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线性代数第二章教案



?
§ 2 .1

?

°
m

?
m×n

ù? 2.1.1

?

aij (i = 1, 2 . . . , m; j = 1, 2, . . . , n) a11 a21 . . . a12 a22 . . . am2 ··· ··· a1n a2n . . .

?n? ?

?m?n? ? ?

am1 m×n

A = (aij )m×n

?

? ? ?

· · · amn ? ? ? ? ? ? ?

aij

? ? A ? i ? ? j ??
A

? ? a21 ? =? . ? . ? . am1 aij

a11

a12 a22 . . . am2

··· ···

a1n a2n . . .

?

· · · amn

A

?

?

m=n

?

?à?, ? ?
2.1.1

A = (aij )m×n = (aij )mn

?

??

???
? A=? ? a21 a31 ? a11 a12 a22 a32 a13 a23 a33

?
a14 ? a24 ? ? a34 ?

?

aij

?

?

? ? b21 B=? ? b ? 31 b41
11 a12

?

?? i
b11 b12

? b22 ? ? b32 ? ? b42 · · · a1n )

?

??? j
bi1

?

? ? ?? i
? ? ? ? ? ? ?

?? i ?
?

bi2

? A = (a ?A ?

? ??? ? ?
1

B

? ? ?
A=B

? ? b21 ? B=? . ? . ? . b m1

b11

???
A B

? ? ? ?

? ? ?
0

? ?

?, ó ?? ?

?

??

?é ? ? ? ? è à? è à? ? ? ? ?
? ? ? Λ=? ? ? ? λ1 0 . . . 0 0 λ2 . . . 0

? ?
··· ···

?? ? ? ? ? ? ??
E

?1 ? ?
0 0 . . . ?

ù I;

? ? ?
? ? ? ? = diag (λ1 , λ2 , . . . , λn ) ? ?

? ? ? ??

· · · λn

ù?

Λ = diag (λ1 , λ2 , . . . , λn )

§ 2 .2

? °
ij ), B

è ? ? ù? 2.2.1 ? A = (a
? = (bij )

?

m×n ··· ···

ó

? ?A ?

? ? a21 + b21 ? A+B =? . ? . . ? am1 + b m1 B

a11 + b11

a12 + b12 a22 + b22 . . . am2 + b m2

a1n + b1n a2n + b2n . . .

?

?

· · · amn + bmn

? ? ? ? = (aij + bij )m×n ? ?

ù?

° ??¨? ?

? ?

°

A, B, C

? ? ?

(i)A + B = B + A (ii)(A + B ) + C = A + (B + C )

? ? ù? 2.2.2 λ ?
F

ó
2

?

?

? ? λa21 ? ? . ? . ? . λam1

λa11

λa12 λa22 . . . λam2

··· ···

λa1n λa2n . . .

? ? ? ? ? ? ?

? ?A  °

λ

 ?

λA

? ?

· · · λamn

° ??¨?

(i)(λ?)A = λ(?A);

(ii)(λ + ?)A = λA + ?A

(iii)λ(A + B ) = λA + λB (iv )A ? B = (aij ? bij ) A ? B = A + (?B ), A + B = C ?? A = C ? B

ó ?a
n

n 1

n

+ a2 + · · · + an =
k=1 n n

ak =
j =1 n

aj ,

ó
i

a
i=1

bi
m

=
i=1 n

abi ,
i=1

bi a =
i=1

abi ,

?a
?

? ó

n

bi
i=1

?è 

ó

ai b j
i=1 j =1

? 
m n i=1 j =1

????
m n

ai b j =
i=1 m

ai ?

j =1

bj ?

?

