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罗山高中老校区高二小班数学必修一至必修五测试



罗高老校区高二小班数学必修一—必修五测试(四)
考试时间:120 分钟 满分:150 分

一、选择题:(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的)

1.(2012 年高考 山东卷文科 5)设命题 p:函数 y ? sin 2 x 的最小正周期为

/>? ;命题 q:函数 2

y ? cos x 的图象关于直线 x ?
(A)p 为真

?

2 (B) ?q 为假

对称.则下列判断正确的是 (C) p ? q 为假 (D) p ? q 为真

2. (2012 年高考广东卷文科 6)在△ABC 中,若∠A=60°,∠B=45°,BC= 3 2 ,则 AC = A. 4 3 B. 2 3 C.

3

D.

3 2

3.(2012 年高考四川卷文科 5)如图,正方形 ABCD 的边长为 1 ,延长 BA 至 E ,使 AE ? 1 , 连接 EC 、 ED 则 sin ?CED ? ( ) A、

3 10 10

B、

10 10

C、

5 10

D、

5 15

1

4. (2012 年高考湖北卷文科 8)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若三边 的长 为连续的三个正整数,且 A>B>C,3b=20acosA,则 s inA∶sinB∶sinC 为( ) A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶4

5. (2012 年高考湖南卷文科 8) 在△ABC 中,AC= 7 ,BC=2,B =60°,则 BC 边上的高等 于 A.

3 2

B.

3 3 2

C.

3? 6 2

D.

3 ? 39 4

6. (2013 年高考新课标 1(理) 设 ?An BnCn 的三边长分别为 an , bn , cn , ?An BnCn 的面积为 )

S n , n ? 1, 2,3,? ,若 b1 ? c1 , b1 ? c1 ? 2a1 , an?1 ? an , bn?1 ?
A.{Sn}为递减数列 C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 【答案】B 【解析】因为 an+1=an, ,

cn ? an b ? an ,则( ) , cn?1 ? n 2 2

B.{Sn}为递增数列 D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列

,所以 an=a1,

2

所以 bn+1+cn+1=an+ 所以 bn+1+cn+1﹣2a1=

=a1+

, ,

又 b1+c1=2a1,所以 bn+cn=2a1, 于是,在△ AnBnCn 中,边长 BnCn=a1 为定值,另两边 AnCn、AnBn 的长度之和 bn+cn=2a1 为 定值, 因为 bn+1﹣cn+1= 所以 bn﹣cn= = , ,

当 n→+∞时,有 bn﹣cn→0,即 bn→cn, 于是△ AnBnCn 的边 BnCn 的高 hn 随着 n 的增大而增大, 所以其面积 故选 B.
7 错误!未指定书签。 . (2013 年高考新课标 1(理) 设等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 )

=

为递增数列,

Sn , Sm?1 ? ?2, Sm ? 0, Sm?1 ? 3 ,则 m ? (
A.3 【答案】C B.4 C.5 D.6

)

【解析】am=Sm﹣Sm﹣1=2,am+1=Sm+1﹣Sm=3,所以公差 d=am+1﹣am=1, Sm= =0,得 a1=﹣2,所以 am=﹣2+(m﹣1)?1=2,解得 m=5,故选 C.

8. (2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版) 下面是关于公差 d ? 0 )

的等差数列 ? an ? 的四个命题:

p1 : 数列?an ? 是递增数列;

p2 : 数列?nan ? 是递增数列; p4 : 数列?an ? 3nd ? 是递增数列;

?a ? p3 : 数列 ? n ? 是递增数列; ?n?
其中的真命题为 (A) p1 , p2 【答案】D (B) p3 , p4

(C) p2 , p3

(D) p1 , p4

3

【解析】设 an ? a1 ? (n ? 1)d ? dn ? m ,所以 P 正确;如果 an ? 3n ? 12 1

则满足已知,

但 nan ? 3n 2 ? 12n 并非递增所以 P2 错;如果若 an ? n ? 1 ,则满足已知,但

an 1 ? 1? , n n

是递减数列,所以 P3 错; a n ?3nd ? 4dn ? m ,所以是递增数列, P4 正确,选 D.
9. (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理) (纯 WORD 版含答案) 已知 )

?x ? 1 ? a ? 0 , x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ,若 z ? 2 x ? y 的最小值为 1 ,则 a ? ? y ? a ( x ? 3) ?
A.





