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江西省南昌市十所省重点中学命制2016届高三第二次模拟突破冲刺数学(理)试题(二)


南昌市十所省重点中学 2016 年二模突破冲刺交流试卷(02) 高三数学(理)
第Ⅰ卷(选择题部分,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.
2 1、已知集合 A ? x 2 x ? 5x ? 3 ? 0 , B ? x ? Z x ? 2 ,则 A ? B 中的元素个数为(

?

?

?

?



(A) 2

(B) 3

(C) 4 )

(D) 5

2、若复数 z 满足 ( z 1? i) ? 1? i ? i ,则 z 的实部为( (A)

2 ?1 2

(B) 2 ? 1

(C) 1

(D)

2 ?1 2

3、 《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题 : “今有女不善织,日减功迟, 初日织五尺,末日织一尺,今三十织迄,问织几何.”其意思为:有个女子不善于织布,每天比前一天 少织同样多的布,第一天织五尺,最后一天织一尺,三十天织完,问三十天共织布( ) (A)30 尺 (B)90 尺 (C)150 尺 (D)180 尺 4、已知抛物线 C : y 2 ? 2 px? p ? 0? 的焦点为 F , P 为 C 上一点,若 PF ? 4, 点 P 到 y 轴的距离等于等于 3,则点 F 的坐标为( ) (A) (?1, 0) (B) (1, 0) (C) (2, 0) (D) (?2, 0)

5、执行如图所示的程序框图,如果输入的 t ? 50 ,则输出的 n ? ( ) (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 6、现有 5 人参加抽奖活动,每人依次从装有 5 张奖票(其中 3 张为中奖票) 的箱子中不放回地随机抽取一张,直到 3 张中奖票都被抽出时活动结束, 则活动恰好在第 4 人抽完后结束的概率为( ) (A)

7、 x 2 ? x ? 2 的展开式中 x 2 的系数等于( ) (A)-48 (B)48 (C)234

?

1 10

(B)

?

1 5

(C)

3 10

(D)

2 5

6

(D)432

?y ? 0 ? 8、 设 x, y 满足 ? ax ? y ? 1 ? 0 , 若 z ? x 2 ?10x ? y 2 的最小值为 ?12 , ?3 x ? 2 y ? 2 ? 0 ?

则实数 a 的取值范围是( (A) a ? ?



1 2

(B) a ? ?

3 2

(C) a ?

1 2

(D) a ?

3 2

4
主视图 左视图

9、某几何体的主视图和左视图如图(1),它的俯视图的 直观图是矩形 O1 A1B1C1 如图(2),其中 O1 A1 ? 6 ,

图(1)

C1 O1C1 ? 2 ,则该几何体的侧面积为( ) (A) 48 (B) 64 (C) 96 (D) 128 A 1 x′ O1 2 x 10、已知函数 f ?x? ? ? x ? ax ? b e ? e ,当 x ? 0 时, f ?x ? ? 0 ,则实数 a 的取值范围为( ) 图(2) (A) a ? 0 (B) 0 ? a ? 1 (C) a ? 1 (D) a ? 1第11题 ? A , B , C AB ? 1, BC ? 2 O OA 11、 已知 在球 的球面上, , 直线 与截面 ABC 所成的角为 30? , ?ABC ? 60 , 则球 O 的表面积为( ) 4 16? (A) 4 ? (B) 16 ? (C) ? (D) 3 3 3 12、已知 y ? f ?x ??x ? R ? 的导函数为 f ?? x ? .若 f ?x ? ? f ?? x ? ? 2 x ,且当 x ? 0 时, f ??x? ? 3x 2 ,则不 等式 f ?x ? ? f ?x ?1? ? 3x 2 ? 3x ? 1 的解集是( )

y′

B1

?

??

?

(A) (?

1 , ??) 2

(B) ( , ??)

1 2

(C) (??, ? )

1 2

(D) (??, )

1 2

第Ⅱ卷(非选择题部分,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分, 第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须做答, 第 22 题~ 第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

13、已知 ? 为第四象限角, sin ? ? 3cos ? ? 1 ,则 tan ? ? 是 .

