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重庆市杨家坪中学2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析



2015-2016 学年重庆市杨家坪中学高二(上)期中数学试卷(理科)

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.直线 x﹣y﹣1=0 不通过( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.已知圆 C:x +y +mx﹣4=0 上存在两点关于直线 x﹣y+3=0 对称,则实数 m 的值(

A.8 B.﹣4 C.6 D.无法确定

2

2

)

3.直线 x+y+1=0 被圆 x +y =1 所截得的弦长为( A. B.1 C. D.

2

2

)

4.已知底面边长为 1,侧棱长为 为( A. ) B. C.2π D.4π

的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的表面积

5.如图,某几何体的正视图(主视图) ,侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形,等 腰三角形和菱形,则该几何体体积为( )

A.

B.4

C.

D.2

6.在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,若 AB=2,AA1=1,则点 A 到平面 A1BC 的距离为(

)

A.

B.

C.

D.

7.已知四棱锥 S﹣ABCD 的所有棱长都相等,E 是 SB 的中点,则 AE,SD 所成的角的正弦值为 ( A. ) B. C. D.

8.设 a、b、c 分别是△ABC 中∠A、∠B、∠C 所对边的边长,则直线 xsinA+ay+c=0 与 bx﹣ ysinB+sinC=0 的位置关系是( )

A.垂直 B.平行 C.重合 D.相交但不垂直

9.直线 ax+by+c=0 与圆 x +y =9 相交于两点 M,N,若 c =a +b ,则 于( ) D.14

2

2

2

2

2

?

(O 为坐标原点)等

A.﹣7 B.﹣14 C.7

10.曲线 y= 是( A. ( ) , ] B. (

+1(﹣2≤x≤2)与直线 y=kx﹣2k+4 有两个不同的交点时实数 k 的范围

,+∞)

C. ( , ) D. (﹣∞,

)∪( ,+∞)

11.如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 P 为线段 AD1 上一动点,点 Q 为底面 ABCD 内(含边界) 一动点,M 为 PQ 的中点,点 M 构成的点集是一个空间几何体,则该几何体为( )

A.棱柱 B.棱锥 C.棱台 D.球

12.如果直线 2ax﹣by+14=0(a>0,b>0)和函数 f(x)=m +1(m>0,m≠1)的图象恒过 同一个定点,且该定点始终落在圆(x﹣a+1) +(y+b﹣2) =25 的内部或圆上,那么 的取值 范围是( )
2 2

x+1

A. C. D. ( , )

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.直线 x﹣y+1=0 的倾斜角是__________.

14.已知正△ABC 的边长为 1,那么在斜二侧画法中它的直观图△A′B′C′的面积为 __________.

15.已知点 A(﹣2,0) ,B(0,2) ,若点 C 是圆 x ﹣2x+y =0 上的动点,则△ABC 面积的最小 值是__________.

2

2

16.在三棱锥 P﹣ABC 中,侧棱 PA,PB,PC 两两垂直,Q 为底面 ABC 内一点,若点 Q 到三个侧 面的距离分别为 3、4、5, 则过点 P 和 Q 的所有球中,表面积最小的球的表面积为__________.

三、解答题(70 分) 17.已知直线 l1:3x+4y﹣2=0 和 l2:2x﹣5y+14=0 的相交于点 P.求: (Ⅰ)过点 P 且平行于直线 2x﹣y+7=0 的直线方程; (Ⅱ)过点 P 且垂直于直线 2x﹣y+7=0 的直线方程.

18.如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱 AA1⊥底面 ABC,∠ACB=90°,E 是棱 CC1 上中点,F 是 AB 中点,AC=1,BC=2,AA1=4. (1)求证:CF∥平面 AEB1; (2)求三棱锥 C﹣AB1E 的体积.

19.已知圆 C:x +y +2x﹣4y+3=0. (1)若圆 C 的切线在 x 轴、y 轴上的截距相等,求切线方程; (2)从圆 C 外一点 P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为 M 且有|PM|=|PO|(O 为原点) ,求 使|PM|取得最小值时点 P 的坐标.

