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江苏省镇江市扬中二中2014-2015学年高二上学期期末考试数学试卷(一)



2014-2015 学年江苏省镇江市扬中二中高二(上)期末数学试卷 (一)
一、填空题 1.已知条件 p:x≤1,条件 q: ,则¬p 是 q 的 条件.

2.命题“? x∈[0,3],使 x ﹣2x+m≤0”是假命题,则实数 m 的取值范围为 3. (2015? 张家港市校级模拟)已知函数 f(x)=2f′(1)lnx﹣x,则 f(x)的极大值

为 .

2



4.若直线 y=﹣x+b 为函数

的一条切线,则实数 b=



5.在平面直角坐标系 xoy 中,记不等式组

表示的平面区域为 D.若对数函数

y=logax(a>1)的图象与 D 有公共点,则 a 的取值范围是 6.若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2π的半圆面,则该圆锥的体积为

. .

7.已知 p:﹣2≤x≤11,q:1﹣3m≤x≤3+m(m>0) ,若? p 是? q 的必要不充分条件,则 实数 m 的取值范围为 .

8.函数 是 .
3 2

的图象经过四个象限,则 a 的取值范围

9.已知函数 f(x)= x ﹣x ﹣3x,直线 l:9x+2y+c=0.若当 x∈[﹣2,2]时,函数 y=f(x) 的图象恒在直线 l 的下方,则 c 的取值范围是 .

10.若椭圆

=1(m>n>0)和双曲线



=1(a>0,b>0)有相同的焦点 F1,F2, .

P 是两条曲线的一个交点,则 PF1? PF2 的值是

11.已知椭圆 D,则 AF+BF+CF+DF=

的上焦点为 F,直线 x+y+1=0 和 x+y﹣1=0 与椭圆相交于点 A,B,C, .
2 2

12.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x +y ﹣8x+15=0,若直线 y=kx﹣2 上至少存在 一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是 . 13.长为 6 的线段 AB 两端点在抛物线 x =4y 上移动,在线段 AB 中点纵坐标的最小值 为 . 14.定义在 R 上的函数 f(x)满足:f′(x)>1﹣f(x) ,f(0)=6,f′(x)是 f(x) 的导函数,则不等式 e f(x)>e +5(其中 e 为自然对数的底数)的解集为
x x 2



二、解答题(共 6 小题,满分 46 分) 15.已知 p:实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0,其中 a>0; q:实数 x 满足 2<x≤3. (1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 16.在四棱锥 S﹣ABCD 中,AB∥CD,AB=BC=2,CD=SD=1,BC⊥CD,M 为 SB 的中点,DS⊥面 SAB. (1)求证:CM∥面 SAD; (2)求证:CD⊥SD; (3)求四棱锥 S﹣ABCD 的体积.
2 2

17. (某分公司经销某种品牌的产品,每件产品的成本为 3 元,并且每件产品需向总公司交 a(3≤a≤5)元的管理费,预计当每件产品的售价为 x(9≤x≤11)元时,一年的销售量为 (12﹣x) 万件. (1)求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值 Q(a) . 18.已知抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,A 是抛物线上横坐标为 4、且位于 x 轴上方的 点,A 到抛物线准线的距离等于 5.过 A 作 AB 垂直于 y 轴,垂足为 B,OB 的中点为 M. (1)求抛物线方程; (2)过 M 作 MN⊥FA,垂足为 N,求点 N 的坐标;
2 2

(3)以 M 为圆心,MB 为半径作圆 M,当 K(m,0)是 x 轴上一动点时,讨论直线 AK 与圆 M 的位置关系.

19.如图,已知椭圆 C:
2 2 2

=1(a>b>0)的离心率为

,以椭圆 C 的左顶点 T 为圆心

作圆 T: (x+2) +y =r (r>0) ,设圆 T 与椭圆 C 交于点 M 与点 N. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求 的最小值,并求此时圆 T 的方程;

(3)设点 P 是椭圆 C 上异于 M,N 的任意一点,且直线 MP,NP 分别与 x 轴交于点 R,S,O 为坐标原点,求证:|OR|? |OS|为定值.