1 4

B.

1 2

C. 1

D. 2

【答案】B 【解析】先根据约束条件画出可行域,设 z=2x+y,将最大值转化为 y 轴上的截距, 当直线 z=2x+y 经过点 B 时,z 最小,由 故选 B. 得: ,代入直线 y=a(x﹣3)得,

a=



?2 x ? y ? 1 ? 0, ? 10 错误!未指定书签。(2013 年高考北京卷(理) 设关于 x,y 的不等式组 ? x ? m ? 0, . ) 表 ?y ? m ? 0 ?
示的平面区域内存在点 P(x0,y0),满足 x0-2y0=2,求得 m 的取值范围是 A. ? ??, ( )

? ?

4? ? 3?

B. ? ??, ?

? ?

1? 3?

C. ? ??, ?

? ?

2? ? 3?

D. ? ??, ? ?

? ?

5? 3?

【答案】C

4

【解析】先根据约束条件

画出可行域,

要使可行域存在, 必有 m<﹣2m+1, 要求可行域包含直线 y= x﹣1 上的点, 只要边界点 (﹣ m,1﹣2m) 在直线 y= x﹣1 的上方,且(﹣m,m)在直线 y= x﹣1 的下方,

故得不等式组



解之得:m<﹣ . 故选 C.
11 错误!未指定书签。(2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题(含答案) . )

函数 f ( x) ? 2 x | log 0.5 x | ?1 的零点个数为 (A) 1 (B) 2 【答案】B (C) 3 (D) 4

【解析】 在同一坐标系中作出函数 y ? ( ) 与 y ?| log0.5 x | 的图象, 由图象可知零点个数为 2
x

1 2

个,选 B.

12. (2013 年高考新课标 1 (理) 如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8cm, )

将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm,如果不 计容器的厚度,则球的体积为

5

( A.



500? cm3 3

B.

866? cm3 3

C.

1372? cm3 3

D.

2048? cm3 3

【答案】A 【解析】设正方体上底面所在平面截球得小圆 M, 则圆心 M 为正方体上底面正方形的中心.如图. 设球的半径为 R,根据题意得球心到上底面的距离等于(R﹣2)cm,而圆 M 的半径为 4, 2 2 2 由球的截面圆性质,得 R =(R﹣2) +4 , 解出 R=5, 所以根据球的体积公式,该球的体积 V= 故选 A. = = .

二、填空:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在横线上).

13.(2012 年高考重庆卷文科 13)设△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且

a=1,b=2, C ? cos
【答案】

1 ,则 sin B ? 4

15 4

14 错误!未指定书签。(2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理) . (纯 WORD 版
6

含 答 案 ) 等 差 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 S n , 已 知 S10 ? 0, S15 ? 25 , 则 nS n 的 最 小 值 为 )

________. 【答案】 ?49 【解析】设等差数列{an}的首项为 a,公差为 d, 因为 S10=10a+45d=0,S15=15a+105d=25, 所以 a=﹣3,d= , 所以等差数列{an}的各项为:﹣3,﹣ ,﹣ ,﹣1,﹣ , ,1, , ,3, 根据题意得:当 n=1 时,S1=﹣3;当 n=2 时,2S2=﹣ 4S4=﹣32; 当 n=5 时, 5=﹣ 5S ; n=6 时, 6=﹣48; n=7 时, 7=﹣49; n=8 时, 8=﹣ 当 6S 当 7S 当 8S ; , ,5,…,

;当 n=3 时,3S3=﹣21;当 n=4 时,

当 n=9 时,9S9=﹣27;当 n=10 时,10S10=0;…,其余结果为正, 所以 nSn 的最小值为 7S7=﹣49. 15. (2012 年高考福建卷文科 15)已知关于 x 的不等式 x2-ax+2a>0 在 R 上恒成立, 则实数 a 的取值范围是_________. 【解析】因为 不等式恒成立,所以 ? <0,即 a ? 4 ? 2a <0 所以 0<a<8
2
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

【答案】 (0,8 ) 16. (2012 年高考上海卷文科 10)满足约束条件 x ? 2 y ? 2 的目标函 数 z ? y ? x 的最小值 是 .

