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现代信号理论讲义4(信号空间的线性算子)



第四章
?

信号空间的线性算子

信号处理系统
由完成各种基本运算的部件组成。 (放大、滤波、调制、检测…)

y ? S ( x)
x ?Va
S

x ?Vb

数学描述:
定义域

值域

r />S : Va ? Vb y ? S ( x) ?x ?Va

映射关系

信号空间算子的实例:
?

放大

y (t ) ? K ? x(t )
数乘算子

x(t )

K

y(t )

信号空间算子的实例:
?

滤波

y (t ) ? x(t ) ? h(t )
x(t ) h(t ) y(t )
卷积算子

信号空间算子的实例:
?

雷达回波模型

信号空间算子的实例:
?

雷达回波分析 ---------点目标 发射信号:

x(t )

目标后向散射系数: ? 0 接收信号:

y(t ) ? ?0 x(t ?? )

数乘算子+时延算子

信号空间算子的实例:
?

雷达回波分析 ------面目标(不考虑散射和传播的差异) 发射信号:

x(t )

目标后向散射系数: ?0 ( x, y) 接收信号: y(t ) ? ? ? 0 ( x, y) x(t ? ? ( x, y))dxdy
D

卷积算子

信号空间算子的实例:
?

雷达回波分析 ------面目标(考虑散射和传播的差异) 发射信号:

x(t )

目标后向散射系数: ?0 ( x, y) 接收信号:

y(t ) ? ? ? 0 ( x, y) x(t , x, y)dxdy
D

积分算子

1.信号的积分变换与表示:
x(t ) ? ? ai?i (t )
i ?1 n

t ?T

信号离散表示推广到连续函数。

x(t ) ? ? u ( s )? (t , s )ds,
S

t ?T

积分变换核函数

分析:
x(t ) ? u(s)
能否变换回来?
u (s) ? x(t )



u(s) ? ? x(t )? (s, t )dt,
T

s ?S

对偶核函数

可逆性分析:
x(t ) ? ? u ( s )? (t , s )ds,
S

t ?T

u(s) ? ? x(t )? (s, t )dt,
T

s ?S
x(t ) ? ? ? x(? )? ( s,? )? (t , s) d? ds,
S T

? ? I (t ,? ) x(? )d?
T

其中 I (t ,? ) ? ? ? ( s,? )? (t , s)ds
S

可逆性分析:
可逆条件
I (t ,? ) ? ? ? ( s,? )? (t , s)ds ? ? (t ? ? )
S

自对偶

? (t , s) ? ? *(s, t )

自对偶积分变换的特性:
(u, v) ? ? u ( s)v *( s)ds

x(t ) ? u ( s) y (t ) ? v( s)

S

? ? ? ? x(t ) y *(? )? ( s, t )? *( s,? )d? dtds
STT

? ? ? x(t ) y *(? )? (t ? ? )d? dt
TT

? ? x(t ) y *(t )dt ? ( x, y )
T

内积保持不变

积分变换实例:
傅立叶变换
T ? S ? ( ??, ? )

? (t , s ) ? e jst ? ( s, t ) ? e ? jst

( X ( f ), Y ( f )) ? ( x(t ), y(t ))
帕塞瓦恒等式

满足自对偶性
傅立叶变换的时频对偶特性

差变量核函数:
积分变换的核函数
? (t , s) ? ? (t ? s) T , S ? (??,? )

信号表示形式:
x(t ) ? ? u ( s )? (t ? s ) ds,
S

t?T

对偶核函数?

差变量核函数:
x(t ) ? ? u ( s )? (t ? s )ds,
S

t ?T

傅立叶变换
X ( f ) ? U ( f )? ( f ) 1 ?U( f ) ? X(f ) ?( f )
代表什么?

u(s) ? ? x(t )? (s ? t )dt,
T

s ?S

例:Hilbert变换
x(t ) 1 H [ x](s ) H [ x](s) ? ? dt ? x(t ) ? ? ds ? ?? s ? t ? ?? s ? t 1
? ?

?1 变换核:? (t - s ) ? ? (t ? s)

?( f )=j sgn f ? ?( f ) ? ? j sgn f 1 ? ? (s ? t ) ? ? (s ? t )

自对偶

2. 线性变换(线性算子)
?

定义

X , Y 是线性空间,L:X ? Y 满足 L(? x1 ? ? x2 ) ? ? L( x1 ) ? ? L( x2 ) 则称L是线性算子。 当Y 为数域C时,称线性算子L为线性泛函。

例:
?
? ?

多项式空间上的求导运算; 有限维向量空间上的基变换; 能量有限信号空间上的傅里叶变换。 。。。。。。

线性变换(线性算子)的连续性
X , Y 是赋范线性空间,L:X ? Y的线性算子,且满足 若xn ? x0 , 则Lxn ? Lx0 则称Lx0连续。 若L在其定义域D (L)上的每一点连续,则称L为连续线性算子。

?

