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湖北省八校 2015届高三第一次联考 数学试题(理科)及解答


湖北省

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八校

2015 届高三第一次联考 数学试题(理科)
命题学校:襄阳五中 出题人:何宇飞 王丹 试卷满分 150 分 审题人:丁全华 考试用时 120 分钟 考试时间:2014 年 12 月 11 日下午 15:00—17:00

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 5 0 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. z 1.已知复数 z1 ? 2 ? ai(a ?R), z2 ? 1 ? 2i ,若 1 为纯虚数,则 | z1 |? z2 A. 2 C.2 B. 3 D. 5 1 1 1 1 2.如图给出的是计算 ? ? ? ? ? 的值的程序框图,其中 2 4 6 2014 判断框内应填入的是 A. i ? 2013 B. i ? 2015 C. i ? 2017 D. i ? 2019
? 1 6 ?? ? ) 展开式中含 3.设 a ? ? 2? 2 cos ? x ? ?dx ,则二项式 (a x ? ? 4? ? x 2

x 2 项的系数是
A. ?192 B.193 C. ?6 D.7 4.棱长为 2 的正方体被一平面截成两个几何体,其 中一个 几何体的三视图如图所示, 那么该几何体的体积是 14 A. B.4 3 10 C. D.3 3 5. “ a ? 5 且 b ? ?5 ”是“ a ? b ? 0 ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件 6.已知实数等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则下列结论中一定成立的 A.若 a3 ? 0 ,则 a2013 ? 0 B.若 a4 ? 0 ,则 a2014 ? 0 C.若 a3 ? 0 ,则 S2013 ? 0 D.若 a4 ? 0 ,则 S2014 ? 0
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八校 2015 届高三第一次联考数学理科试题

?C ( A) ? C ( B), C ( A) ? C ( B) 7.用 C ( A) 表示非空集合 A 中的元素个数,定义 | A ? B |? ? .若 A ? {1,2} , ?C ( B) ? C ( A), C ( A) ? C ( B)

B ? {x || x2 ? 2x ? 3 |? a} ,且 | A ? B |? 1 ,由 a 的所有可能值构成的集合为 S,那么 C(S)等于 A.1 B.2 C.3 D.4
8.已知 x, y, z ? R,且 x ? 2 y ? 2 z ? 5 ,则 ( x ? 5)2 ? ( y ? 1)2 ? ( z ? 3)2 的最小值是 D.47 1 9.已知抛物线的一条过焦点 F 的弦 PQ,点 R 在直线 PQ 上,且满足 OR ? (OP ? OQ) ,R 在抛物线准 2 线上的射影为 S,设 ? , ? 是△PQS 中的两个锐角,则下列四个式子 ① tan ? tan ? ? 1 ② sin? ? sin ? ? 2 ③ cos? ? cos ? ? 1 ④ | tan( ? ? ? ) |? tan A.20 B.25 C.36

? ??
2

中一定正确的有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 10.设定义在 D 上的函数 y ? h( x) 在点 P( x0 , h( x0 )) 处的切线方程为 l : y ? g ( x) ,当 x ? x0 时,若 h( x ) ? g ( x ) ? 0 在 D 内恒成立,则称 P 为函数 y ? h( x) 的“类对称点” ,则 f ( x) ? x 2 ? 6x ? 4 ln x 的 x ? x0 “类对称点”的横坐标是 A.1 B. 2 C.e D. 3

二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请 将答案填在答题卡对 应题号的位置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. (一)必考题(11—14 题) 11.随机向边长为 5,5,6 的三角形中投一点 P,则点 P 到三个顶点的距离都不小于 1 的概率是____. ? x ? my ? n ? 12. 已知直线 l : x ? my ? n(n ? 0) 过点 A(5 3,5) , 若可行域 ? x ? 3 y ? 0 的外接圆直径为 20, 则 n=_____. ?y ? 0 ? 13.已知函数 f ( x) ? ? ?
?2 x,0 ? x ? 1
2 ? ? ? x ? 2 x ? 3,1 ? x ? 3

,将 f(x)的图像与 x 轴围成的封闭图形绕 x 轴旋转一周,则所

得旋转体的体积为________. 14. 以(0, m)间的整数 (m ? 1, m ? N)为分子, 以 m 为分母组成分数集合 A1, 其所有元素和为 a1; 以 (0, m2 ) 间的整数 (m ? 1, m ? N)为分子,以 m 2 为分母组成不属于集合 A1 的分数集合 A2,其所有元素和为 a2;??,依次类推以 (0, mn ) 间的整数 (m ? 1, m ? N)为分子,以 m n 为分母组成不属于 A1,A2,?,
An ?1 的分数集合 An,其所有元素和为 an;则 a1 ? a2 ? ? ? an ? =________.