2

2

20.如图,在三棱锥 S﹣ABC 中,SB⊥底面 ABC,且 SB=AB=2,BC= 别是 SA、SC 的中点. (I)求证:平面 ACD⊥平面 BCD; (II)求二面角 S﹣BD﹣E 的平面角的大小.

,D、E 分

21.如图,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC⊥AB,AB=2AA1,M 是 AB 的中点,△A1MC1 是等腰三角形, D 为 CC1 的中点,E 为 BC 上一点. (1)若 DE∥平面 A1MC1,求 ;

(2)求直线 BC 和平面 A1MC1 所成角的余弦值.

22.已知⊙C 过点 P(1,1) ,且与⊙M: (x+2) +(y+2) =r (r>0)关于直线 x+y+2=0 对称. (Ⅰ)求⊙C 的方程; (Ⅱ)设 Q 为⊙C 上的一个动点,求 的最小值;

2

2

2

(Ⅲ)过点 P 作两条相异直线分别与⊙C 相交于 A,B,且直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互补,O 为坐标原点,试判断直线 OP 和 AB 是否平行?请说明理由.

2015-2016 学年重庆市杨家坪中学高二(上)期中数学试卷(理科)

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.直线 x﹣y﹣1=0 不通过( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【考点】确定直线位置的几何要素. 【专题】直线与圆. 【分析】把直线的方程化为斜截式,可得直线的倾斜角为 90°,在 y 轴上的截距等于﹣1,故 直线经过第一、三、四象限. 【解答】解:直线 x﹣y﹣1=0 即 y=x﹣1,它的斜率等于 1,倾斜角为 90°,在 y 轴上的截距 等于﹣1,故直线经过第一、三、四象限,不经过第二象限, 故选 B. 【点评】本题主要考查直线的斜截式方程,确定直线位置的几何要素,属于基础题.

2.已知圆 C:x +y +mx﹣4=0 上存在两点关于直线 x﹣y+3=0 对称,则实数 m 的值( A.8 B.﹣4 C.6 D.无法确定

2

2

)

【考点】直线和圆的方程的应用;恒过定点的直线. 【专题】计算题. 【分析】因为圆上两点 A、B 关于直线 x﹣y+3=0 对称,所以直线 x﹣y+3=0 过圆心(﹣ ,0) , 由此可求出 m 的值. 【解答】解:因为圆上两点 A、B 关于直线 x﹣y+3=0 对称, 所以直线 x﹣y+3=0 过圆心(﹣ ,0) , 从而﹣ +3=0,即 m=6. 故选 C. 【点评】本题考查圆的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答.

3.直线 x+y+1=0 被圆 x +y =1 所截得的弦长为(

2

2

)

A.

B.1

C.

D.

【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】直线与圆. 【分析】由圆的方程可得圆心坐标和半径,再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线 x+y+1=0 的距离 d,即可求出弦长为 2
2 2

,运算求得结果. ,

【解答】解:圆 x +y =1 的圆心 O(0,0) ,半径等于 1,圆心到直线 x+y+1=0 的距离 d= 故直线 x+y+1=0 被圆 x +y =1 所截得的弦长为 2 故选 D.
2 2

=



【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式,弦长公式的应用,属于 中档题.

4.已知底面边长为 1,侧棱长为 为( A. ) B. C.2π D.4π

的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的表面积

【考点】球的体积和表面积. 【专题】计算题;数形结合;空间位置关系与距离;立体几何;球. 【分析】 画出图形, 正四棱锥 P﹣ABCD 的外接球的球心在它的高 PO1 上, 记为 O, 求出 PO1, OO1, 解出球的半径,求出球的表面积即可. 【解答】解:正四棱锥 P﹣ABCD 的外接球的球心在它的高 PO1 上, 记为 O,PO=AO=R,PO1=1,OO1=R﹣1,或 OO1=1﹣R(此时 O 在 PO1 的延长线上) , 在 Rt△AO1O 中,R =1+(R﹣1) 得 R=1,∴球的表面积 S=4π R =4π . 故选:D.
2 2 2

【点评】本题考查了球的表面积,球的内接体问题,考查计算能力,是基础题.

