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湖北省八校 2015届高三第一次联考 数学试题(理科)及解答



湖北省

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八校

2015 届高三第一次联考 数学试题(理科)
命题学校:襄阳五中 出题人:何宇飞 王丹 试卷满分 150 分 审题人:丁全华 考试用时 120 分钟 考试时间:2014 年 12 月 11 日下午 15:

00—17:00

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 5 0 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. z 1.已知复数 z1 ? 2 ? ai(a ?R), z2 ? 1 ? 2i ,若 1 为纯虚数,则 | z1 |? z2 A. 2 C.2 B. 3 D. 5 1 1 1 1 2.如图给出的是计算 ? ? ? ? ? 的值的程序框图,其中 2 4 6 2014 判断框内应填入的是 A. i ? 2013 B. i ? 2015 C. i ? 2017 D. i ? 2019
? 1 6 ?? ? ) 展开式中含 3.设 a ? ? 2? 2 cos ? x ? ?dx ,则二项式 (a x ? ? 4? ? x 2

x 2 项的系数是
A. ?192 B.193 C. ?6 D.7 4.棱长为 2 的正方体被一平面截成两个几何体,其 中一个 几何体的三视图如图所示, 那么该几何体的体积是 14 A. B.4 3 10 C. D.3 3 5. “ a ? 5 且 b ? ?5 ”是“ a ? b ? 0 ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件 6.已知实数等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则下列结论中一定成立的 A.若 a3 ? 0 ,则 a2013 ? 0 B.若 a4 ? 0 ,则 a2014 ? 0 C.若 a3 ? 0 ,则 S2013 ? 0 D.若 a4 ? 0 ,则 S2014 ? 0
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八校 2015 届高三第一次联考数学理科试题

?C ( A) ? C ( B), C ( A) ? C ( B) 7.用 C ( A) 表示非空集合 A 中的元素个数,定义 | A ? B |? ? .若 A ? {1,2} , ?C ( B) ? C ( A), C ( A) ? C ( B)

B ? {x || x2 ? 2x ? 3 |? a} ,且 | A ? B |? 1 ,由 a 的所有可能值构成的集合为 S,那么 C(S)等于 A.1 B.2 C.3 D.4
8.已知 x, y, z ? R,且 x ? 2 y ? 2 z ? 5 ,则 ( x ? 5)2 ? ( y ? 1)2 ? ( z ? 3)2 的最小值是 D.47 1 9.已知抛物线的一条过焦点 F 的弦 PQ,点 R 在直线 PQ 上,且满足 OR ? (OP ? OQ) ,R 在抛物线准 2 线上的射影为 S,设 ? , ? 是△PQS 中的两个锐角,则下列四个式子 ① tan ? tan ? ? 1 ② sin? ? sin ? ? 2 ③ cos? ? cos ? ? 1 ④ | tan( ? ? ? ) |? tan A.20 B.25 C.36

? ??
2

中一定正确的有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 10.设定义在 D 上的函数 y ? h( x) 在点 P( x0 , h( x0 )) 处的切线方程为 l : y ? g ( x) ,当 x ? x0 时,若 h( x ) ? g ( x ) ? 0 在 D 内恒成立,则称 P 为函数 y ? h( x) 的“类对称点” ,则 f ( x) ? x 2 ? 6x ? 4 ln x 的 x ? x0 “类对称点”的横坐标是 A.1 B. 2 C.e D. 3

二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请 将答案填在答题卡对 应题号的位置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. (一)必考题(11—14 题) 11.随机向边长为 5,5,6 的三角形中投一点 P,则点 P 到三个顶点的距离都不小于 1 的概率是____. ? x ? my ? n ? 12. 已知直线 l : x ? my ? n(n ? 0) 过点 A(5 3,5) , 若可行域 ? x ? 3 y ? 0 的外接圆直径为 20, 则 n=_____. ?y ? 0 ? 13.已知函数 f ( x) ? ? ?
?2 x,0 ? x ? 1
2 ? ? ? x ? 2 x ? 3,1 ? x ? 3

,将 f(x)的图像与 x 轴围成的封闭图形绕 x 轴旋转一周,则所

得旋转体的体积为________. 14. 以(0, m)间的整数 (m ? 1, m ? N)为分子, 以 m 为分母组成分数集合 A1, 其所有元素和为 a1; 以 (0, m2 ) 间的整数 (m ? 1, m ? N)为分子,以 m 2 为分母组成不属于集合 A1 的分数集合 A2,其所有元素和为 a2;??,依次类推以 (0, mn ) 间的整数 (m ? 1, m ? N)为分子,以 m n 为分母组成不属于 A1,A2,?,
An ?1 的分数集合 An,其所有元素和为 an;则 a1 ? a2 ? ? ? an ? =________.

(二)选考题(从两个小题中选择一个小题作答,两题都作答的按 15 题记分) 15. (选修 4-1:几何证明选讲)如图,C 是以 AB 为直径的半圆 O 上的一 点,过 C 的直线交直线 AB 于 E,交过 A 点的切线于 D,BC∥OD .若 AD =AB= 2,则 EB=_________. 16. (选修 4-4:坐标系与参数方程)在极坐标系内,已知曲线 C1 的方程 为 ? 2 ? 2? (cos? ? 2 sin? ) ? 4 ? 0 ,以极点为原点,极轴方向为 x 正

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半轴方向,利用相同单位长度建立平面直角坐标系,曲线 C2 的参数 ?5 x ? 1 ? 4t 方程为 ? ( t 为参数).设点 P 为曲线 C2 上的动点,过点 P 作曲线 C1 的两条切线,则这两 ?5 y ? 18 ? 3t 条切线所成角余弦的最小值是_______. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[源 17. (本小题满分 12 分)已知△ABC 的三内角 A, B, C 所对边的长依次为 a,b,c,若 cos A ?

3 , 4

1 . 8 (Ⅰ)求 a : b : c ; coC s ?
(Ⅱ)若 | AC ? BC |? 46 ,求△ABC 的面积.

18. (本小题满分 12 分)有一种密码,明文是由三个字符组成,密码是由明文对应的五个数字组成,编 码规则如下表:明文由表中每一排取一个字符组成,且第一排取的字符放在第一位,第二排取的字 符放在第二位, 第三排取的字符放在第三位, 对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排成一组 组成. A B C D 明文字符 第一排 11 12 13 14 密码字符 E F G H 明文字符 第二排 21 22 23 24 密码字符 M N P