(二)选考题(从两个小题中选择一个小题作答,两题都作答的按 15 题记分) 15. (选修 4-1:几何证明选讲)如图,C 是以 AB 为直径的半圆 O 上的一 点,过 C 的直线交直线 AB 于 E,交过 A 点的切线于 D,BC∥OD .若 AD =AB= 2,则 EB=_________. 16. (选修 4-4:坐标系与参数方程)在极坐标系内,已知曲线 C1 的方程 为 ? 2 ? 2? (cos? ? 2 sin? ) ? 4 ? 0 ,以极点为原点,极轴方向为 x 正

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半轴方向,利用相同单位长度建立平面直角坐标系,曲线 C2 的参数 ?5 x ? 1 ? 4t 方程为 ? ( t 为参数).设点 P 为曲线 C2 上的动点,过点 P 作曲线 C1 的两条切线,则这两 ?5 y ? 18 ? 3t 条切线所成角余弦的最小值是_______. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[源 17. (本小题满分 12 分)已知△ABC 的三内角 A, B, C 所对边的长依次为 a,b,c,若 cos A ?

3 , 4

1 . 8 (Ⅰ)求 a : b : c ; coC s ?
(Ⅱ)若 | AC ? BC |? 46 ,求△ABC 的面积.

18. (本小题满分 12 分)有一种密码,明文是由三个字符组成,密码是由明文对应的五个数字组成,编 码规则如下表:明文由表中每一排取一个字符组成,且第一排取的字符放在第一位,第二排取的字 符放在第二位, 第三排取的字符放在第三位, 对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排成一组 组成. A B C D 明文字符 第一排 11 12 13 14 密码字符 E F G H 明文字符 第二排 21 22 23 24 密码字符 M N P Q 明文字符 第三排 1 2 3 4 密码字符 设随机变量 ? 表示密码中所含不同数字的个数. (Ⅰ)求 P(? ? 2) ; (Ⅱ)求随机变量 ? 的分布列和它的数学期望. 19. (本小题满分 12 分)如图 1,平面四边形 ABCD 关于直线 AC 对称,?A ? 60? ,?C ? 90? ,CD ? 2 , 把△ABD 沿 BD 折起(如图 2) ,使二面角 A ? BD ? C 为直二面角.如图 2, (Ⅰ)求 AD 与平面 ABC 所成的角的余弦值; A A (Ⅱ)求二面角 B ? AC ? D 的大小的正弦值.

B

D

B

D C 图2

20. (本小题满分 12 分)已知等比数列{an}的公比 q ? 1 ,前 n 项和为 Sn,S3=7,且 a1 ? 3 , 3a2 , a3 ? 4 成等差数列,数列{bn}的前 n 项和为 Tn, 6Tn ? (3n ? 1)bn ? 2 ,其中 n ? N*. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求数列{bn}的通项公式; (Ⅲ)设 A ? {a1, a2 ,?a10 } , B ? {b1, b2 ,?a40 } , C ? A ? B ,求集合 C 中所有元素之和.

C 图1

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21. (本小题满分 13 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 2 2 a b

过椭圆右焦点 F 作两条互相垂直的弦 AB 与 CD.当直线 AB 斜率为 0 时, AB ? CD ? 3 2 . (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求由 A,B,C,D 四点构成的四边形的面积的取值范围.

y
B

D

O

(第 21 题)

O
C

F

A

x

22. (本小题满分 14 分)已知 t ? 0 ,设函数 f ( x) ? x 3 ? (Ⅰ)若 f ( x) 在(0, 2)上无极值,求 t 的值;

3(t ? 1) 2 x ? 3tx ? 1 . 2

(Ⅱ)若存在 x0 ? (0,2) ,使得 f ( x0 ) 是 f ( x) 在[0, 2]上的最大值,求 t 的取值范围; (Ⅲ)若 f ( x) ? xe x ? m ? 2(e 为自然对数的底数)对任意 x ?[0,??) 恒成立时 m 的最大值为 1,求 t 的取 值范围.

