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高中数学不等式单元测试题(含有详细答案 -



高中数学不等式综合测试题
一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.共 60 分) 1.(文)设 b ? a , d ? c ,则下列不等式中一定成立的是( ) A. a ? c ? b ? d B. ac ? bd C. a ? c ? b ? d D. a ? d ? b ? c (理)已知 a<0,-1<b<0,那么( )

A. a ? ab ? ab
2

B. ab ? ab ? a
2

C. ab ? ab ? a
2

D. ab ? a ? ab

2

2. a ? b ? 0 ”是“ ab ? “

a 2 ? b2 ”的( 2

)

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(文)关于 x 的不等式 ax ? b(a ? ?1) 的解集为( ) A. R B. ? C. ( ,?? ) ) D. (??,? ) )

(理)不等式 ax ? b 的解集不可能是( ... A. ? B. R
2

b a
b a

D. ( ??, )

b a

C. ( ,?? )

b a

4.不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集是 (? A.-14 B.14 C.-10 5.(文)不等式 | x ? 1|? 2 的解集是( ) A. {x | 0 ? x ? 3}

1 1 , ) ,则 a ? b 的值等于( 2 3
D.10 B. {x | ?2 ? x ? 2}

C. {x | ?1 ? x ? 3} D. {x | x ? ?1, x ? 3} (理)不等式 x | x |? x 的解集是( A. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 1 或 x ? ?1} ) B. {x | ?1 ? x ? 1} D. {x | ?1 ? x ? 0, x ? 1} ) D. | a | ? | b |?| a ? b |

6.(文)若 b ? a ? 0 ,则下列结论不正确的是( ... A.

1 1 b a 2 B. ab ? b C. ? ? 2 ? a b a b 1 1 (理)若 ? ? 0 ,则下列结论不正确的是( ) ... a b
A. a ? b
2 2

b a D. | a | ? | b |?| a ? b | ? ?2 a b 2 2 7.若 f ( x) ? 3x ? x ? 1 , g ( x) ? 2 x ? x ? 1 ,则 f (x) 与 g (x) 的大小关系为( ) A. f ( x) ? g ( x) B. f ( x) ? g ( x) C. f ( x) ? g ( x) D.随 x 值变化而变化
B. ab ? b
2

C.

8.下列各式中最小值是 2 的是( A.

) C.tanx+cotx ) D. 2 ? 2
x ?x

x y + y x
2

B.

x ?5
2

x ?4
2

9.下列各组不等式中,同解的一组是( A. x ? 0 与 x ? 0 B.

( x ? 1)( x ? 2) ? 0与 x ? 2 ? 0 x ?1 x?2 x?2 ? 1与 ?1 C. log 1 (3x ? 2) ? 0 与 3x ? 2 ? 1 D. x ?1 x ?1 2 10.(文)如果 | x ? 1 | ? | x ? 9 |? a 对任意实数 x 总成立,那么 a 的取值范围是( ) A. {a | a ? 8} B. {a | a ? 8} C. {a | a ? 8} D. {a | a ? 8}

1

(理)函数 y=loga(x+3)-1(a>0,a ? 1)的图象恒过定点 A,若点 A 在函数 y ? ?

mx 1 ? 的图像上,其中 mn>0,则 n n

1 2 ? 的最小值为( ) m n A.8 B.6 C.4 D.2 11. (文)已知 f ( x) 是奇函数, 且在(- ? , 0)上是增函数,f (2) ? 0 , 则不等式 xf ( x) ? 0 的解集是(

)

A. {x | ?2 ? x ? 0, 或x ? 2} C. {x | x ? ?2或x ? 2}

B. {x | x ? ?2, 或0 ? x ? 2} D. {x | ?2 ? x ? 0, 或0 ? x ? 2}
2

(理)已知 f ( x) 是奇函数,且在(- ? ,0)上是增函数, f (2) ? 0 ,则不等式 ( x ? 1) f ( x) ? 0 的解集 是( ) A. {x | ?1 ? x ? 0} B. {x | x ? ?2, 或1 ? x ? 2} C. {x | ?2 ? x ? 1或1 ? x ? 2} D. {x | x ? ?2或 ? 1 ? x ? 0, 或1 ? x ? 2}

a ) ? 25 对任意正实数 x, y 恒成立,则正实数 a 的最小值为( ) y 25 625 A. B.16 C. D.18 16 4 (理)已知不等式 ( x ? ay)( x ? y) ? 25xy 对任意正实数 x, y 恒成立,则正实数 a 的最小值为( ) 25 625 A. B.16 C. D.18 16 4
12.(文)已知不等式 ( x ? y )( ? 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13.(文)若 a, b ? R ,则
?

1 x

(理)不等式 | 2 x ? 1| ? x ? 1 的解集是_____________. 14.函数 y ? lg

1 1 1 的大小关系是____________. ? 与 a b a?b

1 ? 2x 的定义域是_____________. x ?1
? x,x ? 0 ,则不等式 f ( x ? 2) ? 3 的解集____________. ? ?1, x ? 0

15. 某公司一年购买某种货物 400 吨, 每次都购买 x 吨, 运费为 4 万元/次, 一年的总存储费用为 4x 万 元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x ? _____________吨. 16.已知 f ( x) ? ?