20.设函数 f(x)=x ,g(x)=alnx+bx(a>0) . (1)若 f(1)=g(1) ,f′(1)=g′(1)求 F(x)=f(x)﹣g(x)的极小值; (2)在(1)的结论下,是否存在实常数 k 和 m,使得 f(x)≥kx+m 和 g(x)≤kx+m 同时 成立?若存在,求出 k 和 m 的值.若不存在,说明理由. (3)设 G(x)=f(x)+2﹣g(x)有两个零点 x1 和 x2,若 x0= 的符号. ,试探究 G′(x0)值

2

2014-2015 学年江苏省镇江市扬中二中高二 (上) 期末数 学试卷(一)
参考答案与试题解析

一、填空题 1.已知条件 p:x≤1,条件 q: ,则¬p 是 q 的 充分不必要 条件.

考点: 充要条件. 专题: 阅读型. 分析: 先求出条件 q 满足的条件,然后求出? p,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原 则,判断命题 p 与命题? p 的关系. 解答: 解:条件 q: ,即 x<0 或 x>1

¬p:x>1 ∴¬p? q 为真且 q? ¬p 为假命题, 即? p 是 q 的充分不必要条件 故答案为:充分不必要 点评: 判断充要条件的方法是: ①若 p? q 为真命题且 q? p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件; ②若 p? q 为假命题且 q? p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件; ③若 p? q 为真命题且 q? p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的充要条件; ④若 p? q 为假命题且 q? p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件. ⑤判断命题 p 与命题 q 所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命 题 p 与命题 q 的关系. 2. 命题 “? x∈[0, 3], 使 x ﹣2x+m≤0” 是假命题, 则实数 m 的取值范围为 (1, +∞) . . 考点: 特称命题. 专题: 简易逻辑. 分析: 写出命题的否命题,据已知命题为假命题,得到否命题为真命题;分离出 m;通过 导函数求出不等式右边对应函数的在范围,求出 m 的范围. 解答: 解:∵命题“? x∈[0,3]时,满足不等式 x ﹣2x+m≤0 是假命题, 2 ∴命题“? x∈[0,3]时,满足不等式 x ﹣2x+m>0”是真命题, 2 ∴m>﹣x +2x 在[0,3]上恒成立, 2 令 f(x)=﹣x +2x,x∈[0,3], ∴f(x)max=f(1)=1, ∴m>1. 故答案为: (1,+∞) . 点评: 本题考查了命题的真假判断与应用、二次函数恒成立问题.解答关键是将问题等价 转化为否命题为真命题即不等式恒成立,进一步将不等式恒成立转化为函数的最值.
2 2

3. (2015? 张家港市校级模拟)已知函数 f(x)=2f′(1)lnx﹣x,则 f(x)的极大值为 2ln2﹣2 . 考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的综合应用. 分析: 先求导数,当 x=1 时,即可得到 f′(1) ,再令导数大于 0 或小于 0,解出 x 的范围, 即得到函数的单调区间,进而可得函数的极大值. 解答: 解:由于函数 f(x)=2f′(1)lnx﹣x, 则 f′(x)=2f′(1)× ﹣1(x>0) , f′(1)=2f′(1)﹣1, 故 f′(1)=1,得到 f′(x)=2× ﹣1= ,

令 f′(x)>0,解得:x<2,令 f′(x)<0,解得:x>2, 则函数在(0,2)上为增函数,在(2,+∞)上为减函数, 故 f(x)的极大值为 f(2)=2ln2﹣2 故答案为:2ln2﹣2 点评: 本题考查了利用导数研究函数的极值,属于基础题.

4.若直线 y=﹣x+b 为函数

的一条切线,则实数 b= ±2 .

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 分析: 设切点为 P(m,n) ,求出函数 的导数 ,得切线斜率为﹣1= ,

再根据切点 P 既在切线 y=﹣x+b 上又在函数 即可得到实数 b 之值. 解答: 解:函数 的导数为

图象上,列出关于 m、n、b 的方程组,解之

设直线 y=﹣x+b 与函数

相切于点 P(m,n) ,则

解之得 m=n=1,b=2 或 m=n=﹣1,b=﹣2 综上所述,得 b=±2 故答案为:±2 点评: 本题给出已知函数图象的一条切线,求参数 b 的值,着重考查了导数的运算公式与 法则和利用导数研究曲线上某点切线方程等知识,属于基础题.