? ?? ? ? ? ? ? ? 14、对于同一平面的单位向量 a, b, c ,若 a 与 b 的夹角为 60? ,则 (a ? b) ? (a ? 2c) 的最大值
x2 y2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0? 右支上两点,O 为坐标原点,若 ?OAB 是边长 a 2 b2 为 c 的等边三角形,且 c 2 ? a 2 ? b 2 ,则双曲线 C 的渐近线方程为 . 16、已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , S1 ? 6,S2 ? 4,Sn ? 0, 且 S2n , S2n?1,S2n?2 成等比数列,
15、已知 A,B 为双曲线 C :

.

S2n-1 , S2n?2,S2n?1 成等差数列,则 a2016 等于
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤. 17、 (本小题满分 12 分)

.

D

如图,平面四边形 ABCD 中, AB ? 5 , AD ? 2 2 ,

C

CD ? 3 , ?CBD ? 30? , ?BCD ? 120? ,求 (Ⅰ) ?ADB ; (Ⅱ) ?ADC 的面积 S .
A B

18、 (本小题满分 12 分) 从某企 业生产的某种产品中抽取 100 件,测量这些产品的质量指标值,由测量结果得到如图所示的 频率分布直方图,质量指标值落在区间 ?55,65? , ?65,75? , ?75,85? 内的频率之比为 4:2:1 . (Ⅰ)求这些产品质量指标值落在区间
频率 组距 0.030

?75,85? 内的频率;

(Ⅱ)若将频率视为概率,从该企业生产的 这种产品中随机抽取 3 件,记这 3 件产

品中质量指标值位于区间 ? 45,75? 内的产 品件数为 X ,求 X 的分布列与数学期望.

0.019 0.012

0.004 0 15 25 35 45 55 65 75 85 质量指标值

19、 (本小题满分 12 分) 如图,四棱柱 ABCD ? A ? 底面 ABCD , 1B 1C1D 1 的底面 ABCD 是菱形, AC ? BD ? O , AO 1

AB ? AA1 ? 2 .
(Ⅰ)证明:平面 ACO ? 平面 BB1D1D ; 1 (Ⅱ)若 ?BAD ? 60 ,求二面角 B ? OB1 ? C 的余弦值. A1
?

D1 B1

C1

D O A
20、 (本小题满分 12 分)

C B

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于 2 3 . 2 a b 3 (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)过原点且斜率不为 0 的直线 l 与椭圆 C 交于 P,Q 两点,A 是椭圆 C 的右顶点,直线 AP,AQ 分 别与 y 轴交于点 M,N,问:以 MN 为直径的圆是否恒过 x 轴上的定点?若恒过 x 轴上的定点, 请求出该定点的坐标;若不恒过 x 轴上的定点,请说明理由.

以椭圆 C :

21、 (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:当 a ? 0 时,函数 f ?x ? 有且只有一个极值点; 已知函数 f ( x) ? a( x ?1)(e x ? a) .(常数 a ? R 且 a ? 0 ).

(Ⅱ)若函数 f ?x ? 存在两个极值点 x1 , x2 ,证明: 0 ? f ? x1 ? ?

4 4 0 ? f ? x2 ? ? 2 . 2 且 e e

请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按 所做第一个题目计分,做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22、 (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, 已知 AB 是⊙ O 的直径, 点 D 是⊙ O 上一点, 过点 D 作⊙ O 的切线, 交 AB 的延长线于点 C , 过点 C 作 AC 的垂线,交 AD 的延长线于点 E . (Ⅰ)求证: ?CDE 为等腰三角形; (Ⅱ)若 AD ? 2,

BC 1 ? ,求⊙ O 的面积. CE 2

23、 (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? cos? , (其中 ? 为参数), 以坐标原点 O 为极点, ? y ? sin ?

x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 4 sin ? . (Ⅰ)若 A,B 为曲线 C1 , C2 的公共点,求直线 AB 的斜率; (Ⅱ)若 A,B 分别为曲线 C1 , C2 上的动点,当 AB 取最大值时,求 ?AOB 的面积.