线性算子若在原点连续,则为连续线 性算子;

线性算子的有界性和连续性
X , Y 是赋范线性空间,L:X ? Y的线性算子,且存在常数k , 满足 Lx ? k x ?x ? D( L) 则称L为有界线性算子。

?

线性算子的有界性和连续性等价。

线性变换(线性算子)空间

?

?
?

线性算子的运算(加、数乘) 线性算子的范数 (赋范线性空间) 线性算子空间构成一个代数。(算子乘法)

线性算子空间
?

线性算子的运算(加、数乘)

( L1 ? L1 )( x) ? L1 ( x) ? L2 ( x) (? L)( x) ? ? L( x)
线性算子的全体构成线性空间。
?

?

线性算子空间
?

线性算子的范数
L ? inf{k : L( x) ? k x , ?x ? D (L) }
?

线性算子的全体构成赋范线性空间。
?

线性算子范数的其他表述

L =sup{ L( x) ; x ? 1, x ? D (L) }

线性算子范数:
?


?

L2空间的傅里叶变换
Lx 2 =(Lx, Lx)=(x, x)= x 2 , x ? L2 ? L 2 ?1
2 2

3. 有限维内积空间的线性算子
X 是有限维线性空间,则 x(t ) ? ? ai?i (t )
i ?1 n

x? X

L( x) ? ? ai L?i (t )
i ?1

n

空间的基

基的变换响应

若L:X ? X , (自映射线性算子) 则L? j (t ) ? ? ? i , j?i (t )
i ?1 n

L?? ? ?i , j ? ?

L( x ) ? ? ai L?i (t )
i ?1

n

? ? ai ? ? i , j? j (t )
i ?1 n j ?1

n

n

? ? b ? La

? ? (? ai ? i , j )? j (t )
j ?1 i ?1

n

4.

2 L 空间的线性算子
x(t ) ? ? u ( s )? (t , s )ds,
S

t ?T
t ?T

输入信号
输出信号
t ?T

y (t ) ? ? v( s )? (t , s )ds,
S

y (t ) ? L ? x(t ) ? ? u ( s)( L ? ? (t , s))ds,
S

? ? u ( s)? (t , s)ds,
S

t ?T

t:自变量 s:参变量

其中

? (t , s)=L ? ? (t , s)

2 L 空间的线性算子的三种表示:

L : x(t ) ? y(t )

信号变换

L : ? (t , s) ?? (t , s)

基变换
分量密度函数 变换

L : u ( s ) ? v( s )

线性算子的第三种表示:
y (t ) ? ? v( s )? (t , s )ds,
S

t ?T

v( s ) ? ? ? u (? )? (t , ? )? ( s, t )d? dt
T S

v(s) ? ? y(t )? (s, t )dt ,
T

s ?S
其中

? ? u (? ) L( s, ? )d?
S

y (t ) ? ? u ( s )? (t , s )ds,
S

t ?T

L( s, ? )= ?? (t , ? )? ( s, t ) d? dt
T

变换核函数
x(t ) u ( s) ? (t , s )

线性网络 L ( s, ? )

y (t ) v( s )

? (t , s )

例:信号的频域表示
? (t , s) ? e j 2? st
X , Y 表示输入信号x(t )和输出信号y (t )的傅里叶变换; 若网络的冲激响应为h(t ) 则对基函数? (t , s ) ? e j 2? st的响应为

? (t , s) ? ? h(t ,? )e j 2? s? d? ,
R

L( s, ? )= ?? (t , ? )? ( s, t )d? dt
R ? ?

? Y( f ) ?

?? ?? ?

??

h(t ,? )e ? j 2? st e j 2? s? dtd?

??

? L( f , v) x(v)dv

5.线性算子的实例
?

?
? ?

?
? ?

非时变算子 恒等算子 乘法器 微分算子 时间平均算子 理想滤波算子 匹配滤波(相关)算子

6. L2空间线性算子的有限维近似
如何解决无限维空间上算子实现的困难?

思路1: 将线性算子的定义域限制在有限维空间上;
M n是由{?i ,i=1,2,...,n}张成的空间,则 x(t ) ? ? ai?i (t )
i ?1 n

x ? Mn

Lx(t ) ? ? ai L?i (t )
i ?1

n

Lx ? M n ?

定义:Ln x ? PM Lx
? (t ) ? PM n y ? ? ( y, ?i )?i (t ) y
i ?1 n

n

?x ? M n
投影算子

? ? ( Lx, ?i )?i (t )
i ?1 n

n

? ? ( L(? a j? j ), ?i )?i (t )
i ?1 n j ?1

n

? ?? ( L? j , ?i )a j?i (t )
j ?1 i ?1 n n

n

误差?