5.在平面直角坐标系 xoy 中,记不等式组

表示的平面区域为 D.若对数函数

y=logax(a>1)的图象与 D 有公共点,则 a 的取值范围是 (1,

]



考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,根据对数函数的图象和性质,即可得到结论. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: 若 a>1,当对数函数图象经过点 A 时,满足条件, 此时 ,

解得

,即 A(2,3) ,此时 loga2=3,解得 a= 时,满足条件. ,



∴当 1<a≤

∴实数 a 的取值范围是 1<a≤ 故答案为: (1, ]

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用对数函数的图象和性质,通过数形结合是解决 本题的关键.

6.若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2π的半圆面,则该圆锥的体积为



考点: 专题: 分析: 解答:

旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 计算题. 通过侧面展开图的面积.求出圆锥的母线,底面的半径,求出圆锥的体积即可. 解:由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为 2π的半圆面,
2

因为 4π=πl ,所以 l=2, 半圆的弧长为 2π,

圆锥的底面半径为 2πr=2π,r=1, 所以圆锥的体积为: 故答案为: . = .

点评: 本题考查旋转体的条件的求法,侧面展开图的应用,考查空间想象能力,计算能力. 7.已知 p:﹣2≤x≤11,q:1﹣3m≤x≤3+m(m>0) ,若? p 是? q 的必要不充分条件,则 实数 m 的取值范围为 [8,+∞) . 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 将条件? p 是? q 的必要不充分条件,转化为 q 是 p 的必要不充分条件,进行求解. 解答: 解:因为? p 是? q 的必要不充分条件, 所以 q 是 p 的必要不充分条件, 即 p? q,但 q 推不出 p, 即 ,即 ,

所以 m≥8. 故答案为:[8,+∞) 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的应用,利用逆否命题的等价性,将条件进行转 化是解决本题的关键,主要端点等号的取舍.

8. 函数 96,﹣15) .

的图象经过四个象限, 则 a 的取值范围是 (﹣

考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 首先讨论 a=0 时原函数图象的情况,当 a≠0 时,求出原函数的导函数,分 a>0 和 a<0 两种情况讨论原函数的单调性,求出函数的极值点并求解极值,当 a>0 时,要使原函 数的图象经过四个象限,需要极大值大于 0,且极小值小于 0,此时 a 的值不存在;当 a<0 时,要使原函数的图象经过四个象限,则需要极小值小于 0,且极大值大于 0,由此解得 a 的取值范围. 解答: 解:由 ,

若 a=0 时,原函数化为 f(x)=80.为常数函数,不合题意; f (x)=ax +ax﹣2a=a(x +x﹣2)=a(x+2) (x﹣1) . ′ 若 a>0 时,当 x∈(﹣∞,﹣2) ,x∈(1,+∞)时有 f (x)>0, 函数 f(x)在(﹣∞,﹣2) , (1,+∞)上为增函数. 当 x∈(﹣2,1)时,f (x)<0,函数 f(x)在(﹣2,1)上为减函数. 所以函数 f(x)在 x=﹣2 时取得极大值 = .
′ ′ 2 2

函数 f(x)在 x=1 时取得极小值 因为函数的图象先增后减再增,要使函数的图象经过四个象限,





,解①得:a>﹣15.解②得:a<﹣96.

此时 a∈? ; 若 a<0,当 x∈(﹣∞,﹣2) ,x∈(1,+∞)时有 f (x)<0, 函数 f(x)在(﹣∞,﹣2) , (1,+∞)上为减函数. 当 x∈(﹣2,1)时,f (x)>0,函数 f(x)在(﹣2,1)上为增函数. 所以函数 f(x)在 x=﹣2 时取得极小值 函数 f(x)在 x=1 时取得极大值 为函数的图象先减后增再减,要使函数的图象经过四个象限, = . .
′ ′



,解得﹣96<a<﹣15.

所以使函数

的图象经过四个象限的 a 的取值范围是

(﹣96,﹣15) . 故答案为(﹣96,﹣15) . 点评: 本题考查了利用导数研究函数的极值,考查了函数的极值与函数图象之间的关系, 思考该问题时考虑数与形的结合,属中档题.
3 2

9.已知函数 f(x)= x ﹣x ﹣3x,直线 l:9x+2y+c=0.若当 x∈[﹣2,2]时,函数 y=f(x) 的图象恒在直线 l 的下方,则 c 的取值范围是 c<﹣ .