24、 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 (Ⅰ)当 a ? 1 时,解不等式 f ?x ? ? 5 ; 已知函数 f ?x? ? x ? 2 ? 2x ? a , a ? R .

(Ⅱ)若存在 x0 满足 f ?x0 ? ? x0 ? 2 ? 3,求 a 的取值范围.

参考答案
一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 60 分. 1.B 2.A 3.B 4.B 5.B 7.B 8.A 9.C 10.D 11.D 6.C 12.B

第 12 题 令 F ( x) ? f ( x) ? x3 ,则由 f ( x) ? f (? x) ? 2 x3 ,可得 F (? x) ? F ( x) ,故 F ( x ) 为偶函数,又
2 当 x ? 0 时 , f ?( x)? 3x 即 F '( x) ? 0 , 所 以 F ( x ) 在 (0, ??) 上 为 增 函 数 . 不 等 式

可化为 f ( x)? f ( x ? 1) ? 2 3 x? 3 x? 1 F ( x) ? F ( x ? 1) ,所以有 x ? x ?1 ,解得 x ? 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13. ? 第 16 题

1 . 2

5 ; 15. y ? ? x ; 16. ?1009 . 2 2 ? ? S2 n S2 n? 2 , ? S 2 n ?1  依题意,得 ? 因为 Sn ? 0 ,所以 2S2n?2 ? S2n S2n?2 ? S2n?2 S2n?4 ,即 ? ?2 S2 n ? 2 ? S2 n ?1 ? S2 n ?1 ,
14.

4 ; 3

2 S2n?2 ? S2n ? S2n?4 (n ? N* ) ,故数列
S3 ? 12, S4 ? 9 . 所 以 数 列

?

S2n 等 差 数 列 是 首 项 为 2 , 公 差 为 1 的 等 差 数 列 . 所 以

?

?

S 2 n 等差数列;又由 S1 ? 6 , S2 ? 4 ,可得

?

S2n ? n ? 1 即 S2n ? (n ? 1)2 , 故 S2n? 1 ?

S 2n S 2? ? 1) ( ? n 2, ) 故 S2016 ? 10092 , n ? 2 ( n

S2015 ? 1009 ?1010 ,故 a2016 ? S2016 ? S2015 ? ?1009 ,答案为 B.
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)在 ?BCD 中,由正弦定理得:

CD 3 3 …………………2 分 ? sin ?BCD ? ? ? 3, 1 sin ?CBD 2 2 在 ?ABD 中,由余弦定理得: AD 2 ? BD 2 ? AB 2 (2 2) 2 ? 32 ? ( 5) 2 2 …………………4 分 cos ?ADB ? ? ? 2 AD ? BD 2 2? 2 2 ?3 所以 ?ADB ? 45? …………………6 分 ? ? ? (Ⅱ)因为 ?CBD ? 30 , ?BCD ? 120 ,所以 ?CDB ? 30 6? 2 因为 sin ?ADC ? sin(45? ? 30? ) ? …………………8 分 4 1 6 ? 2 3? 3 1 所以 S ? AD ? CD ? sin ?ADC ? ? 2 2 ? 3 ? …………………12 分 ? 2 4 2 2 BD ?
18. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)设区间 ?75,85? 内的频率为 x ,

则区间 ?55,65? , ?65,75? 内的频率分别为 4 x 和 2 x .…………………………1 分 依题意得 ? 0.004 ? 0.012 ? 0.019 ? 0.03? ?10 ? 4 x ? 2 x ? x ? 1 ,………………3 分 解得 x ? 0.05 . 所以区间 ?75,85? 内的频率为 0.05 .………………………………………………4 分

(Ⅱ)从该企业生产的该种产品中随机抽取 3 件,相当于进行了 3 次独立重复试验, 所以 X 服从二项分布 B ? n, p ? ,其中 n ? 3 . 由(Ⅰ)得,区间 ? 45,75? 内的频率为 0.3 ? 0.2+0.1=0.6 , 将频率视为概率得 p ? 0.6 .………………………………………………………5 分

因为 X 的所有可能取值为 0,1,2,3,…………………………………………6 分
0 1 2 且 P( X ? 0) ? C3 ? 0.60 ? 0.43 ? 0.064 , P( X ? 1) ? C1 3 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.288 ,
2 3 0 P( X ? 2) ? C3 ? 0.62 ? 0.41 ? 0.432 , P( X ? 3) ? C3 3 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.216 .