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2015 届高三第一次联考理科数学参考答案
一、 选择题

二、填空题

解析如下: z 2 ? ai ?2 ? ai ??1 ? 2i ? 2 ? 2a ? ?4 ? a ?i ? ? 1.由于 1 ? 为纯虚数,则 a ? 1 ,则 z1 ? 5 ,故选择 D. z 2 1 ? 2i 5 5 2.由程序知道, i ? 2,4,6,? 2014 都应该满足条件, i ? 2016 不满足条件,故应该选择 B.

?? ? 3.由于 a ? ? 2? 2 cos ? x ? ?dx ? ? 2? ? cos x ? sin x ?dx ? ? 2? cos xdx ? sin x ? ? ? 4? ? 2 2 2
则 (a x ?

?

?

?

?
2 ?

?
2

?2

1 6 1 5 ) 含 x 2 项的系数为 C 6 2 (?1) ? ?192 ,故选择 A. x

1 4.几何体如图,体积为: ? 23 ? 4 ,故选择 B 2

8.由于 [?x ? 5?2 ? ? y ? 1?2 ? ?z ? 3?2 ][(12 ? ?? 2?2 ? 2 2 )] ? [?x ? 5? ? (?2)? y ? 1? ? 2( z ? 3)]2 ? 324 ? x ? ?3 x ? 5 y ?1 z ? 3 ? 则 ?x ? 5?2 ? ? y ? 1?2 ? ?z ? 3?2 (当且仅当 即 ? ? ? y ? ?3 时取等号.故选 C 1 ?2 2 ? z ?1 ? 9.由于△PQS 是直角三角形,则 ? ? ? ? ,故①②③都对, 2 当 PQ 垂直对称轴时 | tan(? ? ? ) |? 0 ? tan ? ? ? ,故选 C
2

?

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10.由于 f ?( x) ? 2 x ?

4 4 ? 6 ,则在点 P 处切线的斜率 k 切 ? f / ( x0 ) ? 2 x0 ? ? 6. x x0

? ? 4 2 所以切线方程为 y ? g ( x) ? ? 2 x0 ? ? 6 ? ? x ? x0 ? ? x0 ? 6 x0 ? 4 ln x0 x0 ? ? ? ? 4 ? ? 2 x0 ? ? 6 ? x ? x0 2 ? 4 ln x0 ? 4 x0 ? ?

? ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? x 2 ? 6 x ? 4 ln x ? ? 2 x0 ?
?

?

? 4 2 ? 6 ? ? x ? x0 ? ? ? x0 ? 6 x0 ? 4 ln x0 ? , x0 ?

4 4 2 2 2 则 ? ( x0 ) ? 0 , ? ' ( x) ? 2 x ? ? 6 ? (2 x0 ? ? 6) ? 2( x ? x0 )(1 ? ) ? ( x ? x0 )( x ? ) . x x0 x0 x x x0

当 x0 ?

? 2? ? ? 2 时 , ? ? x ? 在 ? x0 , 2 ? 上 单 调 递 减 , 所 以 当 x ? ? x0 , ? 时 , ? ( x) ? ? ( x0 ) ? 0. 从 而 有
? x0 ?

?

x0 ?

? ( x) ? 2? ? 0; x ? ? x0 , ? 时, x ? x0 ? x0 ? ?2 ? ? 2 当 x0 ? 2 时, ? ? x ? 在 ? , x0 ? 上单调递减,所以当 x ? ? ? , x0 ? 时, ? ( x ) ? ? ( x0 ) ? 0. x x ? 0 ? ? 0 ?

从而有

? ? x? ?2 ? ? 0; x ? ? , x0 ? 时, x ? x0 ? x0 ?

所以在 (0, 2)

( 2, ?? ) 上不存在 “ 类对称点 ”. 当 x0 ? 2 时, ? ?( x) ?