(1)

=
i=1

ai (b1 + b2 + · · · + bn )

(2)

= a1 b 1 + a1 b 2 + · · · + a1 b n

(3)

+ a2 b 1 + a2 b 2 + · · · + a2 b n

(4)

+ ············

(5)

+ am b 1 + am b 2 + · · · + am b n

(6)

3

n

m

n

m

ai b j =
j =1 i=1 j =1 n i=1

ai

bj

(7)

=
j =1

(a1 + a2 + · · · + am )bj

(8)

= a1 b 1 + a2 b 1 + · · · + am b 1

(9)

+ a1 b 2 + a2 b 2 + · · · + am b 2

(10)

+ ············

(11)

+ a1 b n 1 + a2 b n + · · · + am b n

(12)

??

m

n

n

m

ai b j =
i=1 j =1 j =1 i=1

ai b j ,

?

 ?

?

? ?è ? ? ù

? ? ? ? ù? 2.2.3 ?A
B A = (aij )


m×n

m×s

B = (bij )

s×n

 ?è

? C = (c

ij ),

s

cij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ais bsj =
k=1

aik bkj

?

C = AB :

? ? 
2.2.1 A= 2 ?1 3 1

? ?
0 ?2

? AB =
= 0

2 · 1 + (?1) · 2 + 0 · 5

1 ?3 ? ? ? ,B = ? 2 1 ? ? ?5 0

? ?? ?

?

? ?

2 · (?3) + (?1) · 1 + 0 · 0

3 · 1 + 1 · 2 + (?2) · (?5) 3 · (?3) + 1 · 1 + (?2) · 0 ?7

15 ?8

4

? ?? ? ? ?n
1 2 2 1

1 ?1 ? ? ? A = ? ?1 1 ? ?,B = 1 ?1

?

°

? ? ?
1 2 1 2 ,

?
AB = 0,

???

ê ?  ?? ? B

?? ? ? ? ?é

? ? èù ??
Amn Bnm Bnm Amn

¨ m=p? ?? ?

Amn Bnp

np Amn

?? ?¨ m = n ? ?è ?? m
Bnn Ann

Ann Bnn

?? ? n

? ?

A=

,B = 8 7 B

2 ?3 3 ?1 ?5 1

, ?4 1 5 7

???

AB =

, BA =

?¨à? A

??AB = BA ó ?

? Abel ? ?

?? ?? ??

(AB )C = A(BC )

? ù A = (a ? (AB)C
n

ij )mn , B

= (bij )np , C = (cij )pq

A(BC )

? m×q ??

?ó ?

?

?

AB = U = (uij ), BC = V = (vij ),
p

uil =
k=1

aik bkl , vkj =
l=1

bkl clj

(AB )C = U C

? i ?? j ? ? ?
5

p

p

n

uil clj =
l=1 p n l=1 k=1

aik bkl clj

=
l=1 k=1

aik bkl clj

? A(BC ) = AV ? i ?? j ? ? ?
n n p

aik vkj =
k=1 n p k=1

aik
l=1

bkl clj

=
k=1 l=1

aik bkl clj


En

?
n

? ?? (AB)C = A(BC )
np

?n

? ?E A

= Anp , Amn En = Amn

??¨? ? ? ? ? ? ? ? ? ê? ? ? ?
1

? ? ° ? ? A , A , · · · , A , à è
1 2 r r

A(B + C ) = AB + AC , (B + C )A = BA + CA

λ(AB ) = (λA)B = A(λB )

? 
2

? ?

??è ? ? ? ? A A · · · A ?ù ?? ?¨ A ? n à?, ? A
r

à? A

r

= A · A · · · A,

?A

0

= En
m mA

f (x) = a0 + a1 x + · · · + am xm , A

?è à? ? ? a E + a A + · · · + a
0 1

= f (A)

? ?ù?? ?? ? ? á ??
a0 E + a1 A + · · · + am Am = f (A) f (A) = 0

? ? 

? ??
6

??
ci2

2.1.1

AB = C ,

???
? ? ? ? ? ? ?

C = (cij )3×2 ,

ci1

??? i

?

?

??? i
2.2.2

?



???

=ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ais bsj =
k=1

? ? ? (ai1 ai2 . . . ais ) ? ? ?

?

?

b1j b2j . . .

bsj

s

aik bkj

2.2.3 ? ? ? ? ? x = 2 y + y ? y = ?3z1 + z2 1 1 3 ? ? ? ? 1 x2 = ?2y1 + 3y2 + 2y3 , y2 = 2z1 + z3 ? ? ? ? ? ? ?x = 4 y + y + 5 y ?y = ? z + 3 z 3 1 2 3 3 2 3

?? ? ? ?

? z , z ? ,z ?
1 2 3

?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? x 2 0 1 y y ? 3 1 0 z ? ? 1 1 1 1 ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? x2 ? = ? ?2 3 2 ? ? y2 ? , ? y2 ? = ? 2 ? ? z2 ? 0 1 ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? x ? y 4 1 5 y3 0 ?1 3 z3 3 3 ? ? ? ? ? x2 ? = ? ?2 3 ? ? ? x3 4 1 ?6z1 + z2 + 3z3 12z1 ? 4z2 + 3z3 ?10z1 ? z2 + 16z3 x1 ? ? 2 0 1 ?? ? 2 ? ?? 5 ?? ?3 2 0 ?? ? ? ? 1 ? ? ? z2 ? ?1 3 z3 0 1 0 ?? z1 ?

x1 , x2 , x3 ? ?

?

? ? è° ?

? ? ? x = ? ? 1

x2 = ? ? ? ?x = 3

è?? ?
T

ù? 2.2.3 ? ? A ?
A= ?2 1 4 3 ?2 2
T

? A ??A = A ? è° ° ?

? =? A = ? ? A

?

?
?2

?

? 4 ?2 ? ? 3 2

è? ?
1 A = ?AT ,

A

è? ?

AT = A′

?

?

A

?

7

(i)(AT )T = A; (ii)(A + B )T = AT + B T ; (iii)(λA)T = λAT ; (iv )(AB )T = B T AT

(iv )

? ? ? ???

? ? a21 ? A=? . ? . ? . am1 (AB )T B T AT

?

a11

a12 a22 . . . am2

··· ···

a1n a2n . . .

?

? p×m

· · · amn

?

? ? ? ? b21 b22 · · · b2p ? ? ?,B = ? . . . ? ? . . . . . ? ? . bn1 bn2 · · · bnp (AB )T i j

?

b11

b12

···

b1p

? ? ? ? ? ? ?

? ?? ? ?

? AB ? j ?? i ? ?

? ?
aj 1 b1i + aj 2 b2i + · · · + ajn bni

?B 

T

AT

? i ?? j ? ?

?B ?i? ?
T

AT

?j? ?

?

? ?B ?i? ?

A

?j?

?



b1i aj 1 + b2i aj 2 + · · · + bni ajn

?? è° ?

(AB )T = B T AT

??

T T (A1 + A2 + · · · + An )T = AT 1 + A2 + · · · + An

T T T (A1 A2 · · · An )T = AT n An?1 · · · A2 A1

2.2.4

è ?A

?

è
8

? è

?

? ? ? A+A ?
T

? ? A?A ?
T 1 2 n T T

? ?A=
X = 1, E

1 1 T T 2 (A + A ) + 2 (A ? A )

2.2.5 2XX T ,

? ? X = (x , x , . . . , x ) ? X
H
T

?n

?

H =E?

?

?

?

HH T = E

? ?H

= E T ? 2(XX T )T = E ? 2XX T = H

HH T = (E ? 2XX T )(E ? 2XX T ) = E ? 2XX T ? 2XX T + 4(XX T )(XX T ) = E ? 4XX T + 4X (X T X )X T = E

? ? ° ? ? ? ? ? ? ° ? ? ?? ? ?
A = (aij )

(i)A + B = A + B (ii)λA = λA

(iii)AB = AB

à? ??
(i)|AT | = |A| (ii)|λA| = λn |A|;

è à?