所以 X 的分布列为: 0 X 0.064 P

1 0.288

2 0.432

3 0.216

………………………10 分

所以 X 的数学期望为 EX ? 0 ? 0.064 ? 1? 0.288 ? 2 ? 0.432 ? 3 ? 0.216 ? 1.8 . (或直接根据二项分布的均值公式得到 EX ? np ? 3 ? 0.6 ? 1.8 )……………12 分 19. (本小题满分 12 分) D1 ABCD (Ⅰ)证明:因为 AO 平面 , ? 1

C1
B1

BD ? 平面 ABCD , 所以 A1O ? BD .………………1 分 因为 ABCD 是菱形,
所以 CO ? BD .………………2 分 因为 AO 1 ? CO ? O , 所以 BD ? 平面 A1CO .………………3 分 因为 BD ? 平面 BB1D1D ,

A1

D O A B

C

所以平面 BB1D1D ? 平面 ACO .…………………………………………………4 分 1

(Ⅱ)解法一:因为 AO ? 平面 ABCD , CO ? BD ,以 O 为原点, OB , OC , OA1 方 1 向为 x , y , z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.………………………5 分 因为 AB ? AA1 ? 2 , ?BAD ? 60 ,
?

???

??? ?

??? ?

所以 OB ? OD ? 1 , OA ? OC ? 3 , OA1 ?

? 所以 BB ? AA ? ? 0,
??? ? ??? ?
1 1

则 B ?1,0,0 ? , C 0, 3, 0 , A 0, ? 3, 0 , A 1 ? 0,0,1? ,
1

? ? ? ??? ? ??? ? ???? 3,1? , OB ? OB + BB ? ?1,
1

AA12 ? OA2 ? 1 .………………6 分

3,1 .………………………7 分

?

设平面 OBB1 的法向量为 n ? ? x, y, z ? , 因为 OB ? ?1, 0, 0 ? , OB1 ? 1, 3,1 ,

???

??? ?

?

?

? ? x ? 0, ? ? x ? 3 y ? z ? 0. 令 y ? 1,
所以 ? 得 n ? 0,1, ? 3 .…………………………9 分

z
A1

D1

C1 B1

?

?

同理可求得平面 OCB1 的法向量为 m ? ?1,0, ?1? .…………10 分

D 3 6 所以 cos ? n, m ?? .………………………11 分 ? O 4 2 2 A
因为二面角 B ? OB1 ? C 的平面角为钝角, 所以二面角 B ? OB1 ? C 的余弦值为 ?

C B

y

x

6 4

.……………………………………12 分

解法二:由(Ⅰ)知平面 ACO ? 平面 BB1D1D , 1 连接 AC 1 1 与 B1 D1 交于点 O1 , 连接 CO1 , OO1 , 因为 AA1 ? CC1 , AA1 // CC1 , 所以 CAA1C1 为平行四边形. 因为 O , O1 分别是 AC , A1C1 的中点, 所以 OA1O1C 为平行四边形.且 O1C ? OA1 ? 1 . 因为平面 ACO ? 平面 BB1D1D ? OO1 , 1 过点 C 作 CH ? OO1 于 H ,则 CH ? 平面 BB1D1D . 过点 H 作 HK ? OB1 于 K ,连接 CK ,则 CK ? OBA . 1
A1

D1
O1

C1 B1

H D O B

K

C

所以 ?CKH 是二面角 B ? OB1 ? C 的平面角的补角.……………………………6 分 在 Rt?OCO1 中, CH ?

O1C ? OC OO1

?

1? 3 2

?

3 2

.………………………………7 分

? A1 B1 ,所以 OB1 ? 在 ?OCB1 中,因为 AO 1

OA12 ? A1 B12 ? 5 .

因为 A1 B1 ? CD , A1B1 // CD , 所以 B1C ? A1 D ?
2 2

A1O 2 ? OD 2 ?
2 1

2.