考点: 专题: 分析: 解答:
3

利用导数求闭区间上函数的最值. 导数的综合应用. 分离参数,构造函数,求出函数再闭区间上的最值即可. 解:∵当 x∈[﹣2,2]时,函数 y=f(x)的图象恒在直线 l 的下方,
2

即 x ﹣x ﹣3x<﹣ x﹣ ,在 x∈[﹣2,2]时恒成立, 即 c<﹣ x +2x ﹣3x, 令 g(x)=﹣ x +2x ﹣3x, ∴g'(x)=﹣2x +4x﹣3, 2 2 ∵g'(x)=﹣2x +4x﹣3=﹣2(x﹣1) ﹣1<0 恒成立,
2 3 2 3 2

∴g(x)在∈[﹣2,2]上单调递减, 故当 x∈[﹣2,2]时,[g(x)]min=g(2)=﹣ ∴c<﹣ , ,

故答案为:c<﹣

点评: 本题主要考查函数的求导运算、闭区间上的恒成立问题.闭区间上的恒成立问题一 般都是转化为求最值,即使参数大于最大值或小于最小值的问题.

10.若椭圆

=1(m>n>0)和双曲线



=1(a>0,b>0)有相同的焦点 F1,F2,
2

P 是两条曲线的一个交点,则 PF1? PF2 的值是 m﹣a



考点: 椭圆的简单性质;双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 运用椭圆和双曲线的定义写出两个定义式,然后平方,观察之后,两式相减,求出 整体未知数 PF1? PF2 的值. 解答: 解析:PF1+PF2=2 ,|PF1﹣PF2|=2a, 所以 PF +PF +2PF1? PF2=4m,PF
2 2

﹣2PF1? PF2+PF

=4a ,两式相减得:

2

4PF1? PF2=4m﹣4a ,∴PF1? PF2=m﹣a . 2 故答案:m﹣a . 点评: 本题主要考查圆锥曲线的综合问题.解决本题的关键在于根据椭圆和双曲线有相同 的焦点 F1、F2,利用定义化简.

11. ( 2011? 南京校级模拟)已知椭圆

的上焦点为 F,直线 x+y+1=0 和 x+y﹣1=0

与椭圆相交于点 A,B,C,D,则 AF+BF+CF+DF= 8 . 考点: 椭圆的应用;直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 计算题. 分析: 由题意可知 AB=CF+DF= 此可知答案. 解答: 解:直线 x+y+1=0 代入椭圆 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 ,并整理得 7x +6x﹣9=0, , ,
2

,则 AF+BF+AB=4a=8,进而可得 AF+BF=8﹣AB=8﹣

,由



同理,可得 CD=CF+DF= ∵AF+BF+AB=4a=8, ∴AF+BF=8﹣AB=8﹣ ∴AF+BF+CF+DF=(8﹣ ,



)+

=8.

答案:8. 点评: 本题考查椭圆的性质及其应用,解题时要注意公式的灵活运用. 12.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x +y ﹣8x+15=0,若直线 y=kx﹣2 上至少存在 一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是 .
2 2

考点: 圆与圆的位置关系及其判定;直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由于圆 C 的方程为(x﹣4) +y =1,由题意可知,只需(x﹣4) +y =1 与直线 y=kx ﹣2 有公共点即可. 解答: 解:∵圆 C 的方程为 x +y ﹣8x+15=0,整理得: (x﹣4) +y =1,即圆 C 是以(4,0) 为圆心,1 为半径的圆; 又直线 y=kx﹣2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点, ∴只需圆 C′: (x﹣4) +y =1 与直线 y=kx﹣2 有公共点即可. 设圆心 C(4,0)到直线 y=kx﹣2 的距离为 d, 则 d= ≤2,即 3k ﹣4k≤0,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

∴0≤k≤ . ∴k 的最大值是 . 故答案为: . 点评: 本题考查直线与圆的位置关系,将条件转化为“ (x﹣4) +y =4 与直线 y=kx﹣2 有公 共点”是关键,考查学生灵活解决问题的能力,属于中档题. 13. 长为 6 的线段 AB 两端点在抛物线 x =4y 上移动, 在线段 AB 中点纵坐标的最小值为 2 . 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 如图所示,设线段 AB 的中点为 M,分别过点 A,B,C,作 AD⊥x 轴,BE⊥x 轴,MN ⊥x 轴,垂足分别为 D,E,N.利用梯形的中位线和抛物线的定义可得|MN|= (|AD|+|BE|) = (|AF|﹣1+|BF|﹣1)≥ (|AB|﹣2)即可得出.
2 2 2

解答: 解:如图所示,设线段 AB 的中点为 M,

分别过点 A,B,C,作 AD⊥x 轴,BE⊥x 轴,MN⊥x 轴,垂足分别为 D,E,N. 则|MN|= (|AD|+|BE|)= (|AF|﹣1+|BF|﹣1)≥ (|AB|﹣2)= (6﹣2)=2.

