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2.2.3



知识回顾
1.向量加法三角形法则: 首 尾 相 连 首 尾 接 2.向量加法平行四边形法则:

b

b a
O.

a

o.
a+b A B
a

a+b
A
b C

起 点 相 同 B 连 对 角

3.向量减法法则:

o.
a-b A

B 共起点,连终点,
方向指向被减数

已知非零向量a,作a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)
a

a
O A

a
B

a
C N

-a M

-a

-a Q P

OC ? OA ? AB ? BC ? a ? a ?a 记作 3a

PN ? PQ ? QM ? MN ?(?a)?( ?a)?(?a) 记作 ? 3a

3a ? 3 a
3a与a的方向相同

? 3a ? 3 a

? 3a与a 的方向相反

一、向量的数乘定义
一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个

向量,这种运算叫做向量的数乘运算,记作λa。
它的长度和方向规定如下:
|a| (1) 长度 |λa|=|λ|·

(2) 方向 当λ>0时,λa的方向与a方向相同;
当λ<0时,λa的方向与a方向相反; 特别地,当 λ=0 或 a = 0 时, λa = 0

二、向量数乘的几何意义
a 3a
1 a 2 ? 1 a 2

?a
-3a

几何意义:将 a 的长度扩大(或缩小) |λ|倍,改变 a (或不改变)a 的方向,就得到了λ

观察总结
(1) 根据定义,求作向量3(2a)和(6a) (a≠0),并比较。

? a

? 3( 2 a )
结论: 3(2a)=6

a

? 3( 2 a )

(2) 已知向量a,b,求作向量2(a+b)和2a+2b,并比较。

? b ? a

=

? 6a

? ? 2a ? 2b

? ? a ?b

? 2b
? 2a

结论 :

2a+2b=2(a+b)

三、向量数乘运算满足的运算律:
运算律 设a、b为任意向量,λ、μ为任意实数,则有: : 结合律
①λ(μa)= (λμ) a ②(λ+μ) a= λa+μa ③λ(a+b)= λa+λb 特别地, (-λ)a=-(λa)= λ(-a)
第一分配律 第二分配律

λ(a-b)= λa-λb

牛刀小试
计算:(口答) (1) (-3)×4 a (2) 3( a+b) –2( a-b)-a (3) (2a+3b-c) –(3a-2b+c )
解: (1) 原式 = -12a (2) 原式 = (3-2-1)a+(3+2)b = 5b (3) 原式 = (2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c = -a+5b-2c

结论: (1)向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。
(2)对于任意的向量 a,b 以及任意实数 λ, μ1, μ2 恒有 λ(μ1a±μ2b)= λμ a±λμ b 1 2

例1:把下列各小题中的向量b表示为实数 与向量a的积. ? ? ? ? ? ? b ? 2a (1) a ? 3e , b ? 6e

? ? ? ? ? 7? (2) a ? 8e , b ? ?14e b ? ? a 4 2? ? 1? ? 1 (3) a ? ? e , b ? e b ? ? a 2 3 3 3? ? 2? ? 8 (4) a ? ? e , b ? ? e b ? a 4 3 9

自主探究
对于向量a(a≠0)、b,以及实数λ:
1、如果 b=λa , 那么,向量a与b是否共线? 2、如果a与b共线,那么是否有λ,使b=λa ? 对于向量a(a≠0)、b,如果有一个实数λ,使得 b=λa , 那么,由数乘向量的定义知:向量a与b共线。 若向量a与b共线,a≠0,且向量b的长度是a的长 度的μ(μ>0)倍,即有|b|=μ|a|,且 当a与b同方向时,有b=μa; 当a与b反方向时,有b=-μa,

所以始终有一个实数λ,使b=λa。

四、向量共线定理
向量b与非零向量a共线当且仅当有唯一 一个实数λ,使得 b=λa.即:
? (1) a为什么要是非零向量, ? ? ? 若a ? 0,上述定理成立吗 ? (2)b可以是 0 吗? 1.a向量为零向量时,若b向量是零向量,λ是取任何常数 都成立;若b向量不是零向量,λ取任何数都不对。 2.b向量为零向量时,若a向量是零向量,λ是取任何常数 都成立(注意:这样λ就不唯一了!!);若a向量不是零 向量,λ就只能取0了(此时λ唯一哦)。

b // a a ? 0

?