è ??

?

?

(iii)|AB | = |A||B |. (iii)

?
9

? ?

A = (aij ), B = (bij ), a11 . . . D= an1 ?1 . . . 0

???
a1n . . . 0 . . . ?1

D 0 0 0 b11 . . . bn1

?
··· ··· ··· ··· ···

2n 0 0 0 b1n . . .

??
A ?E 0 B

··· ··· ··· ··· ···

· · · ann

=

· · · bnn

1.3.6D = |A||B |,

?èà ó  ? ?
C 0 ,

??
· · · bnj

??

D

b1j 1 , 2 , . . . , n)

 ?è?
D=

b2j A

 ?n?

? n+j ?

(j =

?E

C = (cij ), cij = b1j ai1 + b2j ai2 + · · · + bnj ain

C = AB

?

D

?
A

rj ? rn+j (j = 1, 2, . . . , n), ?E 0 C = |C |

??

D = (?1)n

? á à? A ? ? ?
n ? ? ? ? ? ? ? A11 A12 . . . A1n aij

?
A21 A22 . . . A2n · · · An1 · · · An2 . ··· . . · · · Ann

? ? ? ? ? ? ?

?A

á

Aij

?A ?

? ?

?

A? .

Laplace

?ó

AA? = A? A = |A|E

?

B ? A? AB = B ? |A|EB = |A||B |E, ABB ? A? = |A||B |E

(B ? A? )AB = AB (B ? A? ) =

10

|A||B |E

? à
? y1 ? ? ? ? ? ?y2 ? ? ? ? ? ? ?y n

(AB )? = B ? A?

? ? ?° ? ?è

= a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn ········· = an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn

? ? è
(y1 , y2 , . . . , yn )T

X = (x1 , x2 , . . . , xn )T

Y = (y1 , y2 , . . . , yn )T

?

?

(x1 , x2 , . . . , xn )T

? ? B ????
X = BY Grame

.

?
1 Aji , |A|

? ? ?:Y = AX
i i 1i y1

?

X = BY

1 ?? ? |A| = 0 ? x = |D = (A A| |A| X = BY

+ A2i y2 + · · · + Ani yn ) .

B = (bij ), bij =

?Y

= AX AB = BA = E

?

Y = AX = A(BY ) = (AB )Y, X = BY = B (AX ) = (BA)X ,

ó

ù??2.2.4 ? n ?AùB ù?ó ?A ?? è

? A, ? ? n ?

?B ? ?

AB = BA = E

ó

? ? ??

ó? ? ? A ú ? ?? ? ? ?B á ? ù ? |A| = 0

?? è ? ?

,

? AB = BA = E, AC = CA = E ? B = EB = (CA)B = C (AB) = CE = C ??ó
A?1

ù? 2.2.1 ? A ? ?=?? ? A ??=? ? |A| = 0, ? ù? ? è

AB = BA = E ,

?? |A||B| = 1 ? |A| = 0
A ? |A A=A =E A| |A|
? ?

? A A = AA
?

?

= |A|E

A?1 =

1 ? A |A|

11

2.2.1 ,

A, B

?à?
A

AB = E

?B=A

?1

AB = E

B = EB = A?1 AB = A?1 (AB ) = A?1 E = A?1

? ??? ? ? ? A, B, ??à? A
(i)(A?1 )?1 = A; (ii)(λA)?1 = 1 ?1 A ; λ

AB = E

? A, B èù??

?

?

°

?

(iii)(AB )?1 = B ?1 A?1 ;

? (iii)
1 |A|

AB (B ?1 A?1 ) = A(BB ?1 )A?1 = AA?1 = E

(iii)

(iv )(AT )?1 = (A?1 )T (v )|A?1 | =

? (iv) ?A ? AA
?

,(AT )(A?1 )T = (A?1 A)T = E T = E ,

(iv )

A?

?
?