因为 B1C ? OC ? OB ,所以 ?OCB1 为直角三角形.……………………………8 分 所以 CK ?

CB1 ? OC OB1

?

2? 3 5
3 2 5

?

6 5

.…………………………………………9 分

所以 KH ? CK 2 ? CH 2 ? 所以 cos ?CKH ?

.…………………………………………………10 分

KH CK

?

6 4

.……………………………………………………11 分

所以二面角 B ? OB1 ? C 的余弦值为 ? 20. (本小题满分 12 分) 方法一:

6 4

.……………………………………12 分

?a 2 ? b 2 ? c 2 , ? 6 ?c (Ⅰ)依题意,得 ? ? , 3 ?a ?ab ? 3, ? ? x2 ? a ? 3, C ? y 2 ? 1. 解得 ? 故椭圆 的标准方程为 3 ? ?b ? 1, (Ⅱ) A( 3,0) ,设 M (0, m) , N (0, n) , P( x0 , y0 ) ,
x0 2 ? y0 2 ? 1 , ……(*)且 Q(? x0 , ? y0 ) , 3 ??? ? ???? ? AP ? ( x0 ? 3, y0 ) , AM ? (? 3, m) . ??? ? ???? ? 因为 A, P, M 三点共线,所以 AP ? AM ,
则由题意,可得 故有 ( x0 ? 3)m ? ? 3 y0 ,解得 m ?

…………3 分

…………5 分

…………6 分

? 3 y0 . x0 ? 3

…………7 分

同理,可得 n ?

? 3 y0 . x0 ? 3
??? ?
2

…………8 分

假设存在满足题意的 x 轴上的定点 R(t , 0) ,则有 RM ? RN ,即 RM ? RN ? 0 .……9 分 因为 RM ? (?t , m) , RN ? (?t , n) , 所以 t 2 ? mn ? 0 ,即 t ?
2

???? ?

??? ?

???? ? ??? ?

???? ?

? 3 y0

x0 ? 3 x0 ? 3 2 又由(*) ,得 3 y0 ? 3 ? x02 ,所以 t ? 1 ,解得 t ? 1 或 t ? ?1 . 故以 MN 为直径的圆恒过 x 轴上的定点 (?1, 0) , (1, 0) .

?

? 3 y0

? 0 ,整理,得 t 2 ? ?

3 y0 2 ,……10 分 x0 2 ? 3
…………12 分

方法二: (Ⅰ)同方法一; (Ⅱ)①当直线 l 的斜率不存在时,有 P(0,1) , Q(0, ?1) , M (0,1) , N (0, ?1) ,此时以 MN 为直径 的圆经过 x 轴上的点 (?1, 0) 和 (1, 0) ; …………6 分 ②当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ,

? x2 2 3 3k ? ? y ? 1, 3 3k , ) , Q(? 联立方程组 ? 3 ,解得 P( ,? ) .…7 分 2 2 2 2 3 k ? 1 3 k ? 1 3 k ? 1 3 k ? 1 ? y ? kx, ? 设 M (0, m) , N (0, n) , m k 又直线 AP 的斜率 k1 ? ,直线 AM 的斜率 k2 ? ? , 2 3 1 ? 3k ? 1 3k 因为 A, P, M 三点共线,所以 k1 ? k2 ,解得得 m ? , …………8 分 2 3k ? 1 ? 1 3k 同理,可得 n ? ? , …………9 分 3k 2 ? 1 ? 1 假设存在满足题意的 x 轴上的定点 R(t , 0) ,则有 RM ? RN , …………10 分 m n 直线 RM 的斜率 k3 ? ? ,直线 RN 的斜率 k 4 ? ? , t t 3k 3k 2 所以 k3k4 ? ?1,故有 t ? ?mn ,即 t 2 ? , ? 3k 2 ? 1 ? 1 3k 2 ? 1 ? 1 2 整理,得 t ? 1 ,解得 t ? 1 或 t ? ?1 , 综合①②,可知以 MN 为直径的圆恒过 x 轴上的定点 (?1, 0) , (1, 0) . ………12 分
21. (本小题满分 12 分) 依题意, f '( x) ? a[( x ?1)'(ex ? a) ? ( x ?1)(ex ? a)'] ? a( x ? ex ? a) . 令 h( x) ? a( x ? e ? a) ,则 h '( x) ? a( x ? 1) ? e .
x x