(0, ??) 上是增函数,故
所以 x ? 故选择 B

? ( x)
x ? x0

2 x? 2 x

?

?

2

,所以 ? ? x ? 在

? 0.
4 ? 0 ,则 x ? x2

2 是一个类对称点的横坐标. (可以利用二阶导函数为 0,求出 f ??( x) ? 2 ?

2)

13.将 f ( x) 的图像与 x 轴围成的封闭图形绕 x 轴旋转一周,所得旋转体为一个圆锥和一个半个球的组 合体,其中球的半径为 2,棱锥的底面半径为 2,高为 1,所以所得旋转体的体积为

1 1 4 20 ? ? ? ? 2 2 ? 1 ? ? ? ? ? 23 ? ? . 3 2 3 3
1 2 m-1 14.由题意 a1 =m+m+…+ m 1 2 m-1 m+1 2m-1 2m+1 m2-1 1 2 m2-1 1 2 m-1 1 2 m2-1

a2 =m2+m2+…+ m2 + m2 +…+ m2 + m2 +…+ m2 =m2+m2+…+ m2 -(m+m+…+ m )=m2+m2+…+ m2 -a1

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1 2 m3-1 a3=m3+m3+…+ m3 -a2-a1 1 2 mn-1 an=mn+mn+…+ mn -an-1…-a2-a1 1 2 mn-1 1 mn-1 所以 a1 ? a2 ? ??? ? an =mn+mn+…+ mn =mn·[1+2+…+(mn-1)]= 2 15.连接 OC 则 ?DOA ? ?CBO ? ?BCO ? ?COD 则 ?AOD ? ?COD 则 OC ? CD ,则 CD 是半圆 O 的切 线 EC EB 2 设 EB ? x ,由 BC∥OD 得 ,则 EC ? 2 x ,则 ?2 x ?2 ? x ? ?x ? 2? ,则 x ? ? 3 CD BO

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[源
7 3 7 2 2 1 2 17.( I )依题设:sinA= 1 ? cos 2 A = 1 ? ( 3 4 ) = 4 ,sinC= 1 ? cos C = 1 ? ( 8 ) = 8 ,

故 cosB=cos[π-(A+C)]=-cos (A+C)=-(cosAcosC-sinAsinC)=-( 32 - 32 )= 16 .
9) = 则:sinB= 1 ? cos 2 B = 1 ? ( 16 16
2

3

21

9

5 7

所以 a : b : c ? sin A : sin B : sin C ? 4:5:6????????????????6 分 ( II ) 由( I )知: a : b : c ? sin A : sin B : sin C ? 4:5:6, 不妨设:a=4k,b=5k,c=6k,k>0.故知:| AC |=b=5k,| BC |=a=4k. 依题设知:| AC |2+| BC |2+2| AC || BC |cosC=46 ? 46k2=46,又 k>0 ? k=1. 故△ABC 的三条边长依次为:a=4,b=5,c=6.
1 3 7 15 7 △ABC 的面积是 ? 4 ? 5 ? ????????????????12 分 ? 2 8 4 18. (I)密码中不同数字的个数为 2 的事件为密码中只有两个数字,注意到密码的第 1,2 列分别总是

1,2,即只能取表格第 1,2 列中的数字作为密码. ? P(? ? 2) ? 2 ? 1 . 3
4 8

3

???4 分

(II)由题意可知, ? 的取值为 2,3,4 三种情形. 若? ? 3 , 注意表格的第一排总含有数字 1, 第二排总含有数字 2 则密码中只可能取数字 1, 2,
1 2(22 A3 ? 2C32 ? 1) 19 ? . 32 43 1 2 2 2 AA ?A A 9 若 ? ? 4, 则 P (? ? 4) ? 3 2 3 3 2 ? (或用 1 ? P (? ? 2) ? P (? ? 3) 求得). ??8 分 4 32

3 或 1,2,4.? P (? ? 3) ?

? ? 的分布列为:

?
p

2 1 8

3 19 32

4 9 32
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1 19 9 101 ??????????????12 分 ? E? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? . 8 32 32 32 19.如图 2 所示,以 BD 的中点 O 为原点, OC 所在的直线为 x 轴, OD 所在的直线为 y 轴, OA 所在的

直线为 z 轴建立空间直角坐标系,则
O?0,0,0?