?
n

= |A|E

? |A||A | = |A|

= 0,

|A? | = 0,

ù? 2.2.1

?

?????
, A ? A =E |A| (A? )?1 = A |A|

? A, B
A |A|

(AB )? = B ? A? , (A?1 )? = (A? )?1

?

?

(AB )? = |AB |(AB )?1 = |A||B |B ?1 A?1 = |B |B ?1 |A|A?1 = B ? A? (A? )?1 =

? (A

?1 ?

) = |A?1 |(A?1 )?1 | =

A |A|

12

?
2.2.6

è
f (x) = a0 xm + a1 xm?1 + · · · + am?1 x + am (am = 0) A

?è à?

f (A) = 0

A

?1

?? ? f (A) = a A
0 a0 m ? 1 A ? (? a m

m

+ a1 Am?1 + · · · + am?1 A + am E ? ···?
am? 1 am E )A

a1 m?2 am A

=E

?? A

?1

2.2.7

?? ? A BA ? 2BA = ?8E =? (A
?

a0 a1 ?1 Am?1 ? a Am?2 ? · · · ? am = ?a am E m m ? ? 1 ? ? ? ? , A BA = 2BA ? 8E A=? ?2 ? ? 1 ?

B

? 2E )BA = ?8E =? (2E ? A? )BA = 8E

=?, B = 8(2E ? A? )?1 A?1 = 8(A(2E ? A? ))?1 = 8(2A ? |A|E )?1 = 8(2A + 2E )?1 = ? ? ? ?1 ? 2 2 ? ? ? ? ? =? ? 4(A + E )?1 = 4 ? ?1 ?4 ? ? ? ? 2 2 2.2.8

? ? ?A?

?

A2 = 0

? A = 0

?
A2 = AA = AAT ? a2 + · · · + a2 1n ? 11 ? ? ? =? . . ? . ? ? ? a2 21 + ···+ . . . ? a2 2n ··· ··· .. . ? ? . . . ? ? ? ? ? ? ? (13)

(14)

2 · · · a2 n1 + · · · + ann

A2 = 0

2 2 a2 i1 + ai2 + · · · + ain = 0, i = 1, 2, . . . , n

?? a

ij

=0

? A = 0

2.2.9

A, B

? n à? ?

AB

BA

? ?

13

??AB

? ? ?c

n ii

=
k=1 n

aik bki BA
n n

?
aik bki

? ?d

n

kk

=
i=1

bki aik

cii =
i=1 i=1 k=1 n n

(15)

=
k=1 i=1 n

bki aik

(16)

=
k=1

dkk

(17)

2.2.10A

, ?? ?? à? |A| = 1 2

|(3A)?1 ? 2A? |

??|3A

?1

? 2A? | = |3A?1 ? 2|A|A?1 | = |2A?1 | = 23 × 2 = 16

14

§ 2 .3

? í 
k

ù? 2.3.1 ? m × n ? A
k2

? è

k

? (k ≤ min(m, n) ? ??? ??
k

? ???

?

?A ? è ?A

??

??

?A

k

k k Cm · Cn

ù? 2.3.2 ? ? A ? ? ?0 ? ? detD = detD ù? 2.3.3 ? ?
ri ? rj (ci ? cj )
T

?0 ? ê

r

D,

r+1

?

D

r

?A í ?

R(A) = r

R(A) = R(AT )

? ?i? ? ?j? ? ò  ? ?i? ? ? ó ? ó ? ó ?i? ?

? ? ??? ? ? ? ? ? 
E (i, j );

? ?
kri (kci );

k

?

k



? ?j? ? ? 

ó ? ? à? E ?
E (kri ),

ri + krj (ci + kcj ) ,

E (ri ? rj )

?

E (i(k ));

E (ri + krj ),

?

E (ij (k ))

? ?

? ?

? ?

? ? ó

? 



?  ?
15

ù? 2.3.1
m

A



m×n

?