三、解答题(共 74 分) 17. 解不等式 log 1 ?

x ? ? ? ? ?1 2 2 ? x ? 8 x ? 15 ?

18.解关于 x 的不等式

?x ? a ? ?2 . x?2

2

20.(本小题满分 12 分)(文)对任意 x ?[?1,1] ,函数 f ( x) ? x ? (a ? 4) x ? 20 ? 2a 的值恒大于零,求 a 的取值范围.
2

19.如图所示,校园内计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个相同的喷水器.已知喷水器的喷水区域是 半径为 5m 的圆.问如何设计花坛的尺寸和两个 喷水器的位置,才能使花坛的面积最大且能全部 喷水器 喷水器 喷到水?

?

?

22.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? b .
2

(1)若 a=0,且对任意实数 x,都有 f ( x) ? 2 x ? a ,求 b 的取值范围; (2)当 x ?[?1,1] 时, f (x) 的最大值为 M,求证: M ? b ? 1 ; (3)若 a ? (0, ) ,求证:对于任意的 x ?[?1,1] , | f ( x) |? 1 的充要条件是

1 2

a2 ? 1 ? b ? ?a. 4

3

参考答案 一、选择题 1、 (文)C(理)C 2、A 3、 (文)D(理)D 4、C 5、 (文)C (理)C 6、 (文)D (理)D 7、A 8、 D 9、B10、 (文)A(理)A11、 (文)D(理)D 12、 (文)B(理)B 二、填空题

1 1 1 ? ? a b a?b 1 15、 (?1, ) 2 17 (?? , 3 ]
13、 三、解答题 18、解:原不等式等价于:

14、 {x 16、20

| 0 ? x ? 2}

x ?2 x ? 8 x ? 15 x ? 2 x 2 ? 17 x ? 30 2 x 2 ? 17 x ? 30 ?2?0? ?0? 2 ?0 x 2 ? 8 x ? 15 x 2 ? 8 x ? 15 x ? 8 x ? 15 ( x ? 6)( 2 x ? 5) 5 ? ? 0 ? ? x ? 3或 5 ? x ? 6 ( x ? 3)( x ? 5) 2 5 ∴原不等式的解集为 [ ,3) ? (5,6] 2 x ? (4 ? a) 19、解:变形得: ?0 x?2 当(4-a)>2,即 a<2 时, x ? 2或x ? 4 ? a 当(4-a)<2,即 a>2 时, x ? 4 ? a或x ? 2 当(4-a)=2,即 a=2 时, x ? 2 综上所述:当 a<2 时,原不等式的解集为 {x | x ? 2或x ? 4 ? a} 当 a≥2 时,原不等式的解集为 {x | x ? 4 ? a或x ? 2} 25 20、 a ? 3
2

21、解:设花坛的长、宽分别为 xm,ym,根据要求,矩形花坛应在喷水区域内,顶点应恰好位于喷 水区域的边界.依题意得: ( ) ? ( ) ? 25 ,( x ? 0, y ? 0 )
2 2

x 4

y 2

x2 ? y 2 ? 100 的条件下,求 S ? xy 的最大值. 4 x x 2 2 法一:? S ? xy ? 2 ? ? y ? ( ) ? y ? 100 , 2 2 2 x x ? y 2 ? 100 及 x ? 0, y ? 0 得: x ? 10 2 , y ? 5 2 由 ? y和 4 2 ?S max ? 100
问题转化为在 x ? 0, y ? 0 , 法二:∵ x ? 0, y ? 0 ,

x2 ? y 2 ? 100 , 4

? S ? xy ? x 100 ?

x2 x2 1 2 2 2 = x ? (100 ? ) ? ? ( x ? 200 ) ? 10000 4 4 4 2 ∴当 x ? 200 ,即 x ? 10 2 , S max ? 100

x2 ? y 2 ? 100 可解得: y ? 5 2 . 由 4
4

答:花坛的长为 10 2m ,宽为 5 2m ,两喷水器位于矩形分成的两个正方形的中心,则符合要求. 21、解(1):由题得 x ? 2 x ? b ? 0 恒成立 ? ? ? 4 ? 4b ? 0 ? b ? 1
2

对任意的 x ? R , x ? (a ? 2) x ? (b ? a) ? 0 ? ? ? (a ? 2) ? 4(b ? a) ? 0
2 2

a2 ? b ? 1(? a ? R) ∴ b ? [1,??) . 4 (2)证明:∵ f (1) ? 1 ? a ? b ? M , f (?1) ? 1 ? a ? b ? M , ∴ 2M ? 2b ? 2 ,即 M ? b ? 1 . 1 1 a (3)证明:由 0 ? a ? 得, ? ? ? ? 0 2 4 2 a a ∴ f (x) 在 [?1,? ] 上是减函数,在 [? ,1] 上是增函数. 2 2 a2 a ∴当 | x |? 1 时, f (x) 在 x ? ? 时取得最小值 b ? ,在 x ? 1 时取得最大值 1 ? a ? b . 4 2 ?1 ? a ? b ? 1 a2 ? a2 故对任意的 x ?[?1,1] , | f ( x) |? 1 ? ? ? ? 1 ? b ? ?a. 4 ?b ? 4 ? ?1 ? ? b ? 1?

5



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