, D 0, 2 ,0

?

?

B 0,? 2 ,0

?

?

C 2 ,0,0

?

?

A 0,0, 6

?

?

(Ⅰ)设面 ABC 的法向量为 n ? ?x, y, z ?
? ?n ? AB ? 0 ? ? ?n ? BC ? 0

取 z ?1有n ?

? 3,? 3,1?
21 7

AD ? 0, 2 ,? 6 ,

?

?

cos AD, n ? ?

? AD 与面 ABC 所成角的余弦值是

(Ⅱ)同理求得面 ACD 的法向量为 n1 ? 则二面角 B ? AC ? D 的正弦值为

?

2 7 . 7

????????????6 分

3 , 3 ,1 ,则 cos n, n1 ?

?

1 7

4 3 . 7

??????????12 分

21 .

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(Ⅰ)由题意知, e ? c ? 2 ,则 a ? a 2

a 2 2 x 所以 c ? 1 .所以椭圆的方程为 ? y ? 1 . ??????4 分 2 (Ⅱ)①当两条弦中一条斜率为 0 时,另一条弦的斜率不存在, 1 1 由题意知 S四边形 ? AB ? CD ? ? 2 2 ? 2 ? 2 ; ??????????5 分 2 2 ② 当两弦斜率均存在且不为 0 时,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 且设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 则直线 CD 的方程为 y ? ? 1 ( x ? 1) . k 将直线 AB 的方程代入椭圆方程中,并整理得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 ,
2 2 2 ? k 2 ? 1? 2 2 k ? 1 所以 AB ? k ? 1 | x1 ? x2 |? k ? 1 ? . ?????8 分 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 2 2( 12 ? 1) 2 2(k 2 ? 1) k 同理, CD ? . ??????????9 分 ? k2 ? 2 1 ? 22 k 2 2

2c, b ? c ,? AB ? CD ? 2a ? 2 b ? 2 2c ? 2c ? 3 2 ,

2

所以 S四边形 ?

4 k?1 k 2 ? ?2? 2 1 2 k? ?1 2 k?1 k k

?

?

1 1 2 2 (k 2 ? 1) 2 2 (k 2 ? 1) 4(k 2 ? 1) 2 ? AB ? CD ? ? ? ? 2 2 1 ? 2k 2 k2 ? 2 2k 4 ? 2 ? 5k 2

?

?

2

?

?

2


?1

2 ? 1? 1? ? ? 2? k ? ? ? 1 ? 2? 2 k? ? ? 1 ? 9 当且仅当 k ? ?1 时取等号 ? k? k? ? ? ?

2

????11 分

∴ S四边形 ? [

16 ,2) 9

综合① 与② 可知, S四边形 ? ? 22. (Ⅰ)

?16 ? ????????????????13 分 ,2? ?9 ? f ?( x) ? 3 x 2 ? 3(t ? 1) x ? 3t ? 3( x ? 1)( x ? t ) ,又 f ( x) 在(0, 2)无极值

?t ? 1 ????????????????3 分 (Ⅱ)① 当 0 ? t ? 1 时, f ( x) 在 (0, t ) 单调递增,在 (t ,1) 单调递减,在 (1, 2) 单调递增, ? f (t ) ? f (2) 由 f (t ) ? f (2) 得: ?t 3 ? 3t 2 ? 4 在 0 ? t ? 1 时无解 ② 当 t ? 1 时,不合题意; ③ 当 1 ? t ? 2 时, f ( x) 在 (0,1) 单调递增,在 (1, t ) 单调递减,在 (t , 2) 单调递增, ?1 3 ? f (1) ? f (2) ? ? t ? 3 5 ?? 即 ?2 2 ? ?t ?2 3 ?1 ? t ? 2 ? ?1 ? t ? 2
④ 当 t ? 2 时, f ( x) 在 (0,1) 单调递增,在 (1, 2) 单调递减,满足条件

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5 综上所述: t ? [ ,??) 时,存在 x0 ? (0,2) ,使得 f ( x0 ) 是 f ( x) 在[0,2]上的最大值. ?8 分 3

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