当且仅当线段 AB 过焦点时取等号. 故 AB 的中点到 y 轴的距离的最小值为 2. 故答案为:2 点评: 本题考查了抛物线的定义和梯形的中位线定理, 考查了分析问题和解决问题的能力. 14.定义在 R 上的函数 f(x)满足:f′(x)>1﹣f(x) ,f(0)=6,f′(x)是 f(x) 的导函数,则不等式 e f(x)>e +5(其中 e 为自然对数的底数)的解集为 (0,+∞) . 考点: 导数的乘法与除法法则. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 构造函数 g(x)=e f(x)﹣e , (x∈R) ,研究 g(x)的单调性,结合原函数的性 质和函数值,即可求解 解答: 解:设 g(x)=e f(x)﹣e , (x∈R) , x x x x 则 g′(x)=e f(x)+e f′(x)﹣e =e [f(x)+f′(x)﹣1], ∵f'(x)>1﹣f(x) , ∴f(x)+f′(x)﹣1>0, ∴g′(x)>0, ∴y=g(x)在定义域上单调递增, ∵e f(x)>e +5, ∴g(x)>5, 又∵g(0)=e f(0)﹣e =6﹣1=5, ∴g(x)>g(0) , ∴x>0, ∴不等式的解集为(0,+∞) 故答案为: (0,+∞) . 点评: 本题考查函数的导数与单调性的结合,结合已知条件构造函数,然后用导数判断函 数的单调性是解题的关键. 二、解答题(共 6 小题,满分 46 分)
0 0 x x x x x x x x

15.已知 p:实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0,其中 a>0; q:实数 x 满足 2<x≤3. (1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: (1)先通过解一元二次不等式求出 p 下的 x 的取值范围:a<x<3a,a=1 时,所以 p:1<x<3.根据 p∧q 为真得 p,q 都真,所以 值范围; (2)若 p 是 q 的必要不充分条件,则: ,所以解该不等式组即得 a 的取值范围. ,所以解该不等式组即得 x 的取

2

2

解答: 解: (1)p:由原不等式得, (x﹣3a) (x﹣a)<0,∵a>0 为,所以 a<x<3a; 当 a=1 时,得到 1<x<3; q:实数 x 满足 2<x≤3; 若 p∧q 为真,则 p 真且 q 真,∴实数 x 的取值范围是: (2,3) ; (2)p 是 q 的必要不充分条件,即由 p 得不到 q,而由 q 能得到 p; ∴ ,解得 1<a≤2;

∴实数 a 的取值范围是(1,2]. 点评: 考查解一元二次不等式,p∧q 的真假和 p,q 真假的关系,以及充分条件、必要条 件、必要不充分条件的概念. 16.在四棱锥 S﹣ABCD 中,AB∥CD,AB=BC=2,CD=SD=1,BC⊥CD,M 为 SB 的中点,DS⊥面 SAB. (1)求证:CM∥面 SAD; (2)求证:CD⊥SD; (3)求四棱锥 S﹣ABCD 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)利用平行线中的一条直线与令一条直线垂直,推出另一条直线垂直证明 CD⊥ SD; (2)取 SA 中点 N,连接 ND,NM,证明 NMCD 是平行四边形,通过 ND∥MC,证明 CM∥面 SAD; (3)利用 VS﹣ABCD:VS﹣ABD=SABCD:S△ABD,求出 VS﹣ABD,即可求四棱锥 S﹣ABCD 的体积. 解答: (1)证明:取 SA 的中点,

∵M 为 SB 的中点, ∴MN∥AB,MN= ,

∵AB=2,CD=1, ∴MN∥CD,MN=DC, ∴四边形 MNDC 为平行四边形, ∴CM∥ND,ND? 面 SAD,CM? 面 SAD; ∴CM∥面 SAD