A

??è  ?

¨?? A
n

  ?





A

??è  ?  ?? ? ? ?

¨?? A ?  ? B, ? ? ?? ?

? ù? 2.3.4
A?B

?A ?

A

B

?  ù? 2.3.2 ?
(i) (ii)( ) A ? A; A ? B,

? ? ? B ? A;

(iii)(

)

A ? B, B ? C , A?B

?A?C à ó ? ? R(A) ≤ R(B). ? ?
R(A) = r

ù? 2.3.3 ? ? ?
ri ?rj

? R(A) = R(B) ?
, R(B ) ≤ R(A)

??ù? ? ? ?
A ?→ B
ri ×k

? A ?è
r

r

Dr = 0 Dr , Dr

ù A ?→ B , ?? B
:D r = ± D r B,

Dr

?

??
A

?
r i × k +r j

ùD

r

= kDr Dr

?? B

è ?D

r

Dr = 0,

R(B ) ≥ r

?→

?A ê
ri

? ,à ?
r

?ì? è ?
= Dr

:10 Dr 2 0 Dr

??

???

rj

?, ?? 
16

?? i ?? ?? j ?,

?,D ?? B , ? R(B) ≥ r
r

3 0 Dr 4 0 Dr

?? i ?, ? ?? j ?, ? ?? i ?, ??? j ??? D ?? D
r r

,D r Dr

? B , ? R(B) ≥ r ?j? ?
ajs + kais



? ?????

?? A r ?
at1 . . . at2 . . . ai2 . . . ar 2 ··· ··· ··· ··· atr . . . air . . . ?r = Dr + k D ai1 . . . ar 1

Dr = Dr + k

· · · arr r 30 R(B ) ≥ r,

?r = 0, D ?r = 0 D

? ?? A ?? i ? ? ?? j ? ?D
r

?

R(B ) ≥ r

ò

Dr = Dr = 0

B

r

Dr = 0

R(B ) ≥ R(A)

 ?

R(A) ≥ R(B )

? ?è ? íí? ??
A . R(A) = R(AT ),

? í ?
AT

?? ? ? ?
A

? ?? ?

?? ??

??

ù? 2.3.4 ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 0 0 0 ? 1 0

? ? a21 ? A=? . ? . ? . am1 ? ? 0 ··· ··· ··· ? ? 1

?

A a11 a12 a22 . . . am2 ? ? ?

B, ···

T R(A? ) = R(B T ) a1n ? · · · a2n ? ? ?, . . ··· . ? ? · · · amn

R(A) = R(B )

??

A

··· ··· ···

··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···

··· ··· ··· ··· ··· ··· ···

? ? ? ? ? ··· ? ? ? ? ?, ? 0 ? ? ··· ? ? 0

?

?

? ? ?

17

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

1 0 0 0 0

0 1 0

0 0 0

··· ··· ···

0 0 1

c1,r+1 c2,r+1 ··· cr,r+1 ··· ··· ···

··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···

··· ··· ··· ··· ···

? r ≥ 0, r ≤ min{m, n}, ? ?  ? ?è? ó¨ ? B, ? ? ?

? · · · c2n ? ? ? ··· ··· ? ? · · · crn ? ? ? ··· 0 ? ? ··· ··· ? ? ··· 0

· · · c1n

?

? ? ?

è ù ?a
1 aij ij

?

?

? é ?? ? ?

? ? ?A? ? ?

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= 0,

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A

 ?è? ?? ? ?

? ?è??è?? ? 1 ?è? ?

? ?

? B ?è?? ? ? ? ? ? B ?  ù ? B ? m?1 ? è ? ?? ?
2.3.5 b

? ?b

? ?? ? ?
···,

è

à? ? ? ?

B

?


···

? ?? ?è ? ? r?2 ? ?
a1n a2n . . . ? ? ? ? ?, ? ?

? r?1 ?