……1 分 ……2 分

(Ⅰ)①当 x ? 0 时, x ? e ? 0 , a ? 0 ,故 h( x) ? f ( x) ? 0 ,
x

'

所以 f ' ( x) 在 ( ??, 0) 不存在零点,则函数 f ( x ) 在 ( ??, 0) 不存在极值点;………3 分 ②当 x ? 0 时,由 h '( x) ? a( x ? 1) ? e ? 0 ,故 h( x) 在 [0, ??) 单调递增.
x 2 又 h(0) ? ?a ? 0 , h(a ) ? a (a ? e ? a ) ? a
a 2

?e

a

? 1? ? 0 ,

所以 h( x) ? f ' ( x) 在 [0, ??) 有且只有一个零点. ……4 分 又注意到在 f '( x) 的零点左侧, f '( x) ? 0 ,在 f '( x) 的零点右侧, f '( x) ? 0 , 所以函数 f ( x ) 在 [0, ??) 有且只有一个极值点. (Ⅱ)因为函数 f ( x ) 存在两个极值点 x1 , x2 (无妨设 x1 ? x2 ) , …………5 分 综上知,当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 (??, ??) 内有且只有一个极值点. …………5 分

所以 x1 , x2 是 h( x) ? f ' ( x) 的两个零点,且由(Ⅰ)知,必有 a ? 0 .
x x

………6 分

令 h '( x) ? a( x ? 1) ? e ? 0 得 x ? ?1 ; 令 h '( x) ? a( x ? 1) ? e ? 0 得 x ? ?1 ; 令

h '( x) ? a( x ? 1) ? ex ? 0 得 x ? ?1 . 所以 h( x) ? f ' ( x) 在在 (??, ?1] 单调递增,在 [?1, ??) 单调递减, …………7 分 ' 2 又因为 h(0) ? f (0) ? ?a ? 0 , 所以必有 x1 ? ?1 ? x2 ? 0 . …………8 分
令 f '(t ) ? a(t ? et ? a) ? 0 ,解得 a ? t ? e ,
t

此时 f (t ) ? a(t ?1)(et ? a) ? tet (t ?1)(et ? tet ) ? ?e2t t (t ?1)2 ? ?e2t (t 3 ? 2t 2 ? t ) . 因为 x1 , x2 是 h( x) ? f ' ( x) 的两个零点, 所以 f ( x1 ) ? ?e2 x1 ( x13 ? 2x12 ? x1 ) , f ( x2 ) ? ?e2 x2 ( x23 ? 2x22 ? x2 ) . 则 g ' (t ) ? ?e2t (t 2 ?1)(2t ?1) . 当 t ? ?1 时,因为 t ?1 ? 0, 2t ?1 ? 0, e ? 0 ,所以 g '(t ) ? 0 ,
2 2t

…………9 分

将代数式 ?e2t (t 3 ? 2t 2 ? t ) 视为以 t 为自变量的函数 g (t ) ? ?e2t (t 3 ? 2t 2 ? t ) , …………10 分

则 g (t ) 在 (??, ?1) 单调递增. 因为 x1 ? ?1,所以 f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? g ( ?1) ?

4 , e2

4 . …………11 分 e2 当 ?1 ? t ? 0 时,因为 t 2 ?1 ? 0, 2t ?1 ? 0, e2t ? 0 ,所以 g '(t ) ? 0 , 则 g (t ) 在 (?1, 0) 单调递减, 4 因为 ?1 ? x2 ? 0 ,所以 0 ? g (0) ? g ( x2 ) ? f ( x2 ) ? g ( ?1) ? 2 . …………12 分 e 4 4 综上知, 0 ? f ( x1 ) ? 2 且 0 ? f ( x2 ) ? 2 . …………12 分 e e
又因为 f ( x1 ) ? ?e2 x1 x1 ( x1 ?1)2 ? 0 ,所以 0 ? f ( x1 ) ? 请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按 所做的第一个题目计分,作答时 请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号下的方框涂黑。 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 (Ⅰ)连接线段 DB , …………1 分 因为 DC 为⊙ O 的切线,所以 ?DAB ? ?BDC ,…………3 分 又因为 AB 为⊙ O 的直径, BD ? AE , ? 所以 ?CDE ? ?CDB ? ?DAB ? ?AEC ? 90 , …………4 分 所以 ?CDE ? ?AEC , 从而 ?CDE 为等腰三角形. …………5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 CD ? CE , 因为 DC 为 ? O 的切线,
2 所以 CD ? CB ? CA ,