5.如图,某几何体的正视图(主视图) ,侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形,等 腰三角形和菱形,则该几何体体积为( )

A.

B.4

C.

D.2

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】立体几何. 【分析】根据已知中的三视图及相关视图边的长度,我们易判断出该几何体的形状及底面积 和高的值,代入棱锥体积公式即可求出答案. 【解答】解:由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得 这个几何体是一个四棱锥 由图可知,底面两条对角线的长分别为 2 ,2,底面边长为 2

故底面棱形的面积为 侧棱为 2 故 V= 故选 C ,则棱锥的高 h= =2

=2 =3

【点评】本题考查的知识点是由三视图求面积、体积其中根据已知求出满足条件的几何体的 形状及底面面积和棱锥的高是解答本题的关键.

6.在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,若 AB=2,AA1=1,则点 A 到平面 A1BC 的距离为( A. B. C. D.

)

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;棱柱的结构特征. 【专题】计算题.

【分析】要求点 A 到平面 A1BC 的距离,可以求三棱锥 体积相等,容易求得高,即是点到平面的距离. 【解答】解:设点 A 到平面 A1BC 的距离为 h,则三棱锥

底面 A1BC 上的高,由三棱锥的

的体积为

即 ∴ ∴ .

故选:B.

【点评】本题求点到平面的距离,可以转化为三棱锥底面上的高,用体积相等法,容易求 得.“等积法”是常用的求点到平面的距离的方法.

7.已知四棱锥 S﹣ABCD 的所有棱长都相等,E 是 SB 的中点,则 AE,SD 所成的角的正弦值为 ( A. ) B. C. D.

【考点】异面直线及其所成的角. 【专题】空间角. 【分析】作 SO⊥平面 ABCD,交平面 ABCD 于点 O,以 O 为原点,OS 为 z 轴,建立如图所示的 空间直角坐标系,利用向量法能求出 AE,SD 所成的角的正弦值. 【解答】解:作 SO⊥平面 ABCD,交平面 ABCD 于点 O, 以 O 为原点,OS 为 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 令四棱锥的棱长为 2, 则 A(1,﹣1,0) ,D(﹣1,﹣1,0) ,S(0,0, ) ,

E( ∴

) , =(﹣ , , ) , =(﹣1,﹣1,﹣ ) ,

∴设 AE,SD 所成的角为 θ ,

cosθ =|cos<

>|=

=



sinθ =

=



∴AE,SD 所成的角的正弦值为 故选:B.



【点评】本题考查异面直线所成角的求法,是基础题,解题时要注意线线、线面、面面间的 位置关系和性质的合理运用,注意空间思维能力的培养.

8.设 a、b、c 分别是△ABC 中∠A、∠B、∠C 所对边的边长,则直线 xsinA+ay+c=0 与 bx﹣ ysinB+sinC=0 的位置关系是( )

A.垂直 B.平行 C.重合 D.相交但不垂直 【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系. 【专题】计算题. 【分析】先由直线方程求出两直线的斜率,再利用正弦定理化简斜率之积等于﹣1,故两直线 垂直.

【解答】解:两直线的斜率分别为





△ABC 中,由正弦定理得

=2R,R 为三角形的外接圆半径,

∴斜率之积等于 故选 A.

,故两直线垂直,

【点评】本题考查由直线方程求出两直线的斜率,正弦定理得应用,两直线垂直的条件.

9.直线 ax+by+c=0 与圆 x +y =9 相交于两点 M,N,若 c =a +b ,则 于( ) D.14

2

2

2

2

2

?

(O 为坐标原点)等

A.﹣7 B.﹣14 C.7

【考点】直线与圆相交的性质;平面向量数量积的运算. 【专题】计算题. 【分析】由题意,直线 ax+by+c=0 与圆 x +y =9 组成方程组,消去 y,得到 x 的一元二次方程, 求得 x1x2;同理,可求得 y1y2;从而求出 ? 的值.
2 2

【解答】解:设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,则由方程组



消去 y,得(a +b )x +2acx+(c ﹣9b )=0,∴x1x2=

2

2

2

2

2



消去 x,得(a +b )y +2bcy+(c ﹣9a )=0,∴y1y2=

2

2

2

2

2





?