? ?? ? i , j a j?i (t )
j ?1 i ?1 n

? ? ? i?i (t )
j ?1

?

线性算子的范数
L ? inf{k : L( x) ? k x , ?x ? D (L) }
?

? L( x) ? Ln ( x) ? L ? Ln x L( x) ? Ln ( x) ? ? L ? Ln x

?x?D (L)

适当选择{?i ,i=1,2,...,n},使 L - Ln 尽可能地小

例:
M n是由正交基{?i =? (t ? i? ),i ? 0,1, 2,..., n ? 1}张成的子空间, L为非时变算子,网络冲激响应为h(t )。 则 L ? j (t ) ?
?

??

(? ? j? )d? ? ? (t ? j? ) ? h(t ? ? )?
?

? ?i , j ? ( L? j (t ), ?i ) ? ? ? (t ? j? )? (t ? i? )dt
??

? ? ? (? )? (? ? (i ? j )? )d? ? hi ? j
??

?

LM n

? h0 ?h ? 1 ? ? h2 ? ? ? ? ? hn ?1
n ?1 i ?0

h?1 h0 h1 ? hn ? 2

h?2 ... h1? n ? h?1 ... h2? n ? ? h0 ... h3? n ? ? ? ... ... h0 ? ?

x(t ) ? ? a j? j (t ) Ln x(t ) ? ? ( L(? a j? j ), ?i )?i (t )
i ?0 j ?0 n ?1 n ?1

? ? b ? Ln a
? i ? ? hi ? j a j
j ?0 n ?1

? ?? ( L? j , ?i )a j?i (t )
j ?0 i ?0

n ?1 n ?1

? ?? ?i , j a j?i (t )
j ?0 i ?0

n ?1 n ?1

? ? ? i?i (t )
j ?0

n ?1

7. 算子的谱表示
什么是算子的最佳表示方式?

算子的特征矢量: S ? {x; Lx ? ? x

算子的特征值
? ? C}

特征矢量

M n是由{?i ? S,i=1,2,...,n}张成的空间,则 x(t ) ? ? ai?i (t )
i ?1 n n

x ? Mn
n

Lx(t ) ? ? ai L?i (t ) ? ? ai ?i?i (t )
i ?1 i ?1

算子的表示和实现将非常简单!

伴随算子
定义: (Lx, y)? ( x, L?y) ?x, y ? D( L)

伴随算子

伴随算子的性质
1. 2. 3. 4. 5. 6. L? (? x ? ? y ) ? ? L?x ? ? L?y (L?)? ? L (? L)? ? ? * L? L? ? L L? ? L ? L ? L ? ? L ? L1? ( L1 L2 )? ? L2
2

伴随算子的特征值和特征矢量
M n是由{?i ? S,i=1,2,...,n}张成的空间, {?i }是L?对应的逆转基。则有 (L??i,x)( ? L??i, ? a j? j)
j ?1 n

x? Mn

? (L??i,( ? x,? j)? j )
j ?1

n

?? (x,?i)(L??i,? j )
j ?1 n

n

?? (x,?i)(?i,L? j )
j ?1 n * ? ? ?( j x,? i)(? i,? j ) i ?1 * ? ?( i x,? i)

L??i ? ?i*?i

结论?

正规算子(可交换伴随算子)
L?L ? LL?
分析:

Lx ? (Lx,Lx)=(x,L?Lx) ? (x,LL?x)=(L?x,Lx) ? L?x
2

2

保范

Lx ? 0 ? L?x=0

考察:
H ? L ? ? I , H ? ? L? ? ?* I
可以证明:H也是正规算子

分析:

Hx ? 0 ? H ?x=0

Lx ? ? x

L?x ? ? * x

推论:
正规算子不同特征值的特征矢量正交

? ( i xi ,x j)=(Lxi,x j)
? (xi ,L?x j)=(xi ,? j* x j) ? ?( j xi ,x j)

(xi ,x j)=0

算子特征值和特征矢量的计算
Lx ? ? x

怎样确定特征值和特征矢量?
考虑算子的有限维近似。 M n是由{?i ? S,i=1,2,...,n}张成的空间, {?i }是L?对应的逆转基。 由 Ln x ? ? x x ? ? ai?i
j ?1 n

(Ln x,?i) ?? (x,?i )=0, i ? 1, 2,? n 其中

算子特征值和特征矢量的计算
(Ln x,?i) ?? (x,?i )=0, i ? 1, 2,? n ? ? 其中 (L ( ,?i) ?? (? ai?i ,?i )=0, i ? 1, 2,? n n ? ai?i) ? (Ln ? ? I)a ? 0, Ln ? ? ?? i , j ? ?
j ?1 j ?1 n n

? i , j ? ( ?i , ? i )

矩阵的特征值和特征矢量求解



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