证明: (2)∵DS⊥面 SAB,AB? 面 SAB. ∴DS⊥AB, ∵AB∥DC, ∴DS⊥DC, 解: (3)VS﹣ABCD:VS﹣ABD=SABCD:S△ABD=3:2, 过 D 作 DH⊥AB,交于 H,由题意得,BD=AD= 在 Rt△DSA,Rt△DSB 中,SA=SB= 所以,VS﹣ABD=VD﹣SAB= S△ABS×DS= = ; = = =2. , ,

四棱锥 S﹣ABCD 的体积为: ×

点评: 考查直线与直线垂直,直线与平面平行的证明,几何体的体积的求法,考查空间想 象能力,计算能力. 17. (某分公司经销某种品牌的产品,每件产品的成本为 3 元,并且每件产品需向总公司交 a(3≤a≤5)元的管理费,预计当每件产品的售价为 x(9≤x≤11)元时,一年的销售量为 (12﹣x) 万件. (1)求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值 Q(a) . 考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 应用题. 分析: (1)根据题意先求出每件产品的利润,再乘以一年的销量,便可求出分公司一年的 利润 L(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; (2)根据 L 与 x 的函数关系式先求出该函数的导数,令 L′(x)=0 便可求出极值点,从而 求出时最大利润,再根据 a 的取值范围分类讨论当 a 取不同的值时,最大利润各为多少.
2

解答: 解: (1)分公司一年的利润 L(万元)与售价 x 的函数关系式为: L=(x﹣3﹣a) (12﹣x) ,x∈[9,11]. 2 2 (2)L′(x)=(12﹣x) +2(x﹣3﹣a) (12﹣x)×(﹣1)=(12﹣x) ﹣2(x﹣3﹣a) (12 ﹣x)=(12﹣x) (18+2a﹣3x) . 令 L′(x)=0 得 x=6+ a 或 x=12(不合题意,舍去) . ∵3≤a≤5,∴8≤6+ a≤ .
2

在 x=6+ a 两侧 L′的值由正值变负值. 所以,当 8≤6+ a≤9,即 3≤a≤ 时, Lmax=L(9)=(9﹣3﹣a) (12﹣9) =9(6﹣a) ; 当 9<6+ a≤ ,即 <a≤5 时,
2 2

Lmax=L(6+ a)=(6+ a﹣3﹣a)[12﹣(6+ a)] =4(3﹣ a) ,
3

即当 3≤a≤ 时,当每件售价为 9 元,分公司一年的利润 L 最大,最大值 Q(a)=9(6﹣a) 万元; 当 <a≤5 时,当每件售价为(6+ a)元,分公司一年的利润 L 最大,最大值 Q(a)=4(3 ﹣ a) 万元. 点评: 本题主要考查了函数的导数的求法以及利用导数来求得函数的最值问题,是各地高 考的热点和难点, 解题时注意自变量的取值范围以及分类讨论等数学思想的运用, 属于中档 题. 18.已知抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,A 是抛物线上横坐标为 4、且位于 x 轴上方的 点,A 到抛物线准线的距离等于 5.过 A 作 AB 垂直于 y 轴,垂足为 B,OB 的中点为 M. (1)求抛物线方程; (2)过 M 作 MN⊥FA,垂足为 N,求点 N 的坐标; (3)以 M 为圆心,MB 为半径作圆 M,当 K(m,0)是 x 轴上一动点时,讨论直线 AK 与圆 M 的位置关系.
2 3

考点: 抛物线的标准方程;直线与圆的位置关系;抛物线的简单性质. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (Ⅰ)抛物线的准线为 (Ⅱ)由题意得 B,M 的坐标, ,于是 , ,p=2,由此可知抛物线方程为 y =4x. ,直线 FA 的方程,直线 MN 的方程,由
2

此可知点 N 的坐标即可; (Ⅲ)由题意得,圆 M 的圆心坐标为(0,2) ,半径为 2.当 m=4 时,直线 AP 的方程为 x=4, 此时,直线 AP 与圆 M 相离;当 m≠4 时,写出直线 AP 的方程,圆心 M(0,2)到直线 AP 的 距离,由此可判断直线 AP 与圆 M 的位置关系. 解答: 解: (1)抛物线 ∴抛物线方程为 y =4x. (2)∵点 A 的坐标是(4,4) ,由题意得 B(0,4) ,M(0,2) , 又∵F(1,0) ,∴ ,∴ , .*k*s*5*u
2

,∴p=2.