7

6

4

2

B
10 5

y=x+z A
5 10

C D
2

4

6

【考点定位】本题主要考查线性规划问题,准确画出可行域,找到最优解,分析清楚当该直 线过点 A( 2,0) 时, z 有最小值,此时 z min ? ?2 ,这是解题的关键,本题属于中档题,难 度适中.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分 ,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤,在答题卷上相 应题目的答题区域内作答.

17.(2012 年高考天津卷文科 16)(本小题满分 13 分) 在 △ABC 中,内角 A,B,C 所对的分别是 a,b,c。已知 a=2.c= 2 ,cosA= (I)求 sinC 和 b 的值; (II)求 cos(2A+

2 . 4

д )的值。 3

(2010 湖南文数)18(本小题满分 12 分) 为了对某课题进行研究,用分层抽样方法从三所高校 A,B,C 的相关人员中,抽取若干人组 成研究小组、有关数据见下表(单位:人)

8

(I) (II)

求 x,y ; 若从高校 B、 抽取的人中选 2 人作专题发言, C 求这二人都来自高校 C 的概率。

19(2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) (已校对纯 WORD 版含附加题) )

本小题满分 14 分.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线 l : y ? 2 x ? 4 ,设圆

C 的半径为 1 ,圆心在 l 上.
(1)若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M ,使 MA ? 2MO ,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围. y A O l

x

【答案】解:(1)由 ?

? y ? 2x ? 4 得圆心 C 为(3,2),∵圆 C 的半径为 1 ?y ? x ?1
2 2

∴圆 C 的方程为: ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 1

9

显然切线的斜率一定存在,设所求圆 C 的切线方程为 y ? kx ? 3 ,即 kx ? y ? 3 ? 0



3k ? 2 ? 3 k 2 ?1

? 1 ∴ 3k ? 1 ? k 2 ? 1 ∴ 2k (4k ? 3) ? 0 ∴ k ? 0 或者 k ? ?

3 4

∴所求圆 C 的切线方程为: y ? 3 或者 y ? ?

3 x ? 3 即 y ? 3 或者 3x ? 4 y ? 12 ? 0 4

(2)解:∵圆 C 的圆心在在直线 l : y ? 2 x ? 4 上,所以,设圆心 C 为(a,2a-4) 则圆 C 的方程为: ( x ? a) ? ? y ? (2a ? 4)? ? 1
2 2

又 ∵ MA ? 2MO ∴ 设 得: x ? ( y ? 1) ? 4 设为圆 D
2 2

M

为 (x,y) 则

x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 2 x 2 ? y 2 整 理

∴点 M 应该既在圆 C 上又在圆 D 上 ∴ 2 ?1 ?
2
2

即:圆 C 和圆 D 有交点

a 2 ? ?( 2a ? 4) ? ( ?1)? ? 2 ? 1

由 5a ? 8a ? 8 ? 0 得 x ? R 由 5a ? 12 a ? 0 得 0 ? x ?
2

12 5
? 12 ? ? ? 5?

终上所述, a 的取值范围为: ?0,

20. ( 2013 年 高 考 浙 江 卷 ( 文 )) 如 图 , 在 在 四 棱 锥 P-ABCD 中 ,PA⊥ 面

ABCD,AB=BC=2,AD=CD= 7,PA= 3,∠ABC=120°,G 为线段 PC 上的点. (Ⅰ)证明:BD⊥面 PAC ; (Ⅱ)若 G 是 PC 的中点,求 DG 与 APC 所成的角的正切值; (Ⅲ)若 G 满足 PC⊥面 BGD,求 PG 的值. GC

10

【答案】 解:证明:(Ⅰ)由已知得三角形

ABC 是等腰三角形,且底角等于

30°,且

AB ? CB ? ? AD ? CD ? ? ?ABD ? ?CBD ? ?ABD ? ?CBD ? 60? 且?BAC ? 30? BD ? DB ? ?
,所以;、 BD ?