…………7 分 …………8 分 …………9 分
2

CB CE 1 2 ? ? . 所以 CE ? CB ? CA ,即 CE CA 2 CE BD 1 ? ? 又 Rt ?ABD ∽ Rt ?AEC ,故 CA AD 2 .

? 5 ? 5? 因为 AD ? 2 ,所以 BD ? 1, AB ? 5 , S ? ? ? ? 2 ? ? ? 4 , ? ? 5? 所以 ⊙ O 的面积为 . …………10 分 4

2 3. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 (Ⅰ)消去参数 ? 得曲线 C1 的普通方程 C1 : x ? y ? 2 x ? 0 . … …(1)
2 2
2 2

………1 分

将曲线 C2 : ? ? 4 sin ? 化为直角坐标方程得 C2 : x ? y ? 4 y ? 0 .…… (2)……3 分 由 (1) ? (2) 得 4 y ? 2 x ? 0 ,即为直线 AB 的方程,故直线 AB 的斜率为

1 . ……5 分 2

1 8 4 . …1 分 2 5 5 2 2 ( ) (Ⅱ)由 C1 : ( x ? 1) ? y ? 1 知曲线 C1 是以 C 为圆心,半径为 1 的圆; 1 1,0
注:也可先解出 A(0, 0), B ( , ) …1 分,再求 AB 的斜率为

) 由 C2 : x ? ( y ? 2) ? 4 知曲线 C2 是以 C( 为圆心,半径为 2 的圆. 2 0,2
2 2

…………6 分 因为 | AB |?| AC1 | ? | C1C2 | ? | BC2 | , 所以当 AB 取最大值时,圆心 C1 , C2 在直线 AB 上, 所以直线 AB (即直线 C1C 2 )的方程为: 2 x ? y ? 2 . ………7 分 因为 O 到直线 AB 的距离为 d ?

2 5

?

2 5, 5

…………8 分 …………9 分

又此时 | AB |?| C1C2 | ?1 ? 2 ? 3 ? 5 , 所以 ?AOB 的面积为 S ?

1 2 3 5 ? 5 ? (3 ? 5 ) ? ? 1 .……10 分 2 5 5

24. (本小题满分 12 分)选修 4—5:不等式选讲 (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? 2 ? 2x ? 1 . 由 f ( x) ? 5 得 x ? 2 ? 2x ? 1 ? 5 . 当 x ? 2 时,不等式等价 于 x ? 2 ? 2 x ? 1 ? 5 ,解得 x ? 2 ,所以 x ? 2 ; ………1 分

1 当 ? ? x ? 2 时,不等式等价于 2 ? x ? 2 x ? 1 ? 5 ,即 x ? 2 ,所以 x ?? ;………2 分 2 1 4 4 当 x ? ? 时,不等式等价于 2 ? x ? 2 x ? 1 ? 5 ,解得 x ? ? ,所以 x ? ? .……3 分 2 3 3 4 所以原不等式的 解集为 ?x | x ? ? 或 x ? 2?. …………5 分 3 (Ⅱ) f ( x) ? x ? 2 ? 2 x ? 2 ? 2x ? a ? 2x ? 4 ? 2x ? a ? 2x ? a ? (2x ? 4) ? a ? 4 .…7 分
因为原命题等价于 ( f ( x)? | x ? 2 |)min ? 3 , 所以 …………9 分 ………10

a?4 ?3

,所以 ?7 ? a ? ?1 为所求实数 a 的取值范围.



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