? ? r ? ó¨

? ?è ?
? ? a21 ? A=? . ? . ? . am1 ? a11 a12 a22 . . . am2

? r ? 1 ? ó¨ ? ?

··· ··· ···

?

? ?
Er Om?r,r 2.3.6 Or,n?r

· · · amn

Om?r,n?r

,

Er

?

?O ?
st

s×t

?A

mn

í? r, ? ?
18

?P

mm

Qnn



P AQ =

Er O

O O

ù? 2.3.6 n

?A ?

? ?

? A = E ···E E
1 s

s+1

· · · Et

Ej , j = 1, 2, · · · , t

? ? ?=?? ? A
P1 P2 · · · Ps APs+1 Ps+2 · · · Pt = E ,

A ? En , Pj

?

?, ? 

??

,

?

?  ?

 ?

?1 ?1 ?1 A = Ps · · · P1 EPt?1 · · · Ps +1 = E1 E2 · · · Es Es+1 · · · Et

??=? ? A = E E · · · E E
1 2 s

s+1

· · · Et ,

|A| = 0,

A

.

?

,

A

,

? A = E · · · E E, ?
1 t

?1 ?1 E1 · · · Et A = E,

?1 ?1 A?1 = Et · · · E1 ,

ó ?
?1

A

? ?

,

?

?E

?

ó
2.3.1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? 0 ? ? ?1 0 ?2 ?? ? ? 1 2 ?1 1 0 0 1 ?? ? ? ? 0 1 0 ? ?→ ? 0 3 1 0 ? ? ? ?? 0 0 1 0 ?1 0 ?2 ?? ? ? 1 0 2 0 0 ?1 1 ?? ? ? ? ? ? ? 0 1 ?6 ? ? 0 1 3 ? ?→ ? 0 0 2 ?3 1 0 1 0 ?? ? ? 1 0 2 0 0 ?1 ?? ? ? ? ? ? 0 1 ?6 ? ? 0 1 3 ? ? ?→ ? 3 1 0 0 A 1
?1

?  ?A=? ?

? E ? ?A

1

2 ?1

?

2 2 0 1 0 1 0 0

?5

=

1 9

?

1 9

2 ?9

?2 ? ? 6 ? 1

? ?3 ?3 ? ? ?2 ?5

4

5 ?9 ?

1

?? ? ? ? 3 ? ? ? ?3 1 0 ? ?→ ?3 1 0 1 ?? ? 2 0 0 ?1 ?? ? ? ?6 ? 3 ? ?? 0 1 ? ?→ 9 1 ?2 ?5 ?? ? 2 4 1 0 0 ?9 9 9 ? ?? 3 3 ? ?→ ? 6 1 0 ? ? ? ?? 9 9 9 ? 1 2 5 0 1 ? ? 9 9 9

?1

??

1

0

0

?

19

?? ?í

??

(1) 0 ≤ R(Amn ) ≤ min{m, n} (2) R(AT ) = R(A) (3) A?B

? R(A) = R(B) ? R(P AQ) = R(A) ?¨ B = b(b ???
)R(A) ≤

(4)

P, Q

(5)max{R(A), R(B )} ≤ R(A, B ) ≤ R(A) + R(B ), R(A, b) ≤ R(A) + 1

? ?A, B

? ê

?? (A, B)
A, B

max{R(A), R(B )} ≤ R(A, B ) A, B ,

R(A) = r, R(B ) = t

 ?

? ?



?? r, t ê ?

? R(A, B) = R(A, B) ≤ r + t = R(A) + R(B)
(6) R(A + B ) ≤ R(A) + R(B )

ù A, B ?? m × n
(A + B, B )

? ?R(A + B) ≤ R(A + B, B)
(A + B, B ) ? (A, B )

??

ci ? cn+i (i = 1, 2, · · · , n,

?

? (5) ?

R(A + B, B ) = R(A, B ) ≤ R(A) + R(B )

(7) R(AB ) ≤ min{R(A), R(B )}

?? ??