则 FA 的方程为 y= (x﹣1) ,MN 的方程为

解方程组

,∴



(3)由题意得,圆 M 的圆心是点(0,2) ,半径为 2. 当 m=4 时,直线 AK 的方程为 x=4,此时,直线 AK 与圆 M 相离, 当 m≠4 时,直线 AK 的方程为 ,即为 4x﹣(4﹣m)y﹣4m=0,

圆心 M(0,2)到直线 AK 的距离

,令 d>2,解得 m>1∴当 m>1 时,

直线 AK 与圆 M 相离; 当 m=1 时,直线 AK 与圆 M 相切; 当 m<1 时,直线 AK 与圆 M 相交. 点评: 本题考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质、直线和圆锥曲线的位置关系,解 题时要认真审题,仔细解答.

19.如图,已知椭圆 C:
2 2 2

=1(a>b>0)的离心率为

,以椭圆 C 的左顶点 T 为圆心

作圆 T: (x+2) +y =r (r>0) ,设圆 T 与椭圆 C 交于点 M 与点 N. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求 的最小值,并求此时圆 T 的方程;

(3)设点 P 是椭圆 C 上异于 M,N 的任意一点,且直线 MP,NP 分别与 x 轴交于点 R,S,O 为坐标原点,求证:|OR|? |OS|为定值.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;圆的标准方程;椭圆的标准方程. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)依题意,得 a=2, ,由此能求出椭圆 C 的方程.

(2)法一:点 M 与点 N 关于 x 轴对称,设 M(x1,y1) ,N(x1,﹣y1) ,设 y1>0.由于点 M 在椭圆 C 上,故 .由 T(﹣2,0) ,知 = , 由此能求出圆 T 的方

程. 法二:点 M 与点 N 关于 x 轴对称,故设 M(2cosθ,sinθ) ,N(2cosθ,﹣sinθ) ,设 sin θ>0,由 T(﹣2,0) ,得 = 由此能求出圆 T 的方程. (3)法一:设 P(x0,y0) ,则直线 MP 的方程为: ,令 y=0, ,



,同理:

,…(10 分)故

,由此能够证明|OR|? |OS|=|xR|? |xS|=|xR? xS|=4 为定值. 法二:设 M(2cosθ,sinθ) ,N(2cosθ,﹣sinθ) ,设 sinθ>0,P(2cosα,sinα) , 其中 sinα≠±sinθ.则直线 MP 的方程为:

,由此能够证明|OR|? |OS|=|xR|? |xS|=|xR ? xS|=4 为定值. 解答: 解: (1)依题意,得 a=2, ∴c= ,b= =1, .…(3 分) ,

故椭圆 C 的方程为

(2)方法一:点 M 与点 N 关于 x 轴对称, 设 M(x1,y1) ,N(x1,﹣y1) ,不妨设 y1>0. 由于点 M 在椭圆 C 上,所以 由已知 T(﹣2,0) ,则 ∴ =(x1+2) ﹣
2

. ,

(*)

…(4 分) ,

= = 由于﹣2<x1<2, 故当 由(*)式, 时, ,故 取得最小值为 , . .…(8 分) . .…(6 分)

又点 M 在圆 T 上,代入圆的方程得到 故圆 T 的方程为:

方法二:点 M 与点 N 关于 x 轴对称, 故设 M(2cosθ,sinθ) ,N(2cosθ,﹣sinθ) , 不妨设 sinθ>0,由已知 T(﹣2,0) , 则 =(2cosθ+2) ﹣sin θ 2 =5cos θ+8cosθ+3 = .…(6 分)
2 2

故当 此时

时, ,

取得最小值为



又点 M 在圆 T 上,代入圆的方程得到 故圆 T 的方程为: (3)方法一:设 P(x0,y0) , 则直线 MP 的方程为:

. . …(8 分)



令 y=0,得



同理:

,…(10 分)

故 又点 M 与点 P 在椭圆上, 故 代入(**)式, 得: ,

(**) …(11 分)

,…(12 分)



所以|OR|? |OS|=|xR|? |xS|=|xR? xS|=4 为定值. … 方法二:设 M(2cosθ,sinθ) ,N(2cosθ,﹣sinθ) , 不妨设 sinθ>0,P(2cosα,sinα) ,其中 sinα≠±sinθ. 则直线 MP 的方程为: 令 y=0,得 同理: , ,…(12 分) ,





所以|OR|? |OS|=|xR|? |xS|=|xR? xS|=4 为定值.… 点评: 本题考查椭圆的方程和几何性质、圆的方程等基础知识,考查运算求解能力、推理 论证能力,考查函数与方程思想、数形结合思想.