=x1x2+y1y2=

=

=

=﹣7;

故选 A. 【点评】本题通过平面向量数量积的坐标表示,考查了直线与圆组成方程组的问题,是常见 的基础题.

10.曲线 y= 是( A. ( ) , ] B. (

+1(﹣2≤x≤2)与直线 y=kx﹣2k+4 有两个不同的交点时实数 k 的范围

,+∞)

C. ( , ) D. (﹣∞,

)∪( ,+∞)

【考点】直线与圆相交的性质. 【专题】直线与圆. 【分析】根据直线过定点,以及直线和圆的位置关系即可得到结论.利用数形结合作出图象 进行研究即可. 【解答】解:由 y=k(x﹣2)+4 知直线 l 过定点(2,4) ,将 y=1+ (y﹣1) =4, 则曲线是以(0,1)为圆心,2 为半径,且位于直线 y=1 上方的半圆. 当直线 l 过点(﹣2,1)时,直线 l 与曲线有两个不同的交点, 此时 1=﹣2k+4﹣2k, 解得 k= , 当直线 l 与曲线相切时,直线和圆有一个交点,
2

,两边平方得 x +

2

圆心(0,1)到直线 kx﹣y+4﹣2k=0 的距离 d= 解得 k= ,



要使直线 l:y=kx+4﹣2k 与曲线 y=1+ 则直线 l 夹在两条直线之间, 因此 <k≤ ,

有两个交点时,

故选:A.

【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用,利用数形结合是解决本题的关键,考查 学生的计算能力.

11.如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 P 为线段 AD1 上一动点,点 Q 为底面 ABCD 内(含边界) 一动点,M 为 PQ 的中点,点 M 构成的点集是一个空间几何体,则该几何体为( )

A.棱柱 B.棱锥 C.棱台 D.球 【考点】棱柱的结构特征. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】先讨论 P 点与 A 点重合时,M 点的轨迹,再分析把 P 点从 A 点向上沿线段 AD1 移动, 在移动过程中 M 点轨迹,最后结合棱柱的几何特征可得答案. 【解答】解:∵Q 点不能超过边界, 若 P 点与 A 点重合, 设 AB 中点 E、AD 中点 F,移动 Q 点,则此时 M 点的轨迹为: 以 AE、AF 为邻边的正方形;

下面把 P 点从 A 点向上沿线段 AD1 移动, 在移动过程中可得 M 点轨迹为正方形, ?, 最后当 P 点与 D1 点重合时,得到最后一个正方形, 故所得几何体为棱柱, 故选:A

【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征,解答的关键是分析出 P 点从 A 点向上沿线段 AD1 移动,在移动过程中 M 点轨迹.

12.如果直线 2ax﹣by+14=0(a>0,b>0)和函数 f(x)=m +1(m>0,m≠1)的图象恒过 同一个定点,且该定点始终落在圆(x﹣a+1) +(y+b﹣2) =25 的内部或圆上,那么 的取值 范围是( )
2 2

x+1

A. C. D. ( , ) 【考点】点与圆的位置关系;指数函数的单调性与特殊点. 【专题】直线与圆. 【分析】由幂函数求出定点坐标,把定点坐标代入直线和圆的方程,求出 a 的取值范围,从 而求出 的取值范围. 【解答】解:∵当 x+1=0,即 x=﹣1 时,y=f(x)=m +1=1+1=2, ∴函数 f(x)的图象恒过一个定点(﹣1,2) ; 又直线 2ax﹣by+14=0 过定点(﹣1,2) , ∴a+b=7①; 又定点(﹣1,2)在圆(x﹣a+1) +(y+b﹣2) =25 的内部或圆上, ∴(﹣1﹣a+1) +(2+b﹣2) ≤25, 即 a +b ≤25②; 由①②得,3≤a≤4, ∴ ≤ ≤ ,
2 2 2 2 2 2 x+1

∴ = 故选:C.

