

解析 ①②都对.③中一个平面与球相交,其截面是一个圆面,而不是圆. 答案 C 4.给出下列命题: ①圆柱的母线与它的轴可以不平行; ②圆锥的顶点、 圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角 形; ③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线; ④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的. 其中正确的是________. 解析 由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确,①③错误. 答案 ②④ 5.用不过球心 O 的平面截球 O,截面是一个球的小圆 O1,若球的半径为 4 cm,球心 O 与小圆圆心 O1 的距离为 2 cm,则小圆半径为________cm. 解析

画出轴截面如图所示, 则 OA=R=4,OO1=2. ∴小圆半径为 O1A= OA2-OO2 1=2 3. 答案 2 3 6.一个圆台的母线长为 12 cm,两底面面积分别为 4π cm2 和 25π cm2,求: (1)圆台的高; (2)截得此圆台的圆锥的母线长. 解

(1)圆台的轴截面是等腰梯形 ABCD(如图).由已知可得上底一半

O1A=2 cm,下底一半 OB=5 cm. 又因为腰长为 12 cm, 所以高为 AM= =3 15(cm). (2)设截得此圆台的圆锥的母线长为 l, 则由△SAO1∽△SBO 可得 ∴l=20(cm). 即截得此圆台的圆锥的母线长为 20 cm. 综合提高 ?限时25分钟? l-12 2 l =5, 122-?5-2?2

7.用平行于圆锥底面的平面截圆锥,所得截面面积与底面面积的比是 1∶3,这个截面把 圆锥的母线分为两段的比是 A.1∶3 C.1∶9 B.1∶( 3-1) D. 3∶2 ( ).

解析 由截面与底面面积之比是 1∶3,可得截面圆与底面圆半径之比为 1∶ 3,于是小 圆锥与大圆锥母线之比为 1∶ 3,所以上下两部分的比为 1∶( 3-1). 答案 B 8.已知球 O 的半径为 4,圆 M 与圆 N 为该球的两个小圆,AB 为圆 M 与圆 N 的公共弦 AB=4,若 OM=ON=3,则两圆圆心的距离 MN= A.4 C.2 B.3 D.5 ( )。

解析 由已知得△AOB 为正三角形,其边长为 4. 设 AB 的中点为 O1,则|OO1|=2 3. 又 OM=ON=3.O1M=O1N= 3 ∴MN=2× 答案 B 9.半径为 3 cm 的球内接正方体的棱长为________cm. 解析 球的直径为正方体的对角线,设棱长为 a, 则 3a=2×3,a=2 3. 3× 3 =3.故选 B 2 3

答案 2 3 10. 湖面上浮着一个球, 湖水结冰后将球取出, 冰上留下一个冰面直径为 24 cm, 深为 8 cm 的空穴,则这个球的半径为________. 解析 设球的半径为 x. 由题意有:x2=122+(x-8)2 ∴x=13 答案 13 11.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,轴截面的面积等于 392 cm2,母线与 轴的夹角是 45° ,求这个圆台的高、母线长和两底面半径. 解 圆台的轴截面如图所示,

由题意设圆台上、下底面半径分别为 x cm, 3x cm,延长 AA1 交 OO1 的延长线于 S. 在 Rt△SOA 中,∠ASO=45° . 则∠SAO=45° ,所以 SO=AO=3x,同理:SO1=A1O=x.所以 OO1=2x.又 S
轴截面

1 =2(6x+

2x)· 2x=392,所以 x=7.所以圆台的高 OO1=14 cm,母线长 L= 2OO1=14 2 cm,两底面半 径分别为 7 cm,21 cm. 12.(创新拓展)把半径为 2 的四个小球垒成两层放在桌上,下层放 3 个,上层放 1 个,两 两相切,求上层的最高点离桌面的距离. 解 设放下层三个球的球心为 O1、O2、O3,上层一个球的球心为 O,上层最高点为 P(如 图).

过点 O 作 OO′⊥平面 O1O2O3 于点 O′,

且点 P 在 OO′上. ∵OO1=OO2=OO3=O1O2=O2O3=O1O3=2r=4. 又∵O′为△O1O2O3 的外心, 4 3 ∴O1O′= 3 . 4 6 2 在 Rt△OO1O′中,OO′= OO1 -O′O2 1= 3 , ∴上层的最高点离桌面的距离 h=2+2+ 4 6 4 6 =4+ . 3 3



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