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空间向量处理线面角



线面角的定义及运用 线面角的求解方法(范围: )
一.直接法 :平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常 是解由斜线段,垂线段,斜线在平面内的射影所组成的直角三角形,垂线段是其中最重要的 元素,它可以起到联系各线段的作用。 (一作、二证、三求) 例、如图 1、四面体 ABCS 中,SA,SB,SC 两两垂直,∠SBA=45°, ∠SBC=60°

, M 为 AB 的中 点。求(1)BC 与平面 SAB 所成的角。 (2)SC 与平面 ABC 所成的角。
C

H

S M A

B

变式: 已知空间四边形 ABCD 的各边及对角线相等, 求 AC 与平面 BCD 所成角的余弦值。
A

C

O D

B

二 利用公式 sin ? ?

h l

其中θ 是斜线与平面所成的角, h是 垂线段的长,ι 是斜线段的长,其中求出垂线段 的长(即斜线上的点到面的距离)既是关键又是难点,可用等体积法求垂线段的长。 例、如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1,AB=3 ,BC=2, A1A= 4 ,求 AB 与面 AB1C1D 所成的角。
D A 3 2 B C

D1
A1

O

C1
B1

4 D1 A1

H

D
C1 B1

C
B

A

变式:如图,在正方体 AC1 中,求面对角线 A1B 与对角面 BB1D1D 所成的角。

三. 利用公式 cosθ =cosθ 1· cosθ 2 例、如图,已知直线 OA,OB,OC 两两所成的角为 60°, ,求直线 OA 与 面 OBC 所成的角的 余弦值。
A

B O C D

α

变式:如图,已知 AB 是平面 ? 的一条斜线, B 为斜足, AO ? ? , O 为垂足, BC 为 ? 内 的一条直线, ?ABC ? 60? , ?OBC ? 45? ,求斜线 AB 和平面 ? 所成角。
A

B

O C

?

训练一下:
? 1 如 图 , PA 是 平 面 ? 的 斜 线 , ?BAC 在 平 面 ? 内 , 且 满 足 ?BAC ? 90 , 又 已 知

?PAB ? ?PAC ? 60? ,求 PA 和平面 ? 所成的角。
P

P
B A A B

D

?

C

C

2.如图,已知 PA ? 正方形 ABCD 所在平面,且 PC ? 24, PB ? PD ? 6 10 ,求 PC 和平 面 ABCD 所成的角。

线面角高考体验
1、已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,点 E 为棱 AB 的中点。D1E 与平面 BC1D 所成角的余 弦值为。

2、PA、PB、PC 是从 P 点出发的三条射线,每两条射线的夹角均为 60 ,那么直线 PC 与平 面 PAB 所成角的余弦值是( A. )

0

1 2

B.

2 2

C.

3 3

D.

6 3

3、如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 O 为线段 BD 的中点,设点 P 在线段 CC1 上,直 线 OP 与平面 A1BD 所成的角为 α ,则 sinα 的取值范围是( )

? 3 ? ,1? A、 ? ? 3 ?

? 6 ? ,1? B、 ? ? 3 ?

? 6 2 2? , C、 ? ? 3 ? ? 3

?2 2 ? ,1? D、 ? ? 3 ?

4、在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,CA=CB=CC1=2,∠ACB=90°,E、F 分别是 BA、 BC 的中点,G 是 AA1 上一点,且 AC1⊥EG. (Ⅰ)确定点 G 的位置; (Ⅱ)求直线 AC1 与平面 EFG 所成角θ 的大小.

5、如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90?,侧棱 AA1=2,D、 E 分别是 CC1 与 A1B 的中点,点 E 在平面 ABD 上的射影是△ABD 的重心 G。求 A1B 与平面 ABD 所成角的余弦值。

6、三条直线两两垂直,现有一条直线与其中两条直线都成 60°角,则此直线与另外一条直 线所成的角。

7、正方形 ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 交于点 O,沿对角线 BD 折起,使 ?AOC ? 90? 对于 下 列 结 论 : ? AC ? BD ; ? ?ADC 为 等 边 三 角 形 ; ? AB与CD成60?角 ④

AB与平面BCD成60?角。其中正确的有。

8、 如图: 已知直三棱柱 ABC—A1B1C1, AB=AC, F 为棱 BB1 上一点, BF∶FB1=2∶ 1,BF=BC=2a。 (I)若 D 为 BC 的中点,E 为 AD 上不同于 A、D 的任意一点,证明 EF⊥FC1; (II) 试问: 若 AB=2a, 在线段 AD 上的 E 点能否使 EF 与平面 BB1C1C 成 60° 角,为什么?证明你的结论

9、如图,在三棱锥 V ? ABC 中, VC ⊥ 底面 ABC , AC ⊥ BC , D 是 AB 的中点,且

π? ? AC ? BC ? a , ?VDC ? ? ? 0 ? ? ? ? . 2? ? (I)求证:平面 VAB ⊥ VCD ;

? (II)试确定 ? 的值,使得直线 BC 与平面 VAB 所成的角为 。 6 (Ⅲ)当解 ? 变化时,求直线 BC 与平面 VAB 所成的角的取值范围.
C

V

B D

A 10、如图,∠BAD=90°的等腰直角三角形 ABD 与正三角形 CBD 所在平面互相垂直,E 是 BC 的中点,则 AE 与平面 BCD 所成角的大小为_____.

11、 在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, ∠ACB 为直角, 侧面 AB1 与侧面 AC1 所成的二面角为 60°, M 为 AA1 上的点.∠A1MC1=30°,∠BMC1=90°,AB=a. (1)求 BM 与侧面 AC1 所成角的正切值. (2)求顶点 A 到面 BMC1 的距离.

12、已知斜三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧面 A1ACC1 与底面 ABC 垂直.∠ABC=90°,BC=2,AC=2 3 , 且 AA1⊥A1C,AA1=A1C. (1)求侧棱 A1A 与底面 ABC 所成角的大小; (2)求顶点 C 到侧面 A1ABB1 的距离.



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