= ﹣1∈;

【点评】本题考查了直线与圆的方程以及函数与不等式的应用问题,是一道简单的综合试题.

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.直线 x﹣y+1=0 的倾斜角是 45°. 【考点】直线的倾斜角.

【分析】把已知直线的方程变形后,找出直线的斜率,根据直线斜率与倾斜角的关系,即直 线的斜率等于倾斜角的正切值,得到倾斜角的正切值,由倾斜角的范围,利用特殊角的三角 函数值即可求出倾斜角的度数. 【解答】解:由直线 x﹣y+1=0 变形得:y=x+1 所以该直线的斜率 k=1, 设直线的倾斜角为 α ,即 tanα =1, ∵α ∈(0,180°) , ∴α =45°. 故答案为:45°. 【点评】此题考查了直线的倾斜角,以及特殊角的三角函数值.熟练掌握直线倾斜角与斜率 的关系是解本题的关键,同时注意直线倾斜角的范围.

14.已知正△ABC 的边长为 1,那么在斜二侧画法中它的直观图△A′B′C′的面积为 【考点】斜二测法画直观图. 【专题】数形结合;定义法;空间位置关系与距离. 【分析】由直观图和原图的面积之间的关系,直接求解即可. 【解答】解:正三角形的高 OA= ,底 BC=1, = × , = , = ,



在斜二侧画法中,B′C′=BC=1,0′A′= 则△A′B′C′的高 A′D′=0′A′sin45°= 则△A′B′C′的面积为 S= 故答案为: .

×1×

【点评】本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系,属基本运算的考查

15.已知点 A(﹣2,0) ,B(0,2) ,若点 C 是圆 x ﹣2x+y =0 上的动点,则△ABC 面积的最小 值是 .

2

2

【考点】点到直线的距离公式. 【专题】计算题. 【分析】将圆的方程整理为标准方程,找出圆心坐标与半径 r,由 A 和 B 的坐标求出直线 AB 的解析式,利用点到直线的距离公式求出圆心到直线 AB 的距离 d,用 d﹣r 求出△ABC 中 AB 边上高的最小值,在等腰直角三角形 AOB 中,由 OA=OB=2,利用勾股定理求出 AB 的长,利用 三角形的面积公式即可求出△ABC 面积的最小值. 【解答】解:将圆的方程整理为标准方程得: (x﹣1) +y =1, ∴圆心坐标为(1,0) ,半径 r=1, ∵A(﹣2,0) ,B(0,2) , ∴直线 AB 解析式为 y=x+2, ∵圆心到直线 AB 的距离 d= = , ﹣1, ,
2 2

∴△ABC 中 AB 边上高的最小值为 d﹣r= 又 OA=OB=2,∴根据勾股定理得 AB=2

则△ABC 面积的最小值为 ×AB×(d﹣r)=3﹣ 故答案为:3﹣



【点评】此题考查了点到直线的距离公式,圆的标准方程,勾股定理,以及直线的两点式方 程,其中求出△ABC 中 AB 边上高的最小值是解本题的关键.

16.在三棱锥 P﹣ABC 中,侧棱 PA,PB,PC 两两垂直,Q 为底面 ABC 内一点,若点 Q 到三个侧 面的距离分别为 3、4、5,则过点 P 和 Q 的所有球中,表面积最小的球的表面积为 50π . 【考点】球的体积和表面积. 【专题】球. 【分析】根据题意,点 Q 到三个侧面的垂线与侧棱 PA、PB、PC 围成一个棱长为 3、4、5 的长 方体,分析可知以 PQ 为直径的球是它的外接球,此时过点 P 和 Q 的所有球中,表面积最小的 球,即可求解.