?

b ? ?a

例2、已知任意两非零向量a、b,

试作 OA=a+b, OB=a+2b, OC=a+3b。
你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗?为什么? 解:作图如右 依图猜想:A、B、C三点共线


a

b C b b B

AB=OB-OA =a+2b-(a+b)=b

A b O
a

又 AC=OC-OA =a+3b-(a+b)=2b


AC=2AB


又 AB与AC有公共点A,

A、B、C三点共线.

定理应用 摇身一变
例3:如图,已知AD=3AB、DE=3BC,试证明AC与AE共线。

如图,已知 如图,已知AD=3AB AD=3AB、 、DE=3BC AE=3AC,试判断 ,试证明A BC 、 和 C、 DEE 共线。 三点位置关系 变式 变式: 1:
? 解: ∵ AB+BC=AC
E C A B D

又 AE=AD+DE =3 AB+3 BC
=3( AB+ BC )

=3 AC


AC与AE 共线


又 AC与AE有公共点A,

A、C、E三点共线.

判断下列各小题中的向量a与b是否共线.

? ? ? ? (1)a ? ?2e , b ? 2e ? ? ? ? ? ? (2)a ? e1 ? e2 , b ? ?2e1 ? 2e2 ? ? ? ? ? ? (3)a ? e1 ? e2 , b ? e1 ? 2e2

1.

是非零向量,? 是非零实数,下列结论正确的 是( B ). A. a与 ? ? a 的方向相反 C. ? a ? a
2

? 设a

的方向相同 D. ? a ? ? a B. a与? a 2. 下列四个说法正确的个数有( C ).
? 对于实数 m和向量a、 b ,恒有m(a ? b ) ? ma ? mb; ? 对于实数 m、n和向量a,恒有(m ? n)a ? ma ? na; ? 若ma ? mb(m ? R),则有a ? b; ? 若ma ? na(m、n ? R), a ? 0, 则有m ? n;

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

3. 在?ABC 中,设D为边BC的中点,求证:
1 (1) AD ? ( AB ? AC ) (2)3AB ? 2BC ? CA ? 2 AD 2
AD ? AB ? BD

解:因为



1 ? AB ? BC 2

1 1 ? AB ? ( AC ? AB ) ? ( AB ? AC ) 2 2

(2) 原式左边 ?







AB ? 2 AB ? 2BC ? CA ? AB ? 2 AC ? CA

? AB ? AC ? 2 AD ? 右边
所以,所证等式成立

1 4. D是?ABC 中BC 边上一点,且 BD ? BC ,设 AB ? a, AC ? b, 3 A 则AD等于 ( C ) 1 1 A. ( a ? b) B. (b ? a ) 3 3 1 1 D. ( 2b ? a ) B D C . ( 2a ? b) C 3 3
5. 在平行四边形ABCD中,AB ? a, AD ? b, AN ? 3NC,M为BC的

1 1 中点,则 MN 等于______ ? a? b 4 4
分析:由

1 所以 AN ? 3NC , 得4 AN ? 3 AC ? ( 3 a ? b) , AM ? a ? b, 2 3 1 1 1 MN ? (a ? b) ? (a ? b) ? ? a ? b 4 2 4 4

6. 如图,在平行四边形ABCD中,点M是AB中点,点

1 N在线段BD上,且有BN= BD,求证:M、N、C 3
三点共线。 提示:设AB = a BC = b

D

C

1 MC= … = a+ b 2
1 1 则MN= … = a + b 3 6
A M

N B

7:若

? ? 其中a , b

3m ? 2n ? a

m ? 3n ? b ?? ? 是已知向量,求 m , n

分析:此题可把已知条件看作向量的方程,通过 解方程组获得

解:记 3m ? 2n

?a

①,

m ? 3n ? b


2 1 a ? b, 5 5 2 1 b? a 5 5

3②得 3m ? 9n ? 3b ③
3 2 1 3 ①-③得 n ? 11 a ? 11 b, ? m ? 11 a ? 11 b

? x? ? ? ? ?y ? ? ?

8.如图,在?OAB 中,延长BA到C,使AC=BA,在OB上取
1 点D,使BD= OB.DC与OA交于E,设 OA ? a, OB ? b, 请用 3

a, b表示向量 OC, DC.

B

分析: 解题的关键是建立

OC, OD与a, b

的联系,为此需要利用向量的加、减法数乘运算 。 解:因为A是BC的中点,所以 O

?D b ?E A
a
C

2 2 5 DC ? OC ? OD ? OC ? OB ? 2a ? b ? b ? 2a ? b 3 3 3

1 OA ? (OB ? OC ), 即OC ? 2OA ? OB ? 2a ? b. 2



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