20.设函数 f(x)=x ,g(x)=alnx+bx(a>0) . (1)若 f(1)=g(1) ,f′(1)=g′(1)求 F(x)=f(x)﹣g(x)的极小值; (2)在(1)的结论下,是否存在实常数 k 和 m,使得 f(x)≥kx+m 和 g(x)≤kx+m 同时 成立?若存在,求出 k 和 m 的值.若不存在,说明理由. (3)设 G(x)=f(x)+2﹣g(x)有两个零点 x1 和 x2,若 x0= 的符号. 考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 计算题;函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: (1)只要利用条件 f(1)=g(1) ,f′(1)=g′(1) ,即可求出 a、b 的值,再求 F(x)的导数,求单调区间,即可得到极小值; (2)由于 f(x)与 g(x)有一个公共点(1,1) ,而函数 f(x)=x 在点(1,1)的切线 方程为 y=2x﹣1,只要验证 f(x)≥2x﹣1,g(x)≤2x﹣1 都成立即可; (3) 由G (x) =f (x) +2﹣g (x) 有两个零点 x1 和 x2, 得到 x1, x2 满足的关系式, 由 x0= 再经过讨论换元可证得 G′(x0)>0. 解答: 解: (1)由 f(1)=g(1) ,得 b=1. ∵f′(x)=2x,g′(x)= +b,f′(1)=g′(1) , ∴2=a+b,解得 a=b=1,则 g(x)=lnx+x. F(x)=x ﹣lnx﹣x(x>0)的导数为 F′(x)=2x﹣1﹣ =
2 2

2

,试探究 G′(x0)值





当 x>1 时,F′(x)>0,F(x)递增,当 0<x<1 时,F′(x)<0,F(x)递减, 则有 x=1 时,F(x)取得极小值,且为 0; (2)因 f(x)与 g(x)有一个公共点(1,1) , 而函数 f(x)=x 在点(1,1)的切线方程为 y=2x﹣1, 下面验证 f(x)≥2x﹣1,g(x)≤2x﹣1,都成立即可. 由 x ﹣2x+1≥0,得 x ≥2x﹣1,知 f(x)≥2x﹣1 恒成立. 设 h(x)=lnx+x﹣(2x﹣1) ,即 h(x)=lnx﹣x+1,h′(x)= ﹣1= ∴当 0<x<1 时,h′(x)>0;当 x>1 时,h′(x)<0. ∴h(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减, ∴h(x)在 x=1 时取得最大值, ∴h(x)=lnx+x﹣(2x﹣1)的最大值为 h(1)=0, 则 lnx+x≤2x﹣1 恒成立. 故存在这样的 k 和 m,且 k=2,m=﹣1,满足条件. (3)G′(x0)的符号为正,理由为: 2 ∵G(x)=x +2﹣alnx﹣bx 有两个不同的零点 x1,x2, 2 2 则有 x1 +2﹣alnx1﹣bx1=0,x2 +2﹣alnx2﹣bx2=0, 2 2 两式相减得 x2 ﹣x1 ﹣a(lnx2﹣lnx1)﹣b(x2﹣x1)=0. 即 x1+x2﹣b= ,又 x1+x2=2x0, ,
2 2 2

则 G′(x0)=2x0﹣

﹣b=(x1+x2﹣b)﹣

=



=

[ln



]=

[ln



],

①当 0<x1<x2 时,令

=t,则 t>1,且 G′(x0)=

[lnt﹣

],

故μ(t)=lnt﹣

(t>1) ,μ′(t)= ﹣

=

>0,

则μ(t)在[1,+∞)上为增函数, 而μ(1)=0,∴μ(t)>0,即 lnt﹣ >0,

又 a>0,x2﹣x1>0,∴G′(x0)>0, ②当 0<x2<x1 时,同理可得:G′(x0)>0, 综上所述:G′(x0)值的符号为正. 点评: 本题考查了导数的综合应用,熟练利用导数求极值和最值及恰当分类讨论、换元是 解决问题的关键.



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