【解答】解:根据题意:点 Q 到三个侧面的垂线与侧棱 PA、PB、PC 围成一个棱长为 3、4、5 的长方体,内部图形如图. 则其外接球的直径即为 PQ 且为长方体的体对角线,过点 P 和 Q 的所有球中,此时外接球的表 面积最小. ∴2r= ∴r= 由球的表面积公式得:S=4π r =50π 故答案为:50π .
2

=



【点评】本题主要考查空间几何体的构造和组合体的基本关系.判断长方体的对角线是过 P 和 Q 的所有球中,最小的球是解题的关键.

三、解答题(70 分) 17.已知直线 l1:3x+4y﹣2=0 和 l2:2x﹣5y+14=0 的相交于点 P.求: (Ⅰ)过点 P 且平行于直线 2x﹣y+7=0 的直线方程; (Ⅱ)过点 P 且垂直于直线 2x﹣y+7=0 的直线方程. 【考点】直线的点斜式方程. 【专题】计算题. 【分析】 (Ⅰ)联立两直线的方程即可求出交点 P 的坐标,求出直线 2x﹣y+7=0 的斜率为 2, 所求直线与直线 2x﹣y+7=0 平行得到斜率相等都为 2, 根据 P 的坐标和斜率 2 写出直线方程即 可; (Ⅱ)根据两直线垂直时斜率乘积为﹣1 求出所求直线的斜率,根据 P 和斜率写出直线方程即 可.

【解答】解:由 的斜率为 2

解得

,即点 P 坐标为 P(﹣2,2) ,直线 2x﹣y+7=0

(Ⅰ)过点 P 且平行于直线 2x﹣y+7=0 的直线方程为 y﹣2=2(x+2)即 2x﹣y+6=0; (Ⅱ)过点 P 且垂直于直线 2x﹣y+7=0 的直线方程为 即 x+2y﹣2=0.

【点评】此题考查学生会利用两直线的方程求两直线的交点坐标,掌握两直线平行及垂直时 斜率的关系,会根据一点和斜率写出直线的点斜式方程,是一道综合题.

18.如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱 AA1⊥底面 ABC,∠ACB=90°,E 是棱 CC1 上中点,F 是 AB 中点,AC=1,BC=2,AA1=4. (1)求证:CF∥平面 AEB1; (2)求三棱锥 C﹣AB1E 的体积.

【考点】直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】 (1)取 AB1 的中点 G,联结 EG,FG,由已知条件推导出四边形 FGEC 是平行四边形, 由此能证明 CF∥平面 AB1E. (2)由 = ,利用等积法能求出三棱锥 C﹣AB1E 的体积.

【解答】 (1)证明:取 AB1 的中点 G,联结 EG,FG ∵F,G 分别是棱 AB、AB1 的中点, ∴ 又∵ ∴四边形 FGEC 是平行四边形, ∴CF∥EG,

∵CF 不包含于平面 AB1E,EG? 平面 AB1E, ∴CF∥平面 AB1E. (2)解:∵AA1⊥底面 ABC,∴CC1⊥底面 ABC,∴CC1⊥CB, 又∠ACB=90°,∴BC⊥AC, ∴BC⊥平面 ACC1A1,即 BC⊥面 ACE, ∴点 B 到平面 AEB1 的距离为 BC=2, 又∵BB1∥平面 ACE,∴B1 到平面 ACE 的距离等于点 B 到平面 ACE 的距离,即为 2, ∴ = = = .

【点评】本题考查直线与平面平行的证明,考查三棱锥的体积的求法,解题时要认真审题, 注意空间思维能力的培养.

19.已知圆 C:x +y +2x﹣4y+3=0. (1)若圆 C 的切线在 x 轴、y 轴上的截距相等,求切线方程; (2)从圆 C 外一点 P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为 M 且有|PM|=|PO|(O 为原点) ,求 使|PM|取得最小值时点 P 的坐标. 【考点】直线与圆相交的性质. 【专题】综合题;直线与圆. 【分析】 (1)分类讨论,利用待定系数法给出切线方程,然后再利用圆心到切线的距离等于 半径列方程求系数即可; (2)可先利用 PM(PM 可用 P 点到圆心的距离与半径来表示)=PO,求出 P 点的轨迹(求出后 是一条直线) ,然后再将求 PM 的最小值转化为求直线上的点到原点的距离 PO 之最小值. 【解答】解: ( 1)将圆 C 配方得(x+1) +(y﹣2) =2.
2 2

2

2

①当直线在两坐标轴上的截距为零时, 设直线方程为 y=kx, 由直线与圆相切得 即 k=2± , )x.?