AC ,又因为

PA ? ABCD ? BD ? PA? ? ? BD ? PAC ; BD ? AC ?
?DGO

(Ⅱ)设 AC 成 的

? BD ? O ,由(1)知 DO ? PAC ,连接 GO ,所以 DG 与面 APC 所
角 是 , 由 已 知 及 (1)

知: BO ? 1, AO ? CO ?

3 ? DO ? 7 ? 3 ? 2 ,
,所以

GO ?

1 1 OD 2 4 PA ? 3 ? tan ?DGO ? ? ? 3 2 2 GO 1 3 3 2
4 3; 3

DG

与面

APC 所成的角的正切值是

(Ⅲ) 由 已 知 得 到 :

PC ? PA2 ? AC 2 ? 3 ? 12 ? 15

, 因 为

P C ?
中, PD ?

B G D ?

? C P

G D,



?PDC

3 ? 7 ? 10, CD ? 7, PC ? 15 ,设

11

PG ? x ? CG ? 15 ? x ?10 ? x 2 ? 7 ? ( 15 ? x) 2 ? PG ? x ?
21.已知函数 f(x)=

3 2 PG 3 15, GC ? 15 ? ? 5 5 GC 2

1 1 ? (a>0,x>0). a x

(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)若 f(x)≤2x 在(0,+∞)上恒成立,求 a 的取值范围; (3)若 f(x)在[m,n]上的值域是[m,n](m≠n),求 a 的取值范围. (1)证明:任取 x1>x2>0,f(x1)–f(x2)= ( ?

1 a

1 1 1 1 1 x ?x )?( ? ) ? ? ? 1 2 x1 a x2 x2 x1 x1 x2

∵x1>x2>0,∴x1x2>0,x1–x2>0, ∴f(x1)–f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2),故 f(x)在(0,+∞)上是增函数. (2)解:∵

1 1 ? ≤2x 在(0,+∞)上恒成立,且 a>0, a x
1 1 x
在(0,+∞)上恒成立,令 g ( x) ?

∴a≥

1 2x ? 1 x

?

1 2 2x ? 1 x

?

2x ?

2 (当且仅当 4

2x=

2 1 即 x= 时取等号) ,要使 a≥ 2 x

1 2x ? 1 x

在(0,+∞)上恒成立,则 a≥

2 .故 a 的取值范 4

围是[

2 ,+∞). 4

(3)解:由(1)f(x)在定义域上是增函数.

1 1 1 m+1=0,n2– n+1=0 故方程 x2– x+1=0 有两个不相等的正根 a a a 1 1 m,n,注意到 m·n=1,故只需要Δ =( )2–4>0,由于 a>0,则 0<a< . 2 a 1 22.(本题 12 分)已知点 (1, ) 是函数 f ( x ) ? a x (a ? 0, a ? 1) 的图像上一点.等比数列 {an } 的 3
∴m=f(m),n=f(n),即 m2– 前 n 项 和 为 f (n) ? c . 数 列 {bn }(bn ? 0) 的 首 项 为 c, 且 前 n 项 和 S n 满 足 求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2) 若数列 { S n ? S n ?1 ? S n ? S n ?1 (n ? 2)(1) 的前 n 项和为 Tn ,问满足 Tn ?

1 } bnbn ?1

1001 的最小正整数 n 是多少? 2012

12

┄4 分

q?
又公比

a2 1 2?1? ? an ? ? ? ? a1 3 ,所以 3?3?

n ?1

?1? ? ?2 ? ? ? 3 ? n? N* ;

n

? S n ? S n ?1 ? ( S n ? S n -1 )( S n ? S n -1 ) ? ( S n ? S n -1(n ? 2) )

b ? S n ? S n ?1 ? n 2 ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 当n ? 2, n ;n=1 时,也适合上式。
2

? bn ? 2n ? 1 ( n ? N * );
(2)Tn ?

┄┄┄┄┄8 分

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ??? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn ?1 1 ? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1)(2n ? 1)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ( ? ) ( ? ) ?? ( 1 ? ? ? ? ) 2 3 2 3 5 2 5 7 2 2n - 1 2n ? 1
1? 1 ? n ? ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ;
由 Tn ?

┄┄┄┄┄10 分

n 1001 1001 1001 ? 得n ? ,满足 Tn ? 的最小正整数为 101. ┄┄12 分 2n ? 1 2012 10 2012

13



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