(8)

Amn Bnl = O, 2.3.2 A

? R(A) + R(B) ≤ n(? ? (6)

?n

? ? ?R(A + E) + R(A ? E) ≥ n
n = R(2E ) = R(A + E + E ? A) ≤ R(A + E ) +

? ?A + E + E ? A = 2E
R(E ? A) = R(A + E ) + R(A ? E )

20

§ 2 .4

?
° ? ?° è ? ?
A11 ? . . A=? ? . As1 ?

?

 ?° ?? ? ? ?? ? ? ¨? ? ?:
? · · · B1r ? . ? . . ? · · · Bsr

?

° ?

(1)A

B

? ? ?, ? A + B

Aij

Bij

? ? ?.

? ? · · · A1r B11 ? ? . . ? ? . . ? B=? . . · · · Asr Bs1

(2)λA

(3)

λA11 ? . . λA = ? ? . λAs1

?

??

A11 + B11 ? . . A+B =? . ? As1 + Bs1

?

? · · · A1r + B1r ? . ? . . ? · · · Asr + Bsr

A = Am×l , B = Bl×n A11 ? . ? A=? . . As1 ?

? · · · λA1r ? . ? . . ? · · · λAsr

?A

B

??
? · · · B1r ? . ? . . ? · · · Btr .

A12 . . . As2

Ai1 , Ai2 , . . . , Ait ? C11 · · · C1r ? . . . . AB = ? . ? . Cs1 · · · Csr 2.4.1

?

? ? ? ?

? ?B

? ? · · · A1t B11 ? ? . . ? ? . ··· . ? B=? . . · · · Ast Bt1
1j , B2j , . . . , Btj

?

t

Cij =
k=1

Aik Bkj (i = 1, . . . , s; j = 1, . . . , r)

? ? 0 1 0 A=? ? ?1 2 1 ? 1 1 0

?

1

0 0

? ? ? 2 0 0 ? ? B = ? ?1 ? ? 0 ? 0 4 ? 1 1 ?1 ?1 2 21

0

?

?

1

0 1

? 1 ? ? 1 ? ? 0

0

?

 AB ? AB =
1 0 A11 A21 A12 A22 1 0 1 0 0 1 0 1 B11 B21 , A12 = , B21 = B12 B22 0 0 0 0 1 0 , A21 = ?1 2 1 1 4 1 2 0 , A22 = , 1 0 0 1 , B11 =

A11 = , B12 =

?1 2 AB =

?1 ?1

, B22 =

??

A11 B11 + A12 B21 A21 B11 + A22 B21 ? 0 1 0 ? 2 0 1 ? ? 4 3 3 ? ? 1 3 1 P = . A C O B

A11 B12 + A12 B22 A21 B12 + A22 B22

1 ? ? ?1 =? ? ?2 ? ?1 2.4.2

?



n

à?

A, B

?? r

s

?
X12 X22

r+s =

n

? ?P ?
A O : C B
12

?

XP = P X = E , X11 X21 X12 X22 =

ó ?
Ir O O Is

X

? ,?X=

X11 X21

,

?

?? AX
B ,

+ CX21 = Ir , AX12 + CX22 = O, BX21 = O, BX22 = Is X21 = O, X22 = B ?1 , AX12 + CX22 = O X21 = O

?

,

AX11 = Ir X11 = A?1

?

X22

?
12

AX12 + CB ?1 = O A?1 O ?A?1 CB ?1 B ?1

?? X
E A

= ?A?1 CB ?1 ,

?X=

2.4.3 B E

A, B

?n
E O B

?? ? ?? ? ? ó ¨ ?

= |E ? AB |, |E ? AB | = |E ? BA| = |E ? AB |

? ??

E ? AB

22

E

O

E A E A

B E B E

?A E E O ?B E

=

E O

B E ? AB

=

E ? BA O A I

23



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