=



从而切线方程为 y=(2±

②当直线在两坐标轴上的截距不为零时,设直线方程为 x+y﹣a=0, 由直线与圆相切得 x+y+1=0,或 x+y﹣3=0.∴所求切线的方程为 y=(2± )x

x+y+1=0 或 x+y﹣3=0.? (2)由|PO|=|PM|得,x1 +y1 =(x1+1) +(y1﹣2) ﹣2? 2x1﹣4y1+3=0..? 即点 P 在直线 l:2x﹣4y+3=0 上,|PM|取最小值时即 |OP|取得最小值,直线 OP⊥l,∴直线 OP 的方程为 2x+y=0.?
2 2 2 2

解方程组

得 P 点坐标为(﹣

, ) .?

【点评】本题重点考查了直线与圆的位置关系,切线长问题一般会考虑到点到圆心距、切线 长、半径满足勾股定理列方程;弦长问题一般会利用垂径定理求解.

20.如图,在三棱锥 S﹣ABC 中,SB⊥底面 ABC,且 SB=AB=2,BC= 别是 SA、SC 的中点. (I)求证:平面 ACD⊥平面 BCD; (II)求二面角 S﹣BD﹣E 的平面角的大小.

,D、E 分

【考点】用空间向量求平面间的夹角;平面与平面垂直的判定. 【专题】空间位置关系与距离;空间角. 【分析】 (Ⅰ)根据面面垂直的判定定理证明 AD⊥平面 BCD 即可证明平面 ACD⊥平面 BCD. (Ⅱ)建立空间直角坐标系,利用向量法即可求二面角 S﹣BD﹣E 的余弦值. 【解答】证明: (I)∵∠ABC= ∴BA⊥BC, 建立如图所示的坐标系, 则 C(0, 则 ,0) ,A(2,0,0) ,D(1,0,1) ,E(0, =(0, ,0) , ,1) ,S(0,0,2) , ,

=(﹣1,0,1) , =(1,0,1) ,



?

=(﹣1,0,1)?(0,

,0)=0,

? 则

=(﹣1,0,1)?(1,0,1)=﹣1+1=0, ⊥ , ⊥ ,

即 AD⊥BC,AD⊥BD, ∵BC∩BD=B, ∴AD⊥平面 BCD; ∵AD? 平面 BCD; ∴平面 ACD⊥平面 BCD; (II) =(0, ,1) ,

则设平面 BDE 的法向量 =(x,y,1) ,



,即



解得 x=﹣1,y= 即 =(﹣1,

, ,1) , =(0, ,0) ,

又平面 SBD 的法向量

∴cos<

, >=

=



则<

, >=

,即二面角 S﹣BD﹣E 的平面角的大小为



【点评】本题主要考查空间面面垂直的判定,以及二面角的求解,利用向量法是解决二面角 的常用方法.

21.如图,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC⊥AB,AB=2AA1,M 是 AB 的中点,△A1MC1 是等腰三角形, D 为 CC1 的中点,E 为 BC 上一点. (1)若 DE∥平面 A1MC1,求 ;

(2)求直线 BC 和平面 A1MC1 所成角的余弦值.

【考点】直线与平面所成的角;直线与平面平行的性质. 【专题】空间角. 【分析】 (1)取 BC 中点 N,连结 MN,C1N,由已知得 A1,M,N,C1 四点共面,由已知条件推导 出 DE∥C1N,从而求出 .

(2)连结 B1M,由已知条件得四边形 ABB1A1 为矩形,B1C1 与平面 A1MC1 所成的角为∠B1C1M,由 此能求出直线 BC 和平面 A1MC1 所成的角的余弦值. 【解答】解: (1)取 BC 中点 N,连结 MN,C1N,? ∵M,N 分别为 AB,CB 中点 ∴MN∥AC∥A1C1, ∴A1,M,N,C1 四点共面,? 且平面 BCC1B1∩平面 A1MNC1=C1N, 又 DE∩平面 BCC1B1, 且 DE∥平面 A1MC1,∴DE∥C1N, ∵D 为 CC1 的中点,∴E 是 CN 的中点,? ∴ .?

(2)连结 B1M,? 因为三棱柱 ABC﹣A1B1C1 为直三棱柱,∴AA1⊥平面 ABC, ∴AA1⊥AB,即四边形 ABB1A1 为矩形,且 AB=2AA1,

∵M 是 AB 的中点,∴B1M⊥A1M, 又 A1C1⊥平面 ABB1A1, ∴A1C1⊥B1M,从而 B1M⊥平面 A1MC1,? ∴MC1 是 B1C1 在平面 A1MC1 内的射影, ∴B1C1 与平面 A1MC1 所成的角为∠B1C1M, 又 B1C1∥BC, ∴直线 BC 和平面 A1MC1 所成的角即 B1C1 与平面 A1MC1 所成的角? 设 AB=2AA1=2,且三角形 A1MC1 是等腰三角形 ∴ ,则 MC1=2, ,

∴cos

=

, .?

∴直线 BC 和平面 A1MC1 所成的角的余弦值为

【点评】本题考查两条线段的比值的求法,考查角的余弦值的求法,解题时要认真审题,注 意空间思维能力的培养.

22.已知⊙C 过点 P(1,1) ,且与⊙M: (x+2) +(y+2) =r (r>0)关于直线 x+y+2=0 对称. (Ⅰ)求⊙C 的方程; (Ⅱ)设 Q 为⊙C 上的一个动点,求 的最小值;

2

2

2

(Ⅲ)过点 P 作两条相异直线分别与⊙C 相交于 A,B,且直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互补,O 为坐标原点,试判断直线 OP 和 AB 是否平行?请说明理由. 【考点】圆与圆的位置关系及其判定. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】 (Ⅰ)设圆心的坐标,利用对称的特征:①点与对称点连线的中点在对称轴上;②点 与对称点连线的斜率与对称轴的斜率之积等于

﹣1,求出圆心坐标,又⊙C 过点 P(1,1) ,可得半径,从而写出⊙C 方程. (Ⅱ)设 Q 的坐标,用坐标表示两个向量的数量积,化简后再进行三角代换,可得其最小值. (Ⅲ)设出直线 PA 和直线 PB 的方程,将它们分别与⊙C 的方程联立方程组,并化为关于 x 的 一元二次方程,由 x=1 一定是该方程的解,可求得 A,B 的横坐标(用 k 表示的) ,化简直线 AB 的斜率,将此斜率与直线 OP 的斜率作对比,得出结论.

【解答】解: (Ⅰ)设圆心 C(a,b) ,则 则圆 C 的方程为 x +y =r ,将点 P 的坐标代入得 r =2, 故圆 C 的方程为 x +y =2 (Ⅱ)设 Q(x,y) ,则 x +y =2, =x +y +x+y﹣4=x+y﹣2,令 x= cosθ +
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

,解得

cosθ ,y=

sinθ , ) ﹣2, ∴ (θ + ) =2kπ ﹣ 时, 2sin (θ + )

∴ =﹣2, 所以

=

sinθ ﹣2=2sin (θ +

的最小值为﹣2﹣2=﹣4.

(Ⅲ)由题意知,直线 PA 和直线 PB 的斜率存在,且互为相反数,

故可设 PA:y﹣1=k(x﹣1) ,PB:y﹣1=﹣k(x﹣1) ,由 得(1+k )x +2k(1﹣k)x+(1﹣k) ﹣2=0
2 2 2



因为点 P 的横坐标 x=1 一定是该方程的解,故可得

(13 分)

同理,

,所以

=kOP , 所以,直线 AB 和 OP 一定平行 【点评】本题考查圆的标准方程的求法,两个向量的数量积公式的应用,直线与圆的位